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Full text of "Revue de mathématiques spéciales"

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REVUE 


MATHÉMATIQUES    SPÉCIALES 


Digitized  by  the  Internet  Archive 

in  2010  with  funding  from 

University  of  Ottawa 


http://www.archive.org/details/revuedemathmat06pari 


REVUE 


DE 


MATHÉMATIQUES  SPÉCIALES 


REDIGEE  PAR  MM. 


E.  HUMBERT 

ANCIEN    ELEVE    DE    L'ÉCOLE   NORMALE    SUPÉRIEURE 

AGRÉGÉ    DES    SCIENCES    MATHÉMATIQUES 

PROFESSEUR    DE   MATHÉMATIQUES    SPÉCIALES    AU    LYCÉE    LOU1S-LE-GRAND 


G.    PAPELIER 


ANCIEN    ÉLÈVE    DE   L'ÉCOLE   NORMALE    SUPÉRIEURE 

AGRÉGÉ   DES    SCIENCES    MATHÉMATIQUES 

PROFESSEUR    DE   MATHÉMATIQUES    SPÉCIALES    AU    LYCÉE    D'ORLÉANS 


AVEC     LA     COLLABORATION     DE     MM. 


N.     GHARRUIT, 


E.     DESSENON, 


P.     LAMAIRE, 


CH.     RIVIÈRE, 

ANCIEN    ÉLÈVE    DS    L* ÉCOLE   NORMALE   SUPÉRIEURE 
DOCTEUR  ES  SCIENCES,  PROFESSEUR  AGRÉGÉ  DE  PHYSIQUE  AU   LYCÉE  SAINT-LOUIS 

A.  TARTINVILLE, 


AGREGE  DE 


RorESSEun  au 


;  SAINT-LOUIS 


H.     VUIBERT, 

rédacteur  t>u  Journal  de  Mathématiques  élémentaires. 


TOME    TROISI  ÈME 


ANNEES     189  4-95     &     1895-96 


PARIS 
LIBRAIRIE     NON  Y     Je     G1 

17,  rue  des  Ecoles,  17. 


l 


REVUE 

DE 

MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 

PREMIÈRE  PARTIE 


SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NUL 

PAU    «APPORT    A    CN    SYSTÈME    DE    FORCES, 

par   M.  A.  Durand, 
Ancien  élève  de  l'Ecole  normale  supérieure,  agrégé  des  sciences  mathématiques,  chargé  d'une  mission  en  Allemagne. 


Avant  d'aborder  le  sujet  qui  fait  l'objet  principal  de  cet  article,  il  me  semble  bon  de  reprendre 
rapidement  la  solution  du  problème  de  la  réduction  des  forces  appliquées  à  un  corps  solide,  en  admet- 
tant toutefois  les  résultats  les  plus  essentiels  qui  sont  démontrés  aujourd'hui  dans  tous  les  cours  de 
mathématiques  spéciales. 

Tous  les  modes  de  réduction  ont  pour  but  de  remplacer  un  système  donné  de  forces  par  d'autres 
systèmes  équivalents,  en  général  irréductibles  à  d'autres  systèmes  plus  simples,  sous  certaines  condi- 
tions imposées  a  priori. 

Les  deux  modes  les  plus  intéressants  sont  la  réduction  à  une  force  et  à  un  couple  et  la  réduction 
à  deux  forces. 

1.  Pour  effectuer  la  première  réduction,  je  prends  un  point  quelconque,  A;  je  considère  une 
force  quelconque  du  système,  F,  elj'applique  au  point  A  deux  forces,  F'  et  —  F',  égales  et  directe- 
ment opposés,  dont  la  première  soit  égale  et  parallèle  à  F  et  de  même  sens  qu'elle;  je  fais  de  même 
pour  toutes  les  forces  dont  le  système  est  composé  ;  en  agissant  ainsi  je  ne  change  pas  l'action  du 
système  de  forces,  d'après  un  principe  admis  en  statique. 

Cela  fait,  je  compose  entre  elles  toutes  les  forces  F',  puis  tous  les  couples  tels  que  (F,  —  F'). 
J'obtiens  ainsi  une  force  R  appliquée  au  point  A  dont  la  grandeur,  la  direction  et  le  sens  ne  dépen- 
dent aucunement  de  la  position  du  point  A,  et  un  couple  G  dont  l'axe  dépend  en  général  du  choix  du 
point  A.  La  force  R  se  nomme  la  résultante  générale  du  système  et  le  couple  G  le  coujjle  résultant. 

Comme  une  force  peut  être  appliquée  en  un  point  quelconque  de  sa  ligne  d'action,  il  est  évident 
que  le  couple  résultant  ne  change  pas  quand  le  point  A  se  déplace  parallèlement  à  la  résultante 
générale. 

Si  nous  désignons  par  X,  Y,  Z  les  projections  sur  les  trois  axes  de  la  résultante  générale,  par  L,  M,  N 

les  projections  de  l'axe  du  couple  résultant  relatif  à  l'origine,  on  sait  que  les  conditions  d'équilibre 

sont    X  =  0,    Y  =  0,     Z  =  0,     L  =  0,     M  =  0,  N  =  0,    et  que,  pour  que  deux  systèmes  S  et  S'  soient 

équivalents,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on  ait  par  rapport  aux  mêmes  axes  de  coordonnées  rectangulaires 

X  =  X',     Y  =  Y',     Z  =  Z',     L  =  L',     M  =  M',     N  =  N'. 

De  là  résulte  immédiatement  que  si  l'on  désigne  par  L,  M,  N  les  projections  de  l'axe  du  couple 
résultant  relatif  à  l'origine  des  coordonnées,  par  L,,  M,,  Ni  celles  relatives  à  un  point  quelconque  de 


226  SI  K  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NUL 


coordonnées  c,,  y,,  :,.  qous  aurons 

l   L  =y,Z  —  z,Y      l   ■ 

(1)  M       :,X  —  *,Z      M 

'   N  =  x,Y  —  t/iX  -•-  N,  ; 
.-•  -  équations  montrent  que  les  valeurs  de  1.,.  M,,  N    dépendent  en  général  des  coordonnées  du  centre 
de  réduction,  xu  y„  .-,.  Le  couple  résultant  n'esl   invariable  que  lorsque   la  résultante  générale  esl 
nulle. 

Si  l'on  veul  que  l'axe  du  couple  résultant  soit  parallèle  à  la  résultante  générale,  il  faudra  exprime] 
que  les  équations  suivantes  sont  satisfaites  : 

L,  _  M,   _  N, 
"T  ~~    Y    ~~    Z 
OU 

L  — ;y,Z4-Z|Y  _  M  —  :.X  -+-  a.Z  _  N—  .>,V-f-  ,y,X  _ 
(z)  x  Y  -  z 

on  trouve  ainsi  pour  lieu  du  point  xu  >/,.  zt  une  ligne  droite. 

D'après  une  remarque  faite  plus  haut,  cette  droite  est  évidemment  parallèle  à  la  résultante 
raie  ;  cela  se  vérifie  d'ailleurs  aisément,  car  on  voit  de  suite  que  si   ',.  ,</,.  z,  vérifient  les  équations  (2), 
les  nombres     <',   :  XX,     t/i-t-XY,     zt -■-'/.'/.  les  vérifient  également. 

i  ette  droite  se  nomme  l'axe  central  du  système  de  forces;  elle  esl  la  même  pour  tous  les  systèmes 
équivalents  au  système  donné,  car  pour  tous  ces  systèmes  X,  Y,  '/..  L,  M.  N  ont  les  mêmes  valeurs. 

Lorsque  les  éléments  de  la  réduction  en  un  point  sont  connus,  ils  sont  connus  pour  tout  point  de 
l'espace,  d'après  les  formules  (1  :  car  X.  Y,  Z  ne  changent  pas.  et  I.,,  M,.  X,  sont  bien  déterminés 
parle  système  1  .  On  ne  peut  d'ailleurs  pas  prendre  arbitrairement  L,.  M,.  N,.  car  les  équations  I  . 
regardées  comme  déterminant  1rs  inconnues  .<-,,  </,,  :,,  ne  sont  < tpatibles  que  si  l'on  a 

L,\  +M,Y  +  NiZ  =  LX-+-MY       NZ; 

si  cette  relation  a  lieu,  les  équations  (1)  représentent  une  droite  parallèle  à  l'axe  central,  cl  qui  esl  le 
lieu  des  points  pour  lesquels  on  obtient  la  réduction  demandée. 

Les  quantités  \.  V.  Z.  li  et  LX-+-MY+NZ  sont  des  invariants  pour  la  réduction  la  plus  géné- 
rale, c'est-à-dire  des  quantités  qui  ne  changi'ul  pas  quand  on  déplace  le  centre  <\i-  réduction.  Il  serait 
même  facile  de  montrer  que  les  deux  quantités  R  et  LX  :  MY-i-XZ  sont  des  invariants,  pour  tout 
changement  d'axes  rectangulaires;  mais  nuire  but  n'esl  pas  d'épuiser  la  question  actuelle,  nous 
voulons  simplemenl  préparer  l'étude  des  droites  de  moment  nul. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  l'on  ne  peul  pas  prendre  l'axe  du  couple  résultant  perpendiculaire 
à  la  résultante  générale  ;  car  cela  exigerait  que  l'on  eût  I.A  .  MO  \z  0,  el  celte  condition 
est  équivalente  è  LX  -H  MY  -+-  NZ  =  0,  qui  n'a  pas  lieu,  puisque  L,  M.  V  \.  Y,  Z  sont  quelcon- 
ques. Mais  ons  exceptées,  on  peut  prendre  l'axe  du  couple  perpendiculaire  a  un  plan  quel- 
ci  tique. 

Quand  la  relation  LX  Mt  NZ  o  est  vérifiée,  la  résultante  générale  et  les  forces  du  couple 
sonl  dans  le  même  plan  :  le  système  de  forc<  s  proposé  se  réduil  à  une  force  unique.  Nous  écarterons 
les  deux  cas  où  R  0  et  où  l.\--M>  \z  0;  dans  le  premier  cas,  le  système  se  réduit  à  un 
couple,  el  nous  venons  de  voir  que,  dans  le  second,  il  se  réduil  à  une  force  unique. 

2.  Réduction  à  deux  forces.  Supposons  le  système  donné  réduit  déjà  à  une  force  lt  appliquée 
en  un  punit  A  el  à  un  couple  situé  dans  un  plan  x  passant  par  le  point  \.  et  considérons  une  droite 
quelconque  \T  passant  au  point  A;  nous  allons  montrer  que  l'on  peul  réduire  le  système  a  deux 
forces  dont  l'une  soil  appliquée  sur  la  droite  AT. 


SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NTL 


Pour  apercevoir  ce  point,  il  suffit  de  remarquer  que  le 
plan  RAT  coupe  le  plan  -j.  suivant  une  droite  déterminée, 
A*,  que  l'on  peut  toujours  construire  un  parallélogramme 
dont  la  résultante  soil  dirigée  suivant  AT,  dont  l'un  des 
côtés  issus  de  A  soit  AR,  et  qui  ait  l'autre  dirigé  sui- 
vant A*;  soil  *  cette  force  ;  on  peut  remplacer  le  couple 
obtenu  antérieurement  par  le  couple  (*,  — *),  et  alors  la 
réduction  à  deux  forces  est  effectuée,  dans  les  conditions 
où  nous  voulions  qu'elle  le  fût  :  ces  deux  forces  sont  T 
et   —  <t>. 

Il  y  a  cependant  deux  cas  d'exception,  évidents  d'ail- 
leurs a  priori  :  le  cas  où  la  direction  imposée  AT  coïncide  avec  celle  de  la  résultante  générale,  et  celui 
où  la  direction  AT  est  dans  le  plan  du  couple.  Dans  le  premier  cas,  la  force  *  devrait  être  nulle  ;  dans 
le  second,  elle  devrait  être  infinie,  et  il  est  impossible  de  transformer  le  couple  de  façon  que  l'un  de  ces 
deux  résultats  soit  obtenu,  en  supposant,  comme  nous  l'avons  fait,  que  la  résultante  générale  et  le 
couple  ne  sont  nuls  ni  l'un  ni  l'autre.  Dans  le  second  cas,  la  droite  AT,  rencontrant  la  force  AR  et  les 
deux  forces  du  couple,  est  une  droite  de  moment  nul.  On  peut  donc  conclure  ainsi  :  étant  donnée  une 
droite  a  qui  n'est  pas  parallèle  à  la  résultante  générale  et  qui  n'est  pas  non  plus  une  droite  de  moment 
nul,  onpeut  toujours  remplacer  le  système  des  forces  par  deux  forces  appliquées,  l'une  sur  la  droite  A,  et 
l'autre  sur  une  droit'1  a'  qui  ne  rencontre  pas  la  première.  vSi  ces  droites  se  rencontraient,  le  système  se 
réduirait  à  une  force  unique,  ce  qui  n'est  pas  admis.) 

Ceci  n'est  possible  que  d'une  seule  manière.  En  effet,  si  l'on  trouvait  deux  systèmes  équivalents 
P,  P'  et  Q,  Q'.  tels  que  P  et  Q  fussent  appliquées  toutes  deux  sur  a,  les  quatre  forces  P,  — Q, 
P'  et  — Q'  seraient  en  équilibre  ;  or  ces  forces  se  réduisent  à  trois,  puisque  P  et  — Q  sont  sur  la 
même  droite;  d'autre  part,  elles  ne  se  rencontrent  pas,  puisque  P  et  P'  ne  se  rencontrent  pas  :  elles  ne 
peuvent  donc  être  en  équilibre  que  si  P  =  Q,  et  si  les  deux  forces  P'  et  Q'  sont  égales  et  appliquées 
sur  la  même  droite.  Par  suite,  si  l'on  se  donne  la  ligne  d'action  de  l'une  des  deux  forces,  la  réduction 
du  système  à  deux  est  parfaitement  déterminée.  Chacune  des  droites  a  et  a'  entraine  donc  l'autre.  Nous 
appellerons  ces  lignes,  lignes  d'action  conjuguées. 

3.  Propriétés  des  lignes  d'action  conjuguées.  —  1°  Deux  lignes  d'action  conjuguées  ne  se  rencontrent 
jamais. 

2°  Si  on  prend  un  point  A  sur  une  droite  A,  le  plan  du  couple  relatif  à  ce  point  et  mené  par  A 
passe  par  la  droite  conjuguée  de   a,  a'. 

3"  Le  plan  parallèle  à  deux  lignes  d'action  conjuguées  est  parallèle  à  la  résultante  générale,  et,  par 
suite,  à  l'axe  central. 

4°  La  perpendiculaire  commune  à  deux  lignes  d'action  conjuguées  est  perpendiculaire  à  l'axe 
central  et  rencontre  cette  droite. 

En  effet,  les  trois  premières  parties  résultent  de  ce  qui  a  été  dit  antérieurement  ;  quant  h  la  qua- 
trième, il  suffit  de  remarquer  que  cette  perpendiculaire  commune  étant  droite  de  moment  nul  pour  le 
système  total  et  pour  le  couple  de  la  réduction  relative  à  un  point  de  l'axe  central  est  aussi  droite 
de  moment  nul  pour  la  résultante  générale  appliquée  sur  l'axe  central. 

.'j°  Si  l'on  considère  deux  couples  de  lignes  d'action  conjuguées  a.  a'  et  D,  D',  ces  qualres  droites 
appartiennent  à  une  même  quadrique . 

En  effet,  toute  droite  qui  s'appuie  sur  a,  a'  et  D  est  droite  de  moment  nul  pour  le  système  total  ; 
elle  rencontre  donc  aussi  D',  et,  par  suite,  elle  engendre  une  quadrique  qui  contient  D  . 
Nous  allons  maintenant  étudier  la  distribution  de  ces  droites  dans  l'espace. 


Ï28 


SUR  LE  COMPLEXE  Dl  -  I [TES  DE  MOMENT  NUL 


\   Cei   effet,  prenons  trois  axes  de  c données  rectangulaires,  Oz  étantl'axe  central,  Ox  la  per- 
pendiculaire commune  à  deux  droites  conjuguées,  el  Oj/  une  perpendiculaire  au  plan  des  deux  autres. 

Désignons  par  1  el  a  les  abscisses  des  points  de  rencontre  de  Os 
avec  les  deux  lignes  d'action,  par  P  el  P  les  deux  forces  appli- 
quées sur  ces  droites  et  par  ',  »  les  deux  angles  que  font  leurs  di- 
rections avec  la  direction  de  •  >:.  ces  deux  angles  élanl  comptés  à 
partir  de  0:  el  lus  par  un  observateur  placé  sur  Oa;  ;  soient  enfin  H 
l'intensité  de  la  résultante  générale  ri  1;  le  momenl  du  couple 
résultanl  relatif  à  un  poinl  de  l'axe  central. 

>i  h,, us  projetons  les  forces  des  deux  systèmes  équivalents  sur 
il:  et  sur  Oy,  el  si  nous  prenons  les  moments  par  rapport  aux 
mêmes  axes.  non-  obtenons  les  quatre  équation» 

,     Pcosa      P'cos«'  =  R,  -Pxsina       Pa/  sin  a'  =  G, 

(3)  l 

I  —  P  sin  a  — P'sina'=  0,  Pxcosa+I'./   cos  a' =  0. 

Si  nous  calculons  successivemenl    P   el   1'    avec  les  équations  de  la  première  colonne,  puis  avec 
celles  de  la  seconde,  nous  obtenons,  en  égalant  1rs  valeurs  ainsi  trouvées, 


(*) 


*tS«  =  T; 


ces  deux  relations  expriment  nettement  la  réciprocité  entre  les  deux  lignes  d'action  conjuguées  ;  elles 
montrent  aussi  qu'un  plan  quelconque  perpendiculaire  à  l'axe  central  coupe  l'axe  central  et  les  deux 
lignes  d'action  conjuguées  en  trois  points  en  ligne  droite  ;  par  conséquent  une  droite  qui  glisse  sur  les 
trois  droites  engendre  un  paraboloïde  hyperbolique  droit  donl  les  plans  directeurs  sont,  l'un  perpen- 
diculaire à  l'axe  central,  el  l'autre  parallèle  aux  deux  droites  conjuguées. 

Lorsque  l'u les  droites  tourne  autour  de  son  poinl  de  rencontre  avec  Ox,  en  restant  perpendi- 
culaire à  cet  axe,  l'autre  se  déplace  en  restant  parallèle  à  elle-même  et  en  s'appuyanl  constamment 
sur  1  lx. 

Quand  x  tend  vers  0,    x1  augniente  indéfinimenl  :  les  équations  ■')  montrenl  que  P   tend  versO; 

on  arrive  au  cas  d'excepti léjà  signalé  où  la  ligne  d'action  donnée  est  parallèle  à  l'axe  central.  Au 

poinl  de  vue  géométrique,  on  peut  dire  que  la  ligne  conjuguée  d'une  droite  parallèle  à  la  résultante 
générale  esl  située  dans  le  plan  de  l'infini. 


Enfin  si  on  considère  une  droite  a  telle  que    xtga  = 


R 


elle  coïncide  avec  sa  conjuguée;  ces 


droites  particulières  onl  une  importance  exceptionnelle  ;  mais  au  point  de  vue  mécanique,  la  réduction 

corres] danteesl  illusoire,  car  les  formules  (3)  fournissent  alors  pour   P  el    1'    des  valeurs  infinies. 

.Nous  sommes  alors  dan»  le  second  cas  d'exception  qui  a  été  signalé',  puisqu'on  a 

Il  l  sin  x-     il  (  os  x  —  0, 

el  que  cette  équation  exprime  que,  par  rapport  à  la  droite  a,  la  somme  des  moments  esl  nulle. 

A.  Système-nul.  —  Nous  pouvons  étudier  maintenanl  le  système  des  droites  de  momentnul,que, 
pour  abréger,  nous  appellerons  ryslème-nul. 

Comme  une  droite  de  l'espace  dépend  de  quatre  paramètres  el  que  les  droites  d'un  système-nul  ne 

- ■  'iit  assujetties  qu'à  une  ,■ lition,  elles  dépendent  encore  de  trois  paramètres  :  il  3  a  donc  une  simple 

infinité  de  ces  droites  qui  passent  par  un  poinl  ou  qui  sont  dan»  un  plan,  et  une  double  infinité  qui  ren- 
contrenl  une  droite  fixe. 

Supposons  d'abord  que  le  système  des  forces  considéré  se  réduise  à  une  force  unique  ;  le  système- 
nul  esl  alors  formé  de  1  ou  les  les  droites  de  l'espace  qui  rencontrent  la  ligne  d'application  de  celte  force  ; 


SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NUL  229 

les  droites  qui  passent  par  un  point  engendrent  le  plan  formé  par  ce  point  et  la  ligne  d'action  de  la 
résultante  ;  celles  qui  sont  dans  un  plan  enveloppent  le  point  de  rencontre  du  plan  et  de  la  résultante. 

Supposons,  en  second  lieu,  que  le  système  donné  de  forces  se  réduise  à  un  couple  ;  le  système- 
nul  se  compose  alors  de  toutes  les  droites  parallèles  au  plan  du  couple,  c'est-à-dire  encore  de  toutes  les 
droites  qui  rencontrent  une  droite  rejetée,  cette  fois,  à  l'infini. 

Nous  appellerons  de  pareils  systèmes  des  systèmes-nuls  dégénérés. 

Plaçons-nous  maintenant  dans  le  cas  général, 'où  la  réduction  relative  à  un  point  quelconque  de 
l'espace  donne  naissance  à  une  résultante  et  à  un  couple  non  nuls. 

Considérons  alors  un  point  quelconque  A  ;  le  système  donné  peut  se  remplacer  par  une  force  égale 
et  parallèle  à  la  résultante  générale  appliquée  en  A  et  par  un  couple,  ou  bien  par  une  force  de  direction 
quelconque  appliquée  en  A  et  par  une  autre  force  située  dans  le  plan  perpendiculaire  à  l'axe  du  couple 
et  mené  par  le  point  A.  L'un  ou  l'autre  de  ces  modes  de  réduction  montre  que  les  droites  de  moment 
nul  qui  passent  au  point  A  sont  dans  le  plan  du  couple. 

Les  droites  du  système-nul  qui  passent  par  un  point  A  forment  donc  un  faisceau  plan. 

Considérons  maintenant  an  plan  quelconque  a  ;  nous  avons  vu  qu'on  peut  réduire  le  système  à  un 
couple  d'axe  perpendiculaire  au  plan  a  et  à  une  force  égale  et  parallèle  à  la  résultante  générale  ;  cette 
force  perce  le  plan  a  en  un  point  A;  par  suite,  les  droites  du  système-nul  situées  dans  un  plan  *  forment 
aussi  un  faisceau  du  premier  ordre. 

La  relation  qui  existe  entre  le  point  A  et  le  plan  a  est  visiblement  réciproque;  nous  dirons  que  le 
plan  m  est  le  plan  polaire  du  point  A  et  que  le  point  A  est  le  pôle  du  plan  *  par  rapport  au  sys- 
tème-nul. 

Si  le  point  B  est  dans  le  plan  polaire  de  A,  la  droite  AB  est  une  droite  de  moment  nul,  ets  par 
suite,  elle  est  aussi  dans  le  plan  polaire  de  B  ;  il  en  résulte  que  si  un  point  parcourt  une  droite  du  sys- 
tème-nul, le  plan  polaire  du  point  tourne  autour  de  cette  droite  ;  de  même,  si  un  plan  tourne  autour 
d'une  droite  du  système-nul,  son  pôle  se  meut  sur  cette  droite. 

Si  un  point  se  déplace  sur  une  parallèle  à  l'axe  central,  la  direction  de  l'axe  du  couple  résultant  reste 
invariable  ;  par  conséquent  les  plans  polaires  des  points  de  la  droite  restent  parallèles  à  un  plan  fixe  ; 
en  particulier,  les  plans  polaires  des  points  de  l'axe  central  sont  perpendiculaires  à  cet  axe. 

Examinons  maintenant  le  cas  où  le  point  se  déplace  sur  une  droite  quelconque  qui  ne  fasse  pas 
partie  du  système-nul  et  qui  ne  soit  pas  parallèle  à  l'axe  central;  soient  A  cette  droite  et  A  le  point 
mobile  ;  la  droite  a  a  une  conjuguée,  \,  et  les  droites  de  moment  nul  qui  rencontrent  a  rencontrent 
aussi  a'.  Le  plan  polaire  du  point  A  est  donc  le  plan  (A,  A').  Chacune  des  droites  A,  A'  est  ainsi  le 
lieu  des  pôles  des  plans  qui  passent  par  l'autre  et  l'intersection  des  plans  polaires  de  deux  points  quel- 
conques de  l'autre.  Quatre  plans  passant  par  une  droite  quelconque  A,  qui  ne  fait  pas  partie  du  système- 
nul,  ont  donc  le  même  rapport  anharmonique  que  leurs  pôles.  Cette  propriété  est  encore  évidente  si  les 
plans  considérés  sont  parallèles,  d'après  ce  qui  a  été  dit  plus  haut.  Nous  verrons  plus  lard  qu'elle  est 
encore  vraie  quand  les  quatre  plans  passent  par  une  droite  du  système-nul. 

Nous  nommerons  maintenant  les  deux  droites  a  et  A'  des  droites  conjuguées  simplement,  et  nous 
résumerons  la  plupart  des  résultats  précédents  en  disant  que  toute  droite  qui  s'appuie  sur  deux  droites 
conjuguées  appartient  au  système-nul  et  que,  réciproquement,  toute  droite  du  système-nul  qui  ren- 
contre une  droite  A  rencontre  aussi  sa  conjuguer  a  . 

Envisageons  plus  particulièrement  la  réduction  à  une  force  et  à  un  couple  relative  à  un  point  de 
l'axe  central  :  cette  réduction  nous  montre  que  le  système  de  forces  n'est  altéré  ni  par  une  translation 
dans  le  sens  de  l'axe  central,  ni  par  une  rotation  autour  de  cet  axe,  ou,  pour  parler  plus  exactement, 
que  l'action  du  système  de  forces  n'est  pas  changée  ainsi  ;  aucun  des  deux  mouvements  dont  nous 
venons  de  parler  ne  change  le  système-nul  dans  son  ensemble,  ce  qui  veut  dire  que  toute  translation 
parallèle  à  l'axe  central,  toute  rotation  autour  de  cet  axe  amène  une  droite  de  moment  nul  sur  une  autre 


380  SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NUL 


droite  de  moment  nul.  Il  en  résulte  que  si  Ton  connaît  la  disposition  des  droites  de  moment  nul  qui 
ren trenl  a  angle  droil  une  perpendiculaire  à  l'axe  central,  on  connaîtra  le  système-nul  toul  entier, 

a  peul  amener  toute  droite  de  momenl  nul  sur  une  do  celles-ci  par  une  combinaison  des  deux 
mouvements  permis. 

Prenons  pour  axe  des  z  l  axe  central,  pour  axe  des  x  une  perpendiculaire  à  cel  axe  el  pour  I  >;/  une 
perpendiculaire  au  plan  des  deux  premières  ;  désignons  pai  h  une  droite  du  système-nul  perpendicu- 
laire à  Ox,  par  i  sa  dislance  au  plan  des  yz  el  par  *  l'angle  qu'elle  fail  avec  Oz,  compté  à  partir  de 
0:  et  lu  par  l'observateur  placé  sur  Ox.  Si  nous  exprimons  que  la  somme  des  moments  de  la  résul- 
tante générale,  II.  el  du  couple  minimum,  G,  pai  rapporl  à  cette  droite  D  esl  nulle,  nous  avons  l'équa- 
lion  déjà  obtenue, 

(5)  *tga=  |; . 

qui  détermine  l'ensemble  des  droites  de  moment  nul. 

Si  l'on  amène  les  axes  centraux  de  deux  systèmes-nuls  à  coïncider,  ces  ensembles  de  droites  ne 
coïncider, .ni  que  si  le  rapporl  a  la  même  valeur  pour  les  deux  systèmes.  Ce  rapport  se  nomme  le 
parami  U  ■  du  système-nul  ;  il  ne  dépend  que  des  lignes  d'action  des  forces  données  el  des  rapports  de 
leurs  intensités.  C'esl  un  invariant,  dans  le  sens  que  nous  avons  antérieuremenl  attribué  à  celte  ex- 
pression, et  sa  valeur  à  l'aide  des  six  m, mines  fondamentaux  X,  Y,  Z.  !..  M,  N.  esl 

LX  -|-  M  Y  -i-  NZ 
V    h  Y2  +  Z-    ' 
il  suffit,  pour  le  voir,  de  calculer  la  projection  de  l'axe  du  couple   L,   M.  N    sur  la  résultante  générale 
X,  Y,  Z. 

L'ensemble  des  droites  de  moment  nul  qui  rencontrent  Ox  à  angle  droit  forme  un  système  réglé 

y 

du  second  ordre,  car  on  a  tg  *  =  — -.  et,  par  suite,  le  lieu  de  ces  droites  esl  le  paraboloïde  hyper- 
bolique droit     xy  =  — —  z,     rapporté  à  ses  deux  plans  directeurs  el  au  plan  tangent  au  sommet. 

Les  droites  de  momenl  nul  dont  la  distance  à  l'axe  central  esl  petite  sont  presque  perpendiculaires 
droite  ;  à  mesure  que  celle  distance  augmente,  l'angle  que  chacune  d'elles  fail  avec  l'axe  cen- 
tral diminue,  el  cel  angle  devienl  infiniment  petil  quand  la  distance  devient  infiniment  grande. 

Comme  dans  l'équation  du  paraboloïde  trouvé  précédemment,  les  axes  des  r  et  des  </  jouent  abso- 
lument l«'  même  rôle,  les  génératrices  des  deux  systè s  appartiennent  au  système-nul.  11  en  résulte 

que  les  plan-  polaires  des  divers  points  de  l'une  de  ces  droites  sont  les  plans  tangents  au  paraboloïde, 
ei  que,  par  conséquent,  quatre  plan-  passant  par  une  droite  du  système-nul  ont  même  rapporl  anhar- 
m [ue  que  leurs  quatre  pôles. 

L'étude  rapide  que  mms  venons  de  faire  nous  a  montré  que  les  six  éléments  analytiques  d'un 
système  de  forces  suffisent  à  déterminer  complètement  le  système-nul  qui  lui  correspond  ;  il-  ne  suffi- 
sent pas,  au  contraire,  à  déterminer  le  système  de  forces,  même  en  réduisanl  ces  forces  à  leur  nombre 
minimum.  Il  j  a  donc  un  certain  avantage  a  considérer,  au  lieu  d'un  système  de  forces,  le  système-nul 
qui  lui  correspond. 

5.  Relations  entre  deux  systèmes-nuls.  —  Chercl s  d'abord  si  deux  systèmes  nuls  ont  des  droites 

communes  el  quelles  sont  ci  -  droites.  Il  y  a  deux  cas  dans  lesquels  la  réponse  esl  évidente 

D'abord  dans  le  cas  de  deux  systèmes-nuls  dégénérés  ;  car  alors  il  esl  clair  que  les  droites  com- 
munes sont  toutes  celles  qui  rencontrent  les  axes  des  deux  systèmes  dégénérés. 

Ensuite,  dans  le  cas  où  l'un  des  deux  systèmes  nuls  esl  dégénéré,  car,  en  appelant  a  s. m  axe  i  I  a 
la  droite  conjuguée  de  a  dans  le  second  système-nul,  il  esl  visible  encore  que  les  droite-  communes 
sont  celle-  qui  rencontrent  a  et  '• 


SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  .MOMENT  NUL 


231 


Examinons  maintenant  le  cas  où  aucun  des  deux  systèmes-nuls  n'est  dégénéré.  Dans  ce  cas,  les 
ilcux  systèmes  ont  encore  des  droites  communes;  en  effet,  soit  a  une  droite  quelconque;  toutes  les 
droites  du  premier  système  qui  rencontrent  a  rencontrent  aussi  sa  conjuguée  4,  :  toutes  celles  du 
second  système  qui  rencontrent  a  rencontrent  aussi  sa  conjuguée  a,  dans  le  second  système  ;  les  droites 
communes  aux  deux  systèmes  et  qui  renconlrent  a  sont  donc  les  génératrices  du  système  réglé  qui 
admet  pour  directrices  A,  a,,  a,. 

Nous  allons  montrer  que,  pour  une  certaine  position  de  A.  les  droites  a,  et  a.,  coïncident,  c'est-à- 
dire  que  les  deux  systèmes-nuls  ont  deux  droites  conjuguées  communes. 

Pour  cela,  remarquons  que  s'il  y  a  un  couple  de  droites  conjuguées  communes  aux  deux  systèmes, 
A  et  a',  la  perpendiculaire  commune  à  ces  deux  droites  est  perpendiculaire  à  chacun  des  axes  centraux 
et  coïncide  avec  la  perpendiculaire  commune  à  ces  deux  axes.  Prenons  alors  cette  droite  pour,  axe 
des  a?,  et  pour  axes  des  y  et  des  :  les  bissectrices  de  l'angle  formé  par  les  parallèles  aux  axes  centraux 
el  menés  par  le  milieu  de  la  perpendiculaire  commune.  Appelons  a   l'abscisse  de  l'un  de  ces  axes  et 

u  l'angle  qu'il  fait  avec  Or.  .;■  el  .<■'  les  abscisses  des  deux  droites 
conjuguées  et  a  et  a'  les  angles  qu'elles  font  avec  0:.  En  désignant 
encore  par    K,     et    Iv,    les  paramètres  des   deux   systèmes-nuls 

Kl  =        i     K2  =    n2   ),     et   exprimant    successivement   que   les 


R,         "         R-,  . 

deux  droites  supposées  sont  conjuguées  par  rapport  aux  systèmes 
nuls  1  et  2,  nous  obtenons 


(fi) 


':<:  —  a)tg(aT  — w)=  K,, 
[x  —  a)  tg(a  —  to)=  Ki. 
(x  4-  a)  tg  (a  -}-  to)  =  K2, 
(ar'-ba)  tg(a  +w)  =  Kj. 


Fig.  3. 


Si  nous  éliminons  .r  ou  x'  entre  les  deux  équations  qui  la  con- 
tiennent,   nous  obtenons  deux   fois  la  même  équation  en  t,   pour 
donner  les  valeurs  de   tg  a    ou   de   Iga';   cette  équation  est 


(T)  [(K, 

en  posant     0  =  tg  tu. 


K,)  0  4- 2»YJ  4-  K,  — K2]  ;i  -t-  6*)f  4-  (Kj  -+-  Koi 


■  2«02 


u. 


et    ts 


et  les  équations   (6)  nous  donneront  alors  sans 


Nous  tirerons  de  là  les  valeurs  de    tj 
ambiguïté  les  valeurs  de  x   et  x'. 

Il  y  a  donc  toujours  deux  droites  conjuguées  communes,  réelles  ou  imaginaires;  d'où  la  consé- 
quence suivante  :  deux  systèmes-nuls  ont  en  commun  une  infinité  de  droites,  toutes  celles  qui  s'appuient 
sur  les  deux  droites  conjuguées  communes. 

On  peut  déterminer  géométriquement  ces  deux  droites;  il  suffit  de  se  rappeler  que  les  droites  du 
système-nul  qui  rencontrent  l'axe  central  sont  perpendiculaires  à  cet  axe:  par  suite  les  deux  droites 
conjuguées  communes  et  l'axe  central  du  premier  système  déterminent  un  paraboloïde  droit,  dont  l'un 
des  plans  directeurs  est  perpendiculaire  à  l'axe  central  et  l'autre  parallèle  aux  deux  droites  conjuguées 
communes,  c'est-à-dire  aux  deux  axes  centraux;  avec  le  second  axe  central,  elles  déterminent  aussi  un 
autre  paraboloïde  droit,  et  ces  deux  paraboloïdes  ont  en  commun  la  perpendiculaire  commune  aux 
deux  axes  centraux,  une  génératrice  à  l'infini  et  les  deux  droites  conjuguées  communes  aux  deux 
systèmes-nuls. 


Considérons  deux  systèmes-nuls  et  leurs  droites  conjuguées   a,  a',    et  coupons-les  par  un  plan   P, 


232 


SUR  LE  COMPLEXE  DES  DROITES  DE  MOMENT  NUL 


quelconque,  <]ni  rencontre  les  droites  conjuguées  en  H  el  l"> 
la  droite  BB  appartient  aux  deux  systèmes-nuls,  et,  par  suite, 
les  pôles  du  plan  P,  par  rapport  aux  deux  systèmes,  sonl  sur 
cette  droite;  soient  \  el  \  ces  points.  Si  le  plan  I'  se  déplace 
parallèlement  à  lui-même,  les  points  A  el  \  décrivenl  des 
parallèles  aux  résultantes  générales  des  deux  systèmes  de 
forces,  \li.  A  If.  Les  quatre  droites  a,a.\i:.a  l;  sont  donc 
sur  un  même  paraboloïde,  et,  par  suite,  le  rapporl  anharmo- 
nique  (AA  BB')  esl  constant;  il  esl  le  même,  en  particulier, 
que  celui  des  quatre  directions  de  ces  droites;  nous  v< 
donc  que  ce  rapporl  anharmoniquc  ne  dépend  pas  de  la  direction  du  plan  1'.  Au  surplus,  menons  par 
un  |„,jni  ii  des  parallèles,  Ox  el  Oy,  aux  deux  droites  a  el  a',  el  portons  sur  ces  droites  des  segments 
p  p  e|  <j  n  qUi  mesurent  pour  chacun  des  systèmes  les  intensités  des  deux  forces  qui  lui  sont 
équivalentes;  les  parallèles  aux  résultantes   générales  menées   par  le   poinl     0    auront   alors  pour 

'/         P1 
équations   —       -=j-i     - 


—  ;     le  rapporl  anharmonique  des  quatre  directions  a  donc  pour  valeur 


il  uc  dépend  que  des  rapports  des  forces  données  dans  chaque  système. 


P  Q 

Nous  pouvons  donc  énoncer  ce  Lhéorème  importanl  :  rimii  donnés  deux  systèmes-nuls,  les  pôles  il' un 

plan  quelconque  par  rapport  à  ces  deux  systèmes  et  les  points  de  rencontre  de  ce  plan  avec  les  deux  droites 

conjuguées  communes  sont  en  ligne  droite,  et,  en  outre,  le  rapport  anharmonique  de  ces  quatre  points  est 

indépendant  du  plan  choisi. 

Nous  verrions  de  même  que  si  on  considère  un  point  quelconque,  les  plans  polaira  de  ce  point  par 

rapporl  aux  deux  systèmes-nuls  el  les  plans  menéi  par  ce  point  et  les  deux  droites  conjuguées  communes 

passent  par  la  même  droite  et  que,  de  plus,  le  rapport  anharmonique  de  ces  quatre  plans  est  indépendant  du 

point  choisi  el  a  la  même  valeur  que  le  précédent. 

!>'         Q 
Dans  le  cas  particulier  où   — -  ■  -^-  =  —  1     ou  PQ'+QP'  =  0,     les  éléments  dont  nous  avons 

parlé  sonl  toujours  en  situation  haï  monique,  el  l'on  dit  que  les  deux  systèmes-nuls  sont  en  involution. 
L'équation  PQ  QP  0  exprime  que  la  somme  des  moments  des  deux  forces  P  el  P  par  rapporl 
aux  forces  Q  el  Q  esl  nulle.  On  démontre  d'ailleurs  aisément  que  la  somme  des  moments  des  forces 
d'un  système  par  rapport  aux  forces  d'un  autre  systèmene  change  pas  si  on  échange  les  deux  systèmes 
entre  eux  el  si  on  remplace  l'un  ou  l'autre  par  un  système  équivalent.  f>n  trouve  sans  peine  que 
l'équation     PQ'  ;  QP       0     peul  s'écrire 

\I.--YM       ZN'+X'L  +  Y'M-t-Z'N  =0. 

Si  l'on  considère  tous  les  systèmes  de  forces  obti  nus  en  portanl  deux  forces  P  et  I"  sur  deux  droites 

ées   a   el    a,   on  obtient  une  infinité  de  systèmes-nuls  dépendant  d'un  paramètre  variable    ,   el 

avant  évidemment  deux  droites  conjuguées  c t s,  les  deux  droites  a  et  a'  ;  parmi  eux  il  y  a  deux 

systèmes-nuls  dégénérés  :  l'un,  ayanl  pour  axe  i,  et  qui  correspond  à     P'  =  0;     l'autre,  ayant  pour 
axe  a',  el  qui  correspond  à    P  =  0. 

Si  l'on  con  mes  de  forces  obtenus  en  portant  trois  forces  quelconques  sur  trois 

droites  données    a,,   a,.    a;,    il   leur  correspond  une   infinité  de  systèmes-nuls  qui  dépendent  de  deux 
paramètres,  les  rappoi  ts  de  deux  des  forces  a  la  troisième  ;  parmi  ces  systèmes  de  forces,  il  y  en  a  une 

infinité  qui  se  réduisent  à  une  force  uniq lirigée  suivanl  l'une  des  génératrices  du  même  système  que 

les  droites  données  de  la  surface  du  second  degré  qu'elles  déterminent  ;  à  chacun  de  ces  systèmes 
parti,  i  me-nul  dégénéré,  il  j  a  donc,  dans  l'ensemble  à  deux  paramètres  des 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


m 


systèmes-nuls  que  nous  avons  ainsi  définis,  une  infinité'  de  systèmes-nuls  dégénérés  dont  les  axes  for-^ 
ment  les  génératrices  d'un  système  d'une  quadrique.  Il  est  visible  que  les  génératrices  de  l'autre  système 
sont  des  droites  de  moment  nul  communes  à  tous  les  systèmes  de  forces  et,  par  suite,  appartiennes  à 
tous  les  systèmes-nuls  correspondants. 

Considérons  enfin  trois  systèmes-nuls  correspondants  à  trois  Systèmes  de  forcés  donnés  :  »n  peu(, 
d'une  infinité  de  manières,  remplacer  les  trois  systèmes  de  forces  chacun  par  trois  forces  appliquées 
suivant  les  trois  mêmes  droites  ;  il  en  résulte  que  trois  systèmes-nuls  ont  en  commun  toutes  les 
génératrices  d'un  même  système  d'une  quadrique,  au  moins.  11  serait  facile  de  montrer  qu'ils  n'ont  pas 
d'autres  droites  communes. 

Les  systèmes-nuls  que  nous  rencontrons  ainsi  en  statique,  sont  étudiés  en  géométrie  analytique 
sous  le  nom  de  complexes  linéaires.  11  nous  a  paru  utile  de  les  étudier  au  point  de  vue  mécanique  et  de 
compléter  ainsi  les  notions  que  l'on  donne  aujourd'hui  aux  élèves  de  mathématiques  spéciales  sur  la 
réduction  des  forces  appliquées  à  un  corps  solide. 

Noie  de  la  rédaction.  —  Les  lecteurs  qui  seraient  désireux  d'approfondir  l'élude  des  complexes  linéaires 
pourront  consulter  avec  fruit,  parmi  les  ouvrages  les  plus  récents  qui  s'occupent  de  cette  question,  le  premier 
volume  de  Cinématique  de  M.  Kœnigs,  la  Géométrie  réglée,  du  même  auteur,  ainsi  qu'une  brochure  de  M.  Fourel, 
intitulée  Notions  géométriques  sur  1rs  complexes  et  les  congruences  de  droites. 


GEOMETRIE    ANALYTIQUE 


399.  —  On  considère  nu  cercle     C)    de  rayon  un,  et  sur  ce  cercle  mie  origine  d'arcs,    A,    et  un  sens 

1 
positif;  mi  prend  sur  le  cercle  (C)   un  point    M    et  un  point   M    tels  que    arc  AM  =  —  arc  AM.      On 

demande  : 

1°  De  déterminer  les  points  M'  par  l 'intersection  du  cercle  et  d'une  hyperbole  équilalère  11.  iiijnnl  l'un 

de  ses  u.res  parallèle  nu  dinmèlre  i/ni  /msse  en    A; 

-2°  De  dire  quels  sont  les  points  de  rencontre  du  cercle  <i  de  l'hyperbole. 
Cela  fuit,  mi  fuit  varier  l'nre  A  M  et  on  demande  alors  : 

3° De  trouver  le  l'un  du  centre  de  l'hijperbole    H.    et  le  lieu  des  centres  des  coniques  singulières  qui 
passent  par  les  points  de  rencontre  de  (C)  et  de  II  ; 

4°  De  former  l'équation  de  l'enveloppe  de  ces  coniques  singulières  el  de  construire  cette  courbe; 
5°  De  trouver  le  lieu  des  sommets  de  II  ; 

6°  De  déterminer  l'enveloppe  de  la  droite  «M,   qui  joint  le  centre  de   II   nu /mini    M,   et  de  construire 
relie  courbe  ainsi  que  les  précédentes. 

Prenons  pour  axe  des   x   le  diamètre  du  cercle  qui  passe  au  point   A,    et,  pour  direction  positive 
sur  cet  axe,  la  direction    OA  ;    prenons  pour  axe  des    y    le  diamètre  perpendiculaire  au  précédent,  et, 

pour  direction  positive  sur  cet  axe,  la  demi-droite  0</,  qui  fait  avec 

Ox   l'angle    h Dans  ce  système  d'axes,  l'équation  du  cercle 

donné  est     a?2  — (—  y2  —  1  =  0,     et  les  coordonnées  du  point    M    son! 
cos  a  et  sin  a,  en  désignant  par  *  l'un  quelconque  des  arcs  AM. 

1°     Les    coordonnées     de     l'un    des    points     M'     sont     alors 
a;  =  cos  —    et    y  =  sin  —  i     <■(  les  relations  qui  les  unissent  sont 

données  parla  formule  de  Moivre, 

(x  -+-  iij  '  —  cos  -i   ■.   i  sin  ■'. 


I  :;  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


Celle  équation  se  décompose  en  deux  autres, 

;        :;  ;  :,  '       cos  a, 
,  —  y3  =  sin  ï, 
et,  parmi  les  solutions  communes  à  ces  deux  équations,  celles  qui  appartiennent  au  cercle    <       y'  =  1 
fournissenl  les  coordonnées  des  trois  points  M 

Si  l'on  multiplie  la  première  équation  par  x,   la  sei le  par  y,  el  qu'on  ajoute  les  résultats  ainsi 

obtenus,  on  trouve  l'équation 

x'  —  y4  =  a;  cos  a      y  sin  ■/. 

qui  représente  une  courbe  passanl  aux  trois  points    M  .    Il  n'j  a  plus  qu'à  remplacer  dans  le  premier 

membre  de  celle  équalion  le  facteur    .<•-'  -k-y*    par  I .  pour  obtenir  l'équation  de  l'hj  perbole  indiquée, 

Il        i        1/ '      x  cos  v      v  sin  ■/       0 

2"  Les  points  de  rencontre  de  cette  hyperbole  avec  le  cercle  sont  :  d'abord  les  trois  points  M  ,  qui 

sont  les  sommets  d'un  triangle  équilaléral    M  M, M.    puis  le  point    x  =  cos  a,     y  —  ■    sin  a,     qui  esl 

en  évidence  sur  l'équation     II       0,     et  qui  est  le  poinl  M„.  symétriquede  M  par  rapport  à  l'axe  des   v. 

3"  Les  coordonnées  du  centre  de  l'hyperbole  sonl  données  pai  les  deux  équations 

dh  dtt  _ 

dx  ihj 

ou  2ar — cos  a  =  0,  ->/      sina  =  0. 

L'élimination  de    -•   entre  ces  deux  équalions  esl  immédiate  et  donne  l'équation  du  lieu  du  centre, 

1  **+</  =  4-; 

1 

cette  iM|ii:iliiiii  représente  un  cercle  cniii'i'u i 1  i< pi  1  '  au  cercle  proposé  el  ayant  pour  rayon  — ■    En  outre, 

il  n'y  a  qu'à  se  reporter  aux  équations  ilu  centre  pour  voir  que  le  centre  il"  l'hyperbole,    w,    esl  au 
milieu  de  OM, . 

Les  coniques  singulières  qui  passent  aux  points  de  rencontre  de  l'hyperbole  II  =  0  el  du  cercle 
C  =  0  sonl  des  coniques  particulières  du  faisceau  11  +  XC  =  0,  celles  qui  ont  un  poinl  double  ;  or 
"ii  exprime  que  la  conique  II  .  >C  =  0  a  un  poinl  double,  en  exprimant  que  les  trois  dérivées 
partielles  du  premier  membr H  une  solution  commune  ;  on  obtient  ainsi 

ir  —  eus  SC -H  ïl.u  =  0, 

—  iy  —  sin  y.  -+-  i)  y  =  l), 
X  COS  H    y  sin  -/  +  2X  =  0, 
'•I  il  n'\  a  plus  qu'à  éliminer    /   el    >    entre  ces  trois  équations  pour  avoir  le  lieu  du  point  double  :  les 
deux  premières  donnent     cos  a  =  2(X  ■+■  l)ar,     sin  a       2/       \)y  ;     en  porlant  ces  valeurs  dans  la  der 

,<2 x'1  2l/S     1      I  <■>}■'- I 

mère  équation,  on  obtienl     l  =  ~ — ; — ;    delà léduil     /.-*  I  —  -     l  —  1  =  — : 

y2-t-l  1  v'+l 

il  snl'iii  alors  d'exprimer  que    coss  «  +  sin-  %--   I,     pour  avoir  le  lieu  demandé. 
1  ''  quation  de  ce  lieu  peul  s'écrire  sous  deux  formes  également  simp!<  s  : 
(    16a?y  1        v        2)_(a;2  +  ys  -  |)a  =  0, 

/     '        v'     '        •>'      1        (■■—   î/!        '-  )  x  -■-,/        I  '  =  0. 


1  ■  -  deux  équations  montrenl  que  la  courbe  admel  pour  axes  de  symétrie  les  deux  axes  de  cooi 

:l !es  et  les  bissectrices  de  l'angle  des  axes;  la  première  montre  ei Ire  que  cette  courbe  admet 

quatre  points  doubles  sui  le  cercle  1    ans  points  où  les  axes  le  renconlrenl  1  1  deux  à  l'infini  sur  ces  axes 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  233 


eux-mêmes;  la  seconde  montre  de  même  que  lacourbe(2)admel  quatre  points  doubles  imaginaires  situés 
sur  le  cercle  a?2  +  i/2  +  1=0  aux  points  où  les  bissectrices  des  axes  le  rencontrent.  Cette  courbe, 
qui  est  du  sixième  degré,  admet  donc  son  nombre  maximum  de  points  doubles,  et,  par  suite,  elle  est 
unicursale.  Rien  n'est  plus  aisé  d'ailleurs  que  de  trouver  les  coordonnées  du  point  courant  de  ce  lieu 
en  fonction  rationnelle  d'un  paramètre.  En  effet,  revenons  aux  équations  qui  donnent  le  point  double, 

COS  a  sin  a 

et  tirons  des  deux  premières    x  =  -7: —  i    y  =  —7? —  ;    puis  portons  ces  deux  valeurs  dans  la 

2(A-M)  2(a  —  1) 

dernière  ;  nous  aurons 

cos-  a          sin2  a 
1 h  2a  =  0  • 

2(X+1)^2().-1) 

cette  équation,  combinée  avec  la  relation    cos2  a -t- sin2  a  =  1,     donne  les  valeurs  de  cos2  a  et  sirr  z, 

cos2  a  sin2  a  I 


(2a  —  1)s(a  -+-  1)       (2a  +  1)2(1  —  a) 
On  déduit  immédiatement  de  là 

/TT1 


cosa  =  y-l-(2A-l) 


v/V^-* 


1); 


2), 
puis, 


2V/2(X  +  1) 
2X-4-1 
U  ~  2/2(1 -X)' 
Si  maintenant  l'on  pose    2(X  -+- 1)  =  4  cos2  9,     on  obtient  de  suite    2(1  —  a)  =  4  sin2  o  ;     et,  par 
suite,  les  valeurs  de  x  et  de  7  prennent  les  formes 

4  cos2  <p  —  3 


y  =  ± 


4  cos  tp 
4  cos2  9  —  1 


4  sin  <p 
dans  lesquelles  les  doubles  signes  sont  indépendants  l'un  de  l'autre.  En  prenant  maintenant,  comme  on 

le  fait  habituellement,  pour  paramètre  variable,     t  —  tg-?-,    les  valeurs  de   x  et  de   y   prennent  les 
formes  rationnelles 

_  _,_4(i  —  t2f— 31  +  /-.-' 

4(1  —  r4) 

4(1  —  /-'/--  (1  +  /J  J 


J  8/(1  +  /2) 

Il  est  facile  de  voir  alors  que  la  combinaison  h — h  suffit  à  représenter  toute  la  courbe  ;  car-,  par  le 

changement  de  /  en  — /,  elle  donne  la  combinaison  -+-  — ,  par  le  changement  de  /  en  — 1  lacombi- 

\ 

naison  —  -+-,  et  par  le  changement  de  /  en 1   la  combinaison  —  — .    La  courbe  est  donc  repré- 
sentée entièrement  par  les  deux  équations 

«*  —  14«2-t-l 


4(1  —  /'  ) 
(3)  { 

_  3/1  — 10/2-)-3 

V  ~       8<(1  -H  I2)     ' 

et  il  ressort  des  deux  premières  remarques  que  nous  venons  de  faire  que  celte  courbe  esl  symétrique 
par  rapport  à  Ox  cl  à  0;/,  et,  qu'en  tenant  compte  de  ces  symétries,  il  suffit  de  faire  varier  /  de  0  à  1, 


236 


'.I  OMl  ll;ll.    ANALYTIQUE 


et  de  construire  la  porlion  de  courbe  correspondante.  Les  variations  des  deux  fonctions   x   et    '/.   dans 
l'intervalle    0,   I  ,    sonl  très  faciles  à  étudier  ;  si  Ion  \  adjoint  celle  propriété  que  la  courbe 


aie  extérieurement    au   cercle     x1 


T 


I 


points  où  les  bissectrices  des  axes  le  rencontrent,  propriété 

évidente  sur  la  s»c le  équation    -2.   la  i be  se  trace 

immédiate ni    voir  la  figure  ci-contre  . 

4°    Désignons    maintenant     par      ux  \-vy      w  =  0, 
ii     les  deux  droites  en  lesquelles  se  dé- 
compose   l'une    des    coniques    impropres    du     faisceau 
M  -h  ÀC  =  0  ;     nous  aurons  l'identité 
x2 —  >/2  —  x  cos  •/■  —  v  sin  /-  —  1) 

=  ((/./•  —  nj  -+-  u 
qui  équivaut  aux  six  égalités 
»'/'    -  1+'/,  vv'  =  —  1  -i- X,  _  n, 

COSa,  VU        WV    —  — Mil  J-.  ii'ir'  =  — X; 

il  nous  suffira  d'éliminer  »,  u',  w',    >  »t  ■>■  entre  ces  six  équations  pour  avoii   l'équation  langentielle 

de  l'enveloppe  de  la  droite     ux      vy-\-to  =  0. 

I    •  >  ,      1  —  1 

Or  lt"-  deux  premières  nous  donnenl     u        —   -■  v  =  - .     cl  la  troisième  devienl   alors 

><  v 

X 

—  :     puis,  en  expri- 


»j  =  0  : 


l  a  dernière  donne 


niant  qi os2  a-t-  sin2  »  =  1,     la  quatrième  el  la  cinquième  il lenl  la  relation 

mr  |  ,rr    -'   =    1, 

où  il  mi  Hit  de  porter  les  valeurs  que  l'on  vienl  d'assigner  à  »,  v .  w  .  pour  obtenir  l"équal le  l'enve 

loppe.  Cel  Le  équal  ion  esl 

i  \w      u  =  0; 


di  compose  en  deux, 

1 


-  r-  — 'ur-  =  0,    qui  représente  un  cercle  concentrique  au  cercle  C  el 

de  rayon  —  ■   el   nue  courbe  de  quatrié ilasse,      u2  —  i>2)2  —  io-(ur  +  v3)  —  0.     La  première  esl 

l'enveloppe,  évidente  »  priori,  des  côtés  du  triangle  équilaléral  M  Wi.M'  :  la  s ide  esl  l'enveloppe  des 

droites  M0M';   M  Mi.   M  M' .   Si  l'on  fait  tourner  les  axes  de  15°  autour  de  l'origine,  la  seconde  équation  se 

t             I             i 
transfon m  0,     et,   sous  cette  for ,  on  reconnaîl   l'hypocvcloïde   a   quatre 

II-  r  IV  .1.1 

rebroussemenls  qui  c ispond  à  la  longueur    /       2.     Celte  deuxiè courbe  esl  donc  l'enveloppe 

d'une  droite  de  longueui  constante      /       i  .    donl  les  deux  extrémités  glissenl  sur  les  bissectrices  de 
1  angle  des  axes.  C'esl  une  courbe  bien  connue  :  nous  ne  nous  arrêterons  pas  à  la  construire. 
5    Les  axes  de  l'hyperbole     II  =  u    ont  pour  équations 

<n\  _  ô\\ 

dx  dy 

1111  2a; —  cos  *  =  0,  -</      sin  x  ■=  0. 

En  éliminant  successivemenl    »    entr -  deux  équations  el  l'équation     II  —  u.     on  oblienl  les 

deux  lieux  d»  sommets 

\{x-  +  i  lxiyi-Vi  =  0, 

■' 

<      -  0. 

,;i  d'eux  esl  une  i be  fen -  sj trique  par  rapport  aux  deux  axes  'I»  coord lées  .  ils 

sont  d'ailleurs  symétriques  l'un  de  l'autre  par  rapport  aux  deux  bissecdi»»s,  »|  il  mi  Un  a  il»  cnnsiiuir. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


c231 


la  portion  du  premier  qui  est  dans  le  premier  angle  des  axes.  Or  la  première  équation  (5)  peut  s'écrire 

(x-  -+-  >/  —  y)(.r2  -+-  y2  -+-  y)  +  4x2;/2  =  0  ; 
sous  cette  forme,  on  voit  que  la  portion  envisagée,  qui  est  à  l'extérieur  du  cercle    x2  +  y*-+-y  —  0, 
est  forcément  à  l'intérieur  du  cercle    x-  4-  y2  —  y  =  0,    et  que  de  plus  elle  touche  ce  cercle  aux  points 
où  il  est  coupé  par   Oy.   L'équation  de  la  courbe,  successivement  envisagée  comme  une  équation 
bicarrée  en   y    ou  en   x,    nous  montre  aisément  que    y   a  deux  valeurs  réelles  et  positives,  tant  que 


a;  <      ~—,     et  que   a;   a  une  valeur  réelle  et  positive, 
)/<!.     Cette  portion  de  courbe  est    alors 


8/1 
tant  que 

aisée  à  construire  :  c'est  une  demi-ovale.  I><s  symétries 
signalées  permettent  d'achever  la  construction  du  lieu 
total  des  sommets. 

6°  La  droite  i»M  a  pour  équations 
.'/  1 

1 


cos 


ou 


sin  a 

-  sin  a     -2, 
'I 


n 


—  2  =  0: 


cos  * 
3.r 

COS  a        sin  '/ 

les  coordonnées  tangentielles  de  celle  droite  son!  di in- 
nées par  les  égalités 

1  e*  =  -s, 


et,  en  éliminant  entre  elles   %   et   6,    on  a  sans  peine  l'équation  langentielle  de  l'enveloppe  de  cette 

droite, 

'J  1  A     _ 


C'est  la  développée  d'une  ellipse  ayant  pour  axes   Ox   et   0;/    et  pour  longueurs  de  ses  demi-axes 

—  et  — 
'.  4  ' 

Solution  géométrique. 

1°  et  2°  On  apprend,  en  trigonométrie,  que  les  arcs  qui  sont  les  tiers  de  ceux  ayant  une  extrémité  donnée, 
M,  ont  trois  extrémités  sur  le  cercle  trigonométrique,  aux  sommets  d'un  triangle  équilatéral  dont,  l'un  des  som- 
mets est  au  tiers  de  l'arc  ordinaire  A  M,  h  partir 
de  l'origine  A.  Toutes  les  hyperboles  équilatères 
circonscrites  à  ce  triangle,  M'MiM'2,  passent 
aussi  au  point  de  concours  des  hauteurs  de  ce 
triangle,  qui  est  ici  le  centre  0  du  cercle  donné. 
Le  quatrième  point  de  rencontre  du  cercle  avec 
celle  de  ces  hyperboles  qui  a  un  axe  parallèle  à 
OA,  s'obtient  en  menant  par  le  point  ~S\'.  une 
droite  Ma'M0,  qui  fasse  avec  Ox,  et  en  sens  con- 
traire, le  même  angle  que  celui  que  donne  la 
première  corde  M'Mi.  Cela  va  nous  permettre  de 
fixer  simplement  la  position  du  point  M0.  Bor- 
nons-nous, pour  abréger,  à  envisager  le  cas  de 
figure  qui  correspond  aux  inégalités 


B 

_M2 

U[y 

K 

/  \      \M 

-4L  \  x  n\ 

//l  \/pwi 

,M' 

u/ 

A' 

0/ 

\\\!/  \  ' 

)a 

7r^ 

/ 
/ 

r- 

/ 
i 

\\y  \  i 

/* 

^r~ 

MT^ 

B' 

0  <  AM<  —  ; 


nous  avons  alors  en  valeur  absolue 

angle  MJNMi  =  double  de  angle  de  M'M',  avec  OA, 


238 


Gl  0M1  ll;ll     S.NAI  i  flQl  E 


M   M  M   M  2   \  M, 


A  M 


ou  enfin 


3 


3  \3  3  3    /' 

et,  par  suite,     \.M         \M.     Le  point   M    est  donc  le  symétrique  de   M  par 


pai  conséquent,     M  M 

i  apport  a  OA 

3   Pour  avoir  le  centre  de  cette  hyperbole  H,  il  faut  déterminer  au  moins  deux  diamètres  de  celle  courbe  ; 

i 9  allons  chercher  ceux  qui  sonl  relatifs  aux  divers  côtés  'lu   triangle  équilatéral,  par  exemple  celui  qui  esl 

conjugué  des  cordes  parallèles  à  MM,.  A  cet  effet,  remarquons  que  l'hyperbole  passe  aussi  .ni  poinl  de  concours 
des  hauteurs  «lu  triangle  •  >M  M  ;  <v  poinl  11  esl  déterminé  par  les  deux  droites  •  >1 1  el  M.  Il  respeclivemenl  parai 
lèles  a  MM  el  MM,  :  le  diamètre  cherché  esl  donc  la  droite  l.l  qui  joinl  les  milieux  des  cordes  parallèles,  M'M'i 
el  M  II;  mais  cette  droite  esl  êquidistante  des  deux  parallèles  MM,  el  OH;  donc  elle  passe  au  milieu,  to,  de 
1 1\|  .  Les  deux  autres  diamètres  donl  nous  avons  parlé  j  passent  aussi  ;  donc  ce  poinl  esl  le  centre  de  l'hyper 

bule  II.  l.i'  lieu  «le  ce  centre  esl  donc  le  cercle  de  centre  0  el  de  i a yn  —  • 

3  uite  .  Pour  oblenir  le  lieu  des  centres  des  coniques  singulières  passanl  aux  quatre  points  M  M.  M,,  M'., 
il  faut  trouver  le  lieu  du  poinl  de  rencontre  des  deux  droites  MoM's  el  M'M,.  Ce  lieu  esl  du  sixième  ordre.  En 
effet,  soienl  a  nue  droite  quelconque,  el  I',  Q  les  points  où  elle  esl  rencontrée  respectivement  par  les  cordes 
M  M;.  MoMj  ;  cherchons  la  correspondance  qui  existe  entre  les  points  I'  et  Q.  Remarquons,  pour  cela,  que  par  le 
poinl  I'  passenl  deux  droites  telles  que  M'M',,  les  tan -.'en  te  s  au  cercle  de  rentre  0  el  de  rayon  — ;  à  chacune 
d'elles  correspond  une  droite  unique  telle  que  MAI,.;  donc  à  tout  point  P  de  la  droite  a  correspondent  deux 
points  Q.  A  iiiut  poinl  Q  de  a  correspondent  quatre  points  P;  car  nous  allons  montrer  bientôt  que  l'enveloppe 
de  M;,M  i'st  de  quatrième  classe;  il  y  a  donc  quatre  droites  de  ce  genre  qui  passent  au  poinl  (j.  el,  à  chacune 
.1  elles  correspond  une  droite  unique  telle  que  M'M',.  La  correspondance  entre  les  points  P  et  Q  esl  donc  i,  .'  ; 
ri--  deux  séries  mil  six  points  doubles  el  la  droite  a  rencontre  le  lieu  cherché  en  si\  points.  I.e  poinl  N,  qui 
décrit  le  lieu  esl  rejeté  à  l'infini,  quand  les  deux  droites  M  Mi,  MM,,  sonl  parallèles,  ce  qui  n'arrive  que  -i  elles 
sont  parallèles  à  ha,  ou  à  la  direction  perpendiculaire  OB.  Ce  -mil  donc  les  seules  directions  asymploliques 
réelles.  D'ailleurs  comme  l'ordonnée  du  point  N  est  toujours  la  demi-somme  des  ordonnées  des  points  K  el  L 
mi  les  deux  cordes  rencontrenl  <  IB,  a  la  limite,  quand  le  point  N  est  à  l'infini  dans  la  direction  OA,  celte  ordon 
née  esl  +-r  ""  ~~r'  "  >  a  ''"",'  deux  asymptotes  parallèles  à  OA;  de  même  deux  parallèles  à  OB. 
lui  m  mi  m 'it  -ans  peine  (pie  les  points  A,  A',  I>,  P'  sont  des  points  doubles  du  lieu,  et  que  le  lieu  e-i  symétrique 
pu  rapport  à  OA,  ni:  ri  aux  <\f\w  bissectrices  de  l'angle  OA,  OR  . 

4°  L'une  des  coniques  singulières  passant  aux  quatre  points  Mu,  M',  M,,  M.  est  formée  par  le  couple  de 
droites  Mi  M'  el  M  M  .  I ,'enveloppe  de  la  droite  M, M'  est  évidente  a  priori  :  c'est  le  cercle  ayanl  pour  centre  0  el 

i 
pour  rayon    — • 

Quant  a  l'enveloppe  de  M,  M'  elle  est  plus  difficile  à  apercevoir.  Faisons  une  nouvelle  ligure  el  désignons 
maintenant  cette  droite  pai  BC  ;  c'esl  une  corde  du  cercle  telle  que  le-  aies  AC  ri  \|;  soienl  de  signes  contraires 

et  (pie  |  Al!  =  3  \  \C  .  Considérons  alors  une  seconde  roule  infini- 
menl  voisine  de  PC,  B'C,  el  désignons  par  M  le  poinl  où  elle  remontre  la 
première  ;  le-  deux  droites  PI'.',  ('('.  sonl  anti-parallèles  par  rapporta 
l'angle  M  ;  le-  deux  hî. mules  MPI'.'  et  MCC  sonl  semblables,  el  l'on  a, 
à  la  limite,     MB  =  3MC;    donc  MO  esl  la  moitié  de   PC.    Décrivons  alors 

on  cercle  langenl  extérieure ni  au  cercle  donné  en  c  el  passanl  en  M  ; 

I 
ce  cercle  a  p rayon   — ■    Décrivons  maintenant  nu  autre  cercle  ayanl 

poui  centre  i'1  | I  0  el  tangent  intérieuremenl  au  m  un  cm  cercle  ;  il  a 

un  rayon  double  du  cercle  donné,  quadruple  du  cercle  décrit  sur  CD 
comme  diamètre, 

Il  e-i  alors  évident  que  la  longueur  de  l'arc  DM  esl  moitié  de  celle  de 
l'arc  PP  ou  de  celle  de  l'an-  CI1  ;  -i  do  ne  .m  mène  le  rayon  OHG,  tel  que 
l'arc  cil  -mi  le  quarl  de  ci',   ['arc  corresp lanl  PC,  sur  le  cercle  exté- 

Ci-  =tz-  AC  -  ,Qi  -  -        ,  \l    ;     par  -mie      1;L  =    V         \( 

4  4 


rieur ,  a   même    longueui    que   l'arc    DM.   ■  >r 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE  230 


/-.       c"F 
l'arc   AH.   qui  est  égal  à     AC  +  -7-1    est  donc  égal  à    — ,    et  le  point  G   est  (i\e  sur  le  cercle  de  rayon  2;  la 

longueur  de  l'arc  DG  étant  la  même  que  celle  de  l'arc  DM,  il  en  résulte  que  le  cercle  décrit  sur  DC  comme 
diamètre  roule  intérieurement  sans  glisser  sur  le  cercle  de  rayon  2  et  que  le  point  M  décrit  une  hypocycloïde  à 
quatre  rebroussements  dont  le  point  G  est  l'un  des  points  de  rebroussements.  Telle  est  l'enveloppe  de  la  droite 
MbM'. 

5"  II  est  facile  de  donner  une  délinition  géométrique  simple  du  lieu  des  sommets.  \  uir  la  première  figure.) 
Considérons,  par  exemple,  les  sommets  situés  sur  l'axe  parallèle  à  <  »B.  Soit  wR  cet  axe  ;  en  appelant  0  la  distance 
de  l'un  de  ces  sommets  au  point  oj.  on  a  o2  =  u>R~  —  OR"  ;  les  deux  sommets  se  construisent  donc  en  décri- 
vant du  point  R  comme  centre,  avec  RO  comme  rayon,  un  cercle,  en  menant  du  point  u  une  tangente  à  ce  cercle 
et  en  rabattant  cette  longueur,  de  part  et  d'autre  de  u,  sur  u>R.  On  construit  ainsi  le  lieu  par  points  d'une 
manière  très  aisée  et  on  reconnaît  facilement  toutes  ses  particularités.  11  \  a  un  second  lieu  tout, à  fait 
pareil  à  celui-ci,  relatif  au  second  axe  qui  est  parallèle  à  OA,  et  symétrique  du  précédent  par  rapport  aux 
bissectrices  de  l'angle  AOB. 

6"    Cliercbons   pour   terminer  l'enveloppe  de  u>M.   A  cet   effet,  désignons  par  x  et  ;/  les  coordonnées  du 

point  M,  par  \  et  Y  celles  du  milieu  de  toM,  du  point  G;  on  a  évidemment    X  =  — ,    Y  =  — :     par  suite   le 

4  4 

lieu  du  point  G  est  l'ellipse      -Â-  +  -r-  =  TT'     'L'  cerc'e  homographique  correspondant  est  le  cercle  concen- 

3 
trique  au  cercle  proposé  et  dont  le  rayon  est    —  ;    le  point  qui  a  pour  projection  le  point  G  est  le  point  G'  situé 

3 

aux    —    de  OM,  à  partir  de  0  ;  la  tangente  à  ce  cercle  en  G'  est  GT  perpendiculaire  à  OM  en  G'  et  la  tangente 

à  l'ellipse  est  la  droite  TG.  Comme  le  point  G'  est  équidistant  de  M  et  du  milieu  <>/  de  OM,  les  deux  lon- 
gueurs TM  et  Ta»'  sont  égales  ;  or  To>  =  Tw',  par  raison  de  symétrie  ;  donc  Tu>  =  TM,  et  la  droite  TG  est 
perpendiculaire  à  wM.  11  en  résulte  que  uiM  est  la  normale  à  l'ellipse  que  décrit  le  point  G,  et  que,  par  suite, 
elle  enveloppe  une  développée  d'ellipse. 

Solution  analytique  de  M.  Vasnieb  (lycée  de  Versailles). 


403.  —  Par  un  point  donné,   \.  on  mène  les  normales  «  la  surface  représentée  par  l'équation 

:  1-    -  >/-;  =  icxy, 
en  coordonm  es  •  ectangulaires. 

1°  Prouver  que  les  points  d'incidence  de  ces  normales  sont  situés  sur  une  conique  (r). 

2°  Trouver  le  lieu  du  centre  de  cette  conique  quand  on  assujettit  son  plan  u  passer  par  un  point 
donné  B. 

3°  Par  le  centre  de  la  conique  on  mène  la  perpendiculaire  à  son  plan;  trouver  le  nombre  de  ces 
perpendiculaires  qui  passent  par  un  point  donné  (',.  Quel  <  -/  le  lieu  des  points  C  pour  lesquels  deux  il-1* 
perpendiculaires  qui  y  passent  sont  confondues  ? 

4°  Par  le  point  A  symétrique  du  point  A  par  rapport  au  plan  :U.r.  on  mène  la  perpendiculaire  \  un 
plan  de  la  conique  1  .  Prouver  que  le  produit  de  la  plus  courte  distance  de  cette  droite  à  l'axe  des  z,  par 
lu  tangente  de  l'angle  qu'elle  fait  avec  cet  axe,  est  indépendant  de  la  position  du  point  A.  Trouver  la 
valeur  de  ce  produit,  et  trouver  ensuite  le  lieu  des  droites  a  qui  passent  par  un  point,  ainsi  que  l'enveloppe 
de  celles  de  ces  droites  ijui  sont  dans  un  plan 

1°  Les  coordonnées  des  pieds  des  normales  menées  du  point  A(a,  3,  7)  à  la  surface  vérifient  les 
équations 

:   ,  -  +  rj-'j  —  fcxy  =  0, 

*  —  x  Ï  —  !J  T  —  2 


Ces  rapports  sont  égaux  à 


2:c  —  ky       %zy  —  kx       x 
x(*  —  x)  -+-y(p  —  y) 


x  ->zx — ky  — ;—  »/'  — -.'/ — '"'■<' 
comme  le  dénominateur  est  nul.  le  numérateur  l'est  aussi:  les  pieds  Je  normales  sonl  donc  sur  le 


210  GÉOMÉTRll     an  \l^  flQl  i 


cylindre  circulaire 

l  x'  +  y1  —  *x—  Pj/       0. 

En  éliminanl    .'■-  +  ?/"'    entrecette  équation  el  celle  de  la  surface,  on  a 

(2)  :  ■>■>       ?'!    —  kxy  =  0, 

équation  qui  représente  un  cône  ayant  pour  sommet  l'origine  el   contenanl  également  les  pieds  des 
normales  menées  du  poinl  A  à  la  surface  donnée. 

Le  cône  et  le  cylindre  ont  une  génératrice  commune,  Oz,  el   même  plan  tangenl  le  long  de  cette 
génératrice      < <■  l   Py       0  .     Il-  se  coupenl  donc  suivant  une  seconde  courbe  plane,  donl   on   aura 

l'équati m  combinant  les  équations    l)  el   '2   de  manière  à  obtenir    *x  -r -  ></     en  facteur.  Multiplions 

pour  cela  les  deux  membres  de  l'équation  (i    par  fop,  ceux  de  l'équation   2   pai     -    -      ;        el  ajou- 
tons ;  nous  avons 

1/2)  +  .,-,/  y-  -;-  V,   —   -/./•  H    py)  fcxp  +  :(as       p      =0, 

pV    />-,.,    -z(a*H    p»)        fcap]  =  0. 
on  en  conclul  que  les  pieds  des  normales  considérées  sonl  situés  sur  la  conique  (r),  intersection 
iln  c\  lindre 

i  x2  +y-  —  x*  —  $1  =  ° 

i  i  du  plan 

::  ktfx  +  ay  -»(«»■+- p)  —  fap  =  0. 

2"  Le  centre  de  cette  conique  esl  à  l'intersection  du  plan   3   el  de  l'axe  du  cylindre.  Les  équations 
de  cel  axe  sonl 

±r  —  3!  =  0,  llj—  P  =  0. 

a  3  ., 

En  remplaçant  dans  1  équation  (3)  x  par   —    et  y  par   — ,    on  trouve     :  =  0;     il  en  résulte  que 
le  centre  esl  dans  le  plan  des  xy.  Ecrivons  que  le  plan  de  la  i ique  passe  par  le  poinl    B  c 

on  a 

/,:(px0  +  ayt)  —  z„(a2  +  £-)  —  fc$  =  0  ; 

remplaçons  »  el  p  par  2x  et  2»/;  il  vienl 

2z0  .<■-  -H  )/-'     :  ïkxy  —  k{xy0  +  i/.r„)  =  0, 
i  qualion  il  une  conique  située  dans  le  plan  des  xy  et  qui  esl  le  lieu  du  centre  de  la  conique    r). 
3°  La  perpendiculaire  menée  par  le  centre  de  la  conique  à  son  plan  a  pour  équations 

a  9 

i       "      T 


Ecrivons  que  cette  droite  passe  par  le  poinl  < '.'.;•,.  </,.  :,   ;  on  a 


2 


/tp  /,'.  —  (a2  -t-  p-) 

Il  faut  résoudre  ces  équations  par  rapport  à  »  et  à  p.  Pour  cela,  désignons  par  —  la  valeui 

mune  de  ces  trois  rapports  :  on  en  déduit 

a-t-  p/  =  2a;,, 

p-f-a<  =  2(/„ 

Les  deux  premières  équations  donnenl 

__2(x,-<j/,  %,-te.) 

r 


1  —  <s  1  -  /' 

el  en  remplaçant  dans  la  troisième,  on  a 

1  i  :     r,       ty,  '   l     </i       te,  n. 


GEOMETRIE    ANALYTIQUE  241 


A  chaque  racine  de  cette  équation  correspond  un  système  de  valeurs  de  »,  ?  et  par  suite  une  des  droites 
considérées.  On  en  conclut  que  par  le  point  G  on  peut  mener  quatre  droites  répondant  à  la  question. 
Deux  de  ces  droites  seront  confondues  si  l'équation  (4)  a  une  racine  double.  Or  celle  équation  est 
réciproque,  on  peut  l'écrire 

fa,**  4-  2/3(.r*  +  yl)  —  2«2[fa,  4-  4r,y,)  4-  2f(x|  -+-  ;/')  4-  fa,  =  0. 
1 
En  posant    t  h =  T,     elle  devient 

fa,T2  -+-  8(*ï  +  yî)T  —  4(fa,  +  ir, •/,)  =  0. 
Tour  que  celle  équation  ait  ses  racines  égales,  on  doit  avoir 

0*î  -+-  VÏf  +4fa,(fa,  4-  2a-,y1)  =  0. 
Le  point  C  doit  donc  décrire  une  surface  du  quatrième  degré. 

Remarque.  —  L'équation  (4)  peut  avoir  une  racine  double  sans  que  l'équation  en  T  en  ait  une  ;  il 
faut  pour  cela  que  l'équation  (4)  admette  la  racine  4-  1  ou  la  racine  —  1.  Supposons  qu'elle  ait  la 
racine     +1,     on  a    xt  — y,  =  0.     En  outre  les  équations  qui  déterminent  2  et  £  en  fonction  de  t 

deviennent 

a  +  P  =  2x„ 

a24-P!  +  2fa,  =  0. 

Elles  déterminent  en  général  deux  systèmes  de  valeurs  de  a,  p  ;  mais  ces  deux  systèmes  de  valeurs 

ne  sont  confondus  que  si  l'on  a 

x\  4-  fa,  =  0. 
On  reconnaît  aisément  que  les  valeurs  de  x,,  y,,  :,  qui  vérifienl  les  équations 
a-,  —  y,  =  0,  .r;  +  fai  =  0, 

vérifient  aussi  l'équation  de  la  surface  du  quatrième  degré.  Cette  surface  constitue  donc  à  elle  seule  le 
lieu  cherché. 

43  La  perpendiculaire  A  menée  du  point  A'(a,  — p,  -/)  sur  le  plan  de  la  conique  r  a  pour 
équations 

•r  —  g _ y  +  P _       ;  —7 

ftp      ~   ~ftT~_— (a*+p*)" 

La  plus  comté  distance  de  celte  droite  à  l'axe  des  ;  est  égale  à  la  dislance  de  l'origine  à  la 
projection  de  celle  droite  sur  le  plan  des  xy, 

ax  —  Py  —  (oc-  -+-  p'-)  =  0 . 
Cette  plus  courte  dislance  est  donc  égale  à     \Az-  4-  p. 
D'autre  pari,  en  désignant  par  0  l'angle  aigu  de  la  droite  a  avec  O;,  on  a 

cos  0  = 


d'où  l'on  lire  ts  8  = 


V/ft2(aa4-Pâj-r-(a14-Pi)2 


^ 


Le  produit  de  1g  0  par  la  plus  courte  distance  est  égal  à  k. 

L'équation  générale  des  droites  A  renfermant  trois  paramètres,  ces  droites  forment  un  complexe. 
Cherchons  l'équation  de  ce  complexe  en  fonction  des  coordonnées  pluckériennes  X,  Y,  Z,  L,  M.  N 
d'une  des  droites.  Rappelons  que  X,  Y,  Z  sont  les  paramètres  directeurs  de  la  droite  et  que  L,  M,  N 
ont  respectivement  pour  valeurs  yZ  —  :Y,  zX  —  aZ,  <Y  —  yX,  dans  lesquelles  x,  y,  z  sont  les 
coordonnées  d'un  point  quelconque  de  la  droite. 

Pour  une  droite  A,  on  a 

Z  =  -(**  +  ?),  N  =  A(*24-P2.; 

l'équation  du  complexe  est  donc 

///.  4-  N  =  0. 

C'est  un  complexe  linéaire  ;  les  droites  qui  passent  par  un  point  (r0,  y0,  z„)  sont  dans  un  plan  qui 


242  ',1  0MÉ1  1:11      \n  \l  ï  flQUE 


a  pour  équation 

/,  :  -  -  0. 

et  les  droites  qui  sont  dans  un  plan     "<   h»0y  +  »  '  0    passent  par  un  même  point  qui  a  pour 

équation  tangentiellc 

0, 

\  \.SNIER,  lycée  de  \  ersailles. 

■•lu  celle  question  :  MM.    M.-V.   fAnnos,  12"  régiment  d'artillerie,  I         \     lycée   Condorcel;   I 

i  Nîmes. 

♦ 

QUESTIONS    PROPOSÉES 

448.  —  Etant  donnée  une  ellipse  Qxe  I  .  on  considère  toutes  les  coniques  C  qui  sonl  bitangenles  à  celle 
ellipse;  tangentes  à  une  droite   li  .  el  qui  sonl  vues  d'un  poinl  donné  P  sous  un  angle  droil 

On  demande  : 

1°  Le  lieu  du  pôle  de  la  corde  des  contacts  : 

2  D'étudier  la  nature  de  ce  lieu,  quand  la  droite  (D   varie  dans  le  plan  ; 

3  De  trouver,  dan-  le  cas  où  la  droite  l<  esl  rejetée  à  l'infini,  le  lieu  des  foyers  el  l'enveloppe  des  axes  des 
coniques    l  lli  gon,  à  Nîmes. 

449.  —  On  donne  un  ellipsoïde  rapporté  à  ses  axes  et  une  droite  a  silure  d'une  manière  quelconque  dans 
l'espace.  Par  la  droite  a  on  mène  le  plan  P  perpendiculaire  au  plan  Langenl  en  un  poinl  M  de  l'ellipsoïde. 

1°  Trouver  le  lieu  du  point  de  rencontre,  :>,  du  plan  P  avec  le  diamètre  de  l'ellipsoïde  qui  aboutit  au 
point  M,  quand  le  poinl  M  décrit  l'ellipsoïde. 

2°  Ce  lieu  esl  une  quadrique  S  passant  par  la  droite  a  :  trouver  toute-  ses  génératrices  reclilignes,  el 
indiquer  comment  doil  être  placée  la  droite  a  pour  qu'elle  soit  un  paraboloïde  hyperbolique. 

3  Prouver  que  la  quadrique  S  contient  la  cubique  aux  pieds  des  normales  relative  a  un  poinl  quelc [ue 

de  A,  et  trouver,  sur  l'ellipsoïde,  le  lieu  du  point  M  lorsque  le  point  ;j  décrit  la  cubique  aux  pieds  des  normales 
relative  à  un  poinl  donné  de  a. 

4  On  considère  une  deuxième  droite  a,  rencontrant  a.  el  la  quadrique  correspondante,  S,,  analogue  à  s. 
Prouver  que  les  quadriques  S  el  S,  onl  en  commun  une  cubique  gauche  et  une  droite  D;  trouver  celle 
droite    I)    et  en  indiquer  une  construction  géométrique  simple. 

5  Soil  l>i  l'inlerseclion  du  plan  P  et  du  plan  langent  en  M  à  l'ellipsoïde.  Montrer  que  si  le  poinl  M 
décrit  l'ellipsoïde,  il  j  a  deux  droites  Di  passant  par  un  poinl  donné,  io,  de  l'espace,  cl  trouver  le  lieu  des 
points  <'<  pour  lesquels  les  deux  droites  qui  j  passent  sonl  confondues.  Ce  lieu  est  une  surface  À' 
du  quatrième  ordre,  et  qui  admet  a  comme  droite  double  :  prouver  qu'elle  peut  être  engendrée  par  une 
conique,  el  donner  la  définition  géométrique  -impie  de  cette  conique. 

\.   Antomaiu. 
♦ 


DEUXIEME     PARTIE 


GEOMETRIE     ANALYTIQUE 
413.       I    On  donne  la  courbe 

;/'■  —  Xi-h^u  ',/         H, 

el  "a  demande  de  construire  cette  courbe  en  supposant   a   positif. 

joint  l'origine  à  un  point  quelconque,    M.   de  celle  courbe,  el  on  trace  la  sgmêlrique  de  (>\|   par 
rapport  à  la  bissectrice  du  premiei  a  >it  (D)  celte  droiU  ;  on  élève  ensuite  au  point  \l  ri  OM 

une  perpendiculaire  qui  rencontre  la  droiti     D    en  un  point  I,  et  on  demande  le  lieu  du  point  I. 
3   Sut   <  »  I  on  prend    01        MI;     trouver  le  lieu  du  point  I. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  243 


1°  Si  dans  l'équation  de  la  courbe  proposée, 

yi  _  3;*  _|_  2a.r-y  =  0, 
nous  remplaçons  y  par  tx,  nous  obtenons  l'équation  nouvelle 

ar4(<;  —  i)->rxHat  =0; 
en  supprimant  le  facteur  x\  qui  donne  les  trois  points  de  rencontre  avec  la  courbe  confondus  à  l'ori- 
gine de  toute  droite,  y  =  tx,  passant  en  ce  point,  il  reste  une  équation  du  premier  degré  en  x  qui 
donne  l'abscisse  de  l'autre  point  de  rencontre  avec  la  courbe  en  fonction  du  coefficient  angulaire  t  du 
rayon  qui  va  de  l'origine  à  ce  point.  Les  coordonnées  du  point  qui  décrit  la  courbe  peuvent  donc  s'ex- 
primer rationnellement  à  l'aide  du  paramètre  /,  et  sont  ainsi 

lai 


1  — /4 


Nous  aurons  la  courbe  tout  entière  en  faisant,  dans  ces  expressions,  varier   t   de    —  x    à    ■+-  oo  ;     or 

nous  pouvons  remarquer  de  suite  que  par  le  changement  de  /en    —  t,    x  change  simplement  de  signe 

et  que  y  n'est  pas  altéré  ;  cela  met  en  évidence  une  symétrie  par  rapport  à   Oy,    visible  d'ailleurs  sur 

l'équation  proposée,  et  permet  de  restreindre  l'intervalle  de  moitié,  c'est-à-dire  de  se  borner  à  faire 

varier  t  de  0  à    -+-  x  :     il  restera  ensuite  à  tracer  la  portion  de  courbe  symétrique  de  celle  obtenue 

ainsi,  par  rapport  à  Oy. 

Dans  cet  intervalle,  les  fonctions   x   et    y   ne  deviennent  discontinues  que  pour  une  valeur  de    I, 

t  =  1  ;     pour  toute  autre  valeur  de   t,   le  sens  de  marche  de  chacune  de  ces  fonctions  nous  sera  donné 

par  le  signe  de  sa  dérivée  ;  prenons  les  dérivées  de  x  et  y  par  rapport  à  /, 

,       „     1  +  3/1  ,       ,   ,    1  +  /; 

y'  _  Aat 


(i  — **)»  J  (t-/*r 

ces  expressions  sont  toujours  positives,  quand    t  varie  de  0   à     H-oo;     par  conséquent   x   et  y    sont 
toujours  croissantes  dans  le  même  intervalle.  Quand  /  croit  de  0  à  1,    x  et  y  croissent  de  0  à  -I- oc  ; 

y 

puis  quand  /  croit  de  1  à  -t-oo,     x  et  y  croissent  de  — oo   à  0.  Au  début  on  a    —  =  /  =  0,     la  tan- 

y 

gente  à  l'origine  à  la  première  branche  est  donc  l'axe  des  x.   A  la  fin  on  a    —  =  t  —  oo  ;     la  tangente 
à  l'origine  à  la  seconde  branche  est  donc  l'axe  des  y. 

Cherchons  l'asymptote.  A  cet  effet,  remarquons  que  pour    t  =  i,  on  a     —  =  1.     Le  coefficient 

angulaire  de  la  direction  asymptolique  est  donc  égal   a    1;    nous   aurons  l'ordonnée  .i    l'origine    de 
l'asymptote  en  cherchant  la  limite  de     3  =  y  —  a-,     quand  l  tend  vers  1  ;  nous  obtenons  ainsi 

„  _  _  2at(t  —  l)  _  —2(11 

o  =  y  —  x  =  __r-  _  _____  , 

la  valeur  limite  de  8  est  donc  —  —  ,  et  l'asymptote  a  pour  équation 

a 

y—X+—  =0. 

Nous  aurons  la  position  de  la  courbe  par  rapport  à  son  asymptote  en  étudiant  le  signe  de  la  différence 
8 — (  — —  j     ou     8  -+-  —  ,     pour  les  valeurs  de  /  voisines  de  l'unité;  or  celte  diilérence  a  pour  valeur 

a    _  a(l  —  t)(i  —  2t—  ï2)_ 


"2(1  -+-  t-ht*  -M3 


on  a  donc  8  +  --  =  u(i  —  t)[ —■ 


244 


GÉOMÉTRIE     ANALYTIQUE 


s  étant  infiniment  petit  en  même  temps  que     1  —  t.     La  différence    S       — ■    est  donc  négative  quand  t 
est  plus  petit  que   I.   et  positive  quand  grand  que    1:    la  première  branche  infinie  est  donc 

au-dessous  de  l'asymptote,  la  sec le  au-dessus,  rous  ces  résultats  rassemblés  donnenl  immédiatement 

la  forme  de  la  courbe.  Nous  la  figurons  ci  d< —  us,  complétée  à  l'aide  de  la  symétrie  que  nous  avons 
constatée,  la  partie  qui  a  été  obtenue  directement  étant  marquée  par  des  (lèches. 

y 


2°  Conformément  aux  notations  que  nous  avons  choisies,  l'équation  de  '  »  M  esl      y=tx;      nous 

aurons  la  symétrique  de  celte  droite  par  rapport  à  la  première  bissectrice  en   échangeanl   entre  elles 

x  el  y  ;  d'ailleurs  les  c données  du  poinl  M  sonl 

■2<n  lai- 

x 1  il  = : 

1  —  i*  ■'        1  -  (%  ' 

par  suite  l'équation  de  la  droite  Ml.  perpendiculaire  îi  OM  au  poinl   M,  esl 

Zat1  \    !  lai 


y  — 


//• 


/      \  —  t- 

en  supprimanl  les  solutions  de     I       i'  =  0.      Il  n'y  a  plus  qu'à  éliminer   i    entre  cette  équation  >•! 

l'équation  de  la  droite    I».     /</       x\     is  obtenons  ainsi,  après  suppression  des  deux  lieux  excep 

liniini'ls     x  =  0,     ij  —  o.     |Vi|ualion 

(2)  x*  —  y-  +  ay  =  0, 

qui  représente  le  vrai  lieu.  Ce  lieu  esl  une  hyperbole  équilatère  qui  passe  à  l'origine  des  c lonnées, 

où  elle  admel  poui  tangente  l'axe  des  x,  el  donl  les  asymptotes  sonl  parallèles  aux  bissectrices  des 
axes. 

Il  y  a  trois  lieux  exceptioi Is  qui  étaienl  faciles  a  prévoir:  l'axe  des  x,  l'axe  des    y    el  les  deux 

droites  isotropes,     r   \- 1/2  =  0,     qui  correspondent  aux  solutions  de     I    i-/s  =  0;      le  premier  lieu 
s'obtient  quand  le  poinl  M   vient  coïncider  avec  le  poinl   0   suri' des  branches  tangentes  à   Oy,  la 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


branche  2,  par  exemple,  car  alors  la  symétrique  de  OM  par  rapport  à  la  première  bissectrice  et  la  per- 
pendiculaire à  OM  au  point  M  viennent  coïncider  toutes  deux  avec  Ox  et  se  coupent  en  tous  les  points 
de  Ox  ;  le  second  lieu  s'obtient  d'une  façon  analogue,  quand  le  point  M  vient  coïncider  avec  le  point  0, 
sur  la  branche  1,  par  exemple,  qui  est  tangente  à  Ox  ;  quant  au  troisième  lieu,  on  l'obtient  quand  le 
point  M  va  à  l'infini  sur  la  courbe  dans  l'une  des  directions  y  =  ix  ou  y  =  —  ix,  car  si  nous  sup- 
posons que  OM  coïncide  avec  y  =  ix,  par  exemple,  la  symétrique  de  cette  droite  par  rapport  à  la 
première  bissectrice  est  y  =  —  ix,  et  la  perpendiculaire  à  y  =  ix,  au  point  à  l'infini  sur  celle 
droite,  est  une  droite  quelconque  parallèle  à  y  =  ix  ;  tous  les  points  de  y  —  —  ix  font  donc  partie 
du  lieu,  à  titre  exceptionnel,  et  de  même  pour  ceux  de     y  =  ix. 

3°  Les  coordonnées  du  point  I  s'obtiennent  en  résolvant  les  deux  équations 

lai 
et  ty  -+ 


'.'/ 


1  —  l2 


0; 


ce  sont 


at 


1  —  r- 
la  longueur  MI  est  donc  fournie  par  l'équation 

al  2a  t 


Ml 


MI"  = 


1  —  t1       1 

a1!'1 


ial2 


i  —  l2 


(1-W»)1       (1  +  /2)'2        i-Ms 
Les  points  I'  sont  donc  à  l'intersection  de  la  droite     ty  =  ./:•    et  du  cercle 


y' 


1  +  /-' 

le  lieu  de  ces  points  s'obtient  en  éliminant  /  entre  les  deux  équations  précédentes,  et  se  compose  des 
deux  cercles 

(3)  x2  -+-  y2  =  ±  ay. 

SolulioDS  analogues  par  MM.  Bailly  (Dijon)  ;  1'.  Sahot  ;  L.  Goujon  (Saint-Etienne)  ;  II.  Uonnamj  (Bordeaux). 

Solution  ilifféreute  :  A.  Lauiieaiw  (Besancon). 

Solutions  incomplètes  :  H.  Vilain  (8°  régiment  d'artillerie)  ;  F.  Pégoiuer,  répétiteur  au  collège  de  Celle  ;  (J.  Laedeiuck. 


420-  —  Les  extrémités  A  et  B  d'un  côté  d'an  rectangle  variable  sont  l'une,  A,  fixe,  l'autre,  B, 
mobile  sur  une  droite  fixe  :  en  outre,  le  côté  opposé  passe  par  un  point  fixe,  I,  de  cette  droite  On  demande 
le  lieu  du  sommet  opposé  à  A. 

Prenons  pour  origine  le  point  fixe  I,  pour  axe  des  y  la  droite  fixe  et  pour  axe  des  x  une  perpen- 
diculaire à  cette  droite  menée  par  le  point  I  ;  désignons  par  xa  et  y0  les 
coordonnées  du  point  fixe    A    et  par  a  et  p  les  paramètres  directeurs  va- 


y 

i 
1 

lA 
|\ 

B 

z^M 

1  \ 

i 
i 

p 

I 

i 

.r 

riables  du  côté  AB.  L'équation  de  AB  est    ' 

a 

les  coordonnées  du  point  B  sont     x  =  0,     y 


y—yo 


z/o- 


et,  par  suite, 


Le  point   M 


qui  décrit  le  lieu  est  à  l'intersection  de  la  droite  IP  parallèle  à  AB  avec  la 
perpendiculaire  abaissée  du  point  B  sur  celte  droite  ;  or  la  droite  .IP   a 


pour  équation     — 


,      et  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  B  sur 


P 


celle-ci,     y  —  i/0H xu  — -x.      Nous  aurons   le   lieu   demandé  en 

a  |i 


246 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


éliminant  x  et  p  entre  ces  deux  équations,  c'esl  à-dire,  puisque  »  el  p  enlrenl  d'une  façon  homogène 
dans  les  deux  équations,  en  remplaçant  ces  nombres,  dans  la  seconde,  par  les  quantités  proportion- 
;  el  y  ;  nous  obtenons  ainsi  l'équation 

I  0. 

qui  représente  une  cubique  circulaire  à  point  double. 

Celte  courbe  admet    l'origine  comme  point  double,  el   les  tangentes  en  ce  point  sont  la  droite 
jy  =  0    ou    Ox,    et  la  droite  r  =  0    ou    OA;   elle  admel   une  seule  direction    asymptotiquc 

réelle,    x  =  0    ou   Oy,    et  l'asymptote  parallèle  à  celle  direction  s'obtient  en  annulant  le  coefficient 
de  y-  :  c'est  la  droite    x  =  —  r0:     cette  <li<.iic  rencontre  la  courbe  en  un  poinl  unique  à  distance  Dnie 


donl  l'ordonnée  est      y 


y 


ou 

ou  enfin 


L'équation  de  la  courbe  est  du  second  degré  en   y    et  peut  se  discuter  entièrement   lorsqu'on  fait 

varier  a;  de     —  ce      à     +  oc  ;     cette  équation  est 

(x  -+-  x,,};/'2  —  xy„ .  y  -+-  x3  =  0. 
Pour  que  se-  racines  soient  réelles,  il  faul  que  l'on  ;iil 
.'-'/,;  —  ix*(x  -+-  x0)  >  o, 

yl  —  ix(x  -+-  xa)  >  0, 

2a       Xa  -'  —  x-  -   yl  <  0  : 
si  nous  désignons  par   a   le  nombre  qui  mesure  IA,  cette  inéga- 
lité s'écrit 

-!/■       '.,  -;-  a    *±r  H-.;-,,  —  a)  <  0, 

etmonlre  alors  que   i    doit  être  compris  entre  les  deux  nombres 

Xn        a  a*„        a       „  ,.  ... 

_    et ~\ Nous  pouvons  d  ailleurs  toujours 

2        2  2        2 

supposer  que  les  directions  positives  des  axes  aient  été  choisies 

de  telle  sorte  que    x„    el    </,,    soient  positifs.  Nous   voyons  alors 

—    les  deux  racines  de  l'équa- 


immédialemenl  que  de  0  à    — — 
lion  en  y  sont  positives,  de     —  a?„     à   0   l'une  d'elles  esl  posi- 
tive,  l'antre  négative,  et   enfin   de *-= —     à    —  a-,,,     elles 

sont  toutes  deux  positives.  La  forme  de  la  courbe  résulte  immé- 
diatement de  tout  ce  qui  vient  d'être  dit. 

i;  marque.  —  Si  l'on  se  reporte  à  la  figure  I.  el  si  l'on  dési 
gne  par  Q  le  poinl  de  rencontre  de  II'  avec  la  parallèle  à  Oy 
menée  par  le  point  A,  on  voit  de  suite  que  les  triangles  IBM  et 
QAP  sont  égaux,  et,  par  suite,  que  IM  =  QP  ;  comme,  d'autre 
part,  le  poinl  I'  décril  le  cercle  ayanl  pour  diamètre  IA,  le  lieu 
du  point  M  esl  visiblement  une  cissoïde  de  droite  el  de  cercle. 


Solutions  analogue       MM.  Mai      Gcbsdi      C.  Laedebick,  à  Rouen  :  J.  Marchai  ;  G.  A.  Podiluart,  h  Joigny. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX 


École  des  Mines  de  Saint-Etienne  (1894) 


41.  —  Etudier  les  séries  dont  les  termes  généraux  sont 

/  1   \i-2-3— »  r     a  _j_  „  |  »  ,i  +  3 

La  -+-  n  —  I    J  in-  —  I 

42.  —  Etant  donné    y  =  arc  sin  (3œ  —  4.<-  .     calculer  .<•'  . 

Même  question  pour  la  relation     <i  —  e   .r  —  v  2  =  0. 

43.  —  Séparer  les  racines  des  équations  : 

,'•'•  +  ix  +  a  =  0,         e<  —  .c-  =  0,         x'°  —  a;3  +  2x  —1=0,         tg  x  —  2x  —  I  =  0,         x> 

x°  —  I0o2a^  +  562a;—  I  =  0. 


2x2  +  j;  -+-  1  =0, 


44. 


Variation  îles  fondions  «' 


45.  —    Sachant    que     [x  —  i)3(x —  2)i(x2  +  x  +  i]     est   la    dérivée    de    o(x),    que   peut-on    dire    de    o{x)1 
Qu'arrive-t-il  si  1  est  racine  de  a       ? 

i 

46.  —  Valeur  de    (tg  a-)  J      pour    x  =  0. 

IA   •       •         •  1  ■  J  J  "''"     +     ''■''    +   '' 

47.  —  Dérivée  d  ordre  n  de     — : ; 

-x   -  +  :..:  +  y 

Construire  les  courbes  : 

48.  -     a  y  x-  -  ,,-    _  , .,-  +  ,/■■■)  +  .,■-  —  y-  - 

t  '  —  2 

49.  — 


50.  —  y1  —  x\x  —  f  ,i  =  0, 

51 .  —  —  x3  —  y3  =  0. 
52.-  [x  —  y]  .n-w-+\)=  1 

53.  —  sin   x  +  Ly)  =  k, 

54.  —  y  =  tx, 


l  t-h\ 


Lu.  ' 

56.  - 

COS  M 

2  —  sin2  u>  ' 

57.  - 

p  =  sin  2(>)  +  2  sin  w 

58.  - 

;- 
cos  2io  =  — - —  . 

59. 


60.  - 


2 /cos  2a> 

cos-  10 
1  —  cos  u> 


(«  —  *)(*  —  *) 

61.  —  Lieu  des  centres  des  coniques  passant  par  trois  points  et  ayant  un  a\e  parallèle  à  une  droite  donnée. 

62.  —  Lieu  des  pieds  des  normales  parallèles  à  une  direction  donnée  aux  coniques     xy  =  À. 

63.  —  On  donne  le  foyer  d'une  hyperbole,  une  asymptote  et  une  tangente  ;  construire  la  courbe. 

64.  —  Exprimer  qu'une  conique  a  un  sommet  sur  l'axe  des 

65.  —  Equation  générale  des  coniques  ayant  un  foyer  sur  Ox  et  l'autre  sur  0;/. 

66.  — Construire  une  conique  connaissant  un  foyer,  deux  points  et  l'excentricité. 

67.  —  Lieu  des  centres  des  hyperboles  équilatères  passant  par  un  point  et  admettant  pour  directrice  une 
droite  donnée. 

68.  —  On  donne  une  conique  et  une  droite,  trouver  le  point  de  la  droite  qui  est  le   plus  rapproché  de   la 
conique. 


248  QUESTIONS   PROPOSÉES 


69.  —  Equation  générale  îles  coniques  dont  on  donne  une  asymptote,  un  point  de  la  tangente  au  sommet 
et  la  somme  des  carrés  <\r<  axes. 

70.  —  On  donne  une  ellipse  rapportée  à  ses  axes,  ner  une  tangente  i e I k-  que  le  point  de  contact  soit  le 

milieu  du  segment  i jh  i -  entre  les  axes. 

71.  Equation  générale  des  coniques  tangentes  à  une  droite  el  pissant  par  'rois  points. 

72.  —  Equation  générale  des  coniques  tangentes  aux  deux  axes,  supposés  obliques,  el  ayant  un  point  donné 
entre. 

73.  —  Lieu  des  point-  d'où  I  on  peul  mener  à  une  parabole  deux  normales  parallèles  à  deux  diamètres  con- 
jugués d'une  ellipse. 

74.  —  On  donne  deux  cercles  égaux  ;  lieu  du  sommet  d'un  angle  droit  dont  les  cotés  sont  respectivement 
tangents  aux  deux  cercles. 

75.  —  Equation  générale  des  ellipses  admettant  un  loyer  donné  et  un  sommet  de  l'axe  non  focal  également 

ilouné.  Lieu  des  sommets. 


76.  —  Plus  court»!  distance  de   l'axe  des   3   à  la  droite 


■v  —  1       y  — 
2  3 


77.  —  Démontrer  que  les  plans  passant  par  les  arêtes  d'un  Irièdre  et  perpendiculaires  aux  faces  opposées  se 
coupent  suivant  une  même  droite. 


QUESTIONS   PROPOSEES 


450.  On  considère  toutes  les  coniques  ayanl  un  loyer  F  donné  el  tangentes  à  deux  droites  Gxes  a  et  b. 
Montrer  que  les  directrices  de  ces  coniques  relatives  au  loyer  F  passent  toutes  par  un  même  point. 
Déduire  de  là  la  construction  de  la  conique  particulière  du  faisceau  pour  laquelle  le  rapport  des  distances  du 

loyer  fixe  au  centre  et  à  la  directrice  est  donné. 

]■].  (tiniN    collège  Stanislas). 

451.  -  On  donne  la  base  el  le  périmètre  d'un  triangle  variable.   Trouver  le  lieu    du  point  de   la  bailleur 
qui  est  à  une  distance  de  la  base  égale  à  l'un  des  deux  autres  côtés. 

452.  —  Deux  paraboles  égales  onl  leurs  axes  rectangulaires.  L'une  est  fixe;  l'autre,  mobile; une  des  cordes 
coi une-  passe  au  pied  d<!  la  directrice.  Trouver  le  lieu  du  sommet  de  la  seconde  parabole. 

453.  --  On  donne  un  point  A  sur  une  droite  el  un  poinl  I!  en  dehors  de  celle  droite  :  un 
mobile  va  de  I!  en  A  par  les  segments  de  droites  i;M  et  MA,  avec  les  vitesses  respectives  e  el  c  . 
Trouver  b  s  variations  du  temps  employé. 

454.  On  ilonne  une  droite  et  un  cercle  qui  la  COUpc;  mener  une  tangente  qui  forme  avec 
la  droite  donnée  el  le  diamètre  perpendiculaire  un  triangle  d'aire  maximum  ou  minimum. 

Lieu  du  poinl  de  contact  quand  la  circonférence  a  son  centre  lixe  et  que  son  rayon  varie. 


Le  Rédacteur-Gérant  :  11.  VUIBERT. 


BAR-LE-H0C.  —    IIP.    COMTE •JACQUET. 


6"   Année.  N°  2  Novembre  1895 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE  PARTIE 


NOTE    SI   Ii     L'INTEGRALE    DEFINIE 

par  M.  J.  Richard, 

professeur  au  lycée  de  Tours. 


Les  conditions  pour  qu'une  fonction  quelconque  soit  intégrable  sont  assez  difficiles  à  établir.  On 
pourrait,  dans  l'enseignement,  se  borner  aux  fonctions  croissantes  (ou  décroissantes),  toujours  inté- 
grables,  ou  encore  aux  fonctions  à  variations  limitées,  qui  sont  la  différence  de  deux  fonctions 
croissantes. 

Je  vais  établir  l'existence  de  l'intégrale  pour  une  fonction  croissante,  sans  la  supposer  continue. 
J'adopterai  la  définition  des  irrationnelles  de  M.  Tannery,  ce  qui  contribuera  beaucoup  à  la  simplicité 
de  celte  exposition. 

I.  —  Soit  f(x)  une  fonction  croissante  dans  l'intervalle  a,  b,  et  soient  des  nombres 

",  .z'i,  Xi,  . .  . ,  .(.'„_4,  b, 
tels  que  a  <.  xt  <  x3  <  x3  •••  <  x„_,  <  b  ; 

on  aura  ainsi  f{a)  <  f{xt)  <  f{x3)  <  ■••  <  /'(.r„_,)  <  f(b) 

el,  par  conséquent, 

(x,  —  a)f(a)  +  (x2  -  ,r,  ffa  H H  (b  —  ar„_0A^-i)  <  (*i  —  «)/ï*0  H H  (6~  »»-i )/"(*)  • 

Le  premier  membre  S(xy — x1  ,  /'  a  ,  s'appellera  une  somme  inférieure,  le  second 
-  'V — 'V  i/  ',  sera  une  somme  supérieure,  et  l'inégalité  précédente  signifie  qu'une  somme  infé- 
rieure est  plus  petite  que  la  somme  supérieure  relative  au  mémo  mode  de  décomposition  en  intervalles 
partiels  de  l'intervalle  considéré  [a,  b). 

II.  —  l  ne  somme  inférieure  augmente  par  la  subdivision  des  intervalles;  une  somme  supérieure 
diminue. 

En  effet,  si  l'intervalle     (xp_t,  xp)     est  remplacé  par  les  intervalles  limités  par 

'       h   •!>    -.îi    •  •  •  i   ~-q—  1»  Xjj, 

le  terme     (x;j —  x1>_i)f(x1^i),     qui  peut  s'écrire 

(?,—  a^OAav-O-r-^  —  5i)A*^)  +  (S3  —  àîA*?-*)  H !"  (xp  —  ^s-OA^-i). 

est  remplacé  par  la  somme 

(S.  -^.OA^-O  +  & - 5,)Aï.)  +  (ïa-  y/'(y  +  '"  +  (*,— 6^-t)A6,  .  ■ 

qui  est  plus  grande,  parce  que  l'on  a 


250  GÉOMÉTRIE  A.NALYTIQI  l. 


III.  /'//•-  wmme  sup                   toujours  plus  grande  qu'une  somme  inférieure  quelconque. 
Soient,  en  effet,  deux  modes  de  décomposition,  a,  x,,    rs,  .  .  ,  .  b  el   a,  \t,  ; ;    t,  b; 

somme  supérieure  relative  au  premiei   i  somme  inférieure  relative  au  second  m 

Considérons   le  mode  il'-  décomposition  obtenu   en  rangeant  par  ordre  de  grandeur  croissante   les 

i, bres  ".  '•,.  xî}  ....  ar„_i,  \i}  '- \n  :■  b,  el  soienl   S    el   s'  les  sommes  supérieure  •■(  inférieure 

relatives  a  ce  troisième  mode  :  on  aura,  d'après  ce  qui  pn 

S,  >  S'  >  s'  >  .v,  : 
donc  S    >  s». 

IV.  Sj  ui  des  intervalles  c  ,.  a  est  inférieur  à  ,  la  différence  entre  la  somme  inférieure  et 
lu  somme  supérieure  relatives  à  ce  mode  est  plus  petite  numériquement  que     t[f  h  — /'  "    . 

I  ii  effet,  cette  différent  i 

I-        f(x,     *-*,)  +  •••  +  [f{b)-f(x„  ,)](>-*„_,); 
.  Ile  esl  donc  inférieure  à 

ou  \f{b\      I  a 

V.  —  //  existe  un  nombre  .1  compris  entre  une  somme  inférieure  et  une  somme  supérieure  quelconques, 
et  différant  aussi  peu  qu'on  u  ut  de  chacune  de  ces  sommes,  sous  lu  seule  condition  'in*1  chacun  des  inter- 
valles de  ces  décompositions  soit  suffisamment  petit.  C'esl  ce  nombre  .1  qui  est  l'inti  grale  définie. 

En  effet,  soil  «  un  nombre  quelconque  ;  s'il  \  a  des  sommes  inférieures  plus  grandes  que  t,  nous 
mettrons  *  dans  la  première  classe  :  sinon,  nous  le  mettrons  dans  la  seconde  II  esl  clair  alors  que  toul 
nombre  de  la  première  classe  esl  inférieur  à  loul  nombre  de  la  seconde  classe.  D'après  la  définition  des 
nombres  irrationnels,  ceci  définil  un  nombre  .1,  lel  que  1rs  sommes  inférieures  ne  peuvent  jamais  sur- 
passer .1,  mais  peuvent  surpasser  tout  nombre  inférieur;  des  théorèmes  III  el  l\  résulte  que  1 
sommes  supérieures  sont  toutes  plus  grandes  que  J,  mais  qu'il  y  en  a  de  plus  petites  que  toul  nombre 
supérieur  à  J.  En  outre,  le  théorème  IV  fait  voir  que  la  différence  entre  .1  el  une  somme  quelconque, 
dont  les  divisions  sont  plus  petites  que   .  esl  plus  petite  que    -  /'  b       f(a   . 

VI.  —  Si  la  fonction  /'(./■)  est  continue  pour  x  -  b,  le  nombre  J  est  une  fonction  de  b  dont  la 
dérivée  est  f  b  . 

En  effet,    .1  b  !-//,      .1  b     esl  compris,  comme  on  le  voit  facilement,  entre  hf(b    et    h)  b  :  h  .    et 

par  suite >    qui  est  compris  entre  /  b)  el     f(b  +  h),     a  pour  limite  f(b),  si  f(x)  est 

continu  pour     i        b. 


GÉOMÉTRIE     ANALYTIQUE 


405.  —  On  consù  tiques  ■  irconsi  à  un  parallélogramme  et  tangentes  à  une  droite   a,   et 

nande  de  tn  uvei  le  lieu  du  milieu  du  segment  limité  sur  la  droite  a  par  les  points  de  •  onlaci  de  celte 

faisceau  qui  la  touchent,  dans  les  deux  cas  suivants  : 
I    Quand  la  droite  a  se  meut  parallèlement  à  elle-mt 

\uand  la  droite  a  passe  par  un  point  fixe. 
Dan    I    p        ■     cas,  le  lieu  est  uni  Trouver  le  lieu  des  sommets  de  celle  conique,  quand  la 

direction  de  a  varie,  ■  '  le  lieu  de  ses  foyers. 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE  251 


Dans  le  second  cas,  le  lieu  est  une  cubique  à  point  double.  Construire  cette  courbe.  Trouver  pour 
quelles  positions  du  point  fixe  donné  elle  se  décompose  en  une  droite  et  une  conique. 

Il  est  naturel  de  prendre  pour  axes  les  parallèles  aux  côtés  du  parallélogramme  menées  par  le 
centre  de  celle  figure,  bien  que  les  axes  ainsi  choisis  soient  obliques.  Ce  n'est  d'ailleurs  pas  une  com- 
plication bien  grande  qui  s'introduit  ainsi,  même  dans  la  recherche  du  lieu  des  sommets  et  du  lieu  îles 
foyers. 

Nous  désignerons  alors  par  2a  et  2//  les  longueurs  des  côtés  du  parallélogramme;  les  équations 
xs  —  a*  =  0  et  y- — b-  =  0  représenteront  deux  coniques  impropres  passant  aux  quatre  sommets 
du  parallélogramme,  et,  par  suite,  l'équation  générale  des  coniques  du  faisceau  sera,  dans  le  système 
d'axes  employé, 

(1)  x2  —  as  +  )>(i/2  —  b-)  =  0. 

Considérons  alors  une  droite  A,  quelconque  ;  les  coniques  du  faisceau  tracent  sur  celte  droite  une 
involution  dont  les  deux  points  doubles  sont  justement  les  points  de  contact  de  la  droite  A  avec  les 
deux  coniques  du  faisceau  qui  la  louchent  ;  le  milieu  du  segment  limité  par  ces  deux  points  est  le 
point  central  de  l'involution,  c'est-à-dire  le  conjugué  du  point  à  l'infini  sur  la  droite;  on  déterminera 
donc  ce  point  en  cherchant  l'intersection  de  la  droile  A  avec  la  conique  du  faisceau  qui  admet  la 
direction  de  a  pour  direction  asymptotique.  Soit  ux-\-vy  +u>  =  0  l'équation  de  la  droite  A;  les 
paramètres  de  celle  droite  sont  u.  — u,  et,  en  exprimant  qu'ils  vérifient  l'équation  aux  directions 
asymptotiques  de  la  conique  (1),  on  obtient 

u2  -i-Xu2  =  0; 

par  suite,  le  point  demandé  est  à  l'intersection  de  la  droite  a  avec  la  conique 

(2)  u2(x2  —  a")  —  v-[)j-  —  b-)  =  0 . 

Cette  solution  esl  entièrement  géométrique.  On  peut  en  donner  une  autre  qu'il  est  d'ailleurs 
intéressant  de  connaître.  Déterminons  l'équation  aux  ordonnées  des  points  de  rencontre  de  la  droite 

ux  -+-  vy  +  w  =  0     avec  la  conique  (1)  ;  nous  aurons  d'abord     x  = ; ;     puis 

(«;/  -f-  w)3  —  <i2u2  -+-  mi-(ij-  —  b2)  =  0, 
ou  (i>2  -+-  '■m2);/2  -+-  %vwy  -H  io2  —  a2a2  —  *)M2u2  =  0  ; 

nous  devons  exprimer  maintenant  que  celte  équation  admet  une  racine  double,  e'est-à-dire  que  ses 
deux  dérivées  partielles,  par  rapport  à  y  et  par  rapport  à  la  variable  d'homogénéité,  ont  une  racine 
commune  ;  nous  avons  ainsi  simultanément 

(u2  +  hj?)y  -r  vw  =  (J, 

muy  -+-  te2  —  a2u2  —  \b2v-  =  0  ; 

or  cette  valeur  de    y    est  l'ordonnée  de  l'un  ou  de  l'autre  des  points  de  contact;  nous  aurons  donc  les 

deux  valeurs  de  y  en  éliminant  À  entre  les  deux  équations  précédentes.  Ces  nombres  sont  donnés  par 

l'équation 

uirt/2  -+-  (ir2  —  a'2u2  -+-  bh)3)y  +  b2vw  =  0. 

L'ordonnée  du  point  milieu  des  points  de  contact  est 

u2  u2  —  //-r-  —  (/•- 
?/  -  2(vë 

on  déduit  de  là  »'2  -+-  'H.wvy  —  a2w2-f-  b2c2  =  0, 

ou  (w  -+■  vy)2  —  vhj2  —  a2u2  -+-  b2v2  =  0, 

et,  par  suite,  en  tenant  compte  de  l'équation  de  la  droite  a, 

u2[x2  —  a2)  —  v2[  tj2  —  b2    =  0. 
C'est  l'équation  de  la  conique  (2). 


GÉOMÉTRIE    AY\n  riQl  I. 


1°  Si  a  s  léplace  en  restant  parallèle  à  elle-même,  u  et  v  ne  varient  pas,  el  le  lieu  demandé  esl  la 
conique   2  elle-même. 

Quand  la  direction  de  a  vai  tique    2)  engendre  toul  le  faisceau  donné  el   il  vaut  autant 

.  a  l'équation    I  . 

/  sommets.  —  Désignons  alors  par  x  onées  de  l'un  des  sommets  de  la 

conique     I   ;  le  coefficient  angulaire  de  la  tangente  en  ce  point  esl     — y     ou    — -—  i    celui  du 

en  exprimant  que  ces  deux   coefl  -      igulaires 


7 


rayon   qui   joint  l'origine  au  somn 

vérifient  la  c lilion  d'orlhogonalité, 

1  -i-  mm'4 
turons  l'équation  quadratique  des  a 

(À  —  i)xy  —  ~"f  —  x1)  eus  0  =  0. 
Dès  lors,  nous  n'avons  plus  qu'a  éliminer  X  entre  cette  équation  <'t  l'équation  -1    pour  obtenir  le 
lieu  des  sommets.  L'élimination  esl  linéaire,  immédiate,  '■!  donne  le  résultat  suivant  : 
(3)  --  2ry  cos  0  -h  y'2}  —  o!  xy  —  y1  cos  0   -    h-  .,  -  <_•"-  6  —  a  y    =  0. 

équation  représente  une  quarlique  circulaire  qui  a  l'origine  pour  point  double  el  pour  centre 

et  qui  passe  aux  points  a  l'infini  sur 
les   axes;  les  asymptotes   correspon- 
dantes   sont    les    axes    eux-mêmes. 
D'ailleurs  l'équation  a  été  Irouvi 
la  forme 

- 

—  Ir  .r  X  COS  'I  +  y)  =  0, 

-    cette    forme,    on 
immédiatement  que  le  lieu  pas 
quatre  sommets  du  parallélogramme, 
aux    points    de    rencontre    il'  - 
côtés  parallèles  à   <  lt/   avec  la  perpen- 
diculaire     1 1     menée  par  le  point  0, 
el  aussi  aux  points  de  rencontre  des 
deux  côtés   parallèles   à    Ox   avec   la 
perpendiculaire  à  i  la;  ;  enfin  m 
ration  du  plan  en  régions  est  immé- 
diate  l  a  ''"in  be  estalors  tisée  à  cons- 
truire    fig.    I  l  es    t   ii- 

■  sont  rectangulaires  :  sont 
les  bissectrices  des  di; 
parallélogramme.  Enfin  il  esl  facile  de 
discuter  1rs  intersections  de  cette 
coui  be  avi  c  une  droite  qui  tourne 
autour  du  point  0,  ;/  =  tx. 
Lieu  i  '      ;  -   L'équation  tangentielle  de  la  conique    l    esl 

ir- 

h-T--  =0, 

et,  par  suit  aux  coefficients  les  tangentes  menées  par  le  point   x,  y  esl 

0, 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


253 


ou  (bW  -+-  a-l  —  lxl)u-  —  11  xijuv  -+-  {b-l  +  aa  —  ly2)v-  =  0. 

Nous  exprimerons  que  le  point  [x,  y)  est  foyer,  en  identifiant  celle  équation  avec  l'équation  des 
[m iiu I s  cycliques 


nous  obtenons  ainsi 


h-l-  -+-  a-") —  ).x- 


ws  —  2md  cos  0  - 

Xxi/ 


0; 


cos  0 


b2l 


■w 


et  nous  n'avons  plus  qu'à  éliminer  X  entre  ces  deux  équations;  cette  élimination  est  encore  immédiate 
et  linéaire  et  conduit  à  l'équation  suivante  : 

(x2  cos  0  -|-  xy  —  a-  cos  Q)(xy  -+-  y-  cos  0  —  lr  cos  6)  —  arb2  cos2  0  =  0, 
ou 

(4)       xy{x  cos  0  +  y)(x  ■+-  y  cos  0)  —  h-  cos  (ix(x  cos  0  -+-  y)  —  a-  cos  ()y(x  -+-  y  cos  f')  =  0. 

C'est  l'équation  d'une  quartique  ayant   l'origine  pour  point   double  et  pour  centre   et  dont   les 

asymptotes  sont  les  axes 
et  les  perpendiculaires  aux 
axes  menés  par  le  point  O. 
En  adjoignant  à  ces  re- 
marques la  séparation  en 
régions  donnée  par  la  pre- 
mière forme  de  l'équation 
et  la  recherche  de  la  posi- 
tion de  la  courbe  par  rap- 
port aux  deux  asymptotes 

x  cos  0  +  ;/  =  0 
et      x  -t-  y  cos  6  =  0, 
on  pourra  tracer  la  courbe 
sans  difficulté  (fig.  2).—  Ici 
encore  les  tangentes  à  l'ori- 
gine sont  les   bissectrices 
de  l'angle  des   diagonales 
du  parallélogramme,  et  la 
discussion    des    intersec- 
tions de  la  courbe  avec  une 
droite  passant  à  l'origine, 
y  =  tx,     est  très  facile. 
2°  Lorsque  la  droite  i  passe  par  un  point  fixe,  le  point  du  lieu  est  déterminé  par  les  deux  équations 

u(x  —  a)  -t-  v(y  —  p)  =  0, 
u-(x2  —  a2)  —  v~(y'2  —  b2)  =  0  ; 
on  obtient  le  lieu  de  ce  point  en  éliminant  u  et  v  entre  les  deux  équations  ;  on  trouve  ainsi  la  cubique 
(5)  (x°-  -  a?)[y  -  p)2  -  (y2  -  b2)(x  -  a)2  =  0. 

Cette  courbe  a  un  point  double,  le  point  (a,  p)  ;  elle  est  donc  unicursale.  En  coupant  par  une  droite 
variable  passant  au  point  double,  y  —  p  =  t{x — a),  on  obtient  de  suite,  pour  .r  et  y,  deux  expres- 
sions rationnelles, 

I  aH*  +  {ta  —  P)s  —  6a 


(6) 


2<(<a—  P) 

a-l2—  (fa  —  fi)2  —  b\ 

2(/«-P) 


25 1 


GÉOMÉTRIE     VNALYTIQ1  I 


nous  servirons  concurremmenl  des  équations  5)  el  6  pour  construire  cette  courbe.  L'équa- 
tion (5)  nous  montre  immédiatement  que  la  courbe  passe  aux  quatre  sommets  du  parallélogramme,  et 
qu'à  l'extérieur  de  cette  figure^  il  n'y  a  aucun  poinl  du  lieu  contenu  dans  les  régions  comprises  entre 

deux  côtés  parallèles  :  celte  équation  nous  monl n  outre  que  les  directions  asymplotiques  sonl  Oar, 

;-'■  —  ■/.;/  =  0,    c'est-à-dire  les  parallèli  s  aux  côtés  du  parallélogramme  et  la  droite  qui  joinl  le 
centre  au  poinl  donné. 

Les  équations   6   nous  eussent  donné  aisémenl  ces  derniers  renseignements;  elles  vonl  nous  en 

donner  d'autres.  Cherchons  les 
conditions  pour  que  la  courbe 
rencontre  les  axes  de  coor- 
données, Ox  el  Oy  :  il  faut 
pour  cela  que  les  deux  équa- 
tions du  second  degré  eu  /. 
y  =  i),  x  =  0,  aienl  leurs 
racim  s  réelles,  ce  qui  exige 
que  les  inégalités 

a-         B« 

-,-fr-KO 

n-       li- 


;-+-!  >  0 


soient   vérifiées.  Construisons 

alors  les  deux  hyperboles  con 

■lî 


juguees     - 


\   =  0       ri 


r 


jï-Ji  +  l  =0       fig.   3   :    la 

première  divise  le  plan  en 
trois  régions,  el  dans  la  ré- 
gion de  l'origine,  la  fonction 

Fig.   3  I  V" 

—  —  f-  —  \     est   négative  ;    la 

il-         lr 

seconde  divise  de  même  le  plan  en  trois  régions,  el  dans  la  régi le  l'origine  la  foncti sorrespondante 

./•-      if1 

—  —  jrj-f- 1     es!  positive;  cela  fail  en  tout  cinq  régions;  il  faudrail  que  le  poinl    ■>.  8J  fûl  dans  la  région 

qui  contienl  l'origine  pour  que  les  deux  conditions  indiquées  fussenl  réalisées.  Nous  n'examinerons 
qu'un  cas,  le  cas  où  le  poinl  P  esl  dans  le  premier  angle  des  axes,  à  l'extérieur  du  parallélogramme, 
à  l'extérieur  de   la  première  hyperbole  et  à  l'intérieur  de  la  seconde;   alors  on  a     *  >  n,     B  >  b, 


/,- 


1<0      et 


^1<0' 


el    ces   inégalités   se   réduisenl    à 


?>/', 


Les  asymptotes   parallèles  aux   axes  s'obtiennenl  en  faisanl     i      0    dans  y  el 
t  ~  oc     dans  a  :  on  a  ainsi 

il  =  — — —  il  x  =  . 

el  l'on  \  érifie  de  suite  que 

l>  <  y  <ï,  «  <  x  <  a  ; 

ces  inégalités  permettenl  de  placer  1rs  deux  asymptotes.  Pour  /  infinimenl  petil  el  positif,  x  esl  positif 
el  l'y  de  lac be  est  supérieur  à  celui  de  l'asymptote  ;  pour  t  infiniment  petit  et  négatif,  les  choses 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


contraires  ont  lieu.  Si  /  esl  infiniment  grand  et  posilif,  y  est  négatif  et  l'a  de  la  courbe  esl  moindre  que 
celui  de  l'asymptote  ;  si  t  est  infiniment  grand  et  négatif,  c'est  le  contraire  qui  a  lieu.  On  a  ainsi  aisé- 
ment la  disposition  de  la  courbe  par  rapport  à  ses  deux  asymptotes. 


La  troisième  direction  asymptotique  correspond  à    t  =  —     et  le  rapport 


se  réduit,  pour 


cette  valeur,  à    —  ;    on  obtient  l'ordonnée  à  l'origine  de  l'asymptote  correspondante  en  cherchant  la 

a 

0  .      .      o2V-—b-y.- 


limite  de    y —  x    quand  /  tend  ver 

est  m 


on  trouve  ainsi 
w-v  —  b-y. 


■i-,:-; 


et  l'équation  de  l'asymptote 


0; 


k  = 


cette  droite  passe  entre  l'origine  et  le  point  ( — a,  —  6).  Il  est  inutile  de  chercher  autre  chose  :  en 
se  rappelant  que  la  courbe  ne  peut  rencontrer  chacune  de  ses  asymptotes  qu'en  un  point  à  distance 
finie  et  que  le  point  a,  3j  est  un  point  double  à  branches  réelles,  on  peut,  avec  tous  les  résultats  qui 
précèdent,  tracer  immédiatement  la  courbe.  Pour  plus  de  précision,  on  peut  remarquer  en  outre  que  la 
courbe  passe  au  point  où  se  rencontrent  les  asymptotes  parallèles  aux  axes. 

Si  nous  voulons  exprimer  que  la  courbe  se  décompose  en  une  droite  et  une  conique,  il  faudra 
exprimer  qu'une  parallèle  à  une  direction  asymptotique  menée  par  le  point  double  est  tout  entière 
renfermée  dans  l'équation  de  la  courbe,  c'est-à-dire  rencontre  cette  courbe  en  tous  ses  points.  Si  l'on 
applique  ce  procédé  à  x — a  =  0,  on  trouve  la  condition  a-  —  a2  =  0,  et  la  conique  associée  à  la 
droite  a  pour  équation 

[x  +  a)(y—  P)2  —  (*-»    f  —  62)  =  0; 
si  l'on  applique   le  procédé   à  la   droite     y —  f$  =  0,     on  trouve  la   condition     V  —  //- =  0,     et   la 
conique  associée  à  la  droite   a   pour   équation     '.<-'  —  -/-    y — 3 —  x  —  *)\y -+- {J)  =  0  ;     enfin  si  on 
l'applique  à  la  droite     ay  —  3j  =  0,     on  trouve  la  condition     a'2  3- —  //V  =  0,     et  la  conique  associée 

à  cette  droite  a  pour  équation 

2ji/  —  i.r  —  xy  —  k  2if3  —  '}.c  —  ai/)  =  0, 

'  i-*  ' 

¥ 

On  voit  donc  que  la  cubique  ne  se  décompose  que  quand  le  point   P   est  situé  sur  les  côtés  ou  sur 

les  diagonales  du  parallélogramme.  VASNIER,  lycée  de- Versailles. 

Bonne  solution  de  M.  Eu<r.  Barré  Douai!.  Ont  traité  la  question  :  MM.  Pelussieo  (Lyon);  F.  Pégorier,  répétiteur  au  collège 
de  Cette. 

Solution  géométrique  —  1"  Le  procédé  que  nous  avons  indiqué  pour  déterminer  sur  une  droite 
quelconque  A  le  milieu  du  segment  limité  par  les  deux  points  de  contact  de  cette  droite  avec  les  coniques 
circonscrites  au  parallélogramme  et  touchant  la  droite,  est  entièrement  géométrique  et  fournit  immédiatement  et 

sans  calcul  le  premier  lieu  :  c'est  la  conique  du  faisceau  qui 
admet  la  direction  de  A  pour  l'une  de  ses  directions  asymp- 
totiques. 

Le  lieu  des  sommets  de  cette  conique,  quand  la  direction 
de  A  varie,  est  le  lieu  des  sommets  des  coniques  du  faisceau. 
Pour  déterminer  l'ordre  de  ce  lieu,  cherchons  le  nombre  des 
-mi, mets  qui  sont  situés  sur  une  droite  quelconque  u.  A  cet 
effet,  considérons  un  point  M  pris  n'importe  où  sur  cette 
droite  et  déterminons  le  point  M'  conjugué  de  M  par  rapport 
aux  coniques  du  faisceau  ;  c'est  le  point  de  concours  des  deux 
polaires  de  M,  m  et  m',  par  rapport  aux  couples  de  droites 
AD,  CD  et  AD,  DC.  La  droite  MM'  est  alors  la  tangente  à  la 
conique  du  faisceau  qui  passe  en  M,  en  ce  point  même. 
Quand  M  décrit  la  droite  u,  le  point  M'  décrit  une  hyperbole 
dont  les  asymptotes  sont  parallèles  aux  côtés  du  parallélo- 
gramme; le  faisceau  m  qui  projette  celle  ponctuelle  du  point  à  l'infini  sur  AD  tst  homographique  à  la  série  M  ; 


256  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


la  ponctuelle  du  premier  ordre  M.  el  la  ponctuelle  du  second  ordre  M'  sont  donc  rapportées homographiquement 
l'une  à  l'autre,  et,  par  suite,  la  droite  MM'  engendre  un  faisceau  de  rayons  au  troisième  ordre  donl  u  est  un 
raj  "M  di 

D'autre  part,  la  droite    MM     perpendiculaire  a   OM    enveloppe  une  parabole  donl    m   est  la  tangente  au 

sommet;   elle  engendre  donc  un    faisceau  de  rayons  «lu   second  ordre  dont    m   est  un  rayon  simple.  Les  deux 

i\  mit  six  rayons  communs  dont  deux  coïncident  avec    »  :    par  suite,  il  y  a  qu  Lire  positions  du  point    M 

pour  lesquelles  les  deux  rayons   MM'  et   MM,    coïncident  ;  il  y  a  donc  quatre  sommets  situés  sur  la  droite    i.  I  e 

lieu  ,1e-  -  si  ainsi  une  courbe  du  quatrième  ordre. 

Il  \  a  deux  sommets  a  l'infini  qui  sonl  en  évidence  ;  ce  sonl  les  point-  à  l'infini  sur  Al!  et  AD  :  car  on  peut 

i  uple  de  droites    Al;,    cl)    comme  un,'  ellipse  infinimenl  allongée  donl   les  deux  s U  du  grand 

it  à  l'infini  sur  AI'.:  les  deux  autres  sommets  sont  les  points  de  rencontre  de  \l'.  el  CD  avec  la  perpen- 
diculaire a  Al;  menée  par  le  point  n  :  i  choses  se  répètenl  pour  l'autre  couple  AD,  BC.  s,  maintenant 
on  considère  un,-  conique  imaginaire  de  seconde  espèce  ayant  une  direction  isotrope  pour  direction  asymptotique, 
on  sait  que  ses  sommets  sonl  a  l'infini  au  point  cyclique  correspondant.  Les  deux  autres  points  a  l'infini  -ont  donc 

IX   point-    I    et    .1. 

Enfin  il  est   évident   n  priori  que  !<■  point    0    est  un  centre  du  lieu  et  il  on  résulte,  on  particulier,  que  les 

asymptotes  passent  en   <».    Il  y  a  des  coniques  du  faisceau  qui  mit  pour  soi ils  les  points   A.    B,    <  ,    I'.   ces 

point-  font  ilono  partie  du  lieu.  Considérons  enfin,  pour  terminer,  la  conique  composée  des  deux  diagonales 
ai  el  BD  ;  ses  quatre  sommets  sonl  confondus  en  0  dans  les  directions  des  deux  bissectrices  de  ces  droites  ;  par 
conséquent,  le  point  i>  esl  un  point  double  du  lieu,  et  les  tangentes  en  ce  point  -nul  les  deux  bissectrices  des 
diagonales.  Nous  avons  retrouvé  ainsi  toutes  les  particularités  du  lieu  dos  sommets. 

Passons  maintenant  au  lieu  des  foyers,  si  nous  menons  par  l'un  des  points  cycliques,  I.  une  droite  quel- 
conque \j,  elle  esl  tangente  à  >\vn\  , 'unique-  du  faisceau  ;  il  y  a  donc  quatre  tangentes  issues  du  point  .1.  '-t.  par 
suite,  quatre  foyers  situés  sur    I  >.    lien  résulte  que  le  lieu  une  courbe  du  quatrième  ordre,  si  le 

point    I    n'est  pas  sur  le  lieu.  Or  comme  il   n"\  api-  de  parabole  propre  dans  le  système,  pour  aucune  position 
de    [pi    la  tangente  issue  de    .1    n'est  à  l'infini;   le  point    I    n'est  dune  jamais  foyer.  Il  \  a  bien  deux  paraboles 
impropre-  dans  le  système,  les  couples  Ail,  CD  el  Al),  BC  ;  mais,  pour  chacune  d'elle-,  la  droite  de  l'infini  toul 
entière  est  un  lieu  de  foyers  ;  cette  droite  s'élimine,  ne  fait  pas  partie  du  lieu  précédent,  et  1,-  point    1    n'es 
sur  ce  lieu. 

Les  points  à  l'infini  de  celle  quartique  résultent  immédiatement  de  la  considération  des  deux  paraboles 
impropres  assimilées  à  des  ellipse-  infiniment  allongées.  Si  l'on  considère,  par  exemple,  le  couple  AU.  CD  comme 
une  ellipse  de  ce  genre,  le-  foyers  sont  à  l'infini  sur  la  direction  AU  et  sur  la  direction  perpendiculaire.  La 
quartique  a  donc  pour  directions  asymptotiques  les  côtés  du  parallélogramme  el  les  deux  directions  perpendi- 
culaires. 

L'origine  étant  un  centre  évident,  les  as\  mptotes  p  tssenl  par  le  point  1 >.  Enfin  la  considération  de  la  conique 
impropre,  réduite  aux  deux  diagonales,  nous  montre  encore  que  le  point  (I  est  un  point  double  el  que  les 
tangenti  -  i  n  ce  point  sont  les  bissectrices  de  l'angle  des  deux  diagonales. 

2  l'om  h ouver  le  second  lieu,  appelons  I»  le  point  •/,  -.  ,  autour  duquel  tourne  a.  Sur  chaque  à 
issue  du  point  I',  il  y  a  un  point  du  lieu  autre  que  le  point  I',  en  dehors  du  point  à  l'infini;  mais  |,<  point  a 
l'infini  décrit  la  droite  de  l'infini,  el  clic  droite,  qui  ne  fait  d'ailleurs  partie  du  lieu  à  aucun  titre,  s'élimine 
d'elle-même.  Cherchons  combien  de  fois  le  point  signalé  vient  au  point  U  ;  il  suffit,  pour  cela,  d'envisa 
conique  du  faisceau  qui  passe  en  I'.  ci  de  mener  par  ce  point  les  deux  parallèles  aux  directions  asymptotiques 
ique  :  ces  deux  droites  donnent  toutes  deux  le  point  U  comme  point  du  lieu,  et  ce  sonl  le-  seules  ;  ce 
sont  d'ailleurs  les  deux  tangentes  en  ce  point.  I.e  lieu  esl  donc  une  cubique  qui  admet  le  point  I'  comme  point 
double. 

Ce  point  double  est  è.  tangentes  réelles  ou  imaginaires  suivant  qu'il  est  dans  les  régions  du  plan  par  où 
passent  les  hyperboles  du  laisceau  ou  dans  celles  qui  -ont  recouvertes  pu  le-  ellipses  du  faisceau.  Ces  diverses 
régions  se  reconnaissent  immédiatement. 

Enfin  il  e-t  évident  que  les  points  A,  I',,  C,  U  tout  partie  du  lieu,  ainsi  que  le-  points  à  l'infini  sur  les  côtés 
,lu  parallélogramme.  Si  enfin  on  mène  la  droite  OP,  l'un  des  points  doubles  ,],•  l'involution  déterminée  sur  celle 
droite  esl  le  point  0;  l'autre  esl  le  point  conjugué  de  0;  il  e-t  à  l'infini,  et.  par  suite,  le  poinl  du  lieu  situé 
sur  OP  esl  le  point  à  l'infini  de  celle  droite.  Nous  connaissons  donc  les  trois  direction-  asymptotiques. 

Il  est  visible  que  ce  lieu  ne  peut  s,,  décomposer  que  -'il  y  a  une  droite  passant  au  poinl  U  point  double 
pour  laquelle  l'involution  tracée  par  le  faisceau  ail  ,1e-  points  doubles  indéterminés.  Cela  exige  que  le  point  I'  -oit 
sur  l'une  des  tes  communes  aux  coniques  du  faisceau.  I.e  véritable  lieu  est  alors  une  conique  passant 

au  point   P. 

I  [  1 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  2o7 


411.  —  On  considère  une  parabole  et  un  point  A;  on  mène  une  droite  quelconque  D  et  on  joint  tes 
points  de  rencontre  <!<■  cette  droite  avec  la  parabole  an  point  A. 

1°  On  demande  l'équation  de  tu  droite  D'  qui  joint  les  deux  autres  points  de  rencontre  de  ces  droites 
avec  lu  parabole. 

2°  Ni  lu  droite  I)  tourne  autour  d'un  point  fixe  P,  /"  droite  W  tourne  autour  d'un  point  /ire  P'. 
Trouver  les  coordonnées  de  P  connaissant  celles  de  P'. 

it°  Quand  le  point  P  décrit  un  cercle,  le  point  P'  décrit  une  conique.  Lieu  des  points  A  pour  lesquels 
celle  conique  est  une  hyperbole  équilatère. 

•4°  Pour  quelles  positions  du  point  A  celle  conique  est-elle  un  cercle  '.' 

Lieu  de  ces  points  quand  le  rayon  du  cercle  varie  seul . 

1°  Prenons  pour  axes  des  x  et  des  y  l'axe  de  la  parabole  et  la  tangente  au  sommet  et  désignons  par 
'/-  —  22^a;  =  0     l'équation  de  celle  courbe,  par  a  et  (3  les  coordonnées  du  point  A,  et  par 

L)  =  ux  -+-  vij  -t-  w  =  0,  D'  =  u'x  -+-  o'y  -+-  ir'  =  0 

les  équations  des  deux  droites  I)  cl  I)'.  Parmi  les  coniques  qui  passent  aux  points  de  rencontre  de  la 
parabole  et  des  droites  D  et  D',  il  doit  s'en  trouver  une  qui  se  réduise  à  deux  droites  se  coupant  en  A  ; 
nous  aurons  donc  les  relations  qui  existent  entre  les  droites  D  et  D'  en  exprimant  que,  pour  une 
certaine  valeur  de  A,  la  conique 

l{y'2  —  %px)  -t-  DD'  =  0 

admet  pour  point  double  le  point  A,  c'est-à-dire  que  les  trois  dérivées  partielles  de  la  fonction 
précédente  sont  nulles  pour    x  =  a,     y  =  p.     Posons  alors 

p  =  wj.  -+-  v'p  ■+■  u\  P'  =  u'-x  -+-  u'p  -+-  w'  ; 

nous  aurons  de  suite,  en  procédant  comme  il  est  indiqué,  les  relations  qui  suivent  : 

—  2pX  +  uV  ■+-  u'P  =  0, 
2Xp  +  uP'-+-»'P  =  0, 
—  2/Aa  +  wï"  -h  iv'V  —  0  ; 
en  les  multipliant  par  x,  p,  1  et  ajoutant  les  résultats  obtenus,  nous  trouvons  une  nouvelle  relation 

X(pJ  —  2jO*)-r-PP'  =  0. 
Rien  n'est  plus  facile  alors  que  d'avoir    u',  o ,  w'   en  fonction  de    u,  v,  w   :    il  suffit  de  tirer  P'  de 
cette  dernière  équation  et  de  porter  dans  les  trois  autres;  nous  obtenons  ainsi  : 

f    O'u'  =  2pP-|-(P8  —  2pa)w, 

(i)  ev  =  —  sap  -+-  (f-  —  2pz,v, 

(    OV  —  2/wP  -+-  {¥-  —  2pa  w, 
équations  où  8'  désigne  le  facteur   — ■    Nous  trouverions  de  même,  en  éliminant  P,  les  valeurs  de 
u,  v,  w   en  fonction  de  celles  de   u',  v',  w'  ;    elles  sont  fournies  par  les  mêmes  expressions  algébriques, 

I     Du  =  2pP'  +  (ps_  2pa)u', 
(2)  j   Do  =  —  2PP'  -+-  (fp-  —  2j?a)i/, 

'    (lie  —  2/)xP'  -+-  (fi2  —  2py.)u:', 

et  ceci  nous  montre  en  passant  que  la  relation  qui  lie  les  droites  I)  et  D'  est  complètement  réciproque, 
c'est-à-dire  que  ces  droites  sont  accouplées  involutivement. 

2°  Soient  alors  .r,  y,  z  les  coordonnées  du  point  P  autour  duquel  tourne  la  droite  t)  :  les  c - 

données  de  cette  droite  sont  liées  par  la  relation     ux -hvy  -+-  wz  =  0,     et,  d'après  les  équations   2;, 


GÉOMÉTRIE  AN  W.YIhjl  I. 


cette  relation  esl  équivalente  à 

2P  /'.'■—  .-y  4-/'^:,,  H-  ■''/—  -/'*    nx—ri/  —  ir'z    =  0; 
mais  celle-ci  étant  linéaire  en  exprime  que  la  droite    I'    tourne  autour  du  point  fixe    P    donl 

- 

+  2iH, 

.■•II.  .' 

:       -    -Jll.        ] 

en  désignant  par   II    la  fonction  linéaire    px  —  $y-*-p*z    et  par   ùj    un  certain  facteur,  quelconque 

d'ailleurs.  Un  calcul  complètement  semblable,  appliqué  aux  équations    1),  donne  les  coordonnées  du 

P   en  fonction  de  celli  -  du  point    V  ;   nous  trouvons  ainsi  des  équations  toul  à  fail  pareilles  aux 

équations  (P'), 

0,3:  =  (p*  —  2  2  1  !  .      , 

0,y  =  (.6S  —  2/>%'h-2PH',         P 
0,i  =    p»  —  2pt)2  --II.       N 
et  dans  lesquelles  11   désigne  la  fonction  linéaire    ^i —  Py'-\-pxz'. 

3  Soil     a  -'  -'"/:  —  c;2  =  0    le  cercle  décril  par  le  point   F:   nous  aurons  le  lieu 
spondant  décril  pai  le  poinl    P*   en  portant  dans  cette  équation  les  valeurs  que  les  égalités    P 

fournissent  pour  a-,  </.  :  :  aous  obtenons  ainsi,  en  désignant  par  K.  pour  abréger,  le  nombre    y~  2pa, 
K-       .11  lv,       J.ll     -2a(Ka/+2aH    K:       2H        26(Kj/    -  J-ll  >  K;       2H  K:       _<ll-'  =  0: 

le  lieu  du  poinl   P   esl  donc  une  conique.  Les  directions  asymptotiques  de  celte  conique  sont  fournies 
par  l'équation 
: (K  +  ~->*p)x  —  2*i.</  K       2p     ,       -r?'1—  -"    K       2sp)x—  2afty    1 

—  26[(K  — 2  _  i  -:,;-  =  0, 

et  iinii>  exprimerons  que  c'est  une  hyperbole  équilatère  en  annulant  la  somme  des  coefficients  de  ars 
et  de  yi;  nous  sommes  ainsi  conduit  a  l'équation 
K-i-2i-7  J  +  (K  —  2i'-)s -i- 4a- -         ;  -',  i    :         26[4/>*p  —  2p(K-   - 

-+-  c[A]f-  +  4?!)  =  l). 
En   ordonnant    cette   équation   par  rapport  aux    puissances   décroissantes   de    K,   et   en   posant 
C  =  a!  _  on  obtient  aisément  l'équation  plus  simple 

:;  K;        _  l  ps)C  =  0. 

Lion  du  lieu  demandé;  ce  Heu  est  une  quartique  qui  admet  un  point  double 
à  l'infini,  dans  la  direction  Oc;  les  1  ingi  ntes  en  ce  poinl  sont  imaginaires  :  les  autres  directions 
asymptotiques  sont  imaginaires;  par  suite  la  courbe  est  fermée.  Elle  rencontre  la  parabole  en  six 
points   ;   'ii  quatre  sonl  sui  le  cercli  donne,  les  deux  autres  sui  la  directrice  :  ces  courbes  onl  en  outre 

deux  j il-  communs  a  l'infini  sur  o.r.  Enfin  I  >uj ncore  ce  lieu  en  quatre  autres  points  qui 

rallèles  ii  l'axe  de  la  parabole  men  -  points  de  contact  des   tangentes  a  la 

parabole  issues  du  centre  du  cercle. 

4  Pour  que  le  lieu  du  poinl    I'    soit  un  cercle,  il  faut  que  les  < [ficienls  de    r-    et  de   y 

[ue  le  coefficient  de    xy   soil  nul.   Les  deux  équations  obtenues  ainsi,  el   ordonnées  par 

rapport  aux  puissanci  -  Les  de  l\.  se  ramènent  aisémenl  aux  équations  simples 

h   ;.   -.-I,:    I    r  p3        y  C         t>, 

K        i  lr;X.    -  0. 

,1   les  équa  léterminenl  le  point    A:   chacune  de  ces  équations  représente   une 

courbe  du  quatrième  degré  :  il  j  a  donc  lt'>  positions  du  point    A   pour  lesquelles  la  conique  qui  corres- 
pond i  le.  Parmi  ces  poil  ni  .à  l'infini,  quatre  sont  à  l'intersection 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


259 


du  cercle  et  de  la  parabole;  ces  onze  points  sont  des  solutions  impropres;  il  y  a  enfin  quatre  points 
communs  situés  sur  les  droites     (32-i-p2  =  0.     Il  reste  donc  une  solution  véritable. 

Pour  avoir  le  lieu  du  point  A  quand  le  rayon  du  cercle  varie  seul,  il  suffît  d'éliminer  C  entre  les 
deux  équations  précédentes.  On  obtient  ainsi  le  lieu  total  K;!+|)!)[p(i  —  a)-i-p($  —  6)1  =  0,  c'est- 
à-dire  la  parabole  donnée,  K  =  0,  les  diamètres  menés  par  les  points  de  contact  des  tangentes  iso- 
tropes,    i2-\-p-  =  0,     et  l'hyperbole  d'Appolonius  du  centre  du  cercle,  du  point  [a,  b  . 


Solution  géométrique.  —  1°  et  2°  Il  résulte  des  propriétés  géométriques  de  la  polaire  que  les  droites 
U  et  D'  se  coupent  sur  la  polaire  du  point  A,  H,  et  qu'une  droite  quelconque  issue  de  ce  point  coupe  ces  deux 
droites  en  deux  points  harmoniques  par  rapport  au  point  A  et  au  point  qui  est  sur  H.  La  transformation  de 
figure  indiquée  dans  l'énoncé  est  donc  une  homologie  particulière,  dans  laquelle  A  est  le  centre  d'homologie, 
II  l'axe  d'homologie,  et  telle  que  la  parabole  se  transforme  en  elle-même. 

Si  la  droite  D  tourne  autour  d'un  point  P,  la  droite  correspondante  D'  tourne  autour  du  point  correspon- 
dant P';  ces  deux  points  sont  alignés  avec  le  point  A  ;  enfin  on 
sait  que  si  l'un  de  ces  points  décrit  un  cercle,  l'autre  décrit  une 
conique  dont  les  points  à  l'infini  correspondent  aux  points  de  ren- 
contre du  cercle  avec  la  droite  de  son  plan  qui  est  l'homologue  de 
la  droite  à  l'infini  situéedans  l'autre  plan.  Or  la  droite  qui  corres- 
pond à  la  droite  de  l'infini  est  la  tangenle  parallèle  à  H  ;  elle  coupe 
le  cercle  donné  en  M  et  N  ;  les  directions  asymptotiques  de  la 
conique  correspondante  sont  donc  AM  et  AN. 

3°  Pour  que  la  conique  correspondante  au  cercle  (C)  soit  une 
hyperbole  équilatère,  il  faut  que  le  segment  MN  soit  vu  du  point  A 
sous  un  angle  droit,  c'est-à-dire  que  le  cercle  décrit  sur  MN  comme 
diamètre  passe  au  point  A.  On  aura  donc  le  lieu  de  ce  point  de  la 
façon  suivante  :  sur  chaque  sécante  au  cercle  (C),  tangente  à  la 
parabole,  on  décrit  un  cercle  ayant  pour  diamètre  la  portion  inter- 
ceptée par  le  cercle  (C),  et  on  prend  les  points  de  rencontre  de  ce 
cercle  avec  le  diamètre  conjugué  de  cette  tangente  ;  on  obtient  deux 
points  dont  le  lieu  e>t  le  lieu  des  points  A  pour  lesquels  le  cercle  (G) 
est  transformé  en  hyperbole  équilatère.  Parmi  ces  tangentes,  deux 
sont  isotropes;  pour  elles  le  cercle  décrit  sur  MN  comme  diamètre 
se  réduit  à  la  tangente  MN  et  à  la  droite  de  l'infini  ;  l'un  des  points 
de  rencontre  va  donc  à  l'infini  deux  fois,  dans  la  direction  Ox,  et  les  deux  asymptotes  sont  les  diamètres  des 
tangentes  isotropes,  y2 -h  p2  —  0.  Le  lieu  est  donc  du  quatrième  ordre.  Il  est  évident  qu'il  coupe  la  parabole 
aux  quatre  points  de  rencontre  avec  le  cercle  (C)  et  aux  deux  points  de  contact  des  tangentes  isotropes.  D'autre 
part,  le  cercle  décrit  sur  MN  comme  diamètre  coïncide  deux  fois  avec  le  cercle  (C),  quand  la  tangente  passe  au 
centre  de  ce  cercle  ;  donc  le  lieu  coupe  encore  le  cercle  en  quatre  points  situés  sur  les  diamètres  correspondant 
à  ces  tangentes. 

4°  11  nous  reste  à  chercher  dans  quels  cas  cette  conique  est  un  cercle  ;  il  faut  pour  cela  que  les  deux  droites 
AM  et  AN  soient   deux  droites  isotropes,  c'est-à-dire  que  le   point  A  soi!  l'un  des   centres  des  cercles  de  rayon 

nul  du  faisceau  linéaire  déterminé  par  le  cercle  w  et  la  tangente  BC  à  la 
parabole  ;  le  point  A  doit  donc  être  sur  la  perpendiculaire  abaissée  de  u 
sur  la  droite  BC  et  de  plus  il  doit  être  l'un  des  points  doubles  de  l'invo- 
lution  qui  a  pour  point  central  le  point  D  et  pour  éléments  conjugués  les 
points  de  rencontre  du  cercle  u  avec  le  diamètre  uA.  Pour  un  cercle 
donné  w  le  point  A  est  donc  à  l'intersection  de  deux  lieux  :  le  premier 
lieu  est  le  lieu  des  points  de  rencontre  de  chaque  aboie 

avec  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  u>  sur  la  direction  conjuguée  : 
le  second  lieu  est  le  lieu  des  points  doubles  des  involutions  déterminées  sui- 
tes diamètres  du  cercle  <u  par  les  systèmes  de  cercles  dont  w  fait  partir  et 
dont,  à  chaque  fois,  l'axe  radical  est  la  tangente  à  la  parabole  perpendicu- 
laire au  diamètre  nt<  ne       .  s  le  cercle  co. 

Le  premier  lieu  est  bien  connu  :  c'est   l'hyperbole  d'Appolonius  du  point  A.  Il  est  d'ailleurs   facile  de  le 


260  CONCOl  RS    DE    1893 


directement  :  car  le  faisceau  des  diamètres,  AB,  est  homographique  à  celui  des  directions  conjuguées  . 
en  outre  le  faisceau  \  est  rectangulaire  au  faisceau  des  directions  conjuguées  ;  donc  les  deux  faisceaux  > ■■  \  el 
\i;  sont  homographiques  ;  par  suite,  le  lieu  de  A  est  une  conique  qui  passe  en  ui  et  au  point  à  l'infini  <ur  Qx  : 
il  est  ,111  surplus  évident  qu'elle  passe  aux  pieds  des  normales  abaissées  de  m  <nr  la  parabole  ;  donc  cette  conique 
coïncide  avec  1  hyperbole  d'Appolonius  du  point  <■>. 

Ce  lieu  est  indépendant  du  rayon  du  cercle  <•>:  donc  c'est  le  lieu  du  point  A,  pour  lequel  la  conique  corres- 
pondanle  au  a  un  cercle,  quand  le  rayon  du  premier  cercle  varie. 

Quant  au  second  lieu,  c'est  une  courbe  du  troisième  ordre  qu'il  sérail  Facile  d'étudier  géométriquement. 
Mais  cela  est  sans  intérêt  pour  nous;  il  nous  suffit  de  constater  que  les  points  A  pour  lesquels  la  conique 
correspondante  du  si  un  autre  cercle  ne  se  présentent  pas  ici  de  la  même  façon  que  dans  la  première 

:  ils  sont  ici  l'intersection  d'une  conique  et  d'uni'  cubique  qui  passenl  toutes  deux  au  point  <■■. 

\         lu  la  queslinu  :  M.  E.  Barré   l> 


ECOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE    Conc -s  de  1895/ 


Physique.     /' 
430.        /  h  calorimètre  à  glace  contient  de  l'alcool  dont  on  provoque  l'évaporation  par  le  passage  d'un 
courant  d'air  pris  à  0°.  On  demande  quelle  quantité  d'air  il  faut  faire  passer  à  travers  l'alcool  pour  en 
évaporer  I  gramme  :  et  quel  poids  de  glace  est  formé  par  celte  évaporalion. 
Chaleui  de  fusion  de  la  glaci  ...... 

Chaleur  de  vaporisation  de  l'alcool  à  0" 230' 

Tensi le  vapeui  de  l'alcool  à  0 12     ."  de  mercure 

Di  nsité  de  rapeui  de  l  alcool 1 ,59 

Qu'arriverait-il  si  le  courant  d'air  était  chaud? 

On  doit  admettre  que  l'air,  en  barbotant  dan-  l'alcool,  se  salure  de  vapeur.  Si  la  pression  atmos- 
phérique esl  Ti'iir"".  le  poids  de  cet  air,  supposé  sec,  esl  donné  par  la  formule  suivante,  qu'on  obtient 
aisément  en  écrivant  que  l'air  et  la  vapeur  se  mélangent  dan-  le  même  volume, 

1     760—12,7 
X=i,,,         MJ  378P'°08 

Le  volume  initial  <\r  cel  air,  sec ton,  est  de  28  ',622. 

Le  poids  de  glace  formé  esl 

236 
»=«f  =  "• 
Si  le  courant  d'au  était  chaud,  il  céderait,  en  se  refroidissant  d'abord  à  0°,  une  certaine  quantité 
de  chaleur  au  calorimètre  et,  suivant  que  cette  chaleui   serait  inférieure,  égale  ou  supérieure  à  la 
chaleur  de  vaporisation  de  l'alcool,  la  quantité  de  glace  contenue  dans  le  calorimètre  augmenterait, 

'il  stalionnair i  diminuerait.   Le   poids  d'air   nécessaire   pour   produire   l'évaporation   d'un 

gramme  d'alcool  serait,  d'ailleurs,  toujours  le  même. 

— ♦ — 

CONCOURS  DE   1895    Suite  . 


ÉCOLE     NORM VLE     SI   PÉRIEURE 
/  pure. 
455.       i  In  donne  le  trian   le         .     o'a'  : 


. 

x  =  2p,n, 

y  =  10     . 

5  =    10' 

O,   0 

3'  =  —  6om, 

y  =  4"«\ 

;  =  10' 

a,  a' 

X  -    Y". 

y  =  4"°, 

:  —  10e 

CONCOURS    DE    1895 


261 


Le  point  s,  s'  est  le  sommet  d'un  cône  admettant  pour  plan  principal  le  plan  horizontal  s',  pour  axe  la 
droite  so,  s'o'  ;  pour  génératrice  principale  sa,  s'a'  et  pour  base  dans  le  plan  de  front  oa  une  certaine 
circonférence  c,  c'  qui  est  déterminée.  On  considère  d'autre  part  le  tore  engendré  par  celte  même  circonfé- 
rence c,  c'  en  tournant  autour  de  la  verticale  o. 

Représenter  le  solide  commun  au  tore  et  au  cône. 

(25  juillet.  —  Durée  :  1  heures.) 

ÉCOLE    DES    PONTS    ET    CHAUSSEES 

Cours  spéciaux. 

Analyse  et  Trigonométrie. 
Sur  la  normale  à  une   courbe  quelconque    C,    on  porte  à  partir  du  pied    m    et  dans  la  direction  du 
centre  de  courbure    \i    une   longueur    mn    égale  à   Xp,     (p  représentant  le  rayon  de 
courbure  et    A    un  coefficient  constant  qui   peut  recevoir  des   valeurs   positives   ou 
négatives.) 

On  demande  : 

1°  De  déterminer  en   fonction   des  éléments  caractéristiques  de  la  courbe    C   au 
point  m  la  tangente  à  la  courbe  K  lieu  du  point  n  ; 

2°  D'écrire  la  condition  analytique  à  laquelle  la  courbe    C    doit  satisfaire  pour  que 
la  courbe  K  se  réduise  à  une  droite  :  examiner  ce  que  devient  cette  condition  dans  les  cas  simples  où  X  est  égal 
1 


456 


t     ou  a    ± 


B    et    C   et  la  surface  d'un  triangle    ABC 


457.  —  Calculer  les  côtés,  les  angles 
dans  lequel  on  donne  : 

L'angle    A  =  62°  20'  3b"  ; 

La  hauteur  BH  ou    /(  =  4332m  ; 

La  hauteur  CK  ou    k  =  19i5"\ 

(25  septembre,  de  S  h.  112  à  midi.) 

Mécanique. 

458.  —  Un  point  de  masse  m  est  attiré  vers  deux  centres  fixes  O  et  O'  par  des 
forces  proportionnelles  aux  distances  respectives  du  point  mobile  à  ces  points  fixes  ; 
déterminer  la  trajectoire  du  point  m. 

Examiner  en  particulier  ce  que  devient  cette  trajectoire  dans  le  cas  où  le  point  m 
part  du  repos  et  déterminer  dans  ce  cas  la  loi  complète  de  son  mouvement. 

(25  septembre,  de  1  h.  1/2  à  5  II.  1/2.) 

Épure  de  Stéréotomie  (feuille  1/2  grand-aigle). 

Une  tour  cylindrique  de  3m  de  diamètre,  formant  encorbellement  sur  un  mur  vertical,  est  en  saillie  de  2m 
sur  ce  mur  auquel  elle  est  reliée  par  une  trompe  cylindrique  telle  que  la  projection  de  la  courbe  d'intersection 
de  la  tour  et  de  la  trompe  sur  le  mur  affecte  la  forme  d'un  demi-cercle.  Les  voussoirs  de  la  trompe  s'appuient 
sur  un  trompillon  de  0m,50  de  diamètre. 

On  demande  : 

1°  De  tracer  l'appareil  général  de  cette  trompe  ; 

2°  De  faire  l'épure  complète  d'un  voussoir  qu'on  figurera  en  outre  par  sa  perspective  cavalière. 

L'épure  sera  exécutée  à  l'échelle  de  1/20,  soit  0m,05  pour  lm. 

(26  septembre,  de  8  h.  1/2  à  midi.) 

Croquis  et  dessin  de  machines. 

Première  partie  :  Croquis  (feuille  1/8  grand-aigle,  quadrillée). 
1°  Sur  une  première  feuille,  faire  au  crayon,  à  main  levée,  le  relevé  géométral  (plan,  élévation  et  coupe)  de 
l'un  des  objets  placés  dans  la  salle  d'examen  ; 

2'  Relever  ses  dimensions  (en  millimètres)  et  les  inscrire  sur  le  croquis. 

On  a  accordé  1  11.  i/2  pour  cette  première  partie  du  travail,  après  quoi  le  modèle  en  relief  a  été  retiré  de  la  salle. 

Deuxième  partie  :  Mise  au  net  (feuille  1/4  grand-aigle). 
Sur  une  seconde  feuille,  mettre  au  net,  à  l'encre  de  Chine,  à  une  échelle  déterminée,  le  croquis  précédent. 
Nota.  —  L'échelle  est  laissée  à  l'arbitraire  des  candidats  :  elle  devra  être  choisie  assez  grande  pour  que  la  feuille  soit  bien  remplie. 
L'échelle  doit  être  dessinée  dans  une  partie  libre  de  cette  feuille. 

(26  septembre,  de  J  h.  112  à  .',  It.  1/2.) 


262  IMÉTRIE    ET    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


QUESTIONS    PROPOSEES 


459.  —  On  considère  le  réseau  de  coniques  ayant  pour  triangle  polaire  un  triangle  rectangle  dont  l'un  des 
de  l'angle  droil  esl  double  de  l'autre,  et  parmi  les  coniques  de  ce  réseau  on  prend  d'abord  le  système  des 

paraboles.  '  In  demande  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  chacune  d'elles  avec  celui  de  ses  diamètres  qui  passe  au 
sommet  de  l'angle  droit.  On  demande  aussi  le  lieu  des  foyers  de  ces  paraboles. 

Parmi  les  coniques  de  ce  réseau,  on  prend  ensuite  le  système  formé  par  les  coniques  semblables  a  une 
conique  donnée,  el  l'on  demande  le  lieu  du  point  de  contact  dechacune  d'elles  avec  une  droite  passant  au  milieu 
de  l'hypoténuse. 

Construire  ce  dernier  lieu  quand  la  conique  variable  est  une  hyperbole  équilatère.  E.  Il 

460.  —  (in  considère  trois  coniques  avant  un  foyer  commun,  !•' ;  l'une,  fixe,  C  :  les  deux  autres  variables, 
r    el     i".    tangentes  respectivement  à  la  conique    [G]    en  des  points  fixes  A  et  B,  et  tangentes  entre  elles  ;  et 

on  demande  : 

1°  Le  lieu  du  point  de  contact,  H,  des  coniques    i     el    r  ; 

2«  L'enveloppe  de  la  tangente  commune  en  I)  à  ces  deux  coniques  ; 

Le  lieu  du  point  de  rencontre  des  directrices  de  ces  deux  coniques  relatives  au  foyer  commun  F;  montrer 
que  ci  -  passent  par  des  points  fixes  el  les  déterminer'; 

Lussi  que  la  sécante  commune  aux  deux  coniques     I     et    r'  ,  qui  ne  passe  pas  au  point  où  elles 
se  touchent,  passe  aussi  par  un  point  fixe  : 

l'on  considère  une  droite  passant  par  ce  point,  montrer  qu'il  y  a  deux  couples  de  conique-    I   ,     I'    qui 
l'admettent  pour  sécante  commune  ne  passant  pas  au  point  de  contact. 

6°  On  considère  le  triangle   formé   par  cette  droite  et  les  tangentes  aux   deux  couples  en  leurs  points  de 
contact;  puis  une  conique  de  foyer    F    inscrite  dans  ce  triangle  et  une  de  foyer    F    circonscrite  à  ce  tria 
Trouver  les  enveloppes  des  directrices  de  ces  coniques  qui  correspondent  au  loyer  F,  el  le  lieu  de  leurs  points  de 
rencontre. 

E.  Babri    lycée  de  Douai  . 

461.  —  On  considère  un  carré  contenant  mver  combien  il  j  a  de  manières  de  mettre  n  objets 
identiques  dans  n  cases  de  ce  carré,  de  façon  qu'il  n'y  ait  pas  deux  objets  dans  la  même  colonne,  plusieurs 
d'entre  eux  pouvant  être  dan-  la  même  ligne.  Etudier  aussi  le  cas  où  tous  les  objets  sont  différents. 

462. —  Une  lentille  convergente  aplanétique  mais  non  achromatique  reçoit  un  faisceau  parallèle  de  lumière 
blanche.  Etudier  la  coloration  de  la  tache  lumineuse  que  les  rayons  rétractés  formeraient  sur  un  écran  blanc 
disposé  entre  le  foyer  correspondant  aux  rayons  violets  et  le  foyer  correspondant  aux  rayons  rouges.  Que 
verrait-on  'lins  un  spectroscope  dont  on  placerait  la  fente  dans  cette  région  .' 

463.  —  Etudier  la  distribution  des  pressions  dans  une  masse  de  liquide  pesant  enfermée  dans  un  vase  qui  se 
déplace  verticalement  avec  une  accélération  donnée.  Un  corps  solide  plongé  dans  Ce  liquide  étant  supposé 
maintenu  en  repos  relatif  à  l'aide  d'un  ressort  qui  le  relie  au  fond  du  vase,  quelle  est  l'action  supportée  i 
ressorl  ?  Si  le  fond  du  vase  est  percé  d'un  orifice,  que  peut-on  prévoir  au  sujet  de  l'écoulement  du  liquide  par 
cet  orifice?  Examiner  en  particulier  le  cas  d'un  mouvement  uniforme  el  celui  d'un  vase  abandonné  à  lui-même 
ml   en  chute  libre. 

♦ 

DEUXIÈME     PARTIE 


GÉOMÉTRIE  ET  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 

359.  Soit  M  un  point  d'une  ellipse  de  centre  i»  ayant  pour  foyers  F  et  F;  sur  la  normale  en  M. 
on  prend,  de  part  et  d'autre  de  ce  point,  des  segments  MX  MX  =  /MF. MF.  Prouver  que  les  angles 
MM      I  ON]  ne  pour     M\  I  .  ON'F'. 


GÉOMÉTRIE    ET    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


2(33 


MN       MF'  

Solution   géométrique.  —  On  a     — -  =  — —     et    FMN  =  F'M.N.     Donc  les  triangles    FMN 
°  "»  MF        MN 

et    F'MN    sont   semblables   et   donnent 

MNF  =  mFn,  MFN  =  MNF. 

Les   triangles    FMN'    et    F'MN'    sont    de    même    semblables    et 

donnent 

MYÈ  =  MFN',  MFN'  =  mTvf  . 

Nous  pouvons  écrire  successivement 

FNF'  =  FNM  -t-  MNF  =  FNM  4-  MFN 

=  2  droits  —  FMN  =  2  droits  —  (MFN'  -F-  MNT) 
=  2  droits  —  (MNT  -+-  MN7?  I 
=  2  droits  —  FNT. 
Le  quadrilatère  FNF'N'  est  donc  inscriplible. 
On  a  aussi     FMF'  =  2FMN  =  2FNF', 
à  cause  des  égalités  ci-dessus. 

Les  triangles  F'MN   et  FF'N'  ont  les  angles  F'MN  et  FN'F'  égaux, 
et  aussi  les  angles   F'NM    et   F'FN'  égaux  comme  ayant  même  mesure  ;  ils  sont  semblables  et  donnent 
N'F        F'F  „    .  N'F       F'O 

MN  =  FN'  d°U  NN'=FN- 

Les  triangles  FNN'  et  F'ON,  ayant  les  angles  FN'N  et  01  X  égaux  et  compris  entre  côtés  propor- 
tionnels, sont  semblables  ;  on  a  par  suite 

YNÏ'  ou  MNF  =  ONT.  C.  q.  f.  d. 

On  verrait  de  même  que  MN'F  =  ON'F7. 


J.-L.,  à  Douai. 

Solution   analytique.  —  Nous   allons   montrer  que  les  ensembles  de  droites  NO,    NN'  et 
NF,  NF'  ont  même  système  de  bissectrices. 

Soient  a,  (3  les  coordonnées  du  point  M  ;  on  a 


1  02 

r  +  -77-  —  l  =  °  '■ 


la  normale  en  ce  point  a  pour  équation 

X  —  a         y  - 


a2  b* 

p  désignant  la  distance  du  point  (x,  y)  au  point  (a,  S). 
On  a 


/  et2  B2 


MF.  MF'  =  [a 


D'autre  part, 


a2  62     _     a2  1      /  a'-  \    _   rt4  —  e2 

a'         lr  cô  h-    \  a2  I  aïb2 

On  aura  donc,  pour  les  coordonnées  des  points  N  et  .Y, 


x  _  a  y  _  | 


Prenons  le  signe  -+-  par  exemple  ;  on  aura 


264  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


»  =  JL(a  +  6); 
a  o 

les  coordonnées  du  poinl   N. 
L'ensemble  de  deux  droites  passanl  par  l'origine  el  parallèles  à  NO  el  NN' a  pour  équation 
(1)  aJpa:—  Ir-nj   ii'u-—  b*y        0. 

I  es  droites  M  el  M"  on)  pour  équations 

_|L   a  -f(a       6 

J       -    C  —    v"    +   '')  +  C 

II  II 

l'ensemble  de  deux  droites  passant  par  l'origine  el  parallèles  à  ces  droites  a  pour  équation 
a  ...       I,  •  ,,:,       t.  .;         •<  bh  <i  '       0. 

i  ir  étanl  donnés  deux  systèmes  de  droites 

\,-'      IBxy      Cj/S       o, 
\!x*  +  Wxy      Cy  =  0, 

pour  qu'ils  aienl  aie système  de  bissectrices,  on  doil  avoir 

A  —  C  _  A'  — C 
H  B' 

On  vérifie  aisémenl  cette  condition  pour  les  équations    I  el   2]  en  tem  ni  compte  de  la  relation 

l     V  BARISIEN. 
Autres  solutions  de  MM.  Tzitzeica,  a  Bucarest;  C.  de  France,  a  Versailles. 


400.  —  Une  parabole  est  circonscrite  à  un  triangle  rectangle;  trouver  le  lieu  du  punit  de  contact 
tangente  qui  fait  avec  l'un  des  côtés  de  l'angle  droit  et  en  sens  opposé  le  même  angle  que  l'hypoténuse. 

Les  axes  de  coordonnées  étant  les  côtés  de  l'angle  droil  du  triangle,  l'équalion  générale  des  para- 
boles circonscrites  est 

(g  —  m.r)-  —  auPx  —  bg  —  0, 

li 
ésignanl  par  a   el   b  les  longueurs  des  côtés.  L'hypoténuse  a  pour  coefficient  angulaire i 

par  conséquent  un  point  du  lieu  cherché  sera  à  l'intersection  de  la  parabole  et  du  diamètre  conjugué  de 

la  direction  dont  le  coefficient  angulaire  est      - '■     ce  diamètre  a  pour  équation 

n 

2  ma  —  li'ij  —  mx)  -+-  tii-ii2  +  h1  =  0. 
On  aura  l'équation  du  lieu  en  éliminant  m  entre  ces  deux  équations.  Ordonnons-les  par  rapport  à  m; 

on  a 

m  'x(x  —  a.)  —  Imxg  -+-  y(y  —  b   =  0, 
m 'n  Ix      n       tin  lu    •■   ay     :-/i  ftj  —  b)  =  0; 
le  résultai  de  l'élimination  esl 

a    iij     h      ay[y     6)(2ai     a    '     I  c(a     a  ixij(2x—a     bxy(Zy—b)     y(y     b   bx+ay)       0, 

mi  encore 

In-    -■  Ulj    'i.llj  —  ll.r         'H/  .il'    '  \.i  -ij-   i  li.r      -m/  -  ;  7/  0, 

il  [bx  —  a  "/      ab   2xy      bx    -ay      ab        la  &sa,2»/J  =  0. 

Le  lieu  esl  une  courbe  du  cinquième  degré. 

P ■  la  construire,  i -  observerons  qu'elle  esl  unicursale  :  Il  existe,  en  effet,  sui  chaque  parabole 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIOTK 


265 


un  seul  point  où  la  tangente  a  pour  coefficient  angulaire    —  ;    les  coordonnées  de  ce  poinl  sont  fonc- 
tions rationnelles  de   m. 

Nous  aurons  ces  coordonnées  en  résolvant  les  deux  équations 
[y  —  m.r)-  —  nur.r  —  by  =  0, 
2(m«  —  b  )(y —  mx)  -+-  m-a2  -t-  b-  =  0. 

La  première  peut  se  remplacer  par  l'équation 

,ir,r  —  h2  • 


et  en  résolvant  on  i >l»t n-u i 


(2) 


(iin-.c  -f-  bu  = 

J        4  ma  —  b)1 

[irm2  -+-  b'2)(a2m2-h'2abm —  b2) 
A  ma  —  li p  mu  —  b  m 

(ii'-iir  +  //,(' —  a2iii2-\--2<ibiii~b2) 


4  ma  —  b  -  ma  +  b) 


Les  racines  du  trinôme      a!m!-i-2a6m —  lr      sont 


>>  i  /-        N 


(/2  -h!)     et      -  (/2  —  1);     celles  du 


trinôme     — a-m?  ■+-  2aôm-t-  b1     sont -(\/2  —  l)     et    —  (\/2  h- l). 

Le  tableau  suivant  donne  les  signes  de  x  et  de  y  dans  les  différents  intervalles   limités  par  les 
valeurs  remarquables  de  m  : 


m 

X         — 

-(v/2  +  1 
a 

)  --   --(/2--0 

a              « 

0 

b 

i/F- 

■)    4 

4 

(y/2-+-l)       +X 

X 

a 

T    + 

0    - 

—  X 

+  ao  -f-     a       H 1-  x 

x  — 

(i 

H h» 

-f-  X 

-+- 

a 

"      +     T 

y 

H-  X  + 

b     + 

+  x 

—  x  -     0       -+- 

+ 

6 

+  +  x 

H-  x 

+ 

0 x 

On  obtii 


nt  ainsi  la  forme  générale  de  la  courbe  :  les  points   A  (a,  0)   et   B  (0,  b)    sont  des  points 

doubles.  En  partant  de  l'équation  (I)  et  en 
transportant  l'origine  des  coordonnées  succes- 
sivement en  ces  deux  points,  on  trouve  que  les 
tangentes  en  ces  points  doubles  sont  confon- 
dues et  ont  pour  coefficient  angulaire   -• 

a    ' 

La  courbe  admet  les  trois  asymptotes 

a  b 

x r  =  0,  v =0, 


Sab       n 

bx-+-  ai/ =  0; 

4 

on  déterminera  sans  peine  la  position  de   la 

courbe  par  rapport  aces  droites,  en  partant  soit 
de  l'équation  (1),  soit  des  équations  (2).  Enfin 
cette  courbe  admet  des  branebes  paraboliques 
dans  la  direction     bx  —  ay  =  0. 

A.  LAUREAUX,  lycée  de  Besançon. 
la  même  question  :  MM.  E.  N.  Bamsien  ;  F.  Pégorier,  ivp.'titcur  .ni  rollèno  île  Otli'  :  (i    A.  Povii.i.iuit. 


-1M  GÉOMÉTRIE    ET   GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 

417.  —  Mener  entre  deux  droites  données  un  segment  parallèle  à  une  direction  donnée  et  qui  soit  m 

d'un  point  donné  sous  un  angle  donné. 

Soienl   Ox,  Oj/   les  droites  données  el   I'   le  point  donné. 
Menons  une  droite  quelconque  parallèle  a  la  direction  don- 
i  décrivons  sur  A  B'  un  segment  capable  de  l'angle  donné. 
[1  rencontre  la  droite  OP  en  P'.  En  menant  par  I'  des  parallèles 
aux  droites   P'A    H   l'I;.    Al;  esl  le  segment  cherché. 

I.a  droite  OP  rencontre  le  cercle  en  deux  points,  il  y  aura 
donc  deux  solutions. 

un  aura  encore  deux  nouvelles  S"luti,,n<  en  décrivanl  de 
l'autre  côté  'l'1  VI!  1''  segment  capable  de  l'angle  donné, 
routes  ces  solutions  n'existent  que  si  la  droite  OP  rei itre les  cercles  que  nous  avons  construits.- 

VASNIER,  lyci  c  de  Versailles. 
Mini.'  solution  par  M.  E.  Piédosse. 
Autre  solution  nai   M    E.  Bamie,  b  Douai.  


418.  —  Étant  donnés  deux  axes  rectangulaires,  on  un  cercle  ayant  son  centre  «  l'origine, 

et  dont  le  ra t    K,    et  un  poinl   A    sur  l'axe   Oi/,    à  une  dislance  dit  centre  égale  à     a(a       l!  .     tu 

iriable  il»  cercle  le  coupe  en    B  et  C.    On  demande  l'équation  générale  des  coniques  bilangenles 
au  cercle  en  B  et  G  et  passant  par  le  point  A. 

/'.'k   A,   on  mène  la  tangente  à  la  courbe  ;  elle  coupe  l'un  des  axes  en   l>,    l'autre  en    E.    Trouva 
de  l>  et  le  lieu  de  E. 

/,■  Heu  dupoint  de  rencontre  de  chacun  des  axes  avec  la  normale  en  A. 

On  considère  le  point  P  qui  a  pour  coord  a).  Lieu  du  point  de  rencontre  delà  polaire  de  ce 

point  avec  BC. 

Dans  chaque  question,  on  distinguera  la  partie  du  lieu  qui  correspond  au  cas  où   la  courbe  est   une 
ellipse  de  celle  qui  correspond  au  cas  où  la  courbe  i  si  une  hyperbole   '  . 

Soil     y  —  nir  =  0     l'équation  du  diamètre    BC  ;    l'équation  générale  des  coniques  bitangentes  au 
cercle  en  B  et  C  est 

xi  +  y2  —  Rs  ■+•  ^  '/  —  iiix  2  =  o  ; 

a2— Rs 

en  écrivant  que  celte  équation  est  vérifiée  par  les  coordonnées  du  point  A(0,  a),  on  trouve    /■  = - —  ; 

de  telle  sorte  que  l'équation  de  la  conique  bilangenteau  cercle  en  B  el  C  el  passanl  par  le  poinl  A  esl 
(I)  a    ,  '  ■   !r      l;  i        i;  n  0 

La  droite   BC  est  un  axe  de  cette  conique,  puisque  les  tangentes  en   B  el   C   sont  perpendiculaires 
,  Bi  :  l'autre  axe  est  perpendiculaire  à  BC  et  passe  par  le  poinl  0. 
D'autre  part  l'équation  de  la  tangente  au  poinl  A  i  si 

a  ay       II-   —  a        I;  0. 

On   aura   l'équation   du    lieu   du  poinl    I»   en  éliminanl    m   entre  l'équation  (2)  el   celle  de   BC, 
y  —  mx  =  0 . 

eu  est  la  droite    ay  —  Ra  =  0;    c'est  la  polaire  du  poinl    \  par  rapport  au  cercle. 

Pour  que  l'équation    I    représente  une  ellipse,  il  faul  qu'on  ail     m-  <  — — ;     cette  condition 

exprime  que  le  diamètre  BC  doil  être  situé  par  rapport  aux  droites  OT  el  OT   dans  la  région  qui  ne 

i Lienl  pas  le  poinl    \. 

Les  points  du  lieu  trouvé  qui  correspondenl  à   des  ellipses  sont  donc  situés  en  dehors  du  seg- 

•    i  ne  faute  d'impression  avail  fail  mettre  parabole  au  lieu  d'hyperbole,  dans  l'énoncé. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


267 


ment  TT'  ;  les  points  relatifs  aux  hyperboles  sont  situés  sur  le  segment  TT'.  Le  point  T  correspond  à 
une  parabole  singulière  formée  de  la  tangente  AT  et  d'une  tangente  au  cercle  parallèle  à  AT  ;  résultat 
analogue  pour  le  point  1". 

Le  lieu  du  point  E  s'obtient  en  éliminant  m  entre  l'équation  (2)  et  celle  du  second  axe  x  +  my  =  0. 
On  trouve  aisément 

x-{a-  —  R2)  -  R2;y2  +  àB?y  =  0, 
équation    d'une   hyperbole    tangente  à    l'origine    à  Ox,    ayant   son 
centre   au  milieu   de   OA   et  ses  asymptotes  parallèles   aux   tan- 
gentes AT  et  AT'. 

Menons  par  le  point  0  des  parallèles  OH,  OH'  à  ces  tangentes  ; 
pour  que  la  conique  (1)  soit  une  ellipse,  il  faut  que  l'axe 
x-\-my=0  soit  situé  par  rapport  aux  deux  droites  OH,  OH' 
dans  la  même  région  que  le  point  A.  Les  points  de  la  branche 
d'hyperbole  qui  passe  par  le  point  A  correspondent  à  des  ellipses, 
ceux  de  la  branche  inférieure  correspondent  à  des  hyperboles. 
La  normale,  au  point  A  à  la  conique  (1)  a  pour  équation 


(3) 


y  —  " 


ii1  -  -  u  m 

Eliminons  m  entre  celte  équation  et  celle  de  BC,     y —  mx  =  0;     on  obtient 

y-{a-  —  R-)  —  RAc2  —  ai/fa-  —  R2)  =  0, 

équation  d'une  hyperbole  tangente  à  Ox  à  l'origine,  ayant  son  centre  au  milieu  de  OA  et  ses  asymp- 
totes parallèles  aux  rayons  OT  et  OT' ;  et,  d'après 
ce  qui  a  été  dit  plus  haut,  la  branche  passant  par  le 
point  0  contient  les  points  du  lieu  qui  correspondent 
à  des  ellipses  ;  les  points  de  l'autre  branche  corres- 
pondent à  des  hyperboles. 

Éliminons  maintenant    m    entre  l'équation  (3)  et 
celle  de  l'autre  axe    x  +  my  =  0  ;     on  obtient 

a-  —  K- 

V  = 

a 

équation  d'une  droile  parallèle  h    Ox    et  symétrique 
de  la  droite  TT'  par  rapport  au  milieu  de  OA. 

La  portion  de  cette  droite  comprise  entre  OH  et  OU 
correspond  à  des  ellipses,  les  autres  portions  corres- 
pondent à  des  hyperboles. 
Enfin  la  polaire  du  point  P(a,  a)  par  rapport  à  la  conique  il)  a  pour  équation 

a(ax  -t-  ay  —  R2)  —  (a3  —  R2)(j/  —  mx)  —  0  ; 
le  lieu  du  point  de  rencontre  de  cette  droite  et  de  BC  a  pour  équation 

ax  -+-  ay  —  R2  =  0, 
équation  de  la  polaire  du  point    P    par  rapport  au  cercle.  Les  points  de  rencontre  do  cette  droite  avec 
fit'  el  OT'  sépareront  les  points  relatifs  à  des  ellipses  de  ceux  qui  sont  relatifs  à  des  hyperboles. 

P.  XAMBEU,  collège  Chapfal. 


Solutions  analogues  par  JIM.   Mario  Guesde;  G.  Loeuebich,  à  Rouen;  J.  Marchai.  ;  V.  Pegoriek,  répétiteur  au  collège  de  I 
<i.  A.  Pouilliart,  à  Joigny. 


CONCOURS    DE   1895 


Solution  géométrique.  —  Soit   une  conique  bilai  ercle    0  en  B  et  C,    et  passanl   par  A. 

Aux  points  I!  cl  •'.   les  tangentes  à  la  conique    7    sonl  parallèles,  donc    B<     esl  un  diamètre  de  celte  <■  >n i. jm-  ; 

de   plus,   li  aux   extrémités  de   ce   diamètre    lui    étant 

perj.c,  BC  esl  un  axe  de  la  conique.  Il  esl  facile  de  distin- 

guer la  nature  de  la  conique    7    suivant  la  position  de  BC.  I  1 

BC  esi  dans  l'angle  TOT',    A  esl  extérieur  à  l'espace  c pris  entre 

les  tangentes  en  I!  el  C;  donc    7    esl  une  hyperbole.  Lorsque    BC 
est  extérieur  à  l'angle   TOI  ,  esl  une  ellipse.  Aux  ras  limites, 

-i  BC  coïncide  avec  OT  ou  OT,     7    est  une  parabole  compos 
deux  droites  parallèles. 

i  on  aura  obtenu  1rs  lieux  demandés,   on  en  conclura 
aisémenl    les  portions   qui  sonl   relatives  à  des  ellipses  ou 
hyperboles  à  l'aide  de  la  remarque  que  nous  venons  de  faire. 

Tout  point  de  li  corde  des  contacts  BC  a  même  polaire  par 
rapporl  au  cercle  0  etàlaconique  17  :  soit  h  le  point  de  rencontre 
de   lit",   avec  la  tangente  en    \;    la  polaire  de  H    par  rapporl 

passe  on    \.  donc  aussi  sa  poli par  rapporl  au  cercle  0  qui  est  la 

même.  Il  en  résulte  que  le  lieu  de   l>  esl  la  polaire    1  I'  du  point  A 
par  rapporl  au  cei  cle. 

Plus  générale rit,  en  vertu  du  même  rais ment,  le  lieu  du 

poinl  de  rencontre  de  la  polaire  par  rapporl   1         d'un  point  fixe    P  et  du  diamètre  Bt    est  la  polaire  de   P  par 
rapport  au  cercle  0,  ce  qui  résout  la  dernière  partiede  la  question  proposée. 

Le  lieu  du  poinl  E  peul  être  défini  de  la  façon  suivante  :  le  poinl  I)  décrivanl  la  droite  TV,  on  joint  D  et  0, 

et  on  mène  a  celte  droite  la  perpendiculaire  OE  ;    E  est  à  la  rei 
de  OE  avec   \M.  On  peut  alors  envisager  le  lieu  de  E  comme  engendré 

par  l'intersection  des  rayons  homologues  de  doux  faisceaux  I logra- 

phiques  ■>}  inl  pour  sommets  0  el  A.  Le  lieu  de  E  esl  donc  une 
conique  passanl  par  0  el  A.  <  »n  sait  d'ailleurs  que  la  tangente  au  lieu 
au  point  0  esl  la  droite  du  faisceau  0  correspondanl  à  la  droite  AO 
du  faisceau  A  ;  c'esl  doue  1  i.,-  ;  de  même  la  tangente  en  A  au  lieu  esl 
parallèle  à  Ox.  Enfin  poui  que  E  s'éloigne  à  l'infini,  il  Tant  que  Al> 
soit  perpendiculaire  à  OD;  cela  a  lieu  pour  les  droites  AT,  AI'  qui 
sont  doue  les  directions  asymptotiques  du  lieu  de  E. 

Le  lieu  de   Ë  est  donc  une  hyperbole  ayanl  pour  sommets  0  el  A, 
el  ses  as]  mptotes  parallèles  à  A  I   el  A  I  '. 

Cherchons   le  lieu  du  point    E'    où  I. anale  en    A    rencontre 

l'axe    OE.    Le  milieu    I   de    DE1    esl  le  centre  du  cercle  circonscrit  au 
quadrilatère    DAE'O  ;    don-     |    esl  sur  la    perpendiculaire    élevée    au 
milieu  de  OA.   Par  conséquent,   I)  décrivanl    11",    E'  décril  une  paral- 
lèle à  TT'  symétrique  de  cette  droite  par  rap|  orl  au  milieu  de  OA. 
Le  lieu  de    h,  où   la  normale  en  A  rencontre  OD,  s'obtienl   en  partant  du  lieu  de  E',  comme  nous  .mous 

obtenu  le   lieu  de  E  en  partant  t\u  lieu  de  D.  Ce  lieu  esl  doue  nie  hyperbole  avant  pour  s nets  0  el  A 

asymptotes  perpendiculaires  a   \  I  el  AT'. 

Lucien   Si  i  i  r, 
Soldai  au  113"  de  ligne,  élève  de  l'Ecole  normale  supérieure. 


CONCOURS  DE   1895    Suite  . 


ÉCOLE  u  \  il;  \i  1: 

Deuxième     Session. 

Géométrie  analytique. 

464.  —  Les  axes  de  coordonnées  étanl  supposés   rectangulaires,  on    demande  l'équation  générale  des 
hyperboles  équilalères  admettanl  une  asymptote  passanl  par  un  poinl  fixe  I!  de  l'axe  des  ,,  el  dont  le  coefficient 


CONCOURS    DE    189o  269 


angulaire  soit  m,  telles  en  outre  que  le  produit  des  abscisses  à  l'origine  des  asymptotes  soit  constant  et  que  le 
carré  du  demi-axe  transverse  soit  2a-. 

Faisant  varier  m  et  a, 

1°  Démontrer  que  les  axes  de  symétrie  de  ces  hyperboles  forment  un  faisceau  passant  par  deux  points  fixes 
et  prouver  géométriquement  que  lu  lieu  des  sommets  de  celles  de  ces  hyperboles  dont  les  axes  transverses  sont 
égaux  est  un  limaçon  de  Pascal. 

2°  On  considérera  les  hyperboles  du  faisceau  telles  que,  l'origine  des  coordonnées  se  trouvant  avec  la 
courbe  dans  un  même  angle  des  asymptotes,  le  produit  de  m  et  des  abscisses  à  l'origine  des  asymptotes  soit  de 
signe  contraire  au  produit  des  distances  de  l'origine  aux  asymptotes. 

On  démontrera  que,  par  un  point  du  plan,  on  peut  mener  deux  hyperboles  de  ce  système  ayant  un  axe 
transverse  donné. 

3°  Trouver  le  lieu  A  des  points  par  lesquels  on  peut  mener  deux  de  ces  hyperboles  telles  qu'une  asymptote, 
passant  par  B,  ait  pour  coefficient  angulaire    -+-1,    pour  l'une,  et    — 1,    pour  l'autre. 

A"  On  considérera,  pour  chaque  point  du  lieu  A,  les  hyperboles  qui  répondent,  l'une  à  la  valeur  maximum, 
l'autre  à  la  valeur  minimum  de  l'axe  transverse  ;  on  leur  mènera  une  tangente  commune  et  on  cherchera  le  lieu 
du  milieu  de  la  distance  des  points  de  contact. 

Physique  et  Chimie. 

I.  —  465.  —  Un  piston  sans  frottement  de  poids  -  de  section  S"i  repose  sur  le  fond  d'un  cylindre  vertical 
ouvert  à  sa  partie  supérieure  dans  l'atmosphère.  Dans  le  fond  se  trouve  une  soupape  qui  met  le  cylindre  en  rela- 
tion avec  une  chaudière  de  capacité  V  litres  qui  contient  Mk-  d'eau  et  de  vapeur  et  qui   est 
maintenue  à  une  température  constante  T  à  laquelle  correspond  une   pression  de  vapeur  de 
Pks  par  centimètre  carié. 

Le  cylindre  est  chauffé  à  une  température  ïi  telle  que  : 

1°   La  pression  Piks  par  centimètre   carré  correspondante  soit   exactement   celle    qui   est 
transmise  par  le  piston  ; 

I !  2°  La  différence    P —  Pi    soit  exactement  celle  qui  est  nécessaire  pour  le  fonctionnement  de 

la  soupape. 
Un  demande  de  calculer  le  déplacement  du  piston. 

Exercice  numérique  :  V  =  30  litres,  T  =  165°,  P  =  Ts,i3, 

M  =  1*8,  •  T,  =  144°,  it  =  1000*8. 

Rayon  du  piston    H  =  31om,43. 
Densité  de  la  vapeur  d'eau    d  =  0,622. 
Coefficient  de  dilatation  des  gaz    a  =  0,00361. 

II.  —  Ozone. 

III.  —  466.  —  On  chauffe  in-'1'  de  phosphore  avec  un  excès  de  sulfure  de  baryum  et  d'eau.  Les  gaz  dégagés 
sont  reçus  dans  une  dissolution  préparée  en  attaquant  100s*  d'argent  pur  par  l'acide  azotique,  étendant  d'eau  et 
ajoutant  un  excès  d'ammoniaque.  On  demande  : 

1°  La  nature  du  précipité  qui  se  forme  ; 

2°  Le  poids  d'argent  dissous  restant  dans  la  liqueur  ammoniacale. 
11  =  1,  0=16,  S  =  32,  Az  =  14,  P  =  31,  Ag  =  lus,  lia  =  137. 

Epure. 

467.  —  Dans  le  plan  de  bout  P'aQ  incliné  à  45°  sur  le  plan  horizontal  on  considère  un  cercle  de  60mm  de 
rayon  langent  au  plan  horizontal  ;  le  centre  de  ce  cercle  est  éloigné  de  90"""  du  plan  vertical.  Ce  cercle  est  la 
directrice  d'un  cylindre  dont  les  génératrices  sont  parallèles  à  la  ligne  de  terre. 

On  considère  d'autre  part  un  cône  de  révolution  dont  le  sommet  ss'  est  placé  sur  l'axe  de  ce  cylindre.  La 
projetante  de  ss'  se  confond  avec  aQ  et  l'axe  de  ce  cône  est  perpendiculaire  au  plan  P'aQ. 

Le  1/2  angle  m  au  sommet  du  cône  est  de  45°. 

Ceci  posé  on  demande  : 


270 


01  ESTIONS    POSÉES    AUX    l'WMl  NS  0RA1  \ 


X0" 

/         / 

A-/ 

; 

\   / 

s'    / 

i 

X    * 

1° 

a                                   y 
I90— 

U5  — 

270 

0 

1°  De  déterminer  complètement  la  courbe  d'intersection  du  cylindre 
avec  les  deux  nappes  du  cône  ; 

2°  De  représenter  le  solide  formé  par  le  ('•'■rie  et  le  cylindre  en 
limitant  ce  solide  aux  deux  plans  de  bout  symétriques    P'aQ   el    R'aQ. 

I  e  cône  sera  limité  à  sa  partie  supérieure  parle  plan  horizontal  11' 
tangent  au  cylindre  suivant  la  génératrice  culminante. 

Les  deux  plans  I'  P  el  R  tQ  ainsi  que  les  surfaces  du  cône  et  du 
cylindre  sont  opaques;  le  plan  H'  horizontal  supérieur  sera  seul  consi- 
déré comme  étant  transparent. 

Observations.  Dans  le  tracé  à  l'encre  les  portions  de  la  courbe 
du  cylindre  qui  sieit  extérieures  aux  deux 
plans  P'aQ  et  li'^n  seront  tracées  à  l'encre  bleue. 

On   indiquera   à    l'encre   rouge   les  constructions  ployées  pour 

déterminer  un  point  quelconque  de  la  ligne  d'intersection  ou  des  sec- 
lions  planes  el  les  tangentes  en  ces  points.  Le  tracé  au  nel  devra  faire 
ressi  rtir  les  constructions  des  points  ou  droites  remarquables. 

(r  :  INTERSECTION  DE  SURF  Al  1  S 
Titre  intérieur  :  Co.ne  et  cylindre  limités  par  des  plans. 
Placer  la  ligue  de  terre  parallèlement  aux  pi  1  du  côté 

supérieur. 


I  trigonométrique. 

468.  —  Résoudre  le  triangle  ABC  dans  lequel  on  donne  les  côtés  6,  c  ainsi  que  l'aire   S    du  triangle  Dl  i 
qui  a  pour  côtés  les  longueurs  des  médianes  du  triangle  ABC. 

nu  choisira  parmi  les  solutions  qui  répondent  aux  données  numériques  celle  pour  laquelle  la  hauteur  issue 
du  sommet  A  a  la  moindre  valeur. 

S' =  943I760a,  6="49728m,7,  c  =  6791* 

/'.  S.  —  On  prouvera  que  S   est  égal  aux  3  1  de  la  surface  S  du  triangle  ABC. 


ni  ESTIONS  POSEES  AI  X  EXAMENS  ORAUX 


ÉCOLE  CENTRALE  (18941 


Arithmétique  et  Algèbre.    M.  \  icqi  kNT. 

12.  aunt  deux  nombres  entiers,    a***  —  a"    est  toujours  divisible  par  30. 

43.  —  a  el  i  1  tant  deux  nombres  ]  rentiers  entre  eux,    a       b    esl  premier  avec  ab. 

\\  nt  deux  n bres  premiers  entn   eux,  trouve:  les  diviseurs  communs  à  a —  b. 

45.  —  0  étant  un  nombre  entier,  le  produit    a(a      1   a      -  a      3     est  divisible  pai     1.2.3.4       24.        Généraliseï 

46.  \  et  B  étan  t  deux  entiers,  a  et  b  deux  entiers  1  eux,  sil'ona    —  =  — >    ces  deux  nombres  sont 

a3       I*-- 
entiers. 

i       7        ;;       m 
't ,        Que  donneronl  li 


4s.  —  i1  n  réduit 


1  1 

• 1 en  fraction  décimale,  on  aura  une  fraction  périodique  mixte. 

n-t- 1      n-t-2  '  ' 


'»'.).       Soil  1.1  fraction  Si  on  consid  a  étant  premiei  avec  J,  y  a-l  il  uni  relation  simple  entre 

les  nombres  de  chiffres  des  périodi  s  données  par  ces  deux  fractions? 

."><>.—  1  -.17=0  a-t-elle  ses  racines  réelles?      Môme  question  pour  l'équation  2x*  —  8x  —  47  =  0. 

—  Sigm  -  des  1 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  271 

51.  —  Dire  le  nombre  des  racines  réelles  îles  équations 

:j./-'  —  li.i-  +i—  li.  3x'  +  Sx"-  -+-  1  =  0  ,  Sx*  -  9.c2  —  37  =  0. 

52.  —  Étudier  les  variations  de  la  fraction    x  —  —   sans  avoir  recours  aux  dérh  Ses. 

x 

53.  —  Maximum  du  produit  .r2;/':1,    x,  y,  :  désignant  des  nombres  positifs  tels  que    x  —  y-hz  —  3. 

54.  —  Étudier  les  variations  des  fonctions 

.,■-  —  Sx       15  x  —  3  a;2  —4  2r-  +  1 

»  =  — ï=l '/  =  ^TV  »  =  ^_r.(-:r  "  =  7^T- 

1         1  1 

55.  —  Étudier  la  série     1  +  —z-  -+■  =-  -+-  ■  •  ■  H r  —  • . .   • 

2-        32  ii- 

3         4         5         6  L    „ 

5C.  —  Éa  série r  H — -t-  , . .     est-elle  convergente  .' 

57.  —  Dans  le  système  de  base  10,  quels  sont  les  nombres  qui  ont  des  logarithmes  commensurables  .' 

58.  —  Dérivées  des  fonctions 

.  !-■  ir",         y  =  tg1  (3.r2  -+-3.E-+-S;,         y  —  (ix%  -+-  5p+s,        y  =  (3s3  —  5e  +  7)**-',         // =  >  2.c2 -- 5.1- -t- 3  /  ■ 

Q  r 

5!).  —  Délivre  de  la   t'< nii-t ii ni     7  = —  impliquer  le  résultat  obtenu. 

1  —  n.r 

60.  —  Variations  de  la  fonction     y  =  — 

sin  x 

61.  —  Variations  des  fonctions 

I 

y  =  x  —  tg  .r,  y  =  x  -+-  cotg  j-,  y  =  cos  a;  —  tg  x,  y  ■—  cos  x  ■+- 

sin  x 

62.  —  Condition  pour  qu'un  polynôme  f(x)  soit  divisible  par  sa  dérivée. 

5  1  7  11 

63.  —  Séparer  les  racines  de  l'équation H -  -I r  -l x  —  i  =  0. 

1  a;  —  i      x  —  2      x  —  4     x  —  8 

64.  —  Limite  supérieure  des  racines  du  polynôme    5-r1  -+-  3x3  —  2,r-  —  7.r  —  11. 

65.  —  Combien  de  racines  réelles  admet  chacune  des  équations 

4X3  —  ~x°  -+-1=0,  .r1  -+-  ox-  —  4.r  +  1  =  0,  ix '  —  5.K1  +  3  =  0? 

■  ■  —  1 

66.  —  Décomposer  en  fractions  simples  la  fraction  rationnelle    ■ — — — — • 

./■  —  i   ./■  —  _   x  —  ■  j  * 

Trigonométrie.  (M.  Gouilly.) 

67.  —  Variations  de    j/  =  cotga;+tg   i 

68.  —  Calculer    tg  —      en  fonction  de    tg  a. 


69.  —  Calculer        \,  a  cospx,        \,  cos  [a  H  pb). 


70.  —  Rendre  calculables  par  logarithmes  les  expressions 

71.  —  Rendre  calculable  par  logarithmes    tg  x      cotg  x. 
,..,   _  sin  [x  -+-  y) 

sin  a1 -h  sin  y 

a  cos  ,e 
73.  —  Rendre  calculable  par  logarithmes  1  expression 


la  —  b 


a  cos  a;  —  b  sin  c 

a  cos  .r  —  '-/  sin  x 

74.  —  Résoudre  1  équation     : — : =  m. 

a  cos  .<;  —  b  sin  a; 

75.  —  Résoudre  les  équations       — — : =  m, =  m. 

sin  [x  —  a  cos  (x  —  a) 

76.  —  Résoudre  l'équation    a  sin  'ix  +  sin  x  =  0. 

77.  —  Trouver  la  relation  qui  existe  entre  les  angles  *,  ?,  y,  sachant  que 

cos2  a  -+-  cos2  P  +  cos2  y  —  2  cos  a  cos  p  cos  y  =  1. 

78.  —  Angle  des  traces  d'un  plan  connaissant  leurs  inclinaisons  sur  la  ligne  de  terre. 

79.  —  Équivalence  des  systèmes  (directement) 

!a       _    b  c  I  a-  =  b-  -h  c"  —  26c  cos  A, 

sin  A  ~~  sin  B  ~~  sin  c'  <  b2  —  c2  —  a-  -  2ca  cos  B, 

A  +  B-+-C  =180°;  (  c"-  =  a"  +  b°-  —  2ab  cos  C. 


272  QUESTIONS   PROPOS!  I  - 


80.  —  Démontrer  géométriquement  la  formule    S  = 

llil  , 

81 .  —  Démontrer  les  relations  =         I -h =r-,  S       Jrr'r'r  . 

r  i  i 

82  connaissant  la  surface  et  la  hauteur  qui  correspond  a  l'hypoténuse. 

83.  —  Résoudre  un  triangle  rectangle  connaissant  l'hypoténuse  i  I  le  rayon  du  cercle  inscril  (ou  bien  I'.  el  r  . 

s  i        i;  soudre  un  triangl  deux  côtés  el  l'angle  compris.  Calculer  directement  le  troisième  côté. 

85.  —  Résoudre   un    triangle    connaissant   deux    cotés    el    l'angle    opposé    à    l'un    d'eux.   Calculer   directement    le 

8C.  —  Résoudre  un  triangle  donl  les  angles  sonl  i  n  progn  ss arithmétique  et  donl  on  connaît  deux  côh  - 

87.  -  -  Résoudre  ui  ni  la  surface  et  deux  côt  s. 

88.  —  Résoudre  un   triangle   connaissant  la  surfai       I   deux  hauteurs    -  solutions).  Calculer  celle  pour   laquelle    la 

;  i  plus  petite. 

S!).  —  Résoudre  un  triangle  connaissant  deux  eûtes  el  le  rayon  du  cercl    circonscrit. 
90.  —  Résoudre  un  triangle  i  onn  liss  inl  un  côté  i  I  deux  hauteurs. 

!»l .  —  Résoudre  un  triangle  connaissant  le  périmètre,  le  ra] lu  cercle  inscril  el  un  angle. 

1)2        Résoudre  un  triangle  connaissanl  un  côté,  l'angle  opposé  el  la  somme  ou  la  différence  des  deux   lutres  côtés 
'■>::        Ri  soudre  un  triangle  ci aissant  un  côté,  un  angle  adjacenl  el  la  somme  ou  la  différence  des  deux  auti 

94.  —  R  soudre  un  triangle  connaissanl  la  surfac i  le  périmètre  el  les  rayons  des  cercles  inscril  el  circonscrit. 

95.  Résoudre  un  triangle  connaissanl  les  médianes. 

96.  -  Hauteur  d'une  tour  donl  le  pied  i  si  m  cessible.  —  S a   fail  une  erreur  de  i   dans  l'évaluation  de  l'angle  de 

risée,  quelle  est  l'erreur  qui  en  résulte  pour  la  hauteur  cherchée  el  comment  varie  t-elle  avec  l'angle  de  visée 

97        Rayon  d'uni'  enceinte  cin  ulairc  inaccessible  el  donl  li  centre  esl  invisible. 

♦ 


QUESTIONS  PROPOSÉES 


469.  —  Dans  mi  triangle  quelconque  ABC,  on  mène  les  trois  médianes  AAi,  BB,,  Ci'.,,  el  les  perpendi- 
culaires aux  milieux  des  côtés  OAi,  OBi,  OCi  ;  [mis  un  prend  les  milieux  des  six  segments  ainsi  obtenus  :  M,  N,  P, 
milieux  de  AAi,  BBi,  (.'.Ci  ;    M',  N',  P',  milieux  de  OAi,  OB  .  OCi.  Démontrer  que  l'on  a 

MM'  =  M'=  PP'  =  ^-, 

R  désignant  le  rayon  du  cercle  circonscrit;  que  MM',  NN',  PP'  concourent  en  un  point  K  qui  esl  leur  milieu,  et 

que  par  suite  les  six  points  sont  sur  un  cercle  de  rayon  —  ■    EnQn  montrer  que  Le  poinl    K  esl  situé  sm  la  droite 

qui  joint  le  centre  du  cercle  circonscrit  au  centre  de  gra^  ilé  G,  entre  ces  deux  points,  el  que  l'on  a    3Kl  !  =  OG. 

V.  Philippe,  lycée  Charlemagne. 

470.  On  considère  imites  les  coniques  ayanl  des  directions  asymptotiques  et  un  foyer  donnés,  et  on 
demande  : 

l    L'enveloppe  de  la  directrice  correspondante  à  ce  foyer; 
;    I  e  lieu  du  second  foyer. 

E.  Bertuelot. 
♦ 

Le  Rédacteur-Gérant  :  II.   VUIBERT. 

IlAri-LE-lll'C.  —    IIP.    COHTE-JA 


6°  Année.  N°  3.  Décembre  1895. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE  PARTIE 


CONSTRUCTION  PAR  LA  REGLE  ET  LE  COMPAS 

DE    L'INTERSECTION    DE    DEUX    QUADRIQUES    DE    RÉVOLUTION    DONT    LES    AXES    SE    RENCONTRENT 

Par  M.  L.  Lefèvre,  professeur  de  Mathématiques  spéciales  au  lycée  de  Lille. 


On  coupe  les  deux  surfaces  par  des  sphères  ayant  pour  centre  commun  le  point  de  rencontre  c» 
des  deux  axes  de  révolution  wX,  <oX,.  Chaque  sphère  donnant  dans  l'une  des  deux  quadriques  deux 
parallèles  P  et  Q,  la  détermination  de  ces  deux  parallèles  doit  pouvoir  se  faire  à  l'aide  de  la  règle  et 
du  compas.  On  peut  faire  aussi  la  même  remarque  à  l'égard  des  asymptotes  de  la  projection  de  l'inter- 
section sur  le  plan  des  axes  :  cette  projection  se  réduit,  comme  on  le  sait,  à  une  conique. 

Etudions  ce  qui  se  passe  pour  l'une  des  deux  quadriques.  Rapportons  la  méridienne  à  ses  axes, 

OX  étant  l'axe  de  révolution  :    — h- — 1  =  0    sera  son  équation.  Le  centre  u  des   sphères  auxi- 

a        P 
Maires  est  un  point  de  OX,  soit  x0  son  abscisse.  Le  grand  cercle  d'une  sphère  auxiliaire  contenu  dans 

le  plan  des  axes,  que  nous  prenons  par  exemple  comme  plan  vertical  de  projection,  aura  pour  équation 

x'2  -h  y1  —  2jt0^  -+-  y  =  0. 
Les  plans  des  parallèles  communs  à  ces  deux  surfaces  sont  des  plans  debout  dont  les  traces  P, 
Q  s'obtiennent  en  éliminant  y1  entre  les  deux  équations  précédentes,  ce  qui  donne 
I  (-/  —  p  .»-'  —  2«r,i  -(-  a(P  -+-  •;)  =  0. 

Soient  p,  q  les  points  de  OX  ayant  pour  abscisses  les  racines  de  cette  équation;   il  suffit  de  les 
déterminer  ou  encore  de  construire  le  cercle  de  diamètre  pq  dont  l'équation  est 
(a  —  P)(a-'2  -H  .y2)  —  2w„.r  +  a(P  -+-  -;)  =  0. 
Son  centre  est  un  point  fixe  u>'  dont  l'abscisse  est 

(2)  x  =  -^—x0; 

«— P 
en  outre   il  coupe  le  cercle  w  aux  mêmes  points   réels  ou  imaginaires  que  le  cercle  homograpkique  de 
rayon  >/a,  ce  qui  achève  de  le  déterminer.  —  Si  en  effet  nous  éliminons   y  entre  les  équations  des 
deux  cercles  to  et  m',  il  vient 

xi  +  y*  —  *  =  0. 
Le  plan  L  perpendiculaire  à  OX  au  point  &>'  est  évidemment  le  plan  de  contact  de  la  sphère  limite 
inscrite  w  réelle  ou  imaginaire. 

Il  faul  d'abord  construire  le  point  u>'.  —  Supposons,  par  exemple,  qu'il  s'agisse  d'un  ellipsoïde 
allongé  déterminé  par  les  axes  AA' =  2a,  BB' =  2i  de  sa  méridienne.  Soit  FF'  =  2c  la  distance 
focale.  La  relation  (2)  prend  la  forme    —  =  --.    On    peut    par   exemple   employer   la   construction 

XB  C-  ri, 

simple  que  voici  : 


VI 


-:;        CONSTRUCTION  DE  L'INTERSECTION  DE  DEUX  QUADR1QUES  DE  RÉVOLl (TION 

Décrivons  le  cercle  homographique  de  diamètre  A.V,  puis  portons    0?  =  OF  =  c.    Traçons  les 

droites  FC  et  A?  ;  si  pai  <•>  on  mène  t»D 
parallèle  à  FC,  puis  Dw',  parallèle  à  A=>, 
on  a  w'.  —  Soit  alors  une  sphère  auxiliaire 
quelconque  de  centre  w  ;  elle  ccoupe  le 
cercle  homographique  on  deux  points  H.  K  . 
et  il  suffit  de  tracer  le  cercle  de  centre  w 
passant  en  E  pour  avoir  les  points  p  et  -/. 
Mais  il  peut  arriver  que  le  rayon  de  la 
sphère  <■'  variant,  les  points  E,  E'  devien- 
nent imaginaires.  On  peut  alors,  suivant  les 
cas,  employer  des  constructions  fondées  sur 
cette  remarque  que  les  (mis  cercles  0,  u>,  a/ 
ont  toujours  même  axe  radical.  Par  exemple, 
on  trace  un  cercle  (r)  fixe,  choisi  de  façon 
à  les  couper  constamment  dans  les  limites 
de  l'épure.  Les  trois  axes  radicaux  de  ce 
cercle  (r)  avec  chacun  des  trois  cercles 
concourent  à  chaque  instant.  On  simplifierait 
les  tracés  en  prenant  le  centre  de  (r)  sur  L. 
P  et  Q  présente  en  outre  l'avantage,  dans  le  cas  où  il  y  a  des  branches 
infinies  virtuelles  en  projection  verticale,  de  pouvoir  être  prolongée 
indéfiniment. 

Enfin  on  doit  remarquer  que  les  points  m,  ni|  où  la  droite  P 
coupe  le  cercle  tu  sont  des  points  de  la  méridienne,  dont  on  obtient 
ainsi  une  construction  régulière. 

Pour  les  autres  quadriques  de  révolution  il  est  bien  facile  de 
modifier  la  construction  du  point  ■■> . 

Si  une  seule  des  deux  quadriques  est  un  hyperboloïde  à  une 
nappe,  comme  le  cercle  homographique  de  rayon  /S  est  imaginaire, 
il  vaut  mieux  définir  la  surface  par  une  «le  ses  génératrices  recti- 
lignes.  D'ailleurs  on  peut  aussi  bien  effectuer  les  constructions 
précédentes  à  l'aide  d'un  cercle  (r).  Si  l'on  a  soin  de  prendre  ce 
cercle  orthogonal  au  renie  réel  x-  -+-  ya  -+-  *  =  0,  son  axe  radi- 
cal I»  avec  le  cercle  homographique  imaginaire  a:* -h y*  — a  =  0  sera  la  perpendiculaire  à  Or  élevée 
en  0.  Cela  est  facile  à  constater. 

Cas  particuliers.  —  1    Lorsque  tu  coïncide  avec  le  centre  0,  les  constructions  sont  encore  sim- 
plifiées. 

Soil     -''-hy'  —  ?"  —  {)     l'équation  d'un  cercle  u;  l'équation  (1]  se  réduit  à 

(«_  ?)a5i  +  8(p_  p»)  =o. 
Par  exemple  dan-  le  cas  de  l'ellipsoïde  allongé  on  en  déduit 


Cette  construction  des  plan 


\ 

A 

\ 

t 

/     \  s     s 

(    -V 

**"-*-._ 

--K/0 

J      X 

• 

L 

Prenons  sur  Oj/     OB  —  b    et  le  point  fixe  1  tel  qui 


10  _   a 
ÏB  ~~  c 


CONSTRUCTION  DE  L'INTERSECTION  DE  DEUX  QUADRIQUES  DE  RÉVOLUTION        273 


/\ 


VI 

#---4- 

V     !B 


1? 


q     0|ù 


Soit  alors  G  le  point  où  un  cercle  w  coupe  la  tangente  en  B  à 
l'ellipse  méridienne  ;  la  droite  IG  coupe  OX  au  point  p  cherché  ; 
m,  m,  et  n,  nt  sont  des  points  de  la  méridienne. 

2°  Dans  le  cas  d'un  paraboloïde,  le  cercle  homographique  se  réduit 
à  la  tangente  au  sommet  de  la  parabole  méridienne.  Cette  tangente 
sera  donc  l'axe  radical  de  deux  cercles  w,  u>'  correspondants.  Si  x0 
est  l'abscisse  de  tu  à  partir  du  sommet  du  coté  où  s'étend  la  para- 
bole, .r0  -  p  sera  l'abscisse  de  u>',  p  étant  le  paramètre.  On  a 
encore  là  des  constructions  fort  simples. 


X 


Construction  des  Asymptotes.  —  On  obtient  leurs  directions  en 
transportant  le  cône  asymptote  de  la  seconde  quadrique  parallèlement 
à  lui-même,  de  façon  que  son  sommet  coïncide  avec  le  sommet  0 
du  premier  cône  asymptote.  On  obtient  les  génératrices  communes  aux  deux  cônes  en  les  coupant  par 
une  sphère  de  centre  0  qui  donne  dans  le  premier  cône  deux  parallèles  P,  Q,  dans  le  second  deux 
parallèles  P,,  Q,,  situés  dans  des  plans  debout.  Et  les  diagonales  ;,  r,  du  parallélogramme  formé  par 
les  traces  verticales  de  ces  plans  sont  les  directions  asymptotiques  de  la  projection  verticale. 

Si  l'on  a  deux  hyperboloïdes,  il  peut  y  avoir  0,  2  ou  4  asymptotes  réelles,  dans  l'espace,  à  la 
courbe  du  quatrième  degré  intersection  des  deux  quadriques  ;  leurs  projections  verticales  sont  confon- 
dues deux  à  deux  suivant  des  parallèles  à  ?  et  /,. 

Mais  les  plans  P  et  Q  seraient  encore  réels  dans  le  cas  d'un  ellipsoïde  allongé.  Eliminons  eu  effet  y 
entre  les  deux  équations 

x*       y2 


a-       bl 
il  vient,  pour  déterminer  P  et  Q,  l'équation 


et 


r-?2  =  o- 


On  peut,  pour  simplifier,  prendre 


x  =  zt  —  p. 
c 

p  =  c  dans  la  première  quadrique,  d'où  x  =  ±  a  ;  on  a  de 
suite  les  plans  P  et  Q.  Il  faut  ensuite  couper  le  deuxième 
cône  asymptote  par  la  même  sphère.  S'il  est  réel,  cela  est 
immédiat  ;  si  on  a  un   deuxième   ellipsoïde   allongé,   on 

appliquera  la  même  formule      xt  =  zfc  —  c      pour  cons- 

Ci 

truire  Pi  et  Qt.  On  passe  au  cas  d'un  ellipsoïde  aplati  en  per- 
mutant a-  et    b2(a  >•  b)    et  changeant  c-  en    —  c'-.    Il  vient 

donc    x  =  ==??;     P  et  Q  sont  imaginaires.  Cepen- 


l1 

dant  si  on  donne  un  second  ellipsoïde  aplati,  P,  et  Qi  sont 
également  imaginaires  et  les  directions  asymptotiques  ;,  rt 
sont  encore  réelles.    Il  suffit  en  effet  de  construire  les 

droites  réelles  P',  Q'  x  =  ±  —  p,     puis  Pi,  Q',   t,  =  ±  —  o; 
c  ct 

le  parallélogramme  réel  qu'elles  forment  a  les  mêmes  dia- 
gonales 5,  r,  que  le  parallélogramme  imaginaire  formé 
par    P,  Q,  P„  Q,. 

Remarquons,  en  passant,  que  les  plans  debout  parallèles  à  ;  ou  r,  donnent  des  sections  homo- 
thétiques  dans  les  deux  quadriques. 

Enfin  pour  construire  les  asymptotes  parallèles  à  ;,  il  faut  connaître  les  plans  qui  touchent  chaque 


276  NOTE    SUB    LKS    FONCTIONS    CROISSANTES 


cône  le  long  de  la  génératrice  parallèle  à  ;.  On  observe  que,  pour  le  premier  cône,  la  trace  verticale  du 
plan  tangent  est  la  conjuguée  harmonique  0(  de  ;  par  rapport  à  la  section  méridienne  du  cône  asymp- 
tote. On  \  errait  aisément  que  cette  droite  peut  s'obtenir  en  abaissaol  du  point  0  la  perpendiculaire  à  la 
di  iite  Bra  qui  joint  le  point  II  où  5  coupe  P,  au  pâle  n  de  P  relativement  au  cercle  auxiliaire  p. 

On  construit  de  môme  la  droite  0/,  relative  au  second  cône  et  on  la  transporte  dans  la  position 
initiale  :  le  reste  de  la  construction  est  bien  connu. 

Quant  à  la  nature  de  la  projection  verticale,  on  voit  que  c'est  une  ellipse  quand  on  associe  un 
ellipsoïde  aplati  à  une  autre  espèce  de  surface  ;  c'est  une  hyperbole  dans  les  autres  cas. 

On  obtient  une  parabole  quand  les  directions  ;  et  y,  coïncident,  ce  qui  a  lieu  quand  les  axes  de 
révolution  \.  \,  ><>n\  parallèles,  et,  en  particulier,  si  l'une  des  quadriques  est  une  sphère. 


NOTE  SUR   LES  FONCTIONS   CROISSANTES 


De  même  que  poui  étudier  la  continuité  d'une  fonction  dan-  un  intervalle  a,  b  on  peul  se  placer 
à  deux  points  de  vue  un  peu  différents,  et  définir  directemenl  la  continuité  dans  un  intervalle,  i>u  la 
déduire  de  la  définition  de  la  continuité  en  un  point;  de  même  aussi,  pour  fixer  les  caractères  d'une 
fonction  croissante  dan-  un  intervalle  (a,  b),  on  peul  adopter  indifféremment  deux  définitions  des 
fonctions  ci      -        s    Nous  allons  donner  ces  deux  définitions  el  montre)   qu'elles  sont  équivalentes. 

1°  On  dit  qu'une  fonction  /(x.  est  croissante  dans  un  intervalle  (a.  b),  si  pour  deux  valeurs 
quelconques  de  cet  intervalle,  a  et  ;;,  on  a  toujours  f< [a]  <  /"(p),  en  même  temps  que  %  <  [$;  en 
d'autres  termes,  si,  pour  tout  couple  de  valeurs  a  et   ;-  appartenant  à  l'intervalle   [a,  b),  le  rapport 

M-f-l>    est  positif. 

Cette  première  définition  est  généralemenl  admise  dans  les  cours  actuels  de  Mathématiques 
spéciales,  el  se  prête  d'ailleurs  très  facilemenl  à  l'étude  des  propriétés  qui  servent  de  base  au  problème 
qui  a  pour  but  la  recherche  des  variations  d'une  fonction. 

Vniei  la  seconde  définition  : 

2°  On  dit  qu'une  fonction  est  croissante  pour  une  valeur  x0  de  la  variable,  lorsqu'on  peut  déterminer 
un  nombre  ',  positif  et  tel  que,  la  fonction  donnée  f(x]  étant  définie  dans  l'intervalle  (x0  —  *,,  x0  -h  r,), 

le  rapport    -±— ^— -    soit  positif  pour  toutes  les  valeurs  de    h    moindres  en  valeur  absolue 

que  v  Cela  revient  à  dire  que  si  l'on  fait  croître  x,  la  fonction  a  des  valeurs  moindres  que  f(xt)  pour 
les  valeurs  de  x  qui  viennent  avant  .c0  et  n'en  sont  pas  trop  éloignées,  et  des  valeurs  plus  grandes, 
pour  les  valeurs  de  x  assez  voisines  de  x0,  mais  supérieures  à  ce  nombre. 

Si  une  fonction  n'esl  définie  que  dans  un  intervalle  (a,  b),  elle  sera  dite  croissante  à  droite,  pour 
x  =  a,    si  le  rapport     — — -    est  positif  pour  toutes  les  valeurs  positives  de  A  inférieures  à 

tain  nombre  positif;  elle  sera  dite  croissante  à  gauche,  pour  x=  l>.  si  le  rapport    —  — ^ — - 

est  positif  pour  toutes  les  \  ttives  de  h  moindres  en  valeur  absolue  qu'un  certain  nombre 

positif. 

Il  esl  évident  que  si  une  fonction  est  croissant.'  dans  un  intervalle    [a,  b  ,   conformément  a  la 

première  définition,  elle  est  croissante  pour  toute  valeur  de  cet  intervalle,  en  particulier,  à  droite 

x  =  a,    ii  gauche  pour    x  =  b,    conformément  à  la  seconde  définition. 

Nous  allons  montrer  que,  réciproquement,  si  une  fonction  f(x),   bien  définie  dans  un  intervalle 

a,  b),  esl  croissante,  d'après  la  seconde  définition,  pour  toute  valeur  de  l'intervalle,  et,  en  particulier, 


CONCOURS   GÉNÉRAL    DE    18!»o  277 


à  droite  pour  x  =  a,  à  gauche  pour  x  =  è,  elle  est  croissante  dans  l'intervalle  (a,  b),  au  premier 
sens  du  mot. 

En  effet,  si  cela  n'était  pas,  il  y  aurait  dans  l'intervalle  un  couple  de  valeurs,  a  et  S,  telles  que  a 
étant  plus  petit  que  p,  on  ait  /'(a)  >  f($).  Admettons  ce  point  et  divisons  l'intervalle  (a,  P)  en  deux 
parties  égales,  (a,  •;)  et  (y,  P);  nous  aurons  nécessairement  /"(v)  <  A*)  ou  fi't)  >  fit),  et 
peut-être  à  la  fois  les  deux  inégalités;  de  toutes  façons,  nous  avons  un  nouvel  intervalle  (ai,  pi)  tel 

a  —  a 
que    a,  $>  a,    a,  <    ?,     i,  —  oq  =  ' — - —     et    /\a,)  >  /"(Pi);     de  celui-ci  nous  déduirons  de  même  un 

nouvel  intervalle  (*2,  %),  compris  dans  le  précédent,  tel  que  a2  >  a,,  p,  <.  p„  p2  —  a2  —  ^— — -  =  ^ 

et    /"(«î)  >  /(PO  !    et  amsi  ae  suite  :  nous  formons  amsi  deux  suites, 

a,  ïj,  ïo,   .  .  . ,       a„,   .  .  .   , 

P,  Pi,  Pb,    ..-,      P, , 

la  première  croissante  et  ayant  tous  ses  termes  moindres  que  ceux  de  la  seconde,  la  seconde 
décroissante  et  ayant  tous  ses  termes  supérieurs  à  ceux  de  la  première;  chacune  de  ces  suites  a  donc 
une  limite  contenue  dans  l'intervalle  (a,  b)   et  ces  deux  limites  sont  égales,  car     3„  —  a„  =  i 

et  ce  nombre  tend  vers  0. 

La  contradiction  est  alors  manifeste;  car  soit  X  la  limite  commune  des  deux  suites;  en  ce  point, 
d'après  notre  première  hypothèse,  la  fonction  est  croissante,  et  il  y  a  un  nombre  t,  tel  que  si  on  prend 
deux  nombres  quelconques  X'  et  X",  respectivement  dans  les  intervalles  (X  —  t,,  X),  (X,  X  -t-  jj), 
on  a  toujours  f{\')  <  f(X)  <  /"(X.");  mais  la  seconde  hypothèse  nous  a  entraîné  à  former  les  deux 
suites  ï„  et  p„  qui  ont  pour  limite  commune  X,  et  lorsque  n  est  assez  grand  les  deux  nombres  a„  et  p„ 
tombent  respectivement  dans  les  intervalles  (X  —  rn  X),  (X,  X-t-ij);  comme  d'ailleurs  on  a  toujours 
f{*n)  >  /T3n)j  il  y  a  désaccord  évident  avec  ce  que  nous  avons  dit  plus  haut.  Si  X  =  a,  on  a,  d'une 
part,  /"(«)<  /"(?„);  d'autre  part,  /"(«)> /"(?»)•  Si  X  =  J,  on  a,  d'une  part,  f(a„)  <f{b);  d'autre  part, 
f{*n)  >  f{b).    La  contradiction  est  tout  aussi  évidente. 

Dans  le  premier  chapitre  de  son  second  volume  sur  l'analyse  infinitésimale,  M.  Méray  propose 
une  définition  très  voisine  de  la  seconde  :  il  dit  qu'une  fonction  est  croissante  pour  x  =  x0,  si 
l'accroissement  de  cette  fonction,  f(xa  -+-  h)  —  f(xa),  est  positif  pour  les  valeurs  positives  de  h 
inférieures  à  un  certain  nombre;  cette  définition  se  confond  avec  celle  que  nous  avons  donnée  pour 
les  fonctions  croissantes  à  droite  de  ï  =  x0;  elle  a  le  léger  inconvénient  de  ne  pas  séparer  a  priori 
les  valeurs  particulières  pour  lesquelles  la  fonction  est  minima  de  celles  pour  lesquelles  elle  est 
véritablement  croissante;  mais  cette  séparation  est  très  commode.  D'ailleurs,  en  nous  appuyant  sur 
la  définition  adoptée  par  l'illustre  géomètre,  il  nous  serait  très  facile  de  montrer  que  si  une  fonction 
est  croissante,  dans  ce  sens,  pour  toutes  les  valeurs  d'un  intervalle  (a,  b),  elle  est  croissante  dans 
l'intervalle  (a,  b),  au  premier  sens  du  mot.  La  démonstration  est  semblable  à  la  précédente. 

E.  H. 


CONCOURS  GENERAL  DE  1895 


Mathématiques . 

Solutions  par  M.  H.  Hublot,  élève  du  lycée  Saint-Louis  (1er  Prix). 

422.  —  On  considère  Véquation 

(flx2  +  bx  +  c)  pL  +  2(te  _,_  u)  ^  +  ky  =  0. 

1°  Les  constantes  réelles   a,  b,  e,  1,  a   étant  données,  on  demande  de  prouver  que  l'on  peut  choisir  la 


278  CONCOURS    GÉNÉRAL    DE   1895 

constante   h   de  manière  que  l'équation  précédente  soit  vérifiée  par  un  polynôme     ;/  =  f{x      de  degré 
donné  n  . 

2°  On  suppose  ensuite  que  le  trinôme 


H.r-  -+-  hx  -+■  c 

■rmil  nt,Klt'l,nt     ilp 

ax%  -+-  bx  -+-  r 


t  x    r-  u 

a  ses  racines    ",,.    at    réelles  et  distinctes  et  que,  dans  la  décomposition  de    — 7— en  fractions 

simples  définie  par  l'identité 

■1  ■/.„  ï. 


l'-r    H  C  X  —  «o         .('  —  fl, 

les  <'.»'/,'  1  sont  positifs  et  différents  de  zéro. 

Démontrer  que,  dans  ces  conditions,  l'équa 

M  =  0 

a  toutes  ses  racines  réelles  et  comprises  entre  <<-.,  et  ",. 

On  examinera  si  cette  équation  peut  avoir  des  racines  multiples. 

1    S'il  existe  un  polynôme   y   de  degré   m    vérifiant  l'équation  proposée,  tout  polynôme  Ay,     A 

désignant  une  constante  quelc [ue,  vérifiera  cette  même  équation. 

Cherchons  dune  un  polynôme  f(x)  de  la  forme 

x'"  -h  A,a"'  '   :    . ..  +  A.,,,.  ,.r       \    . 
L'équation  proposée  devienl  alors 
(ax*  +  bx      c   m(m   -I )*•"-*  H i-2A„,  ..  -4-2  \x  4-  p )[mxm  '  -+- . . .]  4-  k(xm  H -+-  Am)  =  0, 

qui  doit  avoir  lieu  quel  que  soit   x.    En  annulant  les  coefficients  des  différentes  puissances  de   x   au 
premier  membre,  nous  obtenons  1rs  relations  suivantes  : 

m  m  —  i  )a  -(-  2).m  -f-  k  =  0, 

m  y//  —  1  )b  -t-  m  —  l)(m  —  2)aA,  +  2f«n  -+-  2X(m  —  1  )A,  +  /.-A,  =  0, 


qui  sont  évidem at  résolubles  par  rapporl  aux  quantités    /,.  A,.  A,.,  ...,A,„,    en   écartant  certaines 

valeurs  particulières  pour  les  constantes  0,  //,  c,  X,  y.  m. 

2°  Soient  xu  xt,  ...,xm  les  m   racines  de  y,  et  supposons  d'abord  toutes  ces  racines  distinctes  el 
différentes  de   a0,  ",.   Cherchons  ce  que  devient  la  relation  proposée  lorsque  nous  donnons  à   a;   pour 
valeur  l'une  des  racines  de  >/,  la  racine  ,r;>.  Cette  relation  peut  s'écrire 
d*y 


dy  \x  —  a0      x  —  a,!  du 

-y-  hl.l-  -+■  l)X-\-  c)   -— 

dx  '  dx 


=  0. 


Or  "ii  sail  que  y  =  (x  —  x,)(x  —  x,)  . . .  (x  —  xm)  ; 

-i  donc  ..n  pose  :  x    =  {x  —  xt)  ...  {x  —  x,,  ,'<>•  —  .<•,. ,  ,)  ...  (ar  —  xm), 
on  peut  écrire  y  —  (x      ,, 

et  l'on  a,  par  suite, 

■£   =  ?(»)  +  (*  — **>p  '  • 

^  =  2T'(*) +  (*-**)?'(•'■)• 
Pour    .r  =  a;*    le  premier  membre  de  l'équation  se  réduit  à 


2 


f(a?fc)  Va  —  «u      a?ft— «, 


CONCOURS    GÉNÉRAL    DE    1805  279 


Or,  d'après  une  formule  connue, 

o'(xk 


o(xk)        Xk  —  Xi  xh  —  xm 

Donc  xk  étant  une  racine  quelconque  de  y,  x,,  . . .,  xk^,  xk_nl,  . . .,  xm,  les  m  —  1  autres,  nous 
devons  avoir  la  relation 

(i)  _L_  +  ...  +  _J_+_^_f__J^  =  0. 

Xk  —  a-i  xk  —  x„,      xk  —  a„      xk  —  a, 

Nous  allons  montrer  que  tous  ces  nombres  xl}  . . .,  xm  sont  réels. 

En  effet,  soient  xl=pl  +  iq„  a?j  =  p* -+- iqîf  . . . ,  xm  —  pm -+-  iqm.  Si  tous  les  nombres  q 
n'étaient  pas  nuls,  il  y  en  aurait  un  plus  grand  que  tous  les  autres  ;  soit  qk  ce  nombre.  Il  est  visible 
alors  que  l'égalité 

1  1  a0  a. 

H —  H ! =0 


Pk—  Pi+i(qk  —  qi)  Pk—Pm-hi(qk  —  qm)      Pk  —  Oo+iq*      pk—ai-r-iqk 

est  impossible.  En  effet,  il  suffit  de  former  le  coefficient  de  i  au  premier  membre  :  en  vertu  des  hypo- 
thèses faites,  il  se  présentera  sous  la  forme  d'une  somme  de  quantités  toutes  négatives  ;  l'égalité  est 
donc  impossible  si  tous  les  nombres  q  ne  sont  pas  nuls. 

Je  dis  maintenant  que  toutes  ces  racines  sont  comprises  entre  a0  et  a{.  Soit  xk  la  plus  grande  et 
a„  <  n,  ;  xk  est  plus  petit  que  a,  ;  car  s'il  était  plus  grand,  le  premier  membre  de  l'égalité  (1)  serait 
une  somme  de  quantités  toutes  positives,  et  l'équation  ne  saurait  être  vérifiée.  Toutes  les  racines 
sont  donc  plus  petites  que  at.  Par  un  raisonnement  analogue,  on  ferait  voir  qu'elles  sont  toutes  plus 
grandes  que  a0. 

Nous  avons  supposé  jusqu'ici  qu'aucun  des  nombres  .r,,  ...,  xm  n'est  racine  du  trinôme.  Si  l'un 

d'eux,  xk,  par  exemple,  annulait    ax*  -+-  bx -+-  c,     en  vertu  de  l'hypothèse     a0,  ot,  ;£  0    ce  serait  aussi 

i/ii 
une  racine  de  —j—  et,  par  conséquent,  au  moins  une  racine  double  de  y. 

Examinons  le  cas  des  racines  multiples. 

Suil   rk  une  racine  d'ordre  p  de  y;  c'est  une  racine  d'ordre     p—  1     de — —  et  d'ordre    p  —  2 

dx  ' 

d-q 
de  —y—--    Le  premier  membre  de  l'équation  contient  donc  déjà  le  facteur    (x  —  a?*)"-2.     Supprimons- 
le;  nous  voyons  alors  que    x — xk    qui  est  encore  en  facteur  dans  les  quotients  de  y   et  de  — — 

dx 

d'q 

par    (x — xky~1    sans  1  être  dans  celui  de      .  \  ■  ■>    doit  l'être  dans    ax2  -+-  bx  -h  c,    c'est-à-dire  que  xk 

est  l'un  des  nombres  a0,  a,.  L'équation  proposée  ne  peut  donc  admettre  comme  racines  multiples  que 
les  nombres  «„  et  a,. 


423.  —  On  donne  une  courbe  du  troisième  degré  C3  définie  par  les  équations 
x  =  G'z-'j.,  y  =  6>.u2,  ;  =  À3  -+-  p*} 

où  )  et  ■>.  désignent  deux  variables  indépendantes  que  pour  abréger,  nous  appellerons  les  coordonnées  du 
point  u  de  la  courbe  C3. 

1°  Trouver  lu  relation  qui  doit  lier  les  coordonnées  de  trois  points  ait  a,,  a%  de  la  courbe  C3  pour  que 
ces  points  soient  en  ligne  droite. 

2"  Trouver  la  relation  qui  doit  lier  les  coordonnées  de  six  points   ",.  "...  a3,  u,.  a6,  a,    de  cette  courbe 
pour  que  ces  points  soient  sur  vus  conique. 

Déduire  de  lu  In  condition  nrcessuirr  rt  suffisante  pour  que,  pur  trois  points  at,  au  az  de  la  courbe  C3, 
ou  puisse  faire  passer  une  conique  C   touchant  C.  aux  points  ",.  </s,  nv 


CONCOURS  GÉNÉRAL  DE  1895 


/   -  ,<',h'-s  du  triangle  <v-":  coupent  C3  en  des  points  A,.  //;.  b3  situés  sur  une  droite  D. 
Les  droites  qui  touchent  In  courbe  C3  aux  points  n.,  at,  </.  la  coupent  en  des  points   Ci,  <■_..  c    situés 
sur  une  droite  a. 

/.,/  droite  l>  <'Utni  donnée,  quel  est  le  nombre  d  i   coniques  r    qui  lui  correspondent? 
Lu  droite  a  étant  donnée,  quel  est  le  nombre  I     juî  fui  correspondent  ? 

I    L'équation  aux  —  des  points  de  rencontre  de  la  cubique  C    el  d'une  droite  quelconqu 

h  r       '</  -h  wz  =  0 
est  6uXV  4-  6t>Xn!  +  tt>(X3  -f-  n3)  =  0. 

il  ().,,  |ji,),  (XSl  (jtj  .  > ...  ,->  les  coordonnées  des  trois  points  de  rencontre;  ce  sont  les  solutions  de 
l'équation  précédente.  Le  produit  des  racines  montre  que  la  relation  qui  doit  lier  les  coordonnées  de 
trois  points  de  l     pour  que  ces  trois  points  soient  en  ligne  droite  esl 

},/..//., -+-  1^1*21*,    =   0. 

i    Par  1 1 1 1  raisonnement  analogue,  nous  trouvons  que  la  condition  pour  que  six  points   a„  a  .  a3, 

-/,,.;.  //„  de  C3,   de  coordonnées  (X,,  ;<.,,....   >,.  n,  .   soient  sur  une  conique  est 

/  ,/    /  I    u  i(J     <  ,;J    fi    . 

De  là  on  déduit  immédiatement  que  la  condition  pour  que  par  les  trois  points  au  "  ,  a  de  Cs  on  puisse 
faire  passer  une  conique  <"...  touchant  C3  aux  points  ait  aj,  a3  est 

X?X|X1   =  ;., 
relation  qui  se  décompose  en  deux  : 

/,),/;-  —fi 

Cette  dernière  relation  doit  être  rejetée  :  elle  exprime  en  effet  que  les  trois  points  sont  en  ligne  droite. 
La  condition  cherchée  est  donc 

(1)  '   :     =    Hll-WS- 

Les  côtés  du  triangle  a,,  a,.  a3  coupent  C:  en  des  points  b„  //_.,  b3  :  soient  [mt,  nt),  (m2,  «.),  [m3,  n3)  leurs 
coordonner-.  Ces  quantités  satisfont  aux  trois  relations 

iX,X2m3  =  —  ji,;j  n 
XjX3wij  =  —  (JL2fi3n,, 
X3X,»n2  =  —  'i,[ixii,. 
En  les  multipliant  membre  à  membre  et  tenant  compte  de  (1),  nous  obtenons  la  nouvelle  relation 

111,111 ,M3    =    "i"j"<, 

qui  montre  que  les  trois  points  //,,  //_.,  b3  sont  en  ligne  droite  :  soit  l>  celle  droite. 

Les  tangentes  en  au  a,,  a3  à  C3  coupent,  la  cubique  aux  nouveaux  points  <-,.  c»,  c3;  soient  [px,  q,  , 
p  .  </.  .  ji-.  </  :)  leurs  coordonnées  ;  j'ai  les  relations 

(3)  I      i  ;-/• 

:■  '</  . 

Pai  un  raisonne ni  analogue  au  précédent,  j'en  déduis  que  ces  trois  points  <,.  ct,  c3  sont  sur  une 

droite  a. 

La  droite  D  étant  donnée,  cherchons  quel  esl   le  nombre  des  coniques  Cj  qui  lui  correspondent. 

Se  '1 ter  I».  c'est  se  donner  les  coordonnées   mu  >:,  .   m ,,  n  ■  .   m3,  n3)  de  ses  trois  points  de  rei tre, 

li,.  bt,  >>.  avec  I      Déti  rminons  les  coniques  C   par  les  groupes  de  points  at,  as,  a3.  Pour  cela,  non-  avons 
i  i  ésoudre  le  système   i  par  rapporl  à 

X|  X2  Xj 


ÉCOLE    NORMALE    SUPERIEURE 


28 1 


En  combinant  ces  équations  et  tenant  compte  de 

111,111  J?)l;|     =     l!l»ï_,»3, 

on  arrive  aux  nouvelles  équations 

d'où  l'on  déduit  immédiatement 

X,n,  =  ±  ninij,  Xo«2  =  ±  uu»^,  )  ;/(;  =  ±  lJ.,/11,. 

Nous  devons  rejeter  les  solutions  qui  correspondent  au  signe  +;  car  les  points  cherchés  doivent 
être  différents  des  points  donnés  4,,  b,,  b3.  Donc  à  une  droite  D  ne  correspond  qu'une  seule  conique  C2. 

Cherchons  maintenant  les  coniques  qui  correspondent  à  la  droite  A;  pour  cela,  nous  avons  a 
résoudre  le  système  (3),  ce  qui  donne  immédiatement  : 

\y/p~t  —  ImJ—'/i,  h\fp2  =  ,'W—  '/->>  *sv5?3  =  :J:V —  '/a  ; 

mais  nous  savons  que  pour  avoir  une  véritable  conique  il  faut  ÀiA2X;,  =  (j^Ki  et  non  >,Àp..  =  —  :^i^2,,j1j- 
Ceci  va  nous  permettre  de  choisir  les  signes  ambigus  des  radicaux. 

Je  puis  toujours  supposer  que  les  radicaux  du  premier  membre  sont  pris  avec  le  signe  -t-  ;  il  faut 
alors  que  le  produit  des  radicaux  du  second  membre  soit  positif,  ce  qui  donne  quatre  combinaisons  de 
signes  acceptables.  Donc  à  mu'  droite  a,  il  correspond  quatre  coniques. 


ECOLE  NORMALE  SUPERIEURE    Concours  de  1891). 


Physique. 

1  02.  —  Dans  une  boîte  rectangulaire  de  4  décimètres  de  longueur,  une  face  est  formée  pur  une  glace 
dépolie  carrée  de  1  décimètre  de  côté  ;  un  centre  de  la  face  opposée  es/  percé  an  petit  Iran  circulaire.  On  met, 
à  égale  distance  dn  trou  et  île  la  glace,  an  dessin  transparent  dont  l'ombre  se  (mine  sur  la  glace  quand  <>// 
expose  le  Iran  en  faee  d'un  mnr  blanc  vivement  éclairé. 

(la  demande  quels  changements  seront  produits  dans  Véclairement  et  dans  les  dimensions  île  l'ombre  par 
l'introduction  d'une  lentille  achromatique  convergente  sur  l'axe  de  la  Imite,  dans  l'une  des  positions 
suivantes  : 

1"   Entre  le  dessin  et  le  terni  ; 

2"  Entre  /,•  /,•,/»  ,■/   le  mur. 

Le  diamètre  de  la  lentille  est  égal  à  an  cinquième  de  décimètre,  et  sa  distance  focale  é,  un  décimètre. 


Première  position.  — Dimension  de  l'ombre. 


La  lentille  C  a  pour  effet  de  substituer  au  petit 
trou  0  son  image  0'.  Soit  AB  la  partie  du 
dessin  P  que  rencontrent  les  rayons  réfrac- 
tés, A'B'  son  ombre  sur  la  glace  dépolie  P'  ; 
appelons  y  et  y'  leurs  diamètres  respectifs, 
/'  la  distance  focale  de  la  lentille  el  x  la 
distance  de  celle  lentille  au  point  0. 


On  a 


jf_  _    PW_ 

m  bien,  en  remarquant  que,  d'après  les  données,     PO  =  2/'    et     P'O  =  if, 

y'   _C0'  +  if  —  x 
~y~  ~  CO'4-2/"—  x' 
L'équation  aux  distances  conjuguées  permet  d'exprimé]  <.<•  en  fonction  de  x 

I  1  \ 


282 


ÉCOLE    NORMALE   SUPÉRIEI  RI 


<>ii  en  déduil 


2/ 


.-/     r    i 

expression  qui  diminue  depuis  la  valeur  -1,  pour     x  -----  0,    jusqu'à  la  valeur  o.  [mur    .c  =  2/",     en 
passant  par  la  valeur  I.     pour    a-  =  /',     tous  cas  particuliers  évidents  a  priori. 

Eclairement.  —  Appelons  e  l'éclairenient  cherché,  d  le  diamètre  de  la  lentille  cl  I  la  quantité  de 
lumière  envoyée  par  le  trou  sur  une  surface  é.^ale  à  l'unité  el  située  à  l'unité  de  distance,  ou,  en 
d'autres  termes,  son  intensité  lumineuse  ;  cette  intensité  esl  égale  au  produit  de  la  section  de  l'ouverture 
l  ii  I  éclal  du  unir,  que  nous  désignerons  par  /. 

I  aisons  abstraction  des  perles  de  lumière  par  réflexion,  el  exprimons  que  la  quantité  de  lumière 
reçue  el  réfractée  par  la  lentille  produil  un  éclairemenl  c  sur  une  surface  de  diamètre  y'  : 

M-  _ 


Ceci  peul  s'éci  ire 

d 
Le  rapport 


1    2T_  i/J 
•'■2   ?r  y- 
'exprime  aisément  en  fonction  de  CO',  e(  il  vienl  finalement 


expression  qui  augmente  depuis  la  valeur 


W-xy 

pour    x  =  i».    jusqu'à  l'infini  pour    x  =  2/'. 


Mais,  ilans  le  voisinage  de  celle  dernière  position,  il  n'est  plus  possible  de  faire  abstraction  du  dia 
mètre  de  l'ouverture,  car  l'image  de  cette  ouverture  se  trouve  alors  dans  le  voisinage  du  point  I".  Le 
problème  donne  lieu,  dans  ce  cas,  à  une  discussion  semblable  à  celle  de  la  question  386  voir  le  numéro 
d'avril  1893  ,  et  l'on  trouve,  pour  l'éclairement,  l'expression 

«d*        1 


qui,  pour 


if,    devient 


e'  =  I: 
é  =  k 


'  ion" 


t.    d!  _ 

iô  / 

En  dehors  de  ce  cas  limite,  le  diamètre  de  la  lentille  n'intervient  que  pour  limite)  la  partie  du 
dessin  dont  elle  modifie  l'ombre  par  son  interposition. 

Seconde  position.  —  En  dehors  de  la  boite,  la  lentille  n'a  plus  aucune  influence  sur  les  di nsions 

de  l'ombre  :  cela  esl  évident.   Elle  n'en  a  pas  davantage  sur  l'éclairemenl  :  cela  résulte  de  la  discussion 
de  la  question   386.  C.   lî . 


103 


Une  éprouvette  cylindrique  pleine  d'eau  peut  tourner  d'un  mouvement  uniforme  autour  de 
son  axe  de  figure  supposé  vertical  :  une  potence  liée  à  l 'éprouvette  supporte  sans  frottement 
une  poulie  de  dimensions  négligeables,  placée  exactement  sur  l'axe  de  rotation.  I  »  poids  P 
•i:>  grammes)  est  attaché  à  un  bout  d'un  /il  non  pesant  qui  passe  sur  la  poulie  et  vient 
s  attacher  par  l'autre  bout  à  un  aréomètre  </<</</  In  tige  a  une  section  d'un  centimètre 
Section  droite  de  V éprouvette  :  10  centimètres  carrés. 

Au  repos,  lorsque  l'équilibre  est  établi,  la  partie  du  fil  comprise  entre  la  poulie  et  le 
poids  P  a  une  longueur    l  =  30  centimètres 

Quel  esl  le  déplacement  vertical  de  l'aréomètre  quand  tout  l'appareil  tourne  avec  une 
vitesse  angulaire  <•>.  ce  qui  projette  le  poids  P  latéralement? 

On  admet  que  l'aréomètre  reste  exactement  centré  et  que  la  surface  libre  de  l'eau  rest< 
lim  izontalc. 

g-.  980  I     fi.  S. 


ECOLE    NORMALE    SUPÉRIEURE 


283 


Soient,  d'une  manière  générale, 

m  la  masse  du  poids  P, 

s    la  section  de  la  tige  de  l'aréomètre, 

S    la  section  de  Féprouvette, 

\>-   la  masse  spécifique  du  liquide, 

x   le  déplacement  vertical  de  l'aréomètre, 

■j.    l'angle  d'écart  du  fil, 

/■    la  distance  du  poids  I'  à  l'axe  de  rotation. 

Condition  d'équilibre.  —  La  tension  du  fil,  T,  doit  l'aire  équilibre  à  la 
résultante  F  du  poids  mg  et  de  la  force  fictive  centrifuge  rma'r  : 

F  =  T. 
Or,  d'une  part,  on  a 

L  I"  /  -+-  .y 

*={=*  i^V  ~~~  ~T~  ' 

Y  =  m  I 
D'autre  part  T  es1  égal  au  poids  apparent  initial  de  l'instrument,  mg,  augmenté  de  la  perte  de  poussée 
qui  résulte  du  déplacement  vertical  : 

T  =  mg  -+-  x  ■ 


S 


;'.'/• 


s 


Posons s\i  =  A    et  remplaçons  F  el  T  par  leurs  valeurs  dans  la  première  équation  ;  il  vient 

kl  -  m  m(q  —  &>*/ 

-g  ou 


Angle  d'écart.  —  (  >n  a 


kg  —  nn, 


mt 


Kg 


kg  —  wio 


F         (Z+a;)u>a         kl  -  m  ■■•- 
Cette  expression  doit  être  positive  et  inférieure  à  l'unité,  ce  qui  conduit  a  considérer  deux  cas  : 

I"  m  >  M    l'expression  est  positive  si "->2  >  -^— • 

m 

—  inférieure  à  l'unité ">2  <[-^-- 

2"  m  <  kl    l'expression  est  inférieure  à  l'unité  si  .... 


*>4- 


positive  —  ci2  <;  — . 

m 

On  trouve  les  mêmes  limites  en  exprimant  que  x  >•)     /  -  x    doivent  èlre  positifs. 

Quand  la  vilesse  de  rotation  est  inférieure  à  la  plus  petite  des  deux  limites,  le  fil  reste  vertical,  el 
rien  n'est  changé  ;  quand  elle  est  supérieure  à  la  plus  grande,  l'appareil  s'échappe. 

Condition  de  stabilité.  —  Si  on  augmente  un   peu   la  longueur    .r.    les  forces   doivent  tendre   à 
ramener  l'instrument  vers  sa  position  d'équilibre,  ce  qui  exige  que  T  augmente  plus  vite  que  F  : 

kgdx  >>  niM-dx, 

Kg 


ou  bien 


<0»< 


L'équilibre  ne  peut  donc  être  stable  que  dans  le  second  des  cas  examinés  ci-dessus. 

Application  numérique. —  Les  données  numériques  correspondent  à  ce  second  cas.  Le  poids  s'écarte 
el  l'aréomètre  se  soulève  à  partir  de  la  vitesse 

2  _  98() 


284  QUESTIONS    PROPOS]  ES 


rr  qui  correspond  à  une  fraction  de  tour  par  seconde  égale  à  0,9J  :  l'appareil  s'échappe  poui  la  vil 

in        980 

ce  qui  fail  1,03  tour  pai  seconde,  limite  bien  rapprochée  de  la  première.  C.  l>- 

« 

i  ONCOURS  DE  1895    Suite  . 


BOURSES  D'ENSEIGNEMENT  SUPÉRIEUR 

Bourses   de   licence   es   sciences   mathématiques. 

471.       |.       un  considère,  dans  le  plan,  la  droite    I     définie  par  l'équation 
i  ,,    ,■  .  _  „  _|_  ;),,,i;  —  9y  =  0, 

nu  a  esl  mu'  quantité  li\<\  ci   u  nu  paramètre  variable. 

Celle  droite,  quand  u  varie,  enveloppe  une  courbe  C  dont  on  formera  l'équation.  La  droite  I  touche  la 
courbe  C)  en  un  poinl  A  ci  la  coupe  en  un  point  II;  on  calculera  les  coordonnées  de  ces  points  en  fonction  de    . 

i'i  l'on  montrera  que  les  coordonnées  <lc  lï  se  déduisent  des  coordonnées  de    \   en  \  changeant    «  en  —  —  • 

II.       Parmi  les  droites    1    .  on  considère  la  droite  particulière  (V    donl btient  l'équation  en  supposanl 

u  =  l  dans  l'équation  (l  .  Par  chaque  poinl  P  de  (V),  on  peut  mener  deux  tangentes  à  la  courbe  <', ,  autres 
que  \  :  soient  Q,  Q'  les  deux  points  de  contact;  on  demande,  connaissant  l'abscisse  du  poinl  P,  de  former 
l'équation  de  la  droite  QQ',  de  déterminer  la  courbe  I.  enveloppée  par  cette  droite  quand  le  point  P  décrit  la 
droite    \  ,  enfin  de  limiter  la  portion  de    E    que  touchent  les  droites  QQ'  qui  joignent  des  points  réels  Q,  Q'. 

Bourses  de  licence  es  sciences  physiques. 
Physique. 

I. Etablir,  d'après  les  lois  de  la  dynamique,  la  formule  qui  donne  la  durée  d'oscillal l'un  pendule 

simple  écarté  très  peu  de  sa  position  d'équilibre. 

II.  _  472.  —  Deux  traits  parallèles  A  et  B,  distants  de  (>""". t.  sont  regardés  à  travers  un  microscope 
composé  à  oculaire  positif.  Dans  le  plan  vu  nettement  par  cet  oculaire  peut  être  déplacé  un  til  de  réticule  au 
moyen  d'une  vis  micrométrique.  On  amène  successivement  ce  (il  en  coïncidence  avec  les  images  a  et  b  de- 
traits    \   et    B,  et  on  trouve  qu'il  faut  pour  passer  d'une  position  à  l'autre  déplacer  ce  til  de  lmo,,9. 

Vprès  avoir  allongé  de  •'■  '  la  longueur  du  tube  du  microscope,  on  mel  de  nouveau  au  point  les  deux  traits 
A  et  11,  et  l'on  répète  la  même  opération  :  le  déplacement  du  til  du  réticule  pour  passer  de  l'image  a  à  l'image  b 
est  trouvé  égal  à  2mra,4. 

La  distance  du  plan  des  deux  traits  A  et  R  au  plan  àb  du  til  du  réticule  esl  dans  ce  dernier  cas  égale  à  J6"",3S. 

i  In  demande  : 

t    Quelle  e>t  la  distance  locale  de  l'objectif; 

2°  Quelle  esl  la  distance  des  deux  plans  principaux  de  cet  objectif; 

I  Si  l'oculaire  employé  a  une  puissance  de  30  dioptries,  quelle  est  en  dioptries  la  puissance  du  microscope 
composé  pour  la  dernière  longueur  du  lube. 

l 'himie. 

Préciser  les  circonstances  dans  lesquelles  l'hydrogène  entre  en  combinaison  avec  les  divers  métalloïdes, 
Donner  la  composition  en  volumesde  chacun  des  composes  ainsi  formés,  en  indiquant  brièvement  comment 
cette  composition  peu!  être  déterminée. 

4 

QUESTIONS  PROPOSÉES 

473.  —  On  considère  l'expression 

>/  x  +  1  )'"  —  x(y  -h  I  j'"  +  -c  —  y 

■'•//  •>-'  —  y) 


ÉCOLE    CENTRALE  283 


1°  Montrer  que  le  numérateur  est  divisible  par  le  dénominateur. 
2°  Trouver  la  limite  du  quotient  pour    x  =  </  =  0. 

3°  Plus  généralement,  trouver  le  polynôme  en  x  qui  représente  ce  quotient  quand  on  fait    .</  --  .<;. 

Cii.  li. 

474.  —  Une  conique  variable  passe  par  deux  points  tixes  A  et  B  et  rencontre  une  conique  fixe  en  deux 
points  lixes  C  et  I)  et  deux  points  variables  M  et  N. 

1°  Trouver  l'enveloppe  de  la  droite  MN. 

2°  Par  les  quatre  points  C,  D,  M,  N  et  un  cinquième  point  lixe  E,  on  fait  passer  une  conique  F  ;  montrer 
que  cette  conique  passe  encore  par  un  point  (ixe  F. 

3°  Trouver  le  lieu  des  pôles  de  Cl)  par  rapport  à  la  conique  1\ 

4°  Lieu  du  point  F  quand  le  point  E  décrit  une  droite  donnée.  E.  Bebtiielot. 

475.  —  Cne  tangente  quelconque  à  une  hypocycloïde  à  trois  rebroussements  rencontre  la  courbe  en  deux 
points  autres  que  le  point  de  contact.  Démontrer  que  les  tangentes  à  la  courbe  en  ces  deux  points  sont 
rectangulaires.  A.  Goulard,  professeur  au  lycée  de  Marseille. 


DEUXIEME    PARTIE 


ÉCOLE   CENTRALE  (Première  session   de  1895]. 
Physique. 

438.  —  On  forme,  avec  une  balance  juste,  un  baroscope.  Soient  1'  et  /i  lespoids  réels,  V  et  v  les 
volumes  des  deux  sphères  à  i"  ;  la  balance  étant  fermée  et  pleine  d'air  sec  à  la  température  i"  et  sous  la 
pression  H,  l'équilibre  existe. 

Montrer  comment  : 

1"  .1  température  constante  l'appareil  peut  servir  de  manomètre,  puisque  la  tangente  de  l'angle  d'incli- 
naison du  fléau  est  proportionnelle  à  la  variation  de  pression; 

-1"  A  pression  et  à  température  constantes  l'appareil  peut  servir  d'hygromètre  ;  il  suffit,  en  effet,  pour 
pouvoir  calculer  l'état  hygrométrique  e  d'un  lieu,  d'ouvrir  lu  balance  pour  donner  libre  accès  à  l'air  humide 
et  /If  déterminer  les  poids  m  nécessaires  /mur  ramener  l'équilibre . 

3°  Calcula-,  dans  ce  deuxième  cas,  Vétat  hygrométrique  <■  correspondant  aux  données  numériques 
suivantes  : 

d  =  -|  (vap.  d'eau),  V  =  1835«,2,  t  =  27",  a  =  0^,001293, 

m  =  0ei',0253,  o  =  3",  F,  =  26mm,5,  *  =  0,00366. 

Soit  a,  le  poids  spécifique  de  l'air  correspondant  à   l'équilibre  primitif,  et  a*  le  poids  spécifique 

correspondant  à  un  second  étal  du  milieu  ambiant.  Le  changement  produit  du  côté  de  la  grosse  boule 

une  surcharge 

ra  =  (V  —  v)[a,  —  Oî). 

I"  S'il  y  a  eu  seulement  variation  de  pression,  on  a 

,v        ,      H, -H,       1 

m  =  (V  —  v)a • 

*  '         760       1-+-*/ 

2°  S'il  y  a  eu  seulement  passage  de  l'état  de  sécheresse  à  l'état  d'humidité,  il  vienl 


286  El  OLI     l  EIS  I  RALE 


3    L'introduction  des  données  numériques  dans  celte  dernière  formule  conduil  à  la  valeur 

0,897. 

ll.n  \  soluc  par  H.  Marin  i.i 

Chimie. 

439.  —  Dans  un   ballon  analogue  à  celui  de  Laooisier,  <m  chauffe  10'"  </'»»  iiifl<ni<i<-  d'oxij 
d'azote  avec   lnii     ,/■■  mercure.  On  arrête  l'expérience  quand  l'absorption  de  l'oxygène  est  terminée   "n  la 
suppose  complète  . 

[près  refroidissement,  on  vei  d'acide  mlfuriqu    concentré  ;  on  chauffe  jusqu'à  dissolution 

<  !e  et  on  recueille  le  gaz  qui  si  dégage  sur  la  cuve  à  mercure;  on le  mesure  et  on  trouve  6  ',968.  On 
demande  :  1"  /."  nature  du  gazrecueilli;  2e  /."  composition  centésimale,  en  volumes,  'lu  mélange  d'ox\ 
ri  d'azote  contenu  dam  le  ballon. 

Les  gaz  seront  supposés  secs  et  dans  les  conditions  normales  de  température  et  de  /<< 
8  =  0,0695,  11=1.  0  =  16,  S  =  32,  Hg  =  200. 


Les  \  litres  d'oxygène  que  renferme  le  mélange  onl  un  poids 

p  =  Y  x  16    -   0,069o    -    1,293. 
Cel  oxygène  oxyde  un  poids  de  mercure 

Ï6"   '    20°- 
Il  reste  donc  un  poids  de  mercure 

100  —  —       200 

Ki 

pour  donner  avec  l'acide  sulfurique  la  réaction  connue 

Hg      .'   SO*Hs)   -   SO'Hg     -2(H20        SO 
Il  ru  résulte  un  poids  de  gaz  sulfureux 

^  f  100  -  \       im\ 

200  \  1C  ' 

donl  le  volume  Y    esl  le  même,  du  moins  on  doil  l'admettre,  que  celui  de  l'oxygène  qu'il  renferme, 
ce  <|iii  fournit  l'équation 

\         16   -  0,0693        1,293       -^1  L00—  -     -    *w)  , 
200  \  16 

d'où  l'i>n  Lire,  en  remplaçanl  p  par  sa  valeur, 

V  =  11, lis  —  2V. 

On  peul  encore  arrivera  ce  résultai  en  remarquanl  que  les  l00Br  de  mercure,  attaqués  par  l'acide 
sulfurique,  produiraienl  juste  une  demi-molécule,  ou  Hlil,128  de  gaz  sulfureux.  Or  l'oxygène  du 
mélange  a  oxydé  une  quantité  de  mercure  capable  de  fournir  un  volume  double  de  gaz  sulfureux  ; 
il  ne  se  produira  donc  finalement  que   111  Mis       i\    de  ce  gaz. 

Vdmetlons  maintenant  que  les  <ih'.!iii<s  iloiii  il  esl  question  dans  l'énoncé  représentenl  exclusive- 
menl  le  gaz  sulfureux  :  on  aura 

11,128      2V  =  6,968  ou  V  =  2,08. 

Le  mélange  primitif  renferme  donc  20,8  d'oxygène  pour  79,2  d'azote  :  c'esl  de  l'air  atmosphérique. 

La  qu  r  M.  Mario  I 

Géométrie    analytique. 

440.  —  On  dontti  deux  axes  rectangulaires  Ox  et  Oj/,  tur  l'axe  des  x  unpoint  \  d'abscisse  i  /. 
surl'axe  des  y  un  point   B  d'ordonnée    ij       </.     Ecrin    l'équation   générale  des  coniques   passant  par    i<- 


ÉCOLE    CENTRALE  287 


point  A,  tangentes  à  l'axe  des  y  en  H  et  admettant  pour  diamètre  conjugué  de  Qy  une  droite  dont  le  coeffi- 
cient mil/ u lai re  est    m. 

I"  Faisant  varier  m,  on  cherchera  le  lieu  des  centres  (1rs  hyperboles  équilaières  qui  [mil  partie  du 
faisceau  de  coniques  représentées  pur  l'équation  générale,  ri  le  lieu  il"  /mini  de  rencontre  du  diamètre 
conjugué  de  Qy  dont;  ces  hyperboles  avec  leur  tangente  m  A.  On  distinguera  sur  ces  deu  t  Unix  1rs  régions 
i/ni  répondent  n  des  hyperboles  pour  lesquelles  1rs  points  A  ri  |;  sont  sur  une  même  branche,  de  celles 
sur  lesquelles  ces  points  ••mil  sur  des  branches  différentes. 

-2"  Faisant  encore  varier  m  ri  considérant  lesparaboles  qui  fonlpartie  du  faisceau  <!<■  coniques  rcpré- 
sentéespar  l'équation  générale,  on  démontrera  que  par  un  point  du  plan  on  //<■»/  faire  passer  trois  axes  de 
ces  paraboles.  Un  considérera  les  points  du  plan  pour  lesquels  un  des  axes  est  parallèle  <i  Oy  <•/  ,on 
cherchera  le  lieu  despoints  d'intersection  des  deux  paraboles  qui  correspondent  au  v  axes  mm  parallèles  n  (  \y. 

3°  On  formera  l'équation  de  la  corde  commune  AC  de  ces  deux  paraboles  et  on  cherchera  le  Heu  de 
l'intersection  d'une  parallèle  à  cette  corde  menée  par  l'origine  avec  1rs  diamètres  conjugués  de  <»y  dans  ces 
mêmes  paraboles . 

Soit  n(.r  -  )i ,  -+■  vy  =  0 

l'équation  do  la  tangente  en  A.  L'équation  des  coniques  passant  par  A  et  tangentes  en  lî  à  Oi/ peut 
s'écrire 

%x[u{x  —  p)  -+-  vy]  -t-  {qx  +py  —  pqf  =  0. 

Pour  que  le  diamètre  conjugué  de  Oy  ait  pour  coefficient  angulaire  m,  on  doil  avoir 

/rin  -h  (v  +  pq)  —  0. 
L'équation  générale  demandée  est  donc 

~ïx{u{x  —  p)  —  i  rnp  -+-  q  py]  +  (qx  +  py  —  pq  ?  =  0, 
u   étant  le  paramètre  variable  ;  elle  s'écrit 

(1)  (2«  -t-  q-)x-  —  Vwpï.ri/  -+-  p2y-  —  2(«  -+-  </-')/;.;■  —  l'/'"''/'/  4-  /'-</"'  =  0. 

1°  La  condition  pour  que  l'équation  (1)  représente  une  hyperbole  équilatère  est 

(2u  +  7-)  4-  p*  =  0, 
el  relie  équation  s'écrit  alors 

(2)  p-uj-  —  x-)  —  Inip-xij  -t-  (p2  —  q*)px—1p-qy  -+-  //-</-'  =  U. 

Los  équations  du  centre  sont 

Ipx  +  2mpy  —  (//2  —  7-)  =  U 
et  y  —  mx  —  q  —  0. 

En  éliminant  m,  on  obtient  l'équation  du  lieu  des  centres, 

(3)  -2/i  x-  -t-  i/-)  —  (//-  —  q-jx  —  2pqy  =  0. 

Ce  lieu  est  un  cercle  passant  par  les  points  0  et  li,  et  aussi  par  le  milieu  de  Al:, 

L'équation  du  diamètre  conjugué  de  0/y  est 

y  —  m  x  —  q  =  0, 
el  celle  de  la  tangente  en   A   esl 

/r-hq-)U-  —  p)  -+-  2  (mp  -+-  q)py  =  0. 
L'équation  du  lieu  do  leur  point  de  rencontre,  obtenue  en  éliminant   m,  est 

(  1)  (jr  -t-  q-)x-  ■+■  Zpqxy  4-  2y;-y2  —  (p-  ■+■  ,[-  p  t  -  2p2qy  =  0. 

Ce  lieu  est  une  ellipse  passant  par  les  points   0,   A  et   ]î. 

I. 'abscisse  du  centre  de  l'hyperbole    2  esl 

P2—g2-2„iri 
2(1  -t-  m2)p 


•288 


ÉCOLE     CENTRALE 


ri  i  abscisse   du  poinl  de  rencontre  du  diamètre  conjugué  de  Ojy  avec  la  tangente  en    \   esl 

(1  -+-  m-)p'2  ■'   [mp  +  7  - 

D'autre  part,  si  on  résoul  l'équation   ±   par  rapport  à  t/,  la  c lition  de  réalité  des  racines  est 

i     I        m-  px  —  (p! —  (f  —  lmpq  0. 

Si  les  points  A  el  B  sonl  su:  une  même  branche,  celte  condilion  esl  vérifiée  par  toutes  les  valeurs  posi 
lives  de  x,  ce  qui  exige  que  l'on  ail 

i>      •/'  —  -m/"/  <  o  ; 

comme  les  abscisses  .c,  el  x  sonl  alors  négatives,  on  voit  que  les  arcs  du  cercle  •'(  et  de  l'ellipse  (4) 
situés  a  gauche  de  Oy  correspondent  à  ce  cas.  Ou  voil  de  même  que  les  arcs  situés  a  droite  de 
Ou  répondent  a  des  hyperboles  sur  lesquels  les  points  \  el  II  appartiennent  à  des  branches  ditlé- 
renles. 


Solution  géométrique. 
circonscrites  a  un  triangle 


Mai1-  un  a  aussi 
De  ces  deux  égalités 


Remarquons  d'abord  que  les  coniques  considérées  peuvent  être  regardées  comme 
lotit  l'un  des  sommets  est  A,  cl  dont  les  deux  autres  sommets  sonl  confondus  eu  1$, 
la  droite  qui  les  juin  i  n'étanl  autre  que  i  >y.  Si  ces  coniques  sonl 
des  hyperboles  équilatères,  elles  passent  par  un  quatrième 
point  II,  qui  esl  à  l'intersection  de  Oas  avec  la  perpendicu- 
laire élevée  en  I'.  sur   \l!- 

On  sait  que  le  lieu  des  centres  des  hyperboles  équilatères 
circonscrites  a  un  triangle  esl  le  cercle  des  neuf  points  île  ce 
triangle.   Ces  neul  points  se  réduisent    ici  à  cinq  :   0,    I!,  le 

milieu   \l    de     \li,  le  milieu    N    de  l'dl  et  le  milieu    1'    de  AH  ; 
l!l'  el  MN  SOnl    des  diamètres  du  renie  [fig.  I   . 

On  peut  trouver  ce  lieu  autrement.  Soit  3  le  point  de  ren- 
contre de  la  tangente  en  A  à  l'hyperbole  avec  Oy.  La 
polaire    de   8    n'étant    autre    que   Al!,    Mo   est    le    diamètre 

conjugué  îles  cordes  parallèles  à   AI!  et  passe   par  le   centre   y. 

V.w  désignant  par  .*    la  longueur  du  demi-diamètre  parallèle 

à  AU,  on  sail  que 

vM.vo-  a\ 


m  déduit  facilemenl 


r.M" 


.•M    =  a2. 


ce  qui  montre  que  le  lieu  du  point 


M- .Mo  =  Ml!", 
st la  ligure  inverse  de  Oy,  par  rap| 


l'I  au  pôle  M  . 


Passons  maintenant  au  lieu  du  point  de  rencontre  'i  du  diamètre  conjugué  de  Oy  dan-  l'hyperbole  avec  la 
tangente  en  \.  Comme  l'une  ou  l'autre  de  ces  droites  détermine  l'hyperbole,  elles  forment  deux  faisceaux 
liomographiques  ;  donc  le  lieu  de  leur  point  de  rencontre  esl  une  conique  passant  par  A  et  I!.  Celte  conique 
est  une  ellipse  ;  car  si  le  diamètre  de  l'hyperbole  passant  par  I!  était  parallèle  a  la  tangente  en  A,  le  diamètre 
passanl  par  A  sérail  parallèle  à  la  tangente  en  I!:  or  la  parallèle  menée  par  A  à  Oy  ne  rencontre  pas  le  lieu  des 
centres. 

I.e  poinl  i)  vient  en  A  quand  le  diamètre  passanl  par  I!  coïncide  avec  BA  ;  la  tangente  en  A  esl  alors  paral- 
lèle à  Oy  :  c'est  aussi  la  tangente  en  A  à  l'ellipse.  I.e  poinl  o  vient  en  I!  quand  l'hyperbole  se  réduit  à  la 
droite  BA  et  a  la  perpendiculaire  élevée  eu  |!  sur  BA  ;  il  est  facile  de  voir  que  le  diamètre  conjugué  de  Oy 
dans  ce  couple  de  droites  est  perpendiculaire  à  BP  :  c'est  la  tangente  en  I!  à  l'ellipse,  et  l'on  voit  que  celle-ci 
e-i  tangente  en  i;  au  cercle  lieu  des  centres.  Enfin  le  poinl  o  vient  en  o  quand  l'hyperbole  se  réduit  aux  axes 
0»  el  Oy. 

Soit  l'dl  la  portion  du  diamètre  conjugué  de  i  ty  comprise  entre  les  deux  branches  de  l'hj  perbole.  Comme  le 
centre  y  esl  au  milieu  de  l;l:  et  .pie  le  poinl  0  esl  aussi  compris  entre  B  ci  I!',  le-  trois  points  B',  y  et  o  sont 
jours  du  même  côté  du  poinl  11.  à  gauche  de  Oy  si  les  points  A  el  B  sont  sur  la  même  branche  d'hyper- 
bole, à  droite  de  Oy  si  les  points   \  el  II  sont  sur  des  branches  différentes. 


ÉCOLE    CENTRALE 


280 


Lorsque  l'hyperbole  se  réduit  à  la  droite  BA  et  à  la  perpendiculaire  élevée  en  B  sur  BA,  les  points  y  et  0  se 
confondent  en  B,  ce  qui  explique  pourquoi  le  cercle  et  l'ellipse  sont  tangents  en  B  :  mais  il  y  a  plus.  Lorsque  A 
et  B  sont  sur  la  môme  branche,  le  point  0  est  entre  B  et  y;  au  contraire,  lorsque  les  points  A  et  B  sont  sur 
des  branches  différentes,  le  point  0  est  entre  y  et  B'.  Donc  l'ellipse  traverse  le  cercle  au  point  B  ;  en  d'autres 
termes,  le  cercle  est  le  cercle  oscillateur  à  l'ellipse  en  B. 


2°  La  condition  pour  que  l'équation  (1)  représente  une  parabole  est 

m2p- —  (2m  -f-  q-)  =  0, 
et  cette  équation  s'écrit  alors 

(3)  p(y  —  mxf  —  [m2])-  -+-  q2)x  —  2pyu  -+-  pif  =  0. 

L'équation  de  l'axe  de  cette  parabole  est 

m[2mjo(y  —  mx)  -+-  (m2p2  +  q-)]  +  [2p[y  —  mx)  —  -P(l\  =  0. 
Si  l'on  veut  que  cet  axe  passe  par  un  point  (a,  i),  on  trouve,  pour  déterminer  m,  l'équation 

p(p  —  2-j.)m3  -+-  2pf5m2  -+-  (q-  —  2pa)m  -t-  2p((3  —  q)  =  0. 
Cette  équation  étant  du  troisième  degré  en  m,  on  voit  que  par  un  point  donné  on  peut  faire  passer 
trois  axes  de  paraboles  passant  par  A  et  tangentes  en  B  à  Oy. 

Pour  que  l'un  de  ces  axes  soit  parallèle  à  Oy,  il  faut  et  il  suffit  que  le  coefficient  de  m3  soit  nul, 

ce  qui  donne  la  condition 

H  p  —  2%  =  0. 

Le  point  donné  doit  donc  se  trouver  sur  la  parallèle  à  Oy  menée  par  le  milieu  de  OA.  Cette  droite  est, 
en  effet,  l'axe  de  la  parabole  formée  par  le  couple  de  droites  parallèles  dont  l'une  est  Oy  et  l'autre 
passe  par  le  point  A. 

La  condition  précédente  étant  remplie,  l'équation  qui  donne  les  coefficients  angulaires  des  axes  des 
deux  autres  paraboles  peut  s'écrire 

6  2p'inr -{- (q2  —  p*)m  +  2p  l  —  q)  =  0. 

Or,  si  dans  l'équation  (5)  x  et  ;/  représentent  les  coordonnées  du  point  d'intersection  C  de  ces  doux 
paraboles,  cette  équation  (5),  en  y  considérant  m  comme  l'inconnue,  doit  être  vérifiée  par  les  racines 
de  l'équation  (6).  Les  deux  équations  (5)  et  (6),  étant  du  second  degré  en  m,  doivent  donc  être  iden- 
tiques, ce  qui  donne 


(7) 


px- — p-x 
ïpï 


-/'■'''/ 


py*—q*x—'2.pqy+pqi 


2h 


ipip- 


L'équation  du  lieu  du  point  C  résulte  de  l'élimina- 
tion de  (ï  entre  ces  deux  conditions.  Or  en  retran- 
chant terme  à  terme  le  premier  et  le  dernier  des 
rapports  (7),  on  obtient  un  rapport  égal,  indépen- 
dant de  [5  comme  le  second.  L'équation  cherchée 
est  donc 

(8)    ~pxy  =p(x~-  y2  )  -  (p2—r)x+-Prr.i—Prf 

p'2 — q2  2pq 

On  voit  que  le  lieu  du  point  C  est  une  hyperbole 
équilatère,  passant  par  A  et  tangente  en  B  à  Oy  ; 
elle  passe  aussi  par  le  point  H,  et  c'est  l'une  des 
hyperboles  (2)  considérées  dans  la  première  par- 


tie. Les  coordonnées  du  centre  sont    x  — 


2p 


respectivement  perpendiculaires  aux  cordes 
8     fig.%. 


et    y  =  0;    donc  ce  centre  est  le  milieu  P  de  ÂH. 
On  voit  alors  que  les  droites  l'.M  et  PN,  qui  sont 
BA    et    BH    en  leur  milieu,  sont  les  axes  de  l'hyperbole 


390  ÉCOLE    CENTRALE 


3°  En  égalanl  les  deux  premiers  rapports  7  .  on  obtient  une  équation  qui  se  décompose  en  deux  : 
x  =  0  el  /'  '/■  '  y—''/'.-.'/  "'•  cette  dernière  n'est  autre  que  l'équation  de  la  droite  AC,  et 
l'équation  de  la  parallèle  menée  à  cette  droite  par  l'origine  est 

p«-  ty  =  0. 

D'autre  part,  l'équation  du  diamètre  conjugué  de  Ot/  dans  l'une  drs  paraboles  passant  par  C  esl 

i/  —  tnx  —  ij  =  0, 
en    \    remplaçant    m    par  l'un.'  des  racines  de  l'équation    6).   L'équation  du  dernier  lieu  demandé 
s'obtiendra  donc  en  éliminanl  m  et  >  entre  l'équation  6   et   les  deux  dernières  équations  que  nous 
venons  d'écrire  ;  on  obtient,  tous  calculs  faits, 

/r  -  j  —  ipqxtj  4-  p-  —  q*W  =  °- 

\m-i  ce  lieu  esl  une  hyperbole  équilatère  ayant  pour  centre  l'origine  el  passant  par  lf  [m uni  B. 
Les  termes  du  second  degré  de  l'équation    9  étant,  à  un  facteur  constanl  près,  les  mêmes  que 
ceux  de  l'équation  (s  .  les  axes  de  l'hyperbole    9)  sont,  comme  ceux  de  l'hyperbole  (8  .  l'un  perpendi- 
culaire el  l'autre  parallèle  à  Ali. 

Solution  géométrique.  —  On  sait  que  l'enveloppe  des  axes  des  paraboles  circonscrites  à  un  triangle  esl  une 
hypocycloïde  à  trois  rebroussements  Voir  Revue,  >  année,  p.  38  et  40).  Cette  courbe  étanl  de  la  troisième 
classe,  "ii  voil  que  par  un  point  donné  passent  trois  de  ces  axes. 

p,,ui-  que  l'un  de  ces  axes  soit  parallèle  à  Oy,  c'est-à-dire  à  la  tangente  en  B,  il  faut  que  la  parabole 
dégénère  en  un  couple  de  droites,  dont  l'une  sera  la  langenle  en  I!  elle  même  ri  l'autre  la  parallèle  a  Oy  menée 
par  le  point  A.  L'axe  de  ce  couple  de  droites  est  la  parallèle  TT'  menée  par  le  milieu  Q  .le  OA  à  Oy.  Il  esl 
tangent  à  l'enveloppe  au  point  Q  ;  mais  je  passe  la  démonstration.  Il  j  a  une  autre  parabole  singulière  :  c'est  la 
droite  double  AU,  qui  se  confond  avec  son  axe,  lequel  est  tangent  en  B  à  l'enveloppe. 

Soit  1)  un  point  pris  sur  TT,  el  soient  DZ  et  DZ'  les  deux  tangentes  autres  que  TT'  qu'on  peut  mener  du 
point  D  à  l'hypocycloïde.  Ce  sont  les  axes  de  deux  paraboles  qui  se  coupent  en  C  et  qui  peuvent  être  regardées 
comme  circonscrites  au  quadrilatère  A  BBC. 

On  sait  que  les  directions  de  ces  axes  sont  conjuguées  harmoniques  par  rapport  aux  directions  des  côtés 
opposés  de  ce  quadrilatère,  c'est-à-dire  de  AC  et  Oy  ou  TT'  d'une  part,  et  de  BC  et  BA  d'autre  part. 

Cria  étant,  menons  la  parallèle  DE  à  AC  :  le  faisceau  (D.ZZ'TE)  est  harmonique .  Quand  le  point  I)  se 
confond  avec  le  point  de  contact  Q  de  TT'  avec  l'hypocycloïde,  l'un  des  axes  DZ  en  DZ'  se  confond  avec  TT',  et 

il  en  est  de  mê de  DE.  L'enveloppe  de  DE  est  donc  une  conique  tangente  à    TT'    en  Q.    Quand  le  point  I) 

s'éloigne  à  l'infini,  DZ  et  DZ'  prennent  la  direction  des  droites  isotropes,  car  l'hypocycloïde  est  bitangente  à  la 
droite  de  l'infini  aux  points  cycliques  ;  DE  devient  alors  perpendiculaire  à  TT'.  Finalement,  l'enveloppe  de  DE 
est  une  parabole  Q  dont  le  sommet  est  en  Q  et  dont  l'axe  esl  Qx.  On  en  conclut  que  la  direction  de  AC  et  la 
position  du  point  I»  sont  reliées  homographiquement. 

Menons  maintenant  la  parallèle  DF  à  BC  :  nous  avons  dit  que  DF  est  conjuguée  harmonique  de  la  direction 
de  liA  par  rapport  à  DZ  et  !)/.'.  Quand  le  point  D  vient  au  point  de  rencontre  de  TT'  avec  la  tangente  a  la 
parabole  Q  parallèle  à  BA,  DF  se  confond  avec  TT'.  L'enveloppe  de  DF  est  donc  encore  une  parabole 
tangente  à  Vf  ;  son  axe  est  perpendiculaire  à  BA.  <»n  en  conclut  que  la  direction  de  BC  et  la  position  du 
point  D  sont  aussi  reliées  lioinograpluquement. 

En  résumé,  AC  et  BC  forment  deux  fais. eaux  Démographiques,  el  le  lieu  du  point  C  estime  conique.  Pour 
déterminer  sa  nature,  rappelons  que  l'hypocycloïde  à  trois  rebroussements  est  une  courbe  du  quatrième  ordre  : 
l'une  quelconque  de  ses  tangentes,  TT'  par  exemple,  la  coupe  en  deux  points  D,  el  \h-  et  l'on  peut  démontrer 
Voir  Revue,  n  j::.  que  les  deux  tangentes  DiTi  et  DaTs  en  Di  et  !>.•  sont  rectangulaires,  Quand  le  point  I) 
yienl  en  Df  (ou  en  If  ,  DZ  el  DZ'  se  confondent  avec  DiT,  (ou  avec  IVI'o)  ;  il  en  est  de  même  de  DE  et  DF,  el 
par  suite  \c.  el  BC  sont  parallèles  à  D,Ti  (ou  à  D/IYi.  Le  lieu  du  point  C  est  donc  une  hyperbole  équilatère 
dont  les  asymptotes  sont  parallèles  à  DiTi  et  D2T2. 

Quand  le  point  I)  s'éloigne  à  l'infini,  nous  avons  vu  que  DE  devient  perpendiculaire  à  II"  el  que  DF  devient 
perpendiculaire  à  Ali:  le  point  C  vient  alors  en  11.  L'hyperbole  étanl  circonscrite  au  triangle  rectangle  \lill. 
est  tangente  en  li  à  Oy.  —  D'autre  part,  quand  le  point  I)  coïncide  avec  le  milieu  M  de  Ali.  l'un  des  axes  |i/. 

ou  DZ'  se  confond  avec  Al;  ;  il  en  est  de  même  de  BC,  el  le  point  C  vient  en  A.  Le  Iroisiè axe  passant  par  M 

esl  la  perpendiculaire  Ml'  à  Ali  ;  le  faisceau  harmonique  D.ZZ'TE  ayant  alors  deux  rayons  conjugués  rectan- 
gulaires, les  deux  autres  rayons,  donl  l'un  est  TT'  el  donl  l'autre  est  parallèle  à  la  tangente  en  A  à  l'hyperbole, 


ÉCOLE    CENTRALE  291 


sont  également  inclinés  sur  les  deux  premiers.  Ainsi  les  tangentes  en  A  et  en  B  à  l'hyperbole  sont  également 
inclinées  sur  AD,  et  par  suite  la  corde  AB  est  parallèle  à  l'un  des  axes  de  celte  hyperbole.  Ces  deux  axes  sont  donc 
les  perpendiculaires  élevées  sur  AB  et  sur  BI1  en  leurs  milieux  ;  ils  se  coupent  au  milieu  P  de  AH,  qui  est  le 
centre  de  l'hyperbole. 

Transportons  le  faisceau  (D.ZZ'TE)  au  point  B  :  les  deux  premiers  rayons  deviennent  les  diamètres  des  deux 
paraboles,  le  troisième  vient  se  confondre  avec  Oy  et  le  quatrième  est  toujours  parallèle  à  AC.  Si  donc  on  mène 
par  le  point  0  la  parallèle  à  AC,  elle  rencontrera  les  deux  diamètres  en  deux  points  K  et  K'  symétriques  par 
rapport  au  point  0  ;  il  résulte  d'ailleurs  des  explications  précédentes  que,  sur  chaque  droite  passant  parle  point  0, 
il  n'y  a  que  deux  points  tels  que  K  et  K'.  Quand  le  point  D  vient  au  milieu  Q  de  OA,  l'un  des  diamètres  se 
confond  avec  Oy  et  l'autre  (comme  on  peut  le  démontrer)  passe  par  le  point  P  ;  comme  AC  devient  alors 
parallèle  à  Oy,  on  voit  que  Oy  intervient  comme  partie  singulière  du  lieu  des  points  K  et  K'  (on  la  trouve  aussi 
dans  la  solution  analytique,  mais  je  n'en  ai  pas  parlé).  Le  véritable  lieu  des  points  K  et  K'  est  une  conique  ayant 
pour  centre  le  point  0  et  passant  par  le  point  B  où  elle  a  pour  tangente  RP.  Cette  conique  est  une  hyperbole 
équilatère  ;  car  on  voit  immédiatement  qu'elle  a  les  mêmes  directions  asymptotiques  que  l'hyperbole  lieu  du 
point  C,  et  par  suite  ses  axes  sont  la  parallèle  et  la  perpendiculaire  à  AB  menées  par  le  point  0. 

A.  GOULAKD, 

Professeur  au  lycée  de  Marseille. 
Ont  résolu  celte  question  :  MM.  Mario  Guesde,  J.  Mossery. 

Calcul    trigonométrique. 

441.  —  1"  Calculer  les  côtés  et  les  angles  du  triangle  ABC  dans  lequel  on  connaît  la  surface  S,  le 
rayon  r  du  cercle  inscrit  et  le  rayon   r'  du  cercle  exinscrit  situe  dans  l'angle  A  : 

S  =  83*2H\786,  r  =  927m,28o,  r'  =  1276m,475. 

2°  Donner  la  valeur  minimum  de  la  surface  S  qui  correspond  aux  valeurs  numériques  données  pour  r 
et  pour  r  . 

1.  Solution  du  problème.  —  1°  Calcul  de  A  et  a.  —  Des  formules 

S  =  pr  =  (p  —  a)r' 

...    ..  S  S 

on  déduit  p  =  — ,  p  —  a  =  —  ; 

d'où,  en  ajoutant  et  retranchant, 

2p  —a  =  b-\-c=S  — ~  , 
rr 

;.'  —  r 

a  =  S  r-  • 

rr 

rv      .  .  A  /'  r'  rr' 

1)  autre  part,  on  a  tg  —  =  ==  ■ —  = 

2        p— a        p  S 

On  est  ramené  à  résoudre  un  triangle  connaissant  A,  a  et     h -h  c. 

2°  Calcul  des  angles  B  et  C.  —  De  la  proportionnalité  des  côtés  aux  sinus  des  angles  opposés,  on 
déduit 

a  b-\-C 

sin  A       sin  B-i-  sin  C 
Remplaçant  a  et     l>-\-c    par  leurs  valeurs,  il  vient 

)•'  —  /•  r'  -+■  r 


sin  A       sin  B  -+-  sin  C 


_    .     A  A  B+C         B  — C 

2  sin  —  cos  — -       2  sin cos 

2  2  2  2 


292  ÉCOLE    CENTRALE 


.     B  +  C  \ 

il  ou,  en  remarquant  que  sin  — - —  =  cos  —  • 

B  —  C       r  \ 

cos  -g"  =  ,T37.  sm   ï  ■ 

r>  p 

F. a  valeur  trouvée  pour    cos  — —    est  positive     (;•'>  r).     Elle  doil  être  inférieure  ou  égale  à  1.  On 

doit  donc  avoir 

r'-t-r    .      A 
|-7Z77.  Sin— <1, 

ou,  en  élevant  au  carré  el  chassant  le  ilénominateur, 

(r'  +  r)J  sin2  A  <(/_,-)', 

ou  encore  {>•'  -+-  r)3  sin2  —  <('•'  —  r)*(  cos2  —  -+-  sin2  —  ), 

-dire  4rr'  tg:  — -  <  V'  —  r)*, 

ou,  en  remplaçant  1g  —  par  son  expression  en  fonction  de  r,  r\  Sv 

; 

I       £ 

2 

d  où  1  on  tire  S       -; — — 

;•  —  /' 

Supposons  cette   condition  remplie;  il   existe  alors  un  angle  positif    a  <  90°    admettant  pour 

/•'-+-/■         A 
cosinus    — sin On  aura  donc,  en  supposant,  pour  fixer  les  idées,    B  >  C, 

r  —  /•         2 

B  — C 

n  _i_ 
En  adjoignant  l'équation 

on  en  déduira 


Discussion.  —  Les  valeurs  trouvées  pour   B   et   C   doivent  être  positives  et  moindres  que    180°. 
Comme  on  a  employé  la  relation 

A  -t-  B  +  C  =  180°, 

il  snHit  que  ces  valeurs  soient  positives  ou  encore  que  la  valeur  de    C    soit  positive     (B  >  C).     On 
doil  donc  avoir 

90"  —  A-  —  a  >  0, 
a  <  90o_  A, 
et,  puisque  *  el     90° —    sont  deux  angles  positifs  moindres  que  90°, 


B-H 
2 

C 

90 

o 

A 

2 

B  = 

:90" 

- 

\ 

2~ 

■  ■>. 

C  = 

90" 

A 

2. 

cos  a  >  cos  (  90" —  )  =  sin  —  • 


ÉCOLE    CENTRALE  293 


ouenfin  ^±lsinA>sin4-' 

r  —  c  2  a 

condition  qui  esl  vérifiée  d'elle-même. 

3"  Calcul  des  côtés  b  et  c.  —  Les  expressions  trouvées  plus  haut  pour  a  et    b  +-  c  peuvent  s'écrire 

>■'  -  r       /•'  —  r  A 

a  =  —j-  = -  =  [V  -  r)  cotg  — . 

_  tg  — 

S  "2 

=  (Y  -+-  r)  colg  —  • 


^  A 
S  2 

Reste  à  calculer    b  —  c.     Nous  nous  servirons  de  la  formule 

B  — G 

b~  c__      2      -       B  ~ C        A 

T+c  ~  ^B  +  C  _  tg     i      °  T ' 

tg       2~ 

B  — C 
d'où  o  —  c  =  (r  -+-  r)  tg  — - — 

Connaissant     b  -t-  c     et     6  —  c,     on  en  déduit  26  et  2c,  d'où  b  et  c. 

Discussion.  —  Les  valeurs  trouvées  pour  b  et  c  doivent  être  positives.  On  voit  facilement  que  cette 
condition  est  remplie  d'elle-même.  En  elïet, 

6-t-c=    r'-hr)  col.-  — , 

/  -  .    B— C 

b  —  c  =    r  +  r    tg  — —  • 

Ces  deux  valeurs  sont  positives.  Donc  leur  somme,  égale  à  26,    sera  positive.  Pour  que  leur 

différence,  égale  à  2c,  le  soit  également,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on  ait 

b  -+-  c  >  b  —  c, 

,       -    ,-  à  B-C 

c  est-a-dire  cotg  —  >>  tg  — - — , 

B  —  C                          A 
ou  enfin  — - —  =  a  <  90° —  ■ 

Nous  avons  vu  dans  la  discussion  relative  aux  angles    B    et   C    que  cette  condition  est  vérifiée 
d'elle-même. 

4"  Minimum  de   S   pour  les  valeurs  données  pour   r   et    r'.  —  La  condition  de  possibilité  du  pro- 
blème est 

8     3 

2/'2;-'2 

Cela  revient  à  dire  que  le  minimum  de  S  est 

i.   JL 

?»  =  2  — ■ 

r  —  /• 


g f;  g (] 

11  a  lieu  pour     cos ■  =  i,  par  suite     — - — ■  =  u,     B  —  C,     c'est-à-dire  lorsque    le  triangle  esl 

2  2 

isocèle. 


m 


ÉCOLE    CENTRALE 


II.  Calcul  numérique. 


Données  : 

S  =  8.327.86O"' 

r  =     927m,28S 
r'  =  l.276m,475 


Formules 


l^2=T 
B  +  C 


=  90°  — ; 


B-C 


' — r         -2 


a  =  (r' — r)  cotg 


A 


b+c  =  [r'+r)  Cotg  5- 

b — c=   r+r   II-  -^— — 


Résultats 


A  = 
Il  = 
C  = 


1G°  10'  4  i  ,58 

I0'.>"16'39",95 
14    12  .10",  17 


a  =    2436m,SoO 

6  =    8322°>,866 

c  =    7182'n,14$ 

2;j  =  17961'»,8I4 


Calculs  auxiliaires 


r  —  2203m,760 

r  =    349    .!  " 


Cali  il  de  Iog  S. 

83278     9205303 
6         31,2 


log  S  =  6,9205334 


Calcu 

ni 

log  r. 

92" 

2  S 

5 

96 

•2109 

23,  . 

log  r  =  2,9672132 


Calcul  de  log  r'. 

121114  1059868 

7  238 

o  17 


logr1  =  3.1060123 


Calcul  de  log  (r'  +  r). 

22037  3431. ;25 

6  H  8,2 

!.._    /  +  r)  =  3,3431643 

Calcul  de  log  (r*  —  r). 

34919  5430618 

log  (-'  — r    =  2,5430018 


Calcul  de  log  sin  —  • 

8°5'20"  1,4483226 

1"                        148,1 
0",7                       103,67 
0,,,09 13,329 

log  mu  A  =  1,|4»349I 


Calcul  de  log  tg 


B  — C 


i" 

0",7 
0  ',04 


1,7140051 
51,6 

36,2 

2.00  ; 


log  lg 


B 


=  1,7140141 


Calcul  de  A. 

log  r 

log  /■' 

coW  S 


2,9672132 
3,1000123 
7,0794660 


Calculs  définitifs  : 

Calcul  de  a. 

log  (r'  —  r)  =  2,5430618 

A 

colog  tg  —  =  0,8473079 


log  tg  A 

8"  5' 20"" 

I" 

0',7 
n  ,09 
A_ 
2 
A 


1,1526921 
05 1_ 
270 
151,4 


H8,9 
105,77 


I  1,13 
8«   V2T.79 

\  r,58 


Calci  :   de  B  el 

log  [r' 
colog  (r'  —  r)  - 

log  sin  —  - 


C. 

:  3,3431043 
:  3,1509382 

=  l",  1483491 


log  cos  — 5- 

27"  22'  10" 


—  0",2 

—  0",06 

i;     C 

2 
B  +  C 
2 
B 

C: 


1,9484546 

426 
90 
87,2 


2,18 
0,62 

27° 22'    f',74 

84°54'38',2I 

109ul6'39",9o 
54°  32' 36", 47 


MlMMl'M  OF.  S. 


log 


3   , 

T    s  r 

COlog  ,  r'  —  r) 


r'  —  r 
=  0,3010300 

=  4,4508198 

4,6590184 
3,4569382 


loir  m 
73757 


0,8078004 
32 
32 
29,5 


7.375 


log  a  =  3,3903697 
a  =  2456-,8 


Calcul  de  b  +  c. 
log  (r'  +  r)  =  3,3431043 

A, 

colog  tg  -^-  =  0,8473079 

log  (ft  +  c)  =  4,1904722 
1 5505  l  s 

~4 
0,01  2,81 

0,004 


1,19 
b-hc  =  45.505m,OI4 

Calcul  de    b  —  c. 
log  (r'  +  r.  —  3,3431643 

•ogtg — - — =  1,7140141 

Io~g  (6  —  c)  =  3,0571784 
41407  14 


b  —  c=  1140» 


70 

38,1 
31,9 

718 


Calcul  de  b  et  c. 

&  +  c=  15.51        il  • 
b  —  c=    4.140m,718 


26  =  I6.645m,732 
2c  =  14.364m,296 
b  =  8322D\866,      c  =  7182m,liÉ 


Uioti  : 

Calcul  de  2»  =  2  —  ■ 
r 

log  S  =  6,9205334 

colog  r  =  3,0 

log  2  =  0,3010300 

log  2p  —  4,2543502 

17961  305 


197 
193,6 
3,4 

2,42 


4  0,98 

2p  —  I796I-.814 

IV    I  . 


Solution  assez  Luuuc,  calcul  numérique  exael  :  M.  Mario  Gi  i   de. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX 


298 


CONCOURS    DE    18(Jo    (Suite) 


ÉCOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSÉES  (Cours  préparatoires). 

Algèbre. 

476.  —  On  demande  de  déterminer  un  trapèze  isocèle  dont  on  connaît  la  base  2a  et 
les  côtés  égaux  b  de  manière  à  rendre  sa  surface  aussi  grande  que  possible. 

(25  septembre,  de  8  h.  1/2  â  midi.) 

Géométrie  analytique. 

477.  Lieu  du  point  de  concours  des  hauteurs  d'un  triangle  équilatéral  pqr  de  grandeur 
variable,  inscrit  dans  un  triangle  rectangle  donné  OAB. 

(25  septembre,  de  1  h.  1\2  à  5  h.  1/2.) 
Lavis. 
Exécuter  à  l'encre  de  Chine,  à  teintes  plates  ou  à  teintes  fondues,  le  lavis  d'une  sphère  de  14cm  de  diamètre. 

(2G  septembre,  de  s  h.  1J2  «  midi.) 
Epure. 

(In  donne  un  cône  de  révolution  à  axe  vertical  posé  sur  le  plan  horizontal 
de  projection  et  un  parallélépipède  défini  par  une  base  rectangulaire  située 
dans  un  plan  horizontal  et  par  la  direction  de  ses  génératrices.  On  demande 
de  représenter  la  portion  de  ce  parallélépipède  comprise  entre  sa  base  et  sa 
courbe  d'entrée  dans  le  cône. 

Les  cotes  sont  fournies  par  le  croquis  ci-contre,  la  ligne   de  terre  étant 

_7 prise  parallèlement  aux  petits  côtés  de  la  feuille  et  à  mi-hauteur  de  cette 

Y  feuille  et  le  point  0  étant  le  milieu  de  cette  ligne  de  terre  limitée  aux  grands 
côtés  de  la  feuille. 

Les  lignes  inclinées  à  45°  sur  la  ligne  de  terre  figurent  la  direction  des 
génératrices  du  parallélépipède. 

Nota.  —  On  représentera  le  contour  apparent  de  la  portion  conservée  du  parallélépipède 
en  traits  pleins  pour  les  lignes  vues,  en  pointillé  pour  les  ligues  cachées.  Le  contour  apparent 
du  cône  sera  indiqué  en  trait  mixte.  Les  lignes  de  construction  seront  tracées  en  traits 
interrompus  ou  à  l'encre  rouge. 

(26  septembre,  de  1  h.  1J2  à  5  h.  112.) 


c 

'Il 


-j-SJ 

il 


J- 


NT    L 


l'T'x 


\j_J£__  J 


~.\-.-A 


QUESTIONS  POSÉES  AUX  EXAMENS  ORAUX 


ÉCOLE    CENTRALE  (1894) 
Géométrie   analytique.    (M.   Gouilly.) 

Géométrie  analytique  à  deux  dimensions. 

98.  —  On  donne  une  circonférence  et  un  point  extérieur  ;  on  mène  par  ce  point  une  sécante  :  le  produit  de  la  sécante 
entière  par  la  partie  extérieure  est  constant. 

99.  —  Variation  de  l'aire  du  triangle  formé  par  deux  tangentes  rectangulaires  fixes  à  un  cercle  et  une  tangente  mobile 


100.  —  On  donne  une  circonférence  ayant  son  centre  à  l'origine  et  une  seconde  circonférence  ayant  son  centre  sur  O.r. 
Équation  des  tangentes  communes  à  ces  deux  circonférences. 

101.  —  On  donne  un  point  d'une  circonférence  ;  par  ce  point  on  fait  passer  une  circonférence  variable  tangente  à  la 
première.  Lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  communes  à  ces  deux  circonférences. 

102.  —  On  considère  les  coniques  représentées  par  l'équation    x%  -f-  \xy  -+-  3;/2  -+-  x  ■+■  4  =  0. 
Lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  issues  d'un  point  donné  de  l'axe  des  y. 

103.  —  On  considère  les  coniques  représentées  par  l'équation    (1  —  m)x-  -+-  2tnxy  +  my-  -+-  x  -+-  ;/  -+- 1  =0. 
Lieu  du  centre  quand  on  fait  varier  m.  —  Séparer  sur  ce  lieu  les  centres  d'ellipses  des  centres  d'hyperboles. 

104.  —  Angle  de  deux  diamètres  conjugués   (m,  m')  d'une  conique.  —  L'exprimer  en   fonction  de    m    seulement.  — 
Maximum  de  l'angle  Y.  —  Qu'obtient-on  en  égalant  à  0  le  numérateur,  le  dénominateur  de  tg  V  ? 


296  BIBLIOGRAPHIE 


105.  —  Lieu  des  points  d'où  on  peul  mener  à  une  elli]  i  Jlèles  à  deux  directions  conjuguées.  —  Cas 
d'une  a                     mque. 

106.  -  On  donne  une  ellipse.  Variations  de  l'aire  du  triant  •  les  axes. 

107.  —  On  donne  une  ellipse  rapportée  à  ses  axes;  on  mène  la  polaire  d'un  point   par  rapport  a  cette  ellipse.  On 
deman  le  le  pôle  de  cette  droite  par  rapport  à  un  cercle  donné. 

lii^   —  Que  représente  l'équation  =  **? 

Pourquoi  est  ce  une  hyperbole  ;  —  Quell  aptotes  .'  —  Équation  de  l'hyperbole  conjuguée. 

Mêmes  questions  pour  l'équation    [ax  +  by-t-c  c")  =  k. 

10!).  —  Èqua  des  hyperboles  <lont  le  centre  se  trouve  sur  deux  droites  données    D  =  0,     D'  —  0. 

i    générale  des  hyperboles  qui  auraient  leurs  rentres  sur  une  droite  donnée    D  =  0    et  admettraient   pour 
asymptote  une  autre  droite  donnée    A  =  0. 

1  io.  —  On  donne  une  hyperbole  équilatère  par  une  de  ses  asymptotes    mx      ny      h  =  0    et  un  point  situé  à  l'origine. 
Lieu  du  point  de  rencontre  de  la  deuxième  asymptote  et  de  la  tangente  à  l'origine. 

111.  —  lue  courbe  est  telle  que  1  un  point  quelc [ue  est  partagée  en  deux  parties  égales  par  le  point  de 

contact  et  les  deux  points  de  rencontre  avec  deux  droites  fixes.  Trouvei  l'équa 

112.  —  On  donne  une  parabole  tournant  autour  de  la  verticale  qui  passe  par  son  luxer.  Lieu  des  points  de  contact  des 
tangentes  parallèles  à  une  direction  donnée. 

■ ♦ 

BIBLIOGRAPHIE 

La  Géométrie  réglée  et  ses  applications,  par  G.  K.OENIGS.  —  Un  vol.  in-4°,  de  148  pages,  chez  Gaulhier-Villars. 
!■  droite  comme  élémenl  fondamental  de  I  lepuis  assez  longtemps;  mais 

I  ..m  semettn  au  courant  des  thé is  de  l'espace  réglé  on  était  obligé  de  lire  un  assez  grand  noml  res  éparsdans 

divers  recueil  -  didactiques  ne  donnant  en  général  que  fort  peu  de  chose  sur  ce  sujet,  sauf  sur  la  théorie  des 

congruences  si  intimi  ment  liée  ii  la  j  s  surfaces.  M.  Kœnigs  comble  donc  une  lacune  en  d ant  un  exposé  complet 

de  la  théorie  des  complexes  linéaires.  Le  caractère  philosophiqu  nce  des  calculs,  due  à  l'introduction 

systématique  des  propriétés  des  formes  et  des  invariants,  seront  appréciés  par  tous  les  lecteurs. 

iprès    !•■   ii  insisti    sur  le  double  caractère  dualistiq i  projectif  di  ;lé,   M.  Kœnigs  défini!  un  système  de 

c données  dualistiques  de  la  >li  -    au  nombre  de  6,  sont  hom  -  |  u  uneéquation  dont  le 

premier  membre  est  une  :  tque,  [orme  fondamentale,  de  discriminant  non  nul  qui  joue  un  rôle  important  dans 

irie.  La  conditi le  rencontre  de  deux  droites  s'obtient  en  égalant  il  zéro  la  forme  polaire  de  la  forme  fondamentale. 

\  ii  nnent  ensuite  les  définitions  des  divers  systèmes  de  In  n  particulier  la  distinction  faite  pour  les  sj 

dépendant  d'un  paramètre  entre  les  surfaces  réglées  et  les  àtinction  ayant  un  intérêt  tout  particulier 

-  élèves  de  mathématiques  spéciales.  Ainsi  j'ai  vu  poser  aux  examens  de  l'Ecole  Normale  la  question  suivante    rrouvei 
le  lieu  des  droites  qui  rencontrent  en  trois  ]  oints  la  cou 

Y  =  \.  /.  =  X'  ; 

ces  droites  forment  u  itituant  un  seul  i  parabol  ide    M  =Z.    C'est  ce  que 

M.  Kœnigs  appelle  plus  loin  ui 

On  trouve  dans  le  2    chapitre  les  propriétés  élémentaires  des  compli  n  tion   de  corrélation   normale, 

existant  entre  les  points  d  une  droite  et  les  plans  polaires  de  ces  points,  et  celle  de  l'invariant  de  M.  Klein  qui  s'annule  pour 
].  s  , .  n 1 1  lexi  -  spéciaux,  c'est  i  dire  \  our  les  complexes  dont  les  droites  rencontrent  une  droite  fixe. 

I,    ;    .!.  pjtn   .-i  consacré  aux  sys  que  deux  complexes  linéaires  onl   généra- 
lement en  c mun  un  couple  de  droites  conjuguées,  rencontrées  par  toutes  les  droites  appartenant  à  ces  deux  compl 

caminé  le  en-  particulier  où  ces  droites  viennent  se  confondre,  M.  Kœnigs  aborde  les  systèmes  a  p  termes 
les  complexes  tels  que  le  premier  membre  de  leurs  équations  soit  une  fonction  linéaire  des  premiers  membres  des 
n-  de  p  complexes  Dxcs.  La  notion  i'angle  de  deux  corrélation*  fondée  sur  une  conception  de  Laguerre  qui  rattache 

I. ion  d'anj  i      ri  anharmonique  permet  de  définir  Yangte  de  deux  complexes.  Deux  c plexes  sont 

sque  leur  angle  est  droit.  Cette  notion  d'involution  el  d'oi  Ihogonalilé  de  deux  com]  i    disi  uler  les 

systèmes  de  droites  communs  à  plusieurs  complexes. 

Lorsqu'on  aborde  les  propriétés  infinitésimales    les  jlées,  on  >'-i  conduit  à  considéra   la  congruence  linéaire 

mgentes  dont  les  points  de  contact  sont  sur  une  même  génératrice  de  la  surface;  la  demi-quadrique 

de  raccordemei  la   surface     mplexe  ayant    un   contact   du   /■    ordre  avec  une   surface 

contient    p  ■+- 1     -  nératrices  consécutives  de  la  surface.  Pour  étudier  les  propriétés  des  complexes,  M.   Kœnigs  considère 

certains  leux  termes  dil  tangentsà  une plexe  donné  ;  cette  dénomination  se  justifiant  parce  fait 

que  les  c  mrdonn  i  -  .1 ■  droit  infiniment  voisine  de  la  droite  .1 il  u  i  substituées  dans  le  pn  miei  membn  di   I  équation 

i-  donne  un  résultat  du  second  ordn   infinitésimal.  Viennent  ensuite  les  propriétés  inflnitésimali 

ni  un  si  grand  rôle  non  seulement  dans  I  des   surfaces,   mais  e lans  la  théorie  des 

équations  de  Laplace. 

Dans  le  derniei  chapitre,  M.  Kœnigs  n  ticulier  un  système  de  coordonm  es  dû  à  M.  Klnn  pour  lequel  la  foi  me 

:  entalc  est  une  somm  -.  Les  six  complexi  -  : ni  une  configuration  remarquable,  dans  le 

détail  des  propriétés  de  laquelle  je  ne  puis  entrer  ici.  Knfin  M.  Kœnigs  i itre  les  relations  qui  existent  entre  l'étud 

très  questions  de  géométrie  et  en  particulier  rapproche  de  celle 

il,  -  i  i  opri  'tés  méti  iqm  -   I  un  ■  -i  limensions. 

'     '  in.  BIOCBE. 


U  Rèdar.leur-Gérani  :  II.   \l  ÎIM.UI. 

BAtl-LE-llUC.  —    IIP.    COMIE-JACIJCET. 


6°   Année.  Nc  4.  Janvier  1896. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE  PARTIE 


INTERSECTION  DUNE  DROITE  ET  D'UNE  QUADRIQUE 

ADMETTANT    DES    SECTIONS    ELLIPTIQUES 

par  M.  V.  Hioux. 


C'est  surtout  au  point  de  vue  de  la  géométrie  descriptive  que  nous  traiterons  la  question  ;  mais 
nous  allons  établir  auparavant  certains  théorèmes  concernant  les  quadriques  el  sur  lesquels  nous  nous 
appuierons. 

Lorsque  deux  quadriques  ont  un  plan  principal  commun  et  mêmes  plans  de  sections  elliptiques  se 
projetant  sur  ce  plan  suivant  des  cercles,  leur  ligne  d'intersection  a  pour -projection  ^nr  le  plan  principal 
commun  un  cercle  et  leurs  mitées  plans  principaux  sont  parallèles. 

Réciproquement  :  lorsque  deux  quadriques  ont  un  plan  principal  commun  et  que  leur  intersection  se 
projette  sur  ce  plan  suivant  un  cercle,  elles  ont  les  mêmes  plans  de  sections  elliptiques  se  projetant  sur  ce 
plan  principal  suivant  des  cercles,  et  leurs  autres  plans  principaux  sont  parallèles. 

Considérons  deux  quadriques,  Q=0  et  Q,  =  0,  astreintes  simplement  à  avoir  un  même  plan 
principal,  et  supposons  que  ce  plan  ail  été  pris  pour  plan  des  xy  ;   nous  aurons  alors 

Q  =  az*  -+-  f(.r,  y)  =  0, 

Qi  =  aiz*-hfi[x,y)=  0, 

pour  équations  de  ces  surfaces,  en  désignant  par  «  et  «!  deux  constantes,  par  f[x,  y)  et  /',(.>■,  y)  les 

premiers  membres  des  deux  coniques  principales  de  ces  quadriques,  situées  dans  le  plan  des  xy.  La 

projection  de  l'intersection  de  ces  deux  quadriques  sur  les  plans  des  xij  a  dès  lors  pour  équation 

S  =  0,  /(S  =  atf(x,  y)  ~  af\{x,  y)  ; 

dans  cette  identité,  h  désigne  une  constante  quelconque,  généralement  choisie  de  façon  à  simplifier  le 
premier  membre  de  la  conique  S. 

Cela  posé,  coupons  les  deux  quadriques  par  un  même  plan  quelconque  non  perpendiculaire  au  plan 
des  xy,  z  =  <tx-+-  fty-r-Y,  ou,  pour  abréger,  s  =  P,  en  désignant  par  P  la  fonction  linéaire 
v..r+  'iij  +  ■{  ;     les  projeclions  des  deux  sections  planes  sur  le  plan  des  xy  ont  pour  équations 

C(.r,  y)  =  aP2  +  f(x,  y)  =  0, 

C,(.r,   y)  =  aiP*-^f\{x,  y)  =  (), 
et  nous  en  déduisons  l'identité 

f,C(.r,  y)  —  ad{x,  y)^a,f(x,  y)  —  a/\(x,  y), 
ou 

(1)  /(S  =  UiC(x,  y)  —  aCi(x,  y). 

Cette  identité  montre  de  suite  que,  si  C{x,  y)  —  0  et  C,  x,  a)  =  0  sont  deux  cercles,  ï  =  () 
représente  un  cercle  passanl  par  leurs  points  de  rencontre.  D'autre  part,  les  identités 

f[x,  y)  =  C[x,  y)  -  oP»,  ft{x,  y)  ez  C,(jî,  y)  -  «,PJ 

nous  montrent  aussi  que  les  deux  coniques  principales,  /'et  /',,  sont  respectivement  bitangentes  aux 
cercles  C  et  C,  en  leurs  points  de  rencontre  avec  la  même  droite  P  =  0  ;  donc  leurs  axes  sont 
parallèles  à  la  droite  P  et  à  la  direction  perpendiculaire.  Or  ces  axes  sont  les  traces  des  autres  plans 
principaux  des  deux  quadriques  sur  le  plan  des  xy.  Le  premier  théorème  est  donc  entièrement 
démontré. 


-21 IS 


INÎERSIÎI  riOiN  D'UNE  DROITE  ET  D'UNE  QUADRIQ1  I. 


Réciproquement,  si     ï  =  0    représente  un  cercle,  el  si    •'.  =  (i    en  représente  un  aussi,  l'iden- 
tité  I    nous  montre  que    Ct(x,  y)  =  0    est  aussi  un  cercle  passant  par  l'intersection  des  deux  au 
el  le  second  théorème  esl  alors  a  partie  au  premier  et  entièremenl  établi. 

I;  mrque.—  Il  esl  bon  de  remarquer  que  les  cercles  C  ei  »'.,  sont  des  cercles  focaux  des  coniques 
principales  f[x,  y  0,  /,  r,  y  =  0,  et  que  cela  devait  être,  d'après  un  théorème  très  général  sur 
les  contours  apparents.  Enfin  il  faul  encore  remarquer  que  les  plans  de  sections  elliptiques  d'une 
quadrique  qui  se  projettenl  sur  un  plan  principal  suivant  des  cercles,  sonl  perpendiculaires  à  l'un  des 
autres  plans  principaux,  comme  cela  résulte  de  l'une  ou  de  l'autre  des  identités  : 

C{x,  ï/)==aP  r,  y), 

.  y)  ez  n,p---r-  /',(.«-.  y). 
On  pourra  rapprocher  cette  propriété  de  la  propriété  semblable  concernanl  les  plan-  cycliques. 

Problème  I. —  Étant  donnée   une  quadrique,  déterminer  les  plans  de  sections  elliptiques  qui  se  pro- 
'  sur  un  de  ses  plans  principaux  suivant  des  cercles. 

Prenons,  par  exemple,  comme  quadrique  donnée,  un  ellipsoïde  à   trois  axes  inégaux   el  soient 

a,  h.  c  les  longueurs  des  demi- 
axes  de  cet  ellipsoïde  (a  >  b). 
Plaçons  //'</.  \  l'ellipse  o,  b 
dans  le  plan  horizontal  de  pro- 
jection ou  dans  un  plan  paral- 
lèle el  l'ellipse  (a,  c)  dans  un 
plan  parallèle  au  plan  vertical 
de  projection;  l'axe  2a  est  alors 
parallèle  à  la  ligne  de  terre,  l'axe 
2b  esl  de  boul  et  l'axe  2c  esl 
vertical.  Nous  venons  de  voir 
que  la   projection  de   la  section 

elliptique     chercl sera     un 

cercle  focal  de  l'ellipse  a,  b  . 
sur  le  plan  principal  de  cette 
ellipse,  si  toutefois  on  cherche 
les  ellipses  de  la  surface  qui  se 
projettenl  sur  ce  plan  principal 
suivant  des  cercles.  Considérons 
alors  en  particulier  un  quel- 
conque des  cercles  focaux  de 
l'ellipse  o,  b  ;  <•  esl  la  base 
d'un  cylindre  de  révolution  ver- 
tical doublemenl  tangenl  à  l'el- 
lipsoïde el  qui,  p.n  suite,  le 
coupe  suivanl  deux  courbes 
planes  ipii  passent  aux  points  de 
conlacl  du  cercle  focal  avec  l'el- 
lipse. Les  cercles  du  système 
donl  le  lieu  des  centres  esl  l'axe  2a  donnent  les  plans  de  sections  elliptiques  qui  se  projettenl  horizon- 
talement suivanl  des  cercles  el  qui  sonl  symétriques  par  rapport  au  plan  de  front  du  centre  de  l'ellip- 
soïde '.  les  cercles  de  1  autre  système  donnent  de  la  même  l'ai  on  les  plans  d'ellipses  qui  se  projettent 


Fig.  1 


INTERSECTION  D'UNE  DROITE  ET  D'UNE  QUADRIQUE 


299 


horizontalement  suivant  des  cercles  et  qui  sont  symétriques  par  rapport  à  l'autre  plan  principal,  le  plan 
de  profil  passant  par  le  centre. 

Considérons  le  cercle  du  premier  système  qui  a  pour  centre  le  centre  0  de  l'ellipse  (a,  b)  et  pour 
rayon  b  ;  les  génératrices  de  contour  apparent  vertical  du  cylindre  ayant  ce  cercle  pour  base  coupent 
le  contour  apparent  vertical  de  l'ellipsoïde  aux  quatre  points  /',  /',',  </,  yj,  et  les  directions  des  plans  de 
sections  elliptiques  du  premier  système  sont  les  plans  de  bout  qui  ont  pour  traces  f'g',  /',';/,. 

Problème  II  —  Cousin/ ire  un  cône  contenant  une  droite  donnée,  ayant  pour  plan  principal  un  plan 
principal  d'une  quadrique  donnée  et  dont  V intersection  avec  la  quadrique  se  projette  sur  ceplan  suivant  un 
cercle. 

Suit  //y.  I;  [sd,  s'd')  la  droite  donnée  ;  le  cône  cherché  contient  en  outre,  dans  le  plan  vertical  de 
trace  sd,  une  seconde  génératrice  (s8,  x'o'),  symétrique  de  la  première  par  rapport  à  la  verticale  du 
point  S;  de  plus  il  admet  comme  plans  de  sections  elliptiques  se  projetant  horizontalement  suivant  des 
cercles  les  plans  de  bout  f'g',  fl<j[,  et  ses  autres  plans  principaux  sont  le  plan  de  front  et  le  plan  de 
profil  qui  passent  par  (s,  s').  Or  le  plan  de  bout  f'g1  coupe  les  deux  génératrices  du  cùne  aux  points 
(m,  m')  et  (/,  /')  ;  la  base  du  cône  dans  ce  plan  de  bout  est  donc  une  ellipse  qui  se  projette  horizonta- 
lement suivant  un  cercle  passant  aux  points  m  et  /  et  dont  le  centre  est  sur  sa:,,  parallèle  à  la  ligne  de 
terre.  Le  cône  est  alors  parfaitement  défini. 

Remarque.  —  Dans  le  cas  où  les  droites  s'8'  et  s'd'  sont  respectivement  parallèles  à  f'g'  et  fig'u  la 
construction  précédente  est  en  défaut.  On  prend  alors  pour  cône  le  système  des  deux  plans  parallèles 
aux  plans  de  bout  f'g'  et  f[g'x  et  passant  au  point  (s,  s'). 

Proposons-nous  maintenant  de  traiter  le  problème  que  nous  avons  en  vue,  de  déterminer  les  points 
de  rencontre  d'une  droite  avec  une  quadrique  à  a  ces  inégaux  et  admettant  des  sériions  elliptiques. 

Pour  cela  prenons  pour  plan  horizontal  un  plan  principal  de  la  quadrique,  ou  un  plan  parallèle,  pour 
plan  vertical  un  plan  parallèle  à  l'un  des  deux  autres  plans  principaux.  Supposons,  pour  fixer  les  idées, 
que  la  quadrique  donnée  soit  un  ellipsoïde  à  trois  axes  inégaux  et  que  les  contours  apparents  soient 
figurés  ;  soient  en  outre  s'd'  et  sd  les  projections  de  la  droite  donnée.  Déterminons,  comme  il  a  été 
expliqué  plus  haut,  le  cône  passant  par  cette  droite,  admettant  le  plan  horizontal  oV  pour  plan  prin- 
cipal et  pour  plans  de  sections  elliptiques  à  projections  horizontales  circulaires  les  mêmes  que  la 
quadrique  donnée.  Alors  l'intersection  du  cône  et  de  la  quadrique  se  projette  horizontalement  suivant 
un  cercle  dont  on  aura  deux  couples  de  points  (;;,  q)  et  (p,,  ç,)  en  coupant  les  deux  surfaces  par  deux 
plans  auxiliaires  parallèles  au  plan  /"</,  l'un  d'eux  étant,  par  exemple,  le  plan  f'g'  lui-même.  Ce 
cercle  coupe  la  droite  Srf  en  deux  points  i  et  i,  qui  sont  les  projections  horizontales  des  points  cherchés 
Voir  la  figure  1). 

Substitution  au  cône  auxiliaire  d'un  hyperboloïde  homothélique.  —  Si 
le  cône  auxiliaire  n'est  pas  un  système  de  deux  plans,  auquel  cas  l'inter- 
section se  trouve  immédiatement,  on  peut  lui  substituer  un  hyperboloïde 
à  une  nappe  dont  il  soit  le  cône  asymptote.  —  Supposons,  pour  fixer  les 
idées  (fiij.  2),  que  les  sections  horizontales  du  cône  soient  des  ellipsi  -  : 
comme  le  centre  de  l'hyperboloïde  en  question  est  le  point  S,  sommet 
du  cône,  le  plan  horizontal  de  projection,  lequel  passe  en  S,  coupe  l'hy- 
perboloïde suivant  une  ellipse.  Traçons  dans  cette  ellipse  le  diamètre 
conjugué  cou,  de  la  droite  sd  projection  horizontale  de  la  droite  donnée. 
Le  plan  tangent  à  l'hyperboloïde  homothétique  du  cône,  au  point  co,,  le 
coupe  suivant  deux  génératrices  respectivement  parallèles  aux  deux  géné- 
ratrices du  cône  représentées  en  sd,  s'd'  et  si,  s'o'.  Faisons  subir  à 
l'hyperboloïde  une  translation  égale  et  parallèle  à  sto. 


300  RÉSOLI  NON    rRIGONOMÉTRIQI  E  DE  L'ÉQUATION   DU  TROISIÈME  DEGR1 


-  centre  viendra  en  <••  et,  comme  u>,  vient  en  s,  les  deux  génératrices  qui  se  croisent  en  <o,  vien- 
dront ^.'  placer  sur  les  génératrices  correspondantes  du  cône. 

loïde,  dans  sa  nouvelle  position,  ont  les  mêmes  plan-  de  sections  ellip- 
tiques se  projetant  horizontalement  suivant  des  cercles.  Les  premiers  ont  leurs  centres  sur  sa:  et  les 
autres  sur  une  parallèle  à  la  ligne  de  terre,  menée  par  <•>. 

Cela  permet,  comm le  voit,  de  déplacer  1.'  plan  de  front  utilisé  dans  la  figure  1 ,  el  de  le  déplacer 

h  volonté,  ce  qui  revient  à  substituer  à  l'ellipse  de  la  figure  2  une  ellipse  homothétique    '  .  Lorsque  le 

point  s  n'esl  pas  sur  l'axe  2a  de  l'ellipse  principal,'   a,  b    de  l'ellipsoïde  .1 lé  figure  1,  on  peut  supposer 

le  point  io  sur  cet  axe,  c'est-à-dire  prendre  pour  plan  de  Ixonl  celui  qui  passe  par  le  centre  de  la  qua- 
drique  doni 

-i  la  solution  de  M.  Rémoj  publiée  dans  la  géométrie  descriptive  de  M.  Caron. 
q  ladrique  donnée  est  de  révolution  autour  d'un  axe  vertical  par  exemple,  le  cône  auxiliaire 
est  aussi  de  révolution  autour  d'un  axe  parallèle  au  premier.  Deux  sections  planes  horizontales  suffiront 
pour  obtenir  l'intersection  d'une  droite  el  d'une  pareille  quadrique. 

Dans  le  cas  de  la  surface  gauche  de  révolution  le  procédé  si  remarquable  de  M.  Rouché  peut  être 
remplacé  par  la  méthode  du  cône  auxiliaire  en  question,  laquelle  est  tout  à  fail  générale  el  peuts'appli- 
q'uer  facilement,  soil  .à  l'ellipsoïde,  soil  au  paraboloïde  de  révolution. 


SUR  LA  RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION  DU  TROISIEME  DEGRE 

PAR    DES    FORMI  LES    rRIGOKOMÉTRIQl  I  s 

par  M.  J.  Girod.  professeur  au  lycée  de  Lyon. 


Nous  supposerons  réels  les  coefficients  de  l'équation     a  '       px       q  =  0. 

On  sail  que  la  résolution  algébrique  de  celte  équation  par  la  méthode  de  Hudde  demande  la  série 
d'opérations  suivante  : 

Poser    x  =  y -h  z    et  déterminer  y  et  z  par  les  conditions  :    Zyz  =  —p,    j/3  +  z3  =  — o. 

p3 
Pour  ce,  résoudre  1  équation  du  second  degré  appelée  résolvante   :     .V  +  </\  —  —  =  0  : 

extraire  les  racines  cubiques  réelles  et  imaginaires  des  n bres  obtenus  X.' et  X",  el  ajouter  deux  à 

deux  celles  des  déterminations  de    \  \     et    i  \      donl  le  produil  esl   réel.  Les  trois  sommes  ainsi 
obtenues  -'-ni  les  trois  racines. 

Or  si  X  el  X  s,. ni  réels,  il  faut,  pour  extraire  leurs  racines  cubiques  réelles  par  logarithmes,  que 
leurs  expressions  soient  ramenées  à  des  formules  monômes,  et,  si  X'etX"  s,, ni  imaginaires  conjugués, 
il  faU|  [es  réduire  d'abord  à  la  forme  trigonométrique  =  cos  9  ±  isin  y  .  pour  avoirsous  cette  même 
forme  el  grouper  les  valeurs  conjuguées  de  leurs  racines  cubiques  imaginaires  : 

l  ,  m,  Lhode  qui  consiste  à  transformer  les  expressions  algébriques  de  X'  el  \  mérite  ce  reproche 
qu'elle  laisse  trop  d'incertitude  dan-  le  choix  de  la  ligne  trigi métrique  à  introduire,  pour  obtenir  le 

Ital  corres) dani   >  chaque  cas. 

me  les  trois  racines  de  ,  ■  ■•       q      0    sont  réelles,  on  fait  souvent  dépendre  ces  racines 

de  celles  de  l'équation  qui  donne  sin  -  en  I  action  de   sin  a.   On  peut  dire  que  cette  méthode  est 

aussi  détournée  qu'ingénieuse. 

•   il  est  d'ailleui plètemenl  inutile  de  tracer  cette  ellipse  ■  1    le  d  h  rminei  le  poinl  u  :  il  sufQI  de  se  donner  le  plan 

de  front  dans  lequel  doil  1  tre  u. 


RÉSOLUTION  TRIGONOMÉTRIQUE  DE  L'ÉQUATION  DU  TROISIÈME  DEGRÉ  301 

En  principe,  la  question  est  résolue  par  une  marche  naturelle,  si  Ton  commence  par  mettre  sous 
une  forme  monôme  les  racines  réelles  d'une  équation  du  second  degré,  ou  sous  la  forme  trigonomé- 
trique,  ?  (cos  o  ±  i  sin  tp),  les  racines  imaginaires  conjuguées,  sans  se  servir  des  formules  algébriques 
de  résolution. 

Rappelons  brièvement  ces  opérations  simples,  dont  l'enchaînement  se  retient  aisément. 

Soit  x-  -i-  px  +  5=0  une  équation  du  second  degré  à  coefficients  réels.  Nous  distinguerons 
trois  cas. 

1°  Les  racines  sont  réelles  et  de  même  signe. 

Puisque    x'x"  =  q,     et  que  l'on  a    q  >  0,     on  peut  poser    .x'  =  v/'/tgo    et    x"  =  /Y cotg  o. 

On  détermine  tp  par  l'équation 

v/r/  (tg  «?  +  cotg  <?)  =  —  p\ 

d'où  ^—t-l =—p,  et  sin  2?  = lX. 

sin  ç  cos  o  ]> 

hq 

Cette  équation  donne  pour  2o  une  infinité  de  valeurs,  puisque  la  condition  de  possibilité,  —  <  1, 
est  une  conséquence  de  l'hypothèse  p2  —  iq  >  0.  On  calcule  celle  dont  la  valeur  absolue  est 
fournie  par  les  tables.  On  en  déduit  les  logarithmes  des  valeurs  absolues  de  <  cl  a  ',  ce  qui  permet  de 
calculer  leurs  racines  cubiques  réelles.  La  somme  de  ces  racines  cubiques  donne  la  racine  réelle  de 
l'équation  du  troisième  degré,  dont  l'équation  considérée  est  la  résolvante.  Les  deux  racines  imagi- 
naires s'en  déduiraient  aisément,  mais  ont  une  moindre  importance  pratique. 

2°  Les  racines  sont  réelles  et  de  signes  contraires. 
Soit     q  = 


x'  =  Jq1  cotg  o,             x"  =  —  \lq' 

tg  cp. 

La  valeur  de  tp  satisfait  à 

l'équation 

//    cotg  <?  —  tg  o)  =  —  p; 

d'où 

Jq'  COS  2-i 

— =  —  P< 

sin  -j  cos  o 

et 

2/7 

p 

On  calcule  l'angle  2<?  dont  la  valeur  absolue  est  fournie  par  les  tables,   et  l'on  continue  comme 
précédemment. 

3°  Les  racines  sont  imaginaires  conjuguées. 

1    x'  =  p  (cos  o  -t-  i  sin  o 
Posons  \ 

\    x"  =  p  (cos  <p  —  i  sin  9). 

Les  valeurs  de  p  et  o  doivent  satisfaire  aux  conditions     x'x"  =  </,     a/  +  x"  = ,—  p,      qui  deviennent 

avec  nos  notations 

p5  =  q,  2p  cos  tp  =  —p. 

—  7J 

On  a  donc  ?  =  q'2  et  cos  tp  = —  ■ 

2p 

La  première  formule  donne  pour  p  une  valeur  réelle,  puisque  par  hypothèse  on  a  q  >  0.  La  seconde 
donne  pour  t»  une  infinité  de  valeurs,  puisque  la  condition  de  possibilité  — -  <  1,  ou  --—<H, 
est  une  conséquence  de  l'hypothèse  p2  —  iq  <  0.  On  calcule  celle  de  ces  valeurs  dont  la  valeur 
absolue  est  fournie  par  les  tables. 


302  I  I  OLE    N0RMA1  E    SUPÉRIEURE 


Les  Lrois  racines  cubiques  imaginaires  de   i    sonl  alors  : 

o         .     .      e 

x,  —  p  '  (  cos  y  4- 1  sin  -7-  )  • 

.   I  cos  (  -5.  _,_  i200>)  —  /  sin  l  .;       120°]  1, 

x        P^[cos|  I  -  120   1      isin|  |     -120»)  1 

Les  trois  racines  cubiques  de  x"  sont  les  conjuguées  de  celles  de  x'.   Désignons  celles  qui  sonl  con- 
juguées deux  ;i  deux  par  le  même  indice.  Pour  avoir  les  racines  de  l'équation  du  troisième  degré  dont 

l'équalion  < sidérée  esl  la  résolvante,  ilfaul  ajouter  les  racines  de  même  indice,  puisque  leur  produit 

doil  être  réel.  Ces  trois  racines  réelles  sont  donc 


X,  =  X, 

-î- 

x\  =  -2?  3 

cos- 

= 

2o3  cos 

(h 

:  X'3  +  Xl 

1 
:  2ps  cos 

a 

120 


)■ 


120 

Dans  les  trois  cas,  nous  avons  choisi  la  pins  simple  des  valeurs  de  a  qui  correspondent  à  la  ligne 
trigonométrique  considérée.  Il  résulte  de  nos  calculs  que  huile  autre  détermination  de  0,  répondant  h 
la  même  ligne  trigonométrique,  nous  donnerait  les  mêmes  racines.  D'ailleurs  on  vérifie  aisément  que 

île  modification  qui  puisse  être  introduite  par  une  autre  valeur  de  »,  est  la  permutation  des  racines 
x'  et  j    île  l'équation  du  second  degré,  ce  qui  u'altère  pas  la  somme  de  leurs  racines  cubiques. 

11  n'esl  pas  inutile  de  faire  remarquer  que  pour  appliquer  celte  méthode  a  un  exemple  numérique 
donné,  on  ne  doit  pas  écrire  de  mémoire  les  expressions  finales  de  -  et  de  p  en  fonction  des  coeffi- 
cients. Ce  serait  retomber  dans  le  défaut  de  la  transformation  des  formules  littérales.  Il  sullit  de  se 
rappeler  l'enchaînemenl  logique  des  calculs,  el  d'opérer  sur  les  résultats  successifs. 


I  l  OLE  NORMALE  SUPERIEURE  Concours  de  1895 


428.        Un  cercle    C)  et   une  parabole    V    sont  représentés,  en  coordonnées  rectangulaires,  parles 

deux  équations 

C      xi-i-yi—Aa        0  P      y*  —  lax—  4as  =  0  ; 

d'un  point  \  pris  sur  l'axe  Oy,  on  mène  les  tangentes  au  cercle,  dont  les  points  de  contact  sont  M  et  \l  . 
et  les  tangentes  à  la  parabole,  dont  les  points  de  contact  sont   \  et  S. 

I     Démontrer  que  chacune  des  droites  MN,  MN',  M'N,   M  \   passe  par  un  point  fixe  lorsque  le  point   A 
l'axe  Oy. 

1    Par  les  quatre  points   M,    M.  N.    N     on  peut  faire  passer  une  conique  admettant  V  axe  dès 
axe   de  symétrie  ;  former  l'équation  de  cette  conique     I 

3°  Trouver  le  nombre  et  la  nature  des  coniques  (E  qui  passent  par  un  point  donné  du  plan,  d'après 
ta  position  de  ce  point  dans  le  plan. 

',  1  mstruire  la  courbe  décrite  par  les  points  de  contact  des  coniques  (E  avec  les  tangentes  parallèles 
à  lu  droite  qui  «  pour  équation  y  x.  Distinguer  tes  portions  du  lieu  qui  conviennent  à  des  ellipses  de 
celles  qui  conviennent  à  des  hyperboles. 


ÉCOLE    NORMALE   SUPÉRIEURE 


;ju:s 


1°  Soit  u  l'ordonnée  du  point  A  ;  les  coordonnées  des  points    M   e1    M'    sont  déterminées  par  les 
équations  du  cercle  et  de  la  polaire  du  point  A  : 

a ■-'  ■+-  y- —  4a3  =  0,  uy  —  'ia-  =  0  ; 

celles  des  points  N  et  N'  sont  données  par  les  équations 

y-  —  2nx  —  4a-  =  0,  uy  —  ax  —  'm-  =  0. 

On  trouve  aisément,  en  posant  l:  =  u- — ka-  , 


M 


2a/ 


4a2 


-Inl 


\l 


N 


La  droite  MN  a  pour  équation 


/(>  +  /) 


y  =  u  +  /, 


—   I    u    -    I 


y  =  u  —  / . 


y 

/.ni 


•2,i  I  4  a2  h     =  0 

l(u  -+■  l)     a[u  -+- 1)     a 
ou  n  i-  \>r  —  u'u-\-  I)}  -+-  ly[u(u  -+-  /)  —  2a'2]  —  2a2/  a  +  l)  =  0  ; 

ce  qui  peut  s'écrire,  en  remplaçant  dans  le  coefficient  de  x      ?r —  -'ni'    par  /-, 
—  a(x  -h  2a)(u  ■+- 1)  -t-  y[u{u  -+- 1)  —  2a- J  =  0. 

En  changeant    /  en      —  l,     on  obtiendrait   l'équation   delà  droite  M'N';    nous    voyons  ainsi   que 
1rs  drux  droites    MN  et    M  N    passent  par  le  point   fixe    —  2a,  0  . 
L'équation  de  la  droite   MN'  est 

x  y        \ 

2a/  4a-       u     =  0, 

.  —  l(u—  /)     u  -  I     a 
ou  ax['nr  —  u  u  —  If  —  y' la(u  —  /)  +  2a2/]  +  Go2/  w  —  /)  =  0, 

ou  encore  ax(x -+■  6a)(w  —  /)  —  y[u(u  —  /)  +  2a2,  =  0. 

L'équation  de  la  droite  M'N  se  déduit  de  cette  équation  en  y  changeant  /en  —  /  :  on  en  conclut 
que  les  deux  droites  MN  el  M'N  passent  par  le  point  fixe     (—  6a,  0). 

Remarque.  —  Cette  propriété  est  un  cas  particulier  d'une  propriété  plus  générale  dont  voici 
l'énoncé  : 

Soit  1  unpôle  double  relatif  à  deux  coniques  ;  par  le  point  I  passent  deux  cordes  communes  ;  si  par 
un  point  quelconque  de  l'une  d'elles  on  mène  des  tangentes  aux  coniques  la  droite  qui  joint  deux  des  points 
de  contact  non  situés  sur  la  même  conique)  passe  par  l'un  des  ombilics  qui  appartiennent  à  la  polaire  du 
point   1. 

La  démonstration  de  ce  théorème  est  fort  simple.  Projetons  la  ligure  de  manière  que  la  corde 
commune  coïncide  avec  la  droite  de  l'infini.  Les  deux  coniques  deviennent  homolhétiques  ;  si  on  leur 
mène  des  tangentes  parallèles  à  une  direction  arbitraire,  la  droite  joignant  deux  points  de  contact 
n'appartenant  pas  à  la  même  conique  passe  par  l'un  des  centres  d'homolhélie.  Or  ces  deux  points  sont 
précisément  les  ombilics  situés  sur  la  polaire  du  pôle  double  qui  est  à  l'infini. 

Revenons  maintenant  au  problème  proposé.  Le  cercle  (C)  etla  parabole   I'    sonltangents  au  point 


304 


El  OLE    NORMALE   SUPÉRIEURE 


I' ---<'.  (i  el  ont  deux  autres  points  communs  C  el  I» 
surl'axe  Oj/.  Le  pôle  double  par  lequel  passe  la  corde  com- 
mune CD  est  ii  l'infini  ;  sa  polaire  est  l'axe  Ox.  Les  points 
fixes  par  lesquels  passent  les  droites  MX.  M\.  M\,  MN 
-oui  donc  1rs  ombilics  situés  sur  Ox,  c'est-à-dire  le  point  H 
d'une  part  et  d'autre  part  le  point  de  rencontre  I-;  des 
deux  tangentes  communes  symétriques  par  rapport  à 
(><  On  vérifie  aisément  que  ce  point  a  pour  abs- 
cisse   -    6a. 

2    L'équation  générale  des  coniques   passanl  pai    les 

points  N  el   v  esl 


la 


uy   -  ax   -  i"'J   mx      ny  +p)  =  0 
ou.  en  développant, 

I  '  — nia./-  +  .ri/  mu  —  an) —  r-l'i  —  'i/i       la-m        y(pu       la*n)  —  4as — \a-p  =  0. 

Pour  que  cette  conique  soil  symétrique  par  rapport  àOy,  il  faut  que  les  coefficients  de  xy  et  de  .<• 
soienl  nuls,  ce  qui  donne 

mu  —  na  =  0,  2  -+-  p  -+-  An  m  =  0, 

2-f-/j  ni  -hp) 


d'où  l'on  tire 


la* 


L'équation  de  la  conique  devienl  alors 

[-2  +  ]i">'.i  la?    -v  &a?uy(p-\-i)  —  i6o*(p-+-l)  =  0. 

Exprimons  que  cette  conique  passe  par  l'un  des  points  M  ou  M  ;  on  obtient  facilcmenl     p  =  2. 
L'équation  de  la  conique  (E)  esl  donc 

i  E  -/-./•-  +  (a-  —  ir  y-  ■+-  6a2wj/  —  \~2a-  =  0. 

3"  lui  écrivant  que  la  conique  (E)  passe  par  un  point    P   u\  y)   on  a  l'équation 

(I)  f{u)  =  u8j/s —  6asw?/-    a-(x-      y      -12a8   =0  ; 

celte  équation  étanl  du  deuxième  degré  par  rapporl  à   u,    on  en  conclut  qu'il  existe  deux  coniques  (E) 
passanl  par  le  point    P. 

P que  ces  deux  coniques  soient  réelles,  il  faul  que  l'équation    1  ail  ses  racines  réelles  :  on  a  la 

condition 

9a4j/2 -+- ahj  (x-   i    </-  —  lin1  >  0 

ou  <iiij- '.,■-  -+-  ;/-  —  Sa-)  >  0. 

Le  point    P   doit  être  extérieur  au  cercle  (C)  qui  a  pour  centre  lepoinl  0  el  pour  rayon     a/J. 

Déterminons  maintenant  la  nature  des  coniques  qui  passent  au  point  P.  Laconique  (E]  esl  une 
ellipse,  une  hyperbole  ou  une  parabole  suivant  que  a'  —  ws  est  positif,  négatif  ou  nul.  On  est  donc 
conduit  à  comparer  a  et    — a    aux  racines  de  l'équation    l).  On  a 

/'  a)       -    a    r       Qay—  \->a2), 

/'(—  a)  =  —  a*(x*  —  Gai/  —  12a*). 

Construisons  les  deux  paraboles  représentées  par  les  équations 


ÉCOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE 


305 


■  6ay  —  12a2  =  0,     (Q) 


ar*—  6ai/  —  12a2  =  0;     (Q') 


le  plan  se  trouve  ainsi  divisé  en  régions  aumérotées  sur  la  figure   -. 

Observons  enfin  que  la  conique  (E)   se  réduit  à  deux  droites  si  u  est  égal  à    ±2a.     On  a 

/"(H- 2a    =  a2[3  y  —  2a  -—  r-  . 

/•(—2a)  =  a2[3(»/-^2"  2  — 

Construisons  les  deux  couples  de  droites  représentés  par  les  équations 

3(i/  —  2a)*  —  a;2  =  0,      a.  a  .  —  2a,2—  x1  =  0.     (D,  D'). 

Ces  quatre  droites  sont  tangentes  au  cercle  (C)  et  passent  par  les  points  où  les  paraboles  (Q)  et 
Q'    rencontrent  les  axes. 

Ces  paraboles  et  ces  couples  de  droites  font  partie  de  l'ensemble  des  coniques  (E).  Les  régions 

numérotées  sont  seulement  limitées 
par  le  cercle  (C)  et  les  paraboles. 
Pour  tout  point  de  la  région  (1) 
on  a    f(a)  <  0,  f{  —  a)  >  0  ; 

on  en  déduit,  en  désignant  pai 
u"  les  racines  de  l'équation  (1). 

—  a  <  u'  <  a  <  m", 
et     a-  —  u'a  >  0,  a2  —  u"2  <  0  : 

"donc  par  tout  point  de  la  région  (1) 
il  passe  une  ellipse  et  une  hyper- 
bole. 

Même  résultat  pour  tous  les  points 
de  la  région  (3). 

Dans  les  régions  (2)  et  (4),  on  a 
/'«)<0,  /'(-«)<o, 

u'  <Z  —  a <^  a  <  u'. 
les  deux  coniques  qui  passent  en  un 
point  d'une  de  ces  régions  sont  des 
hyperboles. 

Pour  tout  point  de  la  région    5  . 

3a2      n 
a    /"(a)>0,    /"(—  a)>0.    Comparons  a  et    —a    à  la  demi-somme  des  racines On  a 

3a2  a(3a — y) 


3a2 

•J 


a(3a  ■+-  y) 

y 


y  étant  compris  entre  — 3a  et  -r-3a,  les  deux  seconds  membres  ont  le  signe  de  y.  Si  y  est 
positif,  a  et  — a  sont  inférieurs  aux  deux  racines  ;  si  y  est  négatif,  a  et  — a  sont  supérieurs  aux 
deux  racines.  Dans  les  deux  cas  a-  —  u'2  et  a2 — u2  sont  négatifs:  par  tout  point  de  la  région  (5) 
passent  deux  hyperboles. 

Si  le  point  est  h  L'intérieur  du  cercle  (C)  région  6)],  il  ne  passe  par  ce  point  aucune  conique  réelle. 


306 


ÉCOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE 


Si  le  point  est  sur  la  parabole  (Q),  par  exemple,  l'une  des  coniques  qui  passe  en  ce  point  esl  préci- 
i  la  parabole  Q  .  l'autre  est  une  hyperbole  on  le  voit  par  continuité  en  supposant  que  le  poinl  P 
passe  de  la  région  3   dan-  la  région    i    . 

Résultat  analogue  sur  la  parabole  Q'. 

Par  tout  point  du  cercle    C    passent  deux  hyperboles  confondues. 

On  peut  ajouter  que,  quelle  que  soit  la  région  où  se  trouve  le  poinl  P,  -i  ce  poinl  est  situé  sur 
l'une  des  droites  a,  a.  par  exemple,  l'une  des  coniques  qui  passe  en  ce  poinl  se  compose  précisément 
des  deux  droites  a  el  a  . 

4°  On  a  l'équation  du  lieu  demandé  en  éliminant  a  entre  l'équation  de  la  conique  il.. 

(<r  —  ir  ij-  -•-  Qahiy  —  1:2"''  =  0, 

et  celle  du  diamètre  conjugué  île  la  direction     y  —  x, 

-  3ti'u  =  0. 

Ajoutons  ,i  la  première  de  ces  équations  la  seconde  multipliée  par    — y,     on  a 

l-2";  =  0, 

xy  —  j-':  -:    I .'  ■ 


d'où  l'on  tire 


3j 


en  remplaçanl  dan-  la  seconde  équation,  il  vienl 

(xy  —  x-  -+-  1-'"J  :   .   "J  •'*?/  —  a:2- 


(2) 


a-{x  -+-  y)  ■ 


I2a2j 


9.'/ 


(.r2  —  xy)-  —  3as(5z2  —  2xy  +  3i/s 


36a4 


C'est  l'équation  d'une  courbe  du  quatrième  degré,  symétrique  par  rapport  au  point  0. 
Pour  la  construire,  on  peut  ordonner  l'équation  par  rapport  à  y  :  on  obtient 

,f  .,--  _  \\„-  _  2xij  .r2  —  3a2    -  s2  —  3"-,(j72  —  12a2)  =  0. 

:iln  étant  symétrique  par  rapport  à  l'origine,  il  suffira  de  donner  à   x   des  valeurs  positives. 
Pour  «iin>  les  racines  soient  réelles  il  faut  qu'on  ail 

x*(xî  —  sa1)2  —  [x3  —  9as)(x2  —  3as  (  cs  —  12a!)  >  0, 

(a;*  — 3as  y  —  6a8)      0. 

c  .     On  obtient  sans  difficulté  le  tableau  de 


Nous  ferons  varier  x  de  0  à    a<j3    el  de    ajG    a 
variations  suivant  : 


(i 


a/3 


2a 
la 


a,  6 


3" 


a/Î2 


■afG 
a/6" 


0 
6av/Ï2 


On  achève  par  symétrie.  La  construction  met  en  évidence  les  asymptotes    x  —  3a  =  0,    ./•  -+-  3a  =  0. 
y  en  a  deux  autres,  parallèles  a  la  direction     y  —  a;  =  0;     elles  onl  pour  équations 


y  —  x  —  a/Ï8  =  0, 


y  —  .r-i-«v/18=  0. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


307 


Chacune  d'elles  ne  peut  rencontrer  la 
courbe  qu'en  un  point  ;  on  en  conclut  aisé- 
ment la  position  de  la  courbe  par  rapport  à 
ses  asymptotes. 

Il  s'agit  maintenant  de  distinguer  les  por- 
tions du  lieu  qui  conviennent  à  des  ellipses 
de  celles  qui  conviennent  à  des  hyperboles. 
Un  point  {x,  y)  du  lieu  conviendra  à  une 
ellipse  si  la  valeur  de  u  correspondante  à  ce 
point  rend  positif    a1  —  u2.     Or  on  a 

h  12a2 


■"/ 


3.'/ 


il  faut  donc  étudier  le  signe  de  l'expression 

(a-;/—  -r2-t-12a2)2 

'■Y 
ou 

(3)  {3ay-hxy— x2-\-l2a2){3ay— xrj-+-x*  -d2a2). 

En  égalant  chacun  de  ces  facteurs  à  zéro, 
on  obtient  les  équations  de  deux  hyperboles 
symétriques  l'une  de  l'autre  par  rapport  à 
l'origine.  La  première  a  pour  asymptotes 
x  -4-  3«  =  0,  a?  —  y  —  'Sa  =  0.  En  se  re- 
portant à  l'équation  du  lieu,  mise  sous  la 
forme  (2),  on  voit  aisément  que  ces  deux  hy- 
perboles rencontrent  le  lieu  aux  quatre 
points  A,  A',  B,  B'. 

Or  l'origine  rend  négatif  le  produit  (3); 
par  conséquent  les  portions  du  lieu  qui  se- 
ront par  rapport  aux  deux  hyperboles  dans 
la  même  région  que  l'origine  correspondront 
à  des  hyperboles,  les  autres  à  des  ellipses. 
On  voit  ainsi  que  les  points  du  lieu  relatifs 
à  des  hyperboles  sont  sur  les  branches  BAC, 
B'A'C,  DEF,  D'E'F',  GHK.   Au  contraire,  les 
branches   BL   et  B'L'   sont  formées  par  les 
points  relatifs  à  des  ellipses. 
Enfin  les  deux  points  B  et  B'  correspondent  aux  deux  paraboles  de  l'ensemble  des  coniques  (E) 
c'est-à-dire  aux  paraboles  Q'  el  Q. 

A.  I..'.  à  Alençon. 
Solution  analogue  par  M.  Pégorier,  répétiteur  au  collège  rie  Cette. 


GEOMETRIE     ANALYTIQUE 


415. —  Soit   A  un  point  fixe  pris  sur  le  côté  Ox  d'un  angle  droit  xOy  ;  0'  est  le  centre  d'un  a  I 

tangent  à  Ox  nu  point   A   et  rencontrant   Oy  en  deux  points  Bit  C:  l'hyperbole  équilalère  II  passant 
par  0',  A,  B,  C  rencontre  le  cercle  V  enun  quatrième  point,  M.   Lorsque  le  cercle  v  varie: 


308 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


1"  Le  lieu  du  centre  >••  de  l'hyperbole  II  esi  un    circonj  rente; 

lieu  du  point  M  est  une  circonférence  : 
3°  /..•  lieu  du  point  M   diamétralement  opposé  à  M  dans  le  cercle  V  est  une  cissoïde  de  Dioclès  : 
i    La  droit     Mco  rencontre  T hyperbole  H  en  un  second  point  qui  reste  fixe  ; 
:.    La  droite  menée  par  0'  parallèlement  à  la  tangente  en  M  à  l'hyperbole  11  enveloppe  une  parabole. 

Désignons  par  a  l'abscisse  du  point  A  el  par  X  l'ordonnée  du  centre  du  cercle  i  :  l'équation  de  ce 

cercle,  avec  les  notations  choisies,  esi 

-2'/>j  -r-  a-  —  0  ; 

d'autre  pari  l'équation  générale  des  hyperboles  équilatères  du  plan  est 

x'2  —  j/2 -h  2A.c»/-f- -21  !./•-+-  -20/+U  =  0  ; 

pour  exprimer  que  l'une  d'elles  rencontre  l'axe   Oy   aux  mêmes  points  que  le  cercle  r,  nous  sommes 

conduit  à  exprimer  que  les  deux  équations 

ys  _  2Xj/  -f-  a2  =  0  et  —  ys  -h  2Cty  -t-  D  =  0 

ont  les  mêmes  racines,  ce  qui  nous  donne  immédiatement  les  deux  valeurs 
de  C  et  D,  C  =  X,  D  =  — a2;  par  suite  l'hyperbole  cherchée  a 
une  équation  de  la  forme 

x~—  '/  +  -  V'V       -l;'  '  +  -"'•.'/  —  "'"  =  °- 
11  nous  reste  à  exprimer  qu'elle  rencontre  la  droite    x  —  a    aux  deux 
points  dont  les  ordonnées   sont    0  el    X;     nous  trouvons  ainsi     B  =  0, 

A  = -■    L'équation  de  l'hyperbole  11  est  donc 

la 

H  =  ;r2  —  y3 xy  -f-  -Xi/  —  «-  =  0. 

1     Nous   aillons  le  lieu  du  centre  u  de  cette  courbe  en  éliminant  X  entre  les  équations  obtenues 
i.ml  à  0  les  deux  dérivées  partielles  par  rapport  à  x  et  a   y,  c'est-à-dire  entre  les  équations 


2,-^  =  0 


Ix 


et  2?/ H 2X  =  0  ; 

a  a 

limination  est  linéaire  et  nous  obtenons  de  suite  l'équation  du  lieu, 
(1)  a^  +  y2—  lax  =  0. 

Ce  lieu  est  un  cercle,  ayant  pour  centre  le  point  A  el  pour  rayon  A<  t. 

2    Nous  pourrions  obtenir  très  simplement  le  lieu  du  point  M  en  éliminant  X  entre  l'équation  du 

el   celle  de  l'hyperbole,  puis  en  supprimant  les  deux  facteurs  x  el  »/  qui,  égalés  à  0,  donnent 

alors  deux  lieux  étrangers  ;  mais  il  vaut  mieux,  pour  la  suite,  calcule!  les  c données  du  point   M  en 

fonction  de  X.  Ce  calcul  se  fait  très  simplement  en  ajoûtanl  les  deux  équations  rappelées  i  i-dessus  ;  on 

a  ainsi 

2x2  —  =  0  ; 

a 

cette  équation  représente  deux  droites,  deux  sécantes  communes  aux  deux  coniques  :  la  droite    x  —  0, 
quipasseaux  deux  points   B   el    G,  et  la  droite     2x  -  —  y  —  2a  =  0,      qui  passe  au  point    \    el  au 


point  M.  En  remplaçanl  dans  l'équation  du  cercle 


a     par —  y,  on  obtient  l'équation  suivante  : 

2û 


xy 


=  o, 


85  a 


il  n  y  a  plus  qu  i 


qui  donne  l'ordonnée  du  point  A,     y  =  0,     et  celle  du  point  M.     y  =  -=-j 

porter  dans  l'équation  de  la  droite  obtenue  antérieuremenl  cette  valeur  de  y  pour  avoir  l'abscisse  du 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  309 


point  M  ;  les  deux  coordonnées  de  ce  point  sont  donc 

_  oaX3  -I-  4<r 

\     ''  ~~     X2  -+-  4a2    ' 

(w2) 

K  '  I  8a2X 

J        a-  -+-  4«2 

L'élimination  de  À  entre  ces  deux  équations  donne  de  suite  l'équation  ordinaire  du  lieu, 

(3)  x2-\-y2  —  Gax  -+-  oa2  =  0  ; 

ce  lieu  est  un  cercle  avant  son  centre  sur  Oj. 

3°  Désignons  par  x  et  ;/  les  coordonnées  du  point  M',  et  proposons-nous  de  calculer  ces  nombres 
en  fonction  de  X  ;  nous  avons  simplement  à  exprimer  que  les  sommes  obtenues  en  ajoutant  à  ces 
nombres  les  coordonnées  correspondantes  du  point  M,  données  par  les  équations  2  ,  sont  les  doubles 
des  coordonnées  du  centre  0'  du  cercle  r  ;  nous  obtenons  ainsi 

4a3  —  3aX2 


);-  -t-  4a2 
^  j  2X3 

(     ■'  _  Xs  -+-  4a2  ' 
ces  deux  équations  donnent  le  lieu  du  point   M'   et  montrent  que  ce  lieu  est  une  courbe  unicursale. 
L'élimination  de    X    entre  ces  deux  équations  est  encore  immédiate  et  donne  l'équation  ordinaire  du 

lieu, 

{x  —  a)3  ~h  ;/2{x -h  3a)  =  0. 

Si  l'on  porte  les  axes  au  point  A,  on  obtient  l'équation 

(5)  X3  +  XYa       laY2  =  0, 

qui  montre  que  le  lieu  est  une  cissoïde  de  Dioclès  rapportée  actuellement  aux  axes  les  plus  simples. 

4°  Les  deux  équations  du  centre  de  l'hyperbole   H  obtenues  dans  la  première  partie  donnent  de 
suite  les  coordonnées  du  point  •■>  en  fonction  de  X  ;  ce  sont 


2aXa 

x  =  — —  •  y  = 


la'i 


=  0, 


X2  -|-   in-  ~/.--r-  i'i- 

par  suite  l'équation  de  la  droite  qui  joint  le  point  M  à  ce  point  w  est 

x  y  1 

SaX2+4a3  8a9X  X2-f-4a2 

2a).2  -'ta2'/.  X2  -+-  4a2 

ou,  après  suppression  du  facteur     X2  -+-  4(/2, 

ia-'/.d-  —  (3«/.2  4-  la*)y  +  't"v'-  =  0. 
Cette  droite  passe  visiblement  au  point  fixe  A',  dont  les  coordonnées  sont    —  «    et  0,   et  qui  est  situé 
sur  l'hyperbole  II. 

5°  En  désignant  par  x  et  y  les  coordonnées  du  point  M,  données  d'ailleurs  par  les  équations  (2), 
la  tangente  à  l'hyperbole  en  ce  point  a  pour  coordonnées 

\ll  +YH(,-t-Hl  =  0; 
la  parallèle  à  cette  droite  menée  par  le  point  O    a  pour  équation 

[X—a;\V,  -h  (Y  —  X)H;  =  0  ; 
or     H'.  =  2a,     HJ,  =  —  3X  ;     par  suite  l'équation  de  la  droite  envisagée  est 

2a(a>  —  a)  —  :ù  y  —  X    =  0. 


310 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


11  n'y  a  plus  qu 'à  exprimer  que  cette  équation  du  second  degré  en  >.  a  une  racine  double  pour  obtenir 
l'enveloppe  demandée  ;  on  obtient  ainsi  la  parabole 

(6)  3y2  —  8a{x      »   =0.  E.-N.  BARISIEN. 

solutions  analytiques  :  MM.  E    H  in     n.uni   :  !..  I.m  i.i  m<  k    liwien   :  I..  liuin     liipni   ;  .1.  Ma  hciial  ;  P.  Xamufu  (collège 
G.   \.  Poi  h  1 1  mu     i  Joignj  i  :  Mario  G 


Solution  géométrique.  —  L'hyperbole  équilatère  11,  passant  aux  trois  points  A.  B  et  C,  passe  par  le 
point  de  concours  des   hauteurs  de  ce  triangle,  c'est-à-dire  par  le  poinl    A'  symétrique  de    \  par  rapporl  au 

point  0;  son  centre  est  donc  sur  le  cercle  des  neuf 
points  ilu  triangle  AA'C;  soit  1  le  milieu  de  BC;  le 
cercle  des  neuf  points  du  triangle  AA'C.  est  le  cercle 
décril  sur  <>l  comme  diamètre  ;  c'est  un  cercle  homo- 
thétique  au  cercle  0',   le  centre   d'ho thétie  étant  le 

point  A'  etle rapport  d'homothétie,       •     D'autre  pari, 

la  droite  qui  joint  le  milieu  de  DC  au  milieu  de  O'A 
est  un  diamètre  de  l'hyperbole  ;  le  centre  <•<  de  celte 
courbe  esl  donc  au  poinl  de  rencontre  de  ce  diamètre 
avec  le  cercle  des  neuf  points  du  triangle  AA'C;  cette 
droite  rencontre  la  limite  Ox  en  un  point  I)  tel  que 
AI»  OA  ;  le  lieu  du  point  u  est  donc  le  cercle  décrit 
sur  <  H>  comme  diamètre,  ou  du  point  A  comme  centre 
avec  Al  •  pour  rayon. 

Par  le  point  A  menons  AM  parallèle  à  Oi»,  jusqu'à 
sa  rencontre  avec  le  cercle  0'  en  M  ;  le  [mini  M  est  le 
•pondant  de  <■<  dans  l'homothétie  que  nous  avons  signalée;  les  trois  points  A',  co  et  M  sont  donc  en 
ligne  droite  et  l'on  a  A'M  =  2A'u  ;  le  lieu  du  poinl  M  est,  par  suite,  un  cercle  homotliétique  du  ceirle  décril 
-m  n|>  comme  diamètre,  le  point  A'  étant  le  centre  d'homothétie  et  le  rapporl  d'homothétie  étant  égal  à  2. 
Prenons  Ali  =  iOA  ;  le  lieu  du  point  M  est  le  cercle  décrit  sur  AU  comme  diamètre.  D'ailleurs,  puisque  l'on 
a  wM  -  uA'  et  que  le  poinl  A'  est  un  point  de  l'hyperbole,  le  point  M  est  le  quatrième  point  de  rencontre  de 
l'hyperbole  avec  le  cercle  <>',  el  la  deuxième  question  est  résolue. 

Soit  M' le  point  diamétralement  opposé  à  M  dans  le  cercle  0';  AM'  est  perpendiculaire  sur  AM  et,  par 
suite,  parallèle  à  IIM  ;  d'ailleurs  I1M  rencontre  le  cercle  0'  en  un  point.  N  qui  esl  diamétralement  opposé  à  A, 
dans  le  cercle  0' ;  par  conséquent,  si  on  prend  HP  =  MN,  le  lieu  du  point  p  est  une  cissolde  de  Diodes, 
D'autre  part,  AM',  égal  el  parallèle  à  MN,  est  égal  à  III'  ;  le  lieu  du  poinl  W  <■>{  donc  une  cissolde  de  Dioclès 
obtenue  en  taisant  subir  à  la  précédente  la  translation  1IA. 

Non-  avons  vu  que  la  droite  Mu  passe  au  poinl  A'  :  elle  rencontre  doue  l'hyperbole  II  en  un  point  lixe,  A'. 
Pour  trouver  l'enveloppe  de  la  parallèle  à  la  tangente  à  l'hyperbole  en  M  menée  parle  point  ()',  il  faul  d'abord 
observer  que  cette  parallèle  O's  est  parallèle  au  diamètre  conjugué  cou  de  n>A'  ou  toM  ;  d'autre  pari  u>0  el  - 
formenl  aussi  un  système  de  diamètres  conjugués  de  l'hyperbole  :  donc  les  angles  A'ioQ  el  waxt  sonl  égaux,  de 
même,  les  angles  ■■',  wA'  el  «mII.  Menons  alors  O'K  parallèle  a  II)  et  O'L  perpendiculaire  à  IV;  ou  à  iow  :  nous 
aurons     DK  =  a,    el    ang.  K0'L=ang.  toA'D;    puis    O'KL  =  ioDA' ;     par  suite  les  deux  triangles    A'<oD   et 


ii  Kl.   sont  semblables.  Nous  avons  donc     — n 

0)1) 


LK        ii'Kouhl 


A'D 


par  conséquent     LK  = 


oD.Dl 
A'D 


or  "iD.DI     esl 


la  puissance  du  point  D  par  rapporl  au  cercle  décrit  sur  ni  comme  diamètre  ;  nous  avons  doue    LK  =  -, —  =  —  > 

2a 
puis    AL  =  —  '>    le  poinl  L  est.  doue  lixe.  Il  en  résulte  immédiatement  que  l'enveloppe  de  .0'-  est  une  parabole 

dont  le  foyer  est   I.   el  la  tangente  au  sommet    AO'. 

Lucien  Sueur, 
Soldai  au  1 13"  de  ligne,  élève  de  l'École  normale  supérieure. 

Très  bonne  solution  géométrique  :M    V,  Bertrand,  répétiteur  au  lycée  de  Douai. 

Auti  i  :  MM.  .1.  B    l  oi  i  or Ii   I  U  n      Gui    bi 

Bonnes  si  il  ni  mus  analytique  el  géomi  Iriqui      MM.  C    n  m  dik    soldai  bu  26'  de  ligne  :  Vasnier,  lycée  île  Versailles. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  311 


416.  —  On  considère  une  ligne  plane  dont  l'équation  en  coordonnées  homogènes  est  /"(X,  Y,  Z)  =  0, 
et  l'on  forme  les  deux  équations 

(  x1f'x^-ylf'y-\-zifi  =  0, 

(i)  g./:*  +  ?/,  A + =./•»  =  *.  A>  +  w> + =/% 

(  A  A 

Ce*  tfi'/'.r  équations  définissent  une  transformation  des  figures,  en  vertu  de  laquelle  à  tout  point  M  de 
coordonnées  x,  y,  z,  il  correspond  un  seul  point  M,  de  coordonnées  x,,  yu  :,,  et  à  tout  point  Mj  vu 
certain  nombre  de  points  M. 

1°  Connaissant  le  point  M,  quelle  est  la  définition  géométrique  du  point  M,,  et  inversement,  connais- 
sant le  point  Mt,  quelle  est  la  définition  géométrique  du  point  M? 

2°  Montrer  que  l'inversion  '-si  un  cas  particulier  de  la  transformation  définie  par  les  formules  (1). 

3"  Trouver  le  lieu  des  points  M  quand  le  point  Mj  est  à  l'infini,  et  inversement.  Montrer  que  si  le 
point  M  est  à  l'infini,  les  asymptotes  de  la  ligne    /"(X,  Y,  Z)  =  0    font  partie  du  lieu  des  points  M,. 

4"  Connaissant  le  degré  il' une  ligne  décrite  par  le  point  M,  trouver  le  degré  de  la  ligne  correspondante 
décrite  par  le  point  M,,  et  inversement. 

5°  Etendri'  aux  figures  de  l'espace  la  transformation  définie  par  les  formules  (1). 

1°  et  2"  Supposons  que  l'on  se  donne  le  point  M,  et,  dans  les  formules  (1),  considérons  x  et  y 
comme  les  coordonnées  courantes.  Elles  expriment  alors  :  la  première,  que  le  point  M  est  sur  la 
première  polaire  P  du  point  M,  par  rapport  à  la  ligne  /"(X,  Y,  Z)  =  0,  que  nous  appellerons  la 
courbe  directrice;  la  deuxième,  que  la  tangente  en  M  à  la  courbe  P  est  parallèle  à  la  droite  polaire  du 
point  M  par  rapport  à  la  directrice.  11  en  résulte,  qu'à  un  point  Mj  les  équations  (1  font  correspondre  les 
points  de  la  première  polaire  de  M,  en  lesquels  lu  tangente  à  cette  première  polaire  est  parallèle  à  la  droite 
polaire  du  point  M  par  rapport  à  la  directrice. 

Supposons,  en  particulier,  que  la  directrice  soit  une  conique  (C).  La  première  polaire  de  Mj  est 
alors  une  droite  D;  la  tangente  en  un  point  M  de  cette  droite  coïncide 
avec  la  droite  D,  et  enfin  il  n'y  a,  sur  D,  qu'un  point  M  dont  la  polaire 
a  '  par  rapporta  (Ci  soit  parallèle  à  D  :  c'est  le  point  de  rencontre  de  D  avec 

//  \  le  diamètre  de  la  conique  qui  passe  par  Mi.  Dans  le  cas  particulier  où  la 

directrice  est  une  conique,  la  transformation  (1)  peut  donc  être  définie  de 
la  manière  suivante  :  On  mène  le  diamètre  \<>|;  de  la  conique  quipassepar 
le  point  M,,  et  C  on  prend  le  conjugué  harmonique  \1  du  point  M,  par  rap- 
port aux  deux  points  de  rencontre  A  et  M  de  ce  diamètre  avec  la  courbe  :  on 
obtient  ainsi  le  point  M  qui  correspond  au  point  M,. 

Dans  le  cas  examiné,  les  formules  (1)  définissent  donc  bien  une  inver- 
sion. 
Inversement,  supposons  que  le  point  M  soit  donné,  et,  dans  les  équations  (1),  considérons  afi,  y„  z, 
comme  les  coordonnées  courantes.  La  première  de  ces  équations  exprime  alors  que  le  point  M,  esl 
sur  la  droite  polaire  a  du  point  M  par  rapport  à  la  directrice,  et  il  esl  aisé  d'avoir  la  signification 
géométrique  de  la  deuxième.  Considérons  en  effet  l'équation 

xy"r  4-  vy;>  +  zy£  +  2yz/-;  +  2zx/^  +  2xy/-:,,  =  o, 

qui  représente  la  conique  polaire  du  point  M  par  rapport  à  la  directrice,  e(  écrivons  l'équation  de  la 
polaire  du  peint  Mi  par  rapport  à  cette  conique. 
Nous  obtenons  ainsi  l'équation 

(2)       x[Xlf:>  -t-  y,/'".  +  *i/y  +  y[*«A  +  y>fh  +  =./»%]  -t-  z[*,A  +  y<fU  ■+■  «•/*      o, 


312 


GÉOMÉTRIE     W  M.VIH.H  F. 


qui  va  nous  permettre  de  donner  la  signification  géométrique  il"  la  deuxième  équation  (1    quand  on  3 
considère  xu  yt,  :,  comme  les  coordonnées  courantes. 

Il  est  visible  en  effet  que,  dans  ces  conditions,  la  deuxième  équation  1  exprime  que  la  droite  a 
est  parallèle  à  la  droite  représentée  par  l'équation  1  dans  laquelle  les  coordonnées  courantes 
sonl  \.  V.  /.. 

Si  l'on  observe  alors  que  a  est  aussi  la  polaire  «lu  poinl  M  par  rapport  à  la  conique  polaire  de  ce 
point  on  voit  que  le  point  M.  se  déduira  du  peint  M  parla  construction  suivante  : 

On  trace  la  conique  polaire  Ct)  du  point  M  par  rapport  à  la  di7'ectrice,  on  mène  le  diamètre  MI'l' 
de  cette  conique  et  Von  prend  le  point  M,  conjugué  harmonique  du  point  M  par 
rapport  aux  deuxpoints  P  et  P  :  le  point  M,  ainsi  obtenu  est  celui  quicorres- 
pondaupoint  M:  car  la  polaire  de  M,  par  rapporl  à  (C,  est  bien  parallèle  à 
la  polaire  du  point   M   par  rapporl  à  la  même  conique  (Ci). 

En  particulier,  si  la  directrice  esl  une  conique,  elle  coïncide  avec  (Ci), 
el  l'on  retrouve  encore  la  transformation  par  rayons  vecteurs  réciproques. 

3"  Pour  obtenir  le  lieu  des  points  M  quand  le  poinl   M,  esl  à  l'infini,  il 
suffit  de  faire    zt  =  0     flans  1rs  équations  (1),  qui  deviennent  ainsi 

(  ■'  ■./  "  +  ytfi  =  0, 

(3)  j  a-,/>  +  Ihf'ry       Xtf"T!l  -+-  ytfj- 

(  "    r*  fv 

L'équation  du  lieu  des  points  M  s'obtient  alors  en  éliminanl  xt  el  yt  entre  ces  deux  équations 
homogènes;  celte  élimination  donne,  tous  calculs  effectués, 

Le  lieu  îles  points  M,  quand  le  poinl   Mj  est  a  l'infini,  est  donc  une  courbe  de  degré     3»i  —  I. 

Ce  résultat  n'est  d'ailleurs  qu'un  cas  particulier  du  suivant,  plus  général  et  facile  a  établir  : 

Quandlepoint  M,  décrit  une  droite,  le  point  M  décrit  une  courbe  de  degré    3m  —  4. 

Si  l'on  se  reporte  à  la  construction  qui  donne  le  point  M,  quand  on  connaît  le  point  M,  il  est  pos- 
sible de  donner  une  autre  forme  à  l'équation  (4  .  En  vertu  de  cette  construction,  le  point  .M,  esl 
l'intersection  de  la  polaire  du  point  M  par  rapporl  à  la  conique  iC,)  avec  le  diamètre  de  cette  conique 
qui  passe  par  M.  Si  alors  le  point  Mt  esl  à  l'infini,  ces  deux  droites  sont  parallèles,  ce  qui  signifie  que  le 
point  M  a  une  position  telle  que  sa  polaire  par  rapporl  .à  (Ct)  soit  parallèle  au  diamètre  de  cette 
conique  qui  passe  par  M.  Or,  ceci  ne  peut  avoir  lieu  que  si  le  point  \l  est  sur  une  asymptote  de  la 
conique  [Ci).  Mais,  si  l'on  pose 


/  -Tn     I  y 


r>  ru  /•;= 
=  n»  r'--  r* 

n,  n,  p 

les  deux  asymptotes  de  la  ionique  (C,)  sont  représentées  par  l'équation 
\  7  " <   t-  Y*fp  +  Z'ft  -+-  2YZ/';;=  -+-  2ZX/I,.  +  2\  Y/  : , 

Si  donc  on  exprime  que  le  point  U[x,  >j.  s)  est  sur  celle  courbe, 
points  M  ;  cette  équation  s'écrit 

m  m  —  I  \f(xyz) =z  0, 


=  0. 

a  l'équation  du  lieu  des 


etnous  laissons  au  lecteur  le  soin  d'en  tirer  des  conclusions  évidentes. 

Passons  maintenant  au  problème  inverse,  el  cherchons  le  lieu  des  points  M,  quand  le  point  \l  est 
à  l'infini.  Posons  pour  cela 

/'  X.YZ        v     ^        Z<p,    ,  Wi      /.'.        \\     .    ■■-, 


QUESTIONS   PROPOSEES  313 


et  faisons    3  =  0    dans  les  équations  (1).  Nous  obtenons  ainsi,  pour  définir  le  point  Mi,  les  équations 

dom  d<?m  .     .       . 

*^  +  *-^- +  **»-■(*»)  =  °. 

d\  ,  <)-^„,  d^,„_,  d2vm  <)■■*,„  ào,„_l 

dr2  ().'<'.'/  dv  axdy  dy2  dy 


dom  do,„ 

dr  dy 

Ces  équations  sont  homogènes  en  x  et  en  y,  de  sorte  que  si  l'on  y  fait  ;,  =  1,  elles  donnent  x, 
et  yt  en  fonction  rationnelle  d'un  paramètre  variable,  le  rapport  —  -  On  constate  d'ailleurs  facilement 

que  les  expressions  de  Xi  et  de  ?/,  en  fonction  de  ce  paramétre  sont  de  degré  3m  —  4,  en  sorti'  que 
le  lieu  des  points  M,  quand  le  point  M  est  à  l'infini  semble  être  de  ce  degré.  Mais  il  est  aisé  de  voir 
que  ce  degré  s'abaisse  parce  que  les  asymptotes  de  la  directrice  font  partie  du  lieu. 

Pour  cela,  reportons-nous  à  la  définition  du  point  M  à  l'aide  du  poinl  M,,  et  supposons  que  le 
point  Mi  soit  sur  une  asymptote  de  la  directrice;  sa  première  polaire  par  rapport  à  cette  directrice 
passe  alors  par  le  point  à  l'infini  sur  l'asymptote  considérée  :  soit  M  ce  point  à  l'infini.  La  tangente  en 
ce  point  à  la  première  polaire  est  évidemment  parallèle  à  l'asymptote  et,  d'un  autre  côté,  la  droite 
polaire  de  ce  même  point  par  rapport  à  la  directrice  n'est  autre  chose  que  l'asymptote  elle-même;  il 
en  résulte  que  le  point  M  correspond  au  point  M,,  et,  comme  le  point  M,  est  quelconque  sur  l'asymp- 
tote, les  asymptotes  de  la  directrice  font  partie  du  lieu  des  points  M,  quand  le  point  M  est  à  l'infini. 
Donc  le  lieu  des  points  M|  est  une  courbe  unicursale  de  degré    3?»  —  4 —  m  =  2(m  — 2). 

4°  Supposons  que  le  point  M  décrive  une  ligne  L  de  degré  ;;,  et  cherchons  le  degré  du  lieu  Li 
décrit  par  le  point  M,.  Pour  cela  cherchons  le  nombre  des  points  à  l'infini  sur  L|.  Nous  l'obtiendrons 
en  cherchant  le  nombre  des  points  de  rencontre  de  L  avec  la  courbe  (4)  lieu  des  points  M  quand  le 
point  Mi  est  à  l'infini.  Les  degrés  respectifs  des  deux  courbes  étant  p  et  3m  —  4,  le  nombre  de  leurs 
points  de  rencontre  est    p{3m  —  4);     donc  la  courbe  Li  est  de  degré    (3m  —  A)p. 

Inversement,  on  voit  d'une  manière  analogue  que  si  L,  est  de  degré  p,  L  est  de  degré  p  3m  —  4). 
C'est  ainsi,  en  particulier,  qu'une  courbe  de  degré  p  transformée  par  inversion  donne  une  courbe  de 
degré  2/5,  puisque  m  est  dans  ce  cas  égal  à  2. 

5"  Pour  étendre  la  transformation  aux  figures  de  l'espace,  il  suffit  de  partir  des  formules 

g^-H/i/T/j- +  =./'"; -Mi/»       *</!-+ ;/,/':>+■■■        x,fl:-i-ylf;-„-+-... 
fi  fi  fi 

Les  développements  qui  précèdent  dispensent  d'entrer  dans  de  plus  longs  détails. 
Nous  terminerons  en  engageant  le  lecteur  à  faire  une  étude  plus  approfondie  de  cette  transforma- 
tion :  cela  ne  serait  probablement  pas  dépourvu  d'intérêt. 

\.   A. 


QUESTIONS  PROPOSEES 


478.  —  D'un  point  M  du  plan  d'une  ellipse  on  mène  les  tangentes  à  cetle  courbe  ;  soient  P,  Q  les  point-  de 
contact.  On  désigne  par  II  le  point  de  rencontre  des  hauteurs  du  triangle  MPQ. 

4°  Prouver  que  les  points  M  et  H  sont  conjugués  par  rapport  au  cercle  lieu  des  sommets  des  angles  droits 
circonscrits.  En  conclure  la  construction  du  point  II  au  moyen  de  deux  droites  quand  le  point  M  est  donné. 

2"  En  conclure  le  lieu  des  poinls  M  pour  lesquels  le  point  II  se  trouve  sur  l'ellipse  proposée. 


314  I'  OLI     I  ENTR  \l.l. 


3  On  donne  le  point  II.  trouver  le  point  M.  Montrer  que  le  problème  comporte  deux  solutions  M,  M'  toujours 
réelles,  que  l'on  obtient  en  coupant  par  une  droite  l'hyperbole  des  normales  hyperbole  d'Apollonius  relative  au 
point  II. 

4'  Prouver  que  le  triangle  ll.M.M'  est  conjugué  par  rapport  au  cercle  lieu  des  sommets  '1rs  angles  droits 
circonscrits. 

:,  Pouvait-on  déduire  cette  dernière  propriété  de  cette  proposition  générale  que,  s'il  existe  un  triangle 
conjugué  par  rapport  a  une  conique  et  inscrit  dans  une  autre,  il  en  existe  une  infinité  ? 

6°  Pourquoi  les  diamètres  de  l'ellipse  qui  passent  en  M  et   M'  sonUils  conjugués? 

479.  Soit  0  un  point  pris  sur  l'intersection  de  deux  plans,  P  et  P'  ;  étudier  le  complexe  des  droites  A 
qui  percent  respectivement  les  plans  P  et  P'  en  des  points  A  et    \  .  tels  que    OA  =  OA'. 

11km  :t,  a    Toulouse. 

remier  volume  de  la  Thi  o\  fi  <L  :  Nombres  de  E.  Luc/ 

480.  —  Dans  le  développement  du  carré  de 

1  -+-  x  +  2x-  -+-  —  -+-  pxi', 

le  coefficient  de   <■  ,  pour    q  <p,    est  égal  à     - — - — — ■ 

481.  —  Le  nombre  des  manières  dont  on  peut  amener  le  point  n  avec  p  dés  à  jouer  est  le  coefficient  de  .  •" 
dans  le  développement  de 

[x  -+-X-  +  X2  -i h  a;6)/'. 

482.  —  Un  récipient  clos  est  exactement  rempli  d'eau  liquide  à  0°  sous  la  pression  d'une  atmosphère.  On 
refroidit  le  tout  à  — l".  Que  devient  la  pression  intérieure  dans  l'hypothèse  où  l'eau  reste  en  surfusion  ? 
Commenl  pourrait-on  calculer  la  fraction  d'eau  congelée  en  supposant  qu'il  n'y  ait  pas  surfusion  '.' 

Coefficient  de  dilatation  de  l'eau  entre    —  t°  et  0° u  =  —  GO  X  I0-6. 

Coefficient   de  compressibilité  de  l'eau    diminution  de  volume  pourune  mégadyne 

par  centimètre  carré] ■>.  =  30   -   10    . 

i  uefficienl  de  dilatation  cubique  de  l'enveloppe /t  =  2.ïxn>    ■ 

Coefficient  de  compressibilité  de  l'enveloppe    augmentation  de   volume   pour  une 

mégadyne  par  centimètre  carré) ')■  —  2,2  -    lu    . 

— ♦ — 
DEUXIEME     PARTIE 


ECOLE  CENTRALE  (Seconde  session  de  1895  . 


Géométrie  analytique. 

464. —  Les  axes  de  coordonnées  étant  supposés  rectangulaires,  on  demande  l'équation  générale  des 
hyperboles  équilalères  admettant  une  asymptote  passant  par  un  point  fixi  B  de  l  a  i  ■  des  y  et  dont  le  coef- 
ficient angulaire  soit  m,  telles  en  outre  que  le  produit  des  abscisses  à  l'origine  des  asymptoi  s  soi/  constant 
et  que  le  car  ri  du  demi  axe  transverse  soit  2as. 

Faisa  et  a, 

I  '  Démont)  •  r  que  les  a  ces  de  symétrie  de  ces  hyperboles  forment  un  faisceau  passant  par  deux  points 
fixes  et  prouver  géométriquement  que   le   lieu   des  sommets  de  celles  de  ces  hyperboles  dont  les  axes  trans 
vers*  s  sont  égaux  est  un  limaçon  de  Pascal. 

_:  On  considérera  les  hyperboles  du  faisceau  telles  que,  l'origine  des  coordonnées  se  trouvant  avec  la 
courbe  dans  mi  même  angle  des  asxjmptotes,  le  produit  <l<-  m  et  des  abscisses  à  l'origine  des  asymptotes  soit 
de  signe  contraire  au  produit  des  distances  de  l'origine  aui  asymptotes. 


ÉCOLE    CENTRALE  315 


On  démontrera  que,  par  un  point  du  plan,  on  peut  mener  deux  hyperboles  de  ce  système  ayant  un  axe 
transverse  donné. 

3°  Trouver  le  lieu  A  des  points  par  lesquels  on  peut  mener  deuxde  ces  hyperboles  tellesquune  asymp- 
tote, passant  par  B,  ait  pour  coefficient  angulaire    -+-1,     pour  l'une,  et     —  1,     pour  l'autre. 

A"  On  considérera,  pour  chaque  point  du  lieu  a,  les  hyperboles  qui  répondent,  l'une  à  la  valeur 
maximum,  l'autre  à  la  valeur  minimum  de  l'axe  transverse;  on  leur  mènera  une  tangente  commune  et  on 
cherchera  le  lieu  du  milieu  de  la  dislance  des  points  de  contact. 

Désignons  par    b   l'ordonnée  du  point  fixe  B  ;    l'équation  de  l'asymptote  qui  passe  en  ce  poinl  est 

m  —  b  —  mx  =  0,     el  celle  droite  a  pour  abscisse  à  l'origine  le  nombre Si  donc  nous  repré- 

■'  m 

sentons  par  k  le  produit  constant  des  abscisses  à  l'origine  des  deux  asymptotes,  le  nombre  correspon- 

bx  , 

dant  de  la  seconde  asymptote  sera  donné  par  1  équation =.  k    et  aura,  par  suite,  pour  valeur 

J  m 

x  = ;     d'autre  part,  la  seconde  asymptote  est  perpendiculaire  à  la  première;  elle  aura  donc 

b 
pour  équation 

1    /         fen\  km 

y  = j-fc—  ou  mi/  -+-  x  +  —  =  0 . 

m  \  b  I  li 

Cette  équation  montre  immédiatement  que  la  seconde  asymptote  passe  aussi  par  un  point  fixe  de 

l'axe  des  y,  ayant  pour  ordonnée    —  — ■ 

h 

L'équation  générale  des  hyperboles  considérées  est  alors 

[y  —  mx  —  b)  l  my  -+-  x  +—  1  —  h 

h  ayant  une  valeur  que  nous  allons  déterminer  en  fonction  des  données.  Pour  cela  portons  les  axes 
parallèlement  à  eux-mêmes  au  centre  de  cette  conique;  les  premiers  membres  des  équations  des 
asymptotes  se  réduisent  à  leurs  parties  du  premier  degré,  et,  par  suite,  l'équation  de  l'hyperbole  se 
réduit  à  [y  —  mx)(my  -t-  x)  —  h  =  0, 

ou  à  —  nu-  +  (1  —  m2)xy  -t-  my3  —  h  =  0. 

Coupons  maintenant  cette  conique  par  le  cercle  x2  -h  y2  —  2a2  =  0  et  exprimons  que  les  droites 
qui  joignent  l'origine  aux  points  de  rencontre  des  deux  courbes  sont  confondues  ;  nous  aurons  à  former 
une  combinaison  homogène  des  deux  équations, 

(—  2a2wi  —  h)x-  +  2a2(l  —  m-)xij  -h  (ia-m  —  h)y-  =  0, 
et  à  écrire  que  le  premier  membre  de  cette  nouvelle  équation  est  un  carré  parfait  ;  nous  obtenons 
ainsi  (  1  —  ms)sa*  —  {h2  -  4a*m2)  =  0, 

d'où  //  =  ±a-(l  -+-  m-). 

L'équation  générale  demandée  est  donc 

/  km\  „,         „.       „ 

(1)  (y  —  mx—  b)[  my  -\-x-h  j-  I  -+-  ea2(  1  +  m-  ;  =  0, 

en  désignant  par  t  l'un  des  nombres     +1     et    —  I. 

1°  Cela  posé,  l'équation  qui  lie  les  coellicients  angulaires  de  deux  diamètres  conjugués,  \>.  el  ;->.', 

esl 

1iii\i.\j!  ■+-  (t  -  m-)(|ji  -+-  \x')  —  2/»  =  0  ; 
en  exprimant  que     \±\j!  =  —  I,     nous  aurons  l'équation  qui  donne   les  coefficients  angulaires  des  deux 

axes  ;  cette  équation  est 

(1  —  î7i2)fia  —  'min  —  (I  —  m-)  =  0. 
D'ailleurs  chaque  axe  passe  au  poinl  de  rencontre  des  asymptotes  et  a  pour  équation 


0, 


/'  '"  \  A 

y  —  mx  —  b  -+-  t.y  my  --t-  .<■  4-  -y-  j  =  0, 


3  lf. 


El  OLE    I  ENTRALE 


pour  une  certaine  valeur  de   X;    nous  aurons  les  deux  \ 

m  —  /. 


angulaire  de  cette  droite,     n  = 


1  +  Km 
trouvons  ainsi  très  rapidemenl     /- —  I  =0;     par  suite,  les  valeurs  de 
équalions  des  deux  axes  sont 

Îij  —  inx  —  b  -t-  my  -t-  w 
y  —  rii.1-  —  b  —  my  —  x 


urs  de   >    ''il  expi  imanl  que  le  coefficient 

vérifie  l'équation  aux  coefficients  angulaires  des  axes  ;  nous 
sont     +  1     et     —  i.     et  les 


km 
km 


—  0. 


Ces  deux  équations  sont  linéaires  par  rapport  au  paramètre  m  ;  donc  elles  représentent  des  droites 
qui  passent  par  deux  points  fixes,  axant  respectivement  pour  coordonnées 

I      .        k 
T 


^> 


et 


»  =  t('-t)- 


S 

B' 

D'r 

— 

B 

Ar 

1A' 

0 

i\    ^ 

//  '  •'       a  V       6 

Tous  ces  résultats  sont  d'ailleurs  évidents  géométriquement.  Désignons  en  effet  par  B'  le  point  de 
rencontre  de  la  se< de  asymptote  avec  0y,  par  A  e(  A  1rs  points  de  ren- 
contre des  deux  asymptotes  avec  <>./■.  el  par  C  le  point  de  rencontre  des 
deux  asymptotes;  appelons?  l'angle  BAO.  Nous  aurons  en  valeur  absolue 
OB  =  OAtg?,  OB' =  OA' cot  <?,  et,  par  suite,  OB .  OB' =  OA .  OA' =  c">. 
Le  point  B'  est  donc  fixe  aussi,  et  le  lieu  du  centre  C  de  l'hyperbole  est  le 
cercle  décrit  sur  BB'  comme  diamètre.  En  outre,  les  axes  de  l'hyperbole 
sont  les  bissectrices  de  lande  des  deux  droites  CB  et  CB'  ;  ils  passent  donc 
par  les  milieux  des  deux  demi-circonférences  sous  tendues  pai  le  diamètre 
BB',  c'est-à-dire  par  deux  points  fixes  D  et  D'  du  cercle  envisagé 

Il  esi  alors  aisé  d'achever  le  premier  paragraphe  ;  car  les  deux  axes  sont 
les  droites  DC  et  D'C,  el  si  on  porte  sur  chacun  d'eux  des  longueurs  égales 
à  une  constante,  de  part  et  d'autre  du  point  C,  le  lieu  des  points  ainsi  obtenus  se  compose  de  deux 
limaçons  de  Pascal  ayant  pour  points  doubles  les  points  I)  et  D',  d'après  la  définition  même  de  celle 
courbe. 

C'esl  donc  une  imperfection  de  l'énoncé  que  de  signaler  l'existence  d'un  seul  limaçon  de  Pascal, 
quand  il  y  en  a  deux  en  réalité. 

2°  Ici  l'auteur  invoque,  pour  préciser  celui  des  deux  systèmes  d'hyperboles  qu'il  veul  étudier,  le 
sig lu  produit  des  dislances  de  l'origine  aux  deux  asymptotes.  Or  ce  signe  est  complètement  arbi- 
traire :  il  dépend  de  conventions  facultatives,  el  la  condition  imposée  au  signe  du  produit  km  n'a 
aucune  signification  précise.  Pour  lui  en  donner  une.  nous  supposerons  que  l'auteur  a  voulu  dire  que  le 
produit  des  distances  de  l'origine  aux  asymptotes  doit  être  regardé  comme  étant  positif  ;  mais  alors  il 
■  ni  été  bien  plus  naturel  de  dire  que  le  produit  km  doit  être  négatif:  l'énoncé  eu)  gagné  ainsi  en  sim- 
plicité el  en  précision. 

Soient,  pour  abréger,  P  et  Q  les  premiers  membres  des  équations  des  deux  asymptotes,  tels  qu'ils 
ont  été  écrits;  les  coordonnées  de  l'origine  donnent  au  produit  PQ  le  signe  de     — km;     les  coor- 

d iées  d'un   point  de  la  courbe  donnent      PQ      — nr\ l  +  m-),     et,  par  suite,  elles  donnent   au 

produit  PQ  le  signe  de  —  i  ;  e  el  km  doivent  doue  avoir  le  même  signe,  et,  si  l'on  se  reporte  h  ce 
qui  précède,  on  voit  qu'il  faut  prendre  t  =  —  l.  Le  système  des  hyperboles  à  considérer  est  donc 
le  système  à  deux  paramètres 

(3)  (?/  —  "'.''  —  b  (  my  -+-./•:  —    )  —  </-;  I  4-  m-)  =  0. 


ÉCOLE    CENTRALE 


317 


L'autre  système  d'hyperboles  a  pour  équation 

[y  —  mx  —  b)l  my  -+-  x  -+•  —  j  -+-  «2(  1  -f-  m1)  =  0  ; 

d'ailleurs,  ces  deux  systèmes  ne  sont  distincts  que  si  l'on  suppose  que  a2  ne  puisse  prendre  que  des 
valeurs  positives  ;  or,  au  point  de  vue  algébrique,  a2  peut  prendre  toutes  les  valeurs  possibles,  rien 
alors  ne  distingue  les  deux  systèmes  l'un  de  l'autre,  et,  comme  il  n'y  a  aucun  intérêt  à  faire  cette 
distinction  en  spécialisant  les  valeurs  que  peut  prendre  a2,  nous  regarderons  l'équation  (3)  comme 
représentant  le  système  total  des  hyperboles  considérées. 

Mais  une  autre  difficulté  se  présente  immédiatement  :  nous  donnons  à  km  le  signe  —  ;  cela  sup- 
prime de  nos  considérations  toutes  les  valeurs  positives  de  m  ou  bien  toutes  les  valeurs  négatives,  et 
les  paragraphes  qui  suivent  perdent  leurs  sens.  Nous  regarderons  donc,  dans  l'équation  (3),  m  H  ■"- 
comme  étant  des  paramètres  réels  pouvant  prendre  toutes  les  valeurs  réelles,  positives  ou  négatives. 
Seulement  alors  la  courbe  et  l'origine  ne  sont  plus  nécessairement  dans  un  même  angle  des  asymp- 
totes. 

Si  nous  regardons  maintenant  x  et  y  comme  étant  les  coordonnées  d'un  point  donné  dans  le  plan, 
l'équation  (3)  est  une  équation  du  second  degré  par  rapport  à  m  ci  du  premier  degré  par  rappoFl  a  a 
qui  relie  entre  elles  les  valeurs  des  deux  paramètres  des  hyperboles  du  système  qui  passent  au  poinl 
choisi  {x,  y).  On  voit  donc  immédiatement  qu'il  y  a  deux  hyperboles  ayant  un  axe  transverse  donné  el 
passant  en  ce  point.  Les  valeurs  de  m  relatives  à  ces  deux  hyperboles  sont  fournies  par  l'équation  du 
second  degré 


(4) 


a2      m-  -+-     j 


(y  — *)(y+-r 


-,r(V-/,)=0. 


3°  L'équation  (4)  ne  peut  avoir  deux  racines  égales  el  de  signes  contraires  que  si  le  coefficient  de  m 
est  nul.  En  annulant  ce  coefficient  et  faisant  ensuite  m2  =  1  dans  l'équation  (4),  on  obtient  d'abord 
l'équation  du  lieu  A,  puis  la  valeur  de  a-  qui  correspond  au  poinl    ./•,  y,  envisagé  sur  le  lieu. 

On  a  ainsi  A  =  x'2  —  (y  ■ —  b)  (  y  ■+-  —  1  =0, 


et 


4V 


Le  lieu  A  est  une  hyperbole  équilatère  dont  les  asymptotes  sont  parallèles  aux  bissectrices  des  axes  et 

dont  les  sommets  sont  les  deux  points   B   et   B'    de  l'axe  des  y. 

D'autre  part,  nous  voyons  que  si     J  +  -r    est  positif,  et  si  on  ne 

prend  que  les  valeurs  positives  de  a2,  il  n'y  a  dans  le  réseau  d'autres 
hyperboles  répondant  à  la  question  que  celles  qui  correspondent  aux 
points  du  lieu  situés  sur  les  axes  Bl  et  B'2  ;  l'autre  moitié  du  lieu 
est  donc  parasite,  si  l'on  suit  strictement  l'énoncé.  Si,  au  contraire, 
on  adopte  notre  point  de  vue,  si  on  regarde  a-  comme  pouvant 
?  prendre  indifféremment  des  valeurs  positives  et  négatives,  tous  les 

points  du  lieu  A  conviennent  également.  Enfin  il  est  bon  de 
remarquer  que  le  lieu  a  esl  a  proprement  parler  le  lieu  des  points  de  rencontre  des  hyperboles  d'axes 
transverses  égaux  et  ayant  leurs  asymptotes  passant  par  B  également  inclinées  sur  les  axes.  La  spéci- 
fication pour  m  des  valeurs  +1  et  — 1  était  bien  inutile  et  ne  pouvait  qu'augmenter  la  compli- 
cation et  l'obscurité  de  l'énoncé. 

4°  Pour  tout  point  du  lieu  A,  les  valeurs  de  m  sont  données  par 

.,  x(y  —  b)  —  a2 


l  k 


+  a2 


;{[,s  ÉCOLE    CENTRALE 


Sur  l'arc  Bl    dans  le  cas  supposé  pour  la  figure),    x{y  —  b)    et    -r(yH — y-  )    sont  positifs  ;  doue,  en 

1  ,1,1  que  ne  puisse  prendre  que  des  valeurs  positives,  la  condition  de  réalité  du  paramètre  m 
nous  oblige  à  prendre  ■•-  entre  0  el  x{y  -b)  ;  à  proprement  parler,  ":  n'aurait  qu'un  maximum  ; 
d'ailleurs  en  lui  donnanl  pour  minimum  0,  l'hyperbole  correspondante  se  réduirait  à  deux  droites  cl 
le  V  paragraphe  perdrail  à  peu  près  toul  sens.  En  considérant  l'arc  B'2,  on  sérail  conduil  à  des  critiques 
analogues.  Mais  il  j  a  mieux  :  en  acceptant  les  limites  trouvées  dans  chaque  cas  pour  a  ,  on  n'aurait 
pas  le  même  maximum  pour  as  sur  les  deux  arcs  Bl  et  B'2  et  le  lieu  indiqué  dans  le  i  paragraphe,  à 

supposer  qu'il  ail  le  sens  que  l'énoncé  semble  lui  donner,  ne  serait  pas  défini  d'une  manière  unifo 

pour  le  lieu  a  toul  entier. 

Il  faut  donc  encore  revenir  à  notre  interprétation  el  supposer  que  ":  puisse  prendre  indifféremment 
des  valeurs  positives  el  négatives.  Alors  la  condition  de  réalité  de  <<<-  nous  donne 

i  y   -b)  —  a*][x{  y      ■  'h   )+»-']  >0; 

elle  nous  montre  que  as  doit  être  compris  entre  les  deux  nombres     i  b      el  ,   "    'ii-     ": 

a  donc  bien  alors  un  maximum  et  un  minimum  définis  d'une  façon  uniforme  pour  tous  les  points  du 
lieu  a.  Les  valeurs  de  m  correspondant  à  ces  deux  nombres  sont  0  et  y-,  et  par  suite  les  deux 
hyperboles  à  considérer  onl  pour  équations 

f(x,  y)=zx(y—b)-a(?—b)  =  0. 


s  x,  y)  =  x{y  +  y  |  —  x(Ç>  +  -y  )  =  0. 


en  désignant  cette  fois,  pour  éviter  toute  confusion,  par  *  et  y  les  coordonnées  du  point  choisi  sur  le 
lieu  a. 

Pour  avoir  le  lieu  du  milieu  d'une  tangente  commune  à  ces  deux  coniques,  appelons  x  el  y  les 
coordonnées  de  l'un  de  ces  points,  o  l'angle  que  l'ail  l'une  des  directions  de  ta  tangente  commune 
correspondante  avec  Ox  el  p  la  distance  du  poinl  [x,  y)  au  point  de  contact  avec  l'une  ou  l'autre 
rbole,  distance  comptée  à  partir  du  premier  poinl  el  affectée  d'un  signe;  les  coordonnées  du  poinl 
de  contact  envisagé  seronl  x  i  p  cos  <p,  j/-t-;sin-r:  en  portant  successivement  ces  nombres  dans 
les  équations  des  deux  hyperboles,  f[x,  y)  =  0,  =>(x,  y)  —  0,  nous  aurons  deux  équations  en  p  du 
second  degré  el  ayanl  chacune  une  racine  double  ;  en  outre  ces  deux  racines  doubles  devront  être  égales 
et  de  signes  contraires.  Effectuons  les  calculs. 

L'équation  en  p  fournie  par  la  première  hyperbole  esl 

f{x-\-  ?  cos  ..    i/       ;  sin  a)  =  0, 
,ii  ti  <p  cos  o  +  Lp 4-  f{x,  y)  =  0, 

en  posant  L  =  /',  cos  p  \-  f   sin  o; 

elle  non-  donne,  conformément  à  ce  qui  a  été  dil  plus  haut, 

i'if  x,  y   -m  b  cos  b      I.'       0, 
•1  sin  is  cos  o 
L'équation  de  la  seconde  hyperbole  donne  naissance  aux  mêmes  calculs  el  fournit 
i     4<a(a?,  y   sin  b  cos  o  —  M-       0, 

6  o'  -  -     ~M 

'  '         2  sin  o  cos  tp 

en  désignanl  par  M  l'expression     ■-    cos  sin  -r. 


ÉCOLE    CENTRALE 


319 


Il  faut  maintenant  écrire  que     p  =  —  p'     ou     p  -+-  p'  =  0,     puis  éliminer  o,   a  et   13  entre  cette 

relation,  la  première  équation  (o),  la  première  équation  (0)  et  la  relation    A(a,  S)  =  0.     Or  la  relation 

p  +  p'  =  0    nous  donne    L  +  M=0;    en  retranchant  la  première  équation  (6)  de  la  première  équation  (5) 

et  tenant  compte  de   L  -+-  M  =  0,   il  vient  f(x,  y)  —  o(x,  y)  —  0,   ou  simplement  oc  =  j»;  il  ne  reste  donc 

plus  qu'à  éliminer  p  et  o  entre  les  relations  signalées,   dans   lesquelles  on  a  fait     *  =  x.     Pour  cela, 

cos  o              sin  o 
nous  tirons  de  l'équation     L  +  M  —  0,     — - — '■  = = — L  — >     et  eu  portant  à  la  place  de   sin  o  et 

"*        *-- f-*y 

/. 

lans  l'une  ou  l'autre  des  premières  équa- 
En  remplaçant   -j.  par  x  et    p  par  cette 


cos  <?  les  quantités  proportionnelles     b 
lions  (5)  ou  (6),  nous  obtenons     (J  =  y 


2,j     et 

-4) 


8(2,-4+4 

valeur  dans  l'équation     A(a,  p)  =  0,     nous  avons  de  suite  l'équation  du  lieu 


p 

(•-4)' 

u 

2y-6+A) 

— 5-    2» 


0; 


cette  équation  se  décompose  en  deux 


8  2j/ 


:.'/  —  ^  + 


C) 


2.V-/,  +  - 


8?/  —  4b  -+- 


?) 


(8] 


*y- 


6  +  -T- 


■8a- 


Sv_46+_)-(/, 


Ce  sont  deux  hyperboles  ayant  pour  asymptote  commune  la  droite  CD  qui  joint  1rs  points  iixes 
autour  desquels  tournent  les  axes  des  hyperboles  du  système  donné;  elles  ont  de  plus  leurs  centres 
confondus  sur  l'axe  des  y  et  leurs  deux  autres  asymptotes  sont  respectivement  parallèles  aux  deux 
bissectrices  des  axes.  Rien  n'est  plus  aisé  que  de  placer  ces  deux  hyperboles  dans  une  figure  totale 
comprenant  tous  les  résultats  qui  se  rapportent  à  une  hypothèse  donnée  et  facultative  d'ailleurs  sur  le 
nombre  /.'. 

Enfin  nous  ferons  remarquer,  pour  terminer,  que  si  l'on  ne  veut  pas  suivre  strictement  les  méthodes 
ordinairement  indiquées  dans  les  cours,  on  peut  abréger  certains  calculs  en  s'appuyant,  d'une  part, 
sur  ce  que  le  produit  des  distances  d'un  point  d'une  hyperbole  équilatère  aux  deux  asymptotes  est  égal 
au  demi-carré  du  demi-axe  transverse,  d'autre  part,  sur  ce  que  les  axes  sont  les  bissectrices  des  angles 
formés  par  les  deux  asymptotes. 


320  BIBLIOGRAPHIE 


QUESTION     PROPOSEE 


483.—  <>n  considère  un  cercle  Exe  et  une  langenle  à  ce  cercle  en  un  point  Qxe  u  ;  un  point  M  quelconque 
ilu  cercle  est  le  sommel  d'un  triangle  isocèle  .MOI'  ayant  sa  base  OP  sur  la  tangente  Qxe.  On  demande,  quand 
le  point  M  décrit  le  cercle  donné  : 

l"  Le  lieu  du  point  de  concours  des  hauteurs  du  triangle  OMP; 

2    Le  lieu  du  centre  du  cercle  circonscrit  à  ce  triangle; 

:;    Le  lieu  du  j » i « ■  i J  de  la  perpendiculaire  abaissée  de  0  sur  PM  ; 

i    L'enveloppe  de  PM. 

L.-.l.  Goujon,  pensionnai  île  Valbenolle   Sainl-Lstienne). 


lilliLlniillAIMIIi: 


n    de   v     mique  à  l'usage  des  élèves  des  classes  de  Mathématiques  spéciales,  par  X.  ANTOMARI  ri 
('..-A.  LA1SANT,  docteurs  es  sciences.—  Un  vol.  in-8°,  Paris,  Non}  et  O. 

Cet  ouvrage,  qui  n'a  pas  d'autre  but  que  d'aider  les  candidats  a  l'Ecole  Polytechnique  dans  la  préparation  de  leurs 
examens,  est  un  petit  recueil  de  questions  très  bien  choisies  et  classées  d'après  le  programme  de  Mécanique.  Beaucoup  de 
ces  questions  ont  été  proposées  aux  examens  oraux  :  la  plupart  des  autres  le  seront  nécessairement,  car  elles  constituent 
des  applications  trop  directes  du  cours  de  Mécanique  pour  échapper  a  l'attention  des  examinateurs.  Les  auteurs  ont  exposé 
],,  solution  de  nombre  d'entre  i  Iles  afin  que  les  élèvi  s  aient  toujours  sous  les  yeux  des  exemples  de  questions  bien  lia 

pouvant  servir  de  modèles  i toutes  celles  qui  leur  seront  demandées  ou  proposées  an  lycée  à  titre  d'exercices  Ils  ont  pi  u  i 

en  tête  de  chaque  chapitre  un  résumé  bien  fait  des  définitions,  principes  et  théorèmes  de  la  partie  du  programme  qu  il-  ont 
alors  en  vue  ;  de  sorte  qu'à  côté  des  exercices  intéressants  dont  nous  avons  parlé,  le  candidat  trouvera  la  substance  de  son 
cours  il  le  rappel,  sous  une  forme  simple  et  précise, des  propositions  el  principes  qu'il  a  étudiés. 

Depuis  miti  introduction  au  programme  de  l'Ecole  Polytechnique,  la  Mécanique  joue  un  rôle  sans  cesse  grandissant  aux 

i  a, ns  oraux  :  Il  n'est  pour  ainsi  dire  pas  de  candidat  qui  n'ail  une   question  de  Mécanique  a  quelqu'un  de  ses  examens 

oraux  ri  parfois  plusieurs  ;  d'un  autre  côté  le  temps  que  l'on  peUt  consacrer  a  la  Mécanique  dans  l'enseignement  des  Mathé- 
matiques spéciales  esl  nécessairement  très  limité  par  l'étendue  des  autres  parties  du  programme.  Il  est  donc  de  toute  m  ces 

site  qui'  chaque  candidat  cherche  lui  même  a  compléter  su  préparation.  .Nous  croyons  que  le  livre  que  s  venons  il.'  lui 

signaler  i"  ni  lui  rendre  de  grands  services  ri  cela  dans  un  temps  très  court,  grâce  a  sa  simplicité  ri  son  peu  d'étendue. 

E.  11. 

d'Algèbre  à  l'usage  dos  élèves  des  classes  de  Mathématiques  spéciales,  par  G.  MAUPIN,  licencié 
es  sciences  mathématiques  el  physiques,  membre  de  la  Société  mathématique  de  France.  —  Un  vol.  gr.  in-.v, 
Paris,  [S'ony  el  ('." . 

Cet  ouvrage,  ainsi  que  le  précédent,  s'adresse  plus  particulière ni  aux  élèves  des  diverses  classes  de  Mathématiques 

spéciales.  Cependant    la    variété  et  l'originalité  des  questions  qu'il  renferme,  l'importance  des  aperçus  historiques  el  des 

citations  qu'il  fournil  en  font  un  livre  intéressant  et  utile  à  consulter  pour  beaucoup  d  autres.  Il  n'est  guère  de  quesl - 

,i  \i_,  bre  quelque  peu  célèbres  el  ayanl  occupé  les  gé itres  des  siècles  derniers  que  l'auteur  ne  rappelle  ;  souvent  il  les 

ace pagne  de  développements  historiques  importants  el  bien  faits  pour  attacher  le  lecteur  el  lui  donner  le  goût  de  ces 

retours  en  arrière  -i  utiles  a  qui  veut  pénétrer  le  véritable  sens  des  théories  ai  tuelles.  ^ussi  nous  assoc 5- -  avec  plaisir 

n,,.  éloges  que  M.  Laisanl  adresse  à  l'auteur  dans  l'élégante  préface  qu'il  a  mise  en  tête  de  ce  volume,  el  nous  félicitons  b  i  n 
sincèrement  M.  Maupin  il'-  n'avoir  pas  reculé  devanl  le  travail  énorme  qu'un  panai  recueil  exigeait. 

La   place  nous  manque  pour  analyser  complètement  cet  ouvrage.   Bornons  i-  a  dire  qu'il  renferme   123  questions 

résolues  el  plus  de  1  300  énoncés  d'autres  questions  dont  beaucoup,  comme  nous  l'avons  déjà  dit,  son!  intéressantes,  an 
poinl  de  vue  historique  ;  un  grand  nombre  d'autres  uni  été  proposées  aux  examens  oraux  de  i  Ecole  Polytechnique  dans  ces 

dis  dernières  ; Ses  et,  h  ce  titre,  ne  peuvent  manquer  d'attirer  l'attention  des  candidats  h  cette  école  :  d'ailleurs  celles  de 

ces  quesl -  qui  ne  son!  pas  résolues  sonl  souvent  accompagnées  d'explications  sommaires  qui  mettent  a  chaque  fois  sur  le 

chemin  de  la  solution     ajoutons   que   le   recueil   est  divisé  en    11  chapitres  qui  correspondent   aux  diverses   parties  du 

programi I  pe i  ainsi  d'adjoindre  sans  effoi  ts  des  exercices  appropriés  aux  diverses  phases  de  la  révision  du  cours 

d'Algèbre  ;  qu'enfin  il   se  termine  par  une  note  relative  à  la  recherche  de  certaines  limites  dont  I' sous  la  forme  même 

que  lui  donne  l'auti  ur,  esl  souvenl  demandée  aux  examens  d  a  Imission  de  l'Ei  oie  Polytechnique,  el  a  trail  a  i  exisl  nce  de  la 
célèbre  constante  d'Euler.  !'■•  H- 


/..    Rédacteur-Gérant  :  II.  VI  IBERT. 

BAR-LE-DOC.  —   1MP.    COMTE -JACQUET, 


6°   Année.  N°  5.  Février  4896. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE  PARTIE 


NOTE  SUR  LES  FONCTIONS  IMPLICITES 

par  M.  Cels,  professeur  au  lycée  Lakanal. 


Si  f(x,  y)  désigne  une  fonction  de  deux  variables  x  et  y  bien  définie  dans  un  champ  de  variations  (C) 
comprenant  en  particulier  le  point  (x0,  i/o)  pour  lequel  on  a  f[x0,  i/o)  =  0;  si,  déplus,  cette  fonction 
admet  des  dérivées  partielles  continues  dans  ce  champ  de  variations  et  que  la  seconde  dérivée  partielle, 
f'Jx,y),    ne  suit  pas  nulle  au  point    (x0,  f/o),    l'équation     f(x,  y)  =  0     définit   une  fonction    y    de   x   au 

voisinage  de    x  =  x0,     continue  en  ce  point  et  ayant  pour  dérivée  en  ce  mêmepoint  le  nombre    —   *'  0l       • 

f'AX0,  î/o) 

En  effet,  f',,(x0,  y0)  n'étant  pas  nul,  il  existe,  en  vertu  de  la  continuité  de  la  fonction  f',,{x,  y)  dans 
le  champ  de  variations  (C),  un  intervalle  ( — a,  -+-a)  tel  que  h  et  k  tombant  tous  les  deux  dans  cet 
intervalle,  on  ait  toujours  b  <  |  fy[xn  +  h,  g/0-+-  &)  \  <C  B,  b  et  B  étant  deux  nombres  positifs  entre 
lesquels  se  trouve  le  nombre  |  f'-^x^,  yB)  |  ;  dans  tout  cet  intervalle  la  fonction  f'x(x,  y)  est  continue, 
sa  valeur  absolue  est  donc  comprise  de  même  entre  deux  nombres  positifs  a  et  A.  Nous  allons  montrer 
alors  que  l'on  peut  établir  entre  h  et  k  une  relation  telle  que  l'accroissement  f(x0  ■+■  h,  y0  -+-  k)  de 
la  fonction  f  ait  le  signe  de  kf'y  ;  on  a,  en  effet, 

f{xa  +  h,  i/o  +  k)  =  hf'Jxo  +  Oh,  y,  +  (ik)  -+-  kfij{x0  -+-  8/;,   ya  +  0/f), 
0  étant  un  nombre  compris  entre  0  et  1,  et  quand   h   et   k   restent  dans  l'intervalle    ( — «,  a),    le 
premier  terme  du  second  membre  est  moindre  en  valeur  absolue  que   A  |  h  |  ,  le  second  supérieur 

à    b  \  k  \  ;    il  suffira  donc,  dans  ces  hypothèses,  de  prendre     b  \  k  \  >  A  |  h  \      ou      [  k  \  >  —   |  /(  |  , 
et,  par  suite,      |  k  \  >  M  |  h  \  ,     en  appelant  M  le  nombre  -7-  ou  un  nombre  plus  fort. 


Il  résulte  de  laque  si  l'on  fait  varier  h  dans  l'intervalle  i —  i  -— -  1.  et  que  l'on  prenne  tou- 
jours k  =  ±  M/i,  les  deux  nombres  f(x0-\-h,  j/0 — M/')  et  f(x„-^h,  i/0+Mli  sont  constam- 
ment de  signes  contraires.  Par  conséquent  la  valeur  de  la  fonction  de  y,  f(x0+h,  y),  change  de 
signe  quand  y  varie  de  y0±Mh  à  y0  zp  Uh  ;  cette  fonction  est  continue  dans  l'intervalle 
signalé,  donc  elle  s'y  annule  au  moins  une  fois;  enfin  elle  ne  s'y  annule  qu'une  fois  parce  que  sa 
dérivée  /'!;(.r0  +  /(,  y)  garde  un  signe  constant  dans  l'intervalle  (i/0  ±  MA,  y»  +  M/i)  et  que,  par 
suite,  la  fonction  envisagée  varie  toujours  dans  le  même  sens. 

L'équation    f(x0-\-h,  y)  =  U    a  donc  toujours  une  racine  et  une  seule  de  la  forme    j/04-8MA, 


0  étant  compris  entre    — 1     et    -+- 1,     quand  h  parcourt  l'intervalle     f  — —  ^     — -    •     11  en  résulte 

donc  bien  que  l'équation    f(x,  y)  =  0    définit  une  fonction    y  de  a,  au  voisinage  de    x  =  Xq,     con- 
tinue pour    x  =  a',,     et  qui  se  réduit  à  y„  en  ce  point. 

Reste  à  montrer  que  cette  fonction  a  une  dérivée  pour    x  =  a-0.     Or  si  on  appelle  maintenant    // 


322  NOTE    SUR    LES   FONCTIONS   IMPLICITES 

el  A-  les  accroissements  correspondants  de  x  el  y,  on  a 

f(x0-hh,  yo  +  k)  =  0, 
ou  hf'J  >  c0-+-6A,  y„  +  0*   =  0, 

6  étant  encore  ici  un  nombre  compris  entre  0  el   I  :  de  là  on  déduit 

_*__      f',(xo  +  0h,  yo-t-OA-) 
h    ~  -f-0/j,   t/o-f- 

puisque  le  dénominateur  n'est  pas  nul  :  et  enfin, 

■  •         I;  /     'o.  </o) 

lnn   —  =  -777 — — ;> 

puisque  les  deux  dérivées  partielles  sont  continues  au  poinl     a  .   yô    et  que  le  dénominateur  n'est  pas 
nul  en  ce  point. 

suite  en  outre  du  raisonnement  précédent  que  si  l'on  considère  une  valeur  quelconque  de   x 

comprise  entre —  et  —     el  la  valeur  correspondante  de  y,  pour  tout  couple  de  ce  genre,  (x,,y,), 

les  conditions   indiquées  dans   l'énoncé   du   théorème  sont    remplies;   par    conséquent    l'équation 
f[x,  y)  =  0    définit  une  fonction  de  x  continue  el  pourvue  de  dérivée,  au  voisinage  de    x  —  x,.    Cette 

dérivée  de  la  fonction    7   a  pour  valeur    —  '/    "  ■'';    pour  tous  ces  couples  de  valeurs  ;  elle  est  donc 

/    ■'-■■■ 
continue  puisque  le  numérateur  et  le  dénominateur  sonl  fonctions  continues  de  x,  et  ylt  que  x,  et  ;/, 
varient  toutes  deux  d'une  manière  continue  el  que  /    x,,  yt    n'esl  pas  nulle. 

Le    raisonnement    précédent    n'est   plus   applicable    si    pour    le  couple   initial     x, .   ye     on   a 
0;     mais  alors  si  n'esl   pas  nul,  on  applique  le  raisonnemenl  a    r.   envis  _ 

m mine  fonction  de    y    et  l'on  arrive  à  cetle  conclusion,  que  l'équation    f  v.  y)  =  0    définit,  au  voisi- 
nage de    y  =  '/,,,     une  fonction  continue  de   y  cl  pourvue  d'une  dérivée  continue  dont  la  valeur  est 

(''}■'■ 

—  1  cetle  fonction  particulière  prenant  la  valeur  x0  pour  y  =  y0-  La  dérivée  de  cette  fonc- 
tion est  nulle  pour  >/  =  <,,;  deux  cas  peuvent  alors  -  nter  :  ou  bien  elle  change  de  signe  pour 
cette  valeur  de  y,  ou  son  signe  reste  invariable.  Si  elle  change  de  signe  supposons,  pour  fixer  les  idées, 
qu'elle  passe  du  positif  au  négatif;  alors  la  fonction  x  croit  d'abord,  puis  décroit  ensuite;  si  nous 
supposons  que  toutes  les  propriétés  signalées  aient  lieu  de  j/o  — .'-  de  >/„  à  yt  +  p,  nous 
voyons  que  x  croit  d'une  manière  continue  de  x0  —  -j.  à  .<■,.  puis  décroît  de  x0  à  x0  —  *',  -j.  et  * 
étant  certains  nombres  qui  correspondent  aux  accroissements  acceptables,  —  fi  et  -+-p\  de  y; 
soit  maintenant  r,  un  nombre  positif  moindre  que  a  et  *',  nous  voyons  que,  d'après  le  théorème  des 
fonctions  inverses,  il  y  a  deux  fonctions  y  de  x  définies  dans  l'intervalle  (x0  — rj,  x0),  l'une  crois- 
sante, l'autre  décroissante,  toutes  deux  continues  et  se  réduisant  à  y0  pour  x  =  x0;  dans  l'inter- 
valle (x0,  ij  +  r,)  il  n'y  a  aucune  fonction  de  ce  genre.  Si  la  dérivée  ne  change  pas  de  signe,  suppo- 
sons,  pour  fixer  les  l'elle  soit  positive  ;  alors  la  fonction  x  croît  de  x0 — a  à  Xj-t-a*  quand 
y  décrit  l'intervalle  {y0 —  (J,  y0  +  P),  que  nous  supposons  acceptable  comme  précédemment;  soit 
maintenant  r\  un  nombre  positif  moindre  que  a  et  x',  nous  voyons  que.  d'après  le  théorème  des  fonc- 
tions inverses,  il  y  a  une  fonction  y  de  x  définie  dans  l'intervalle  x„ —  rn  x0  -+-*)),  croissante, 
continue  et  se  réduisant  à  y0  pour  x  =  x0.  Dans  les  deux  cas  que  nous  venons  de  signaler,  aucune 
des  fonctions  y  n'admet  de  dérivée  pour    x  —  x0. 

Enfin,  si  pour  le  couple  initial  (x0,  y0),  les  deux  dérivées  partielles  -ont  nulles,  les  raisonnements 
faits  plus  haut  ne  s'appliquent  plus,  el  il  faudrait  s'appuyer  sur  les  dérivées  partielles  d'ordres  supé- 
rieurs pour  édifier  une  théorie  analogue.  Nous  n'aborderons  pas  ce  cas. 

l  -  -  énoncés  qui  suivent  sonl  de  simples  conséquences  de  ce  qui  précède. 

N,  Véqualion    f{x0,  y)  ==  0    admet  p  ra  s  j/„  y,,  ....  y...  pour  lesquelles  f'.i\,.  y]   ne  soit 


NOTE    SUR    LES    FONCTIONS   IMPLICITES  323 

pas  nulle,  et  si  les  conditions  toujours  supposées  jusqu'ici  sont  remplies  par  la  fonction  f(x,  y),  l'équation 
f[x,  y)  =  0    représente  p  fonctions  de  x,  réelles,  continues  et  pourvues  de  dérivées  continues  au  voisinage 

de     x  =  x0. 

Au  point  de  vue  géométrique,  cette  équation  représente  p  branches  de  courbes  coupon!  la  droite 
x  =  x0,     aux  points  d'ordonnées  yu  y*,  . .  .,  ?/;,. 

Si  pour  une  racine  y»  de  f(x0,  y)  =  0,  on  a  f'„{x0,  y0)  =  0,  on  se  renseignera  sur  les  branches 
correspondantes  de  la  courbe  totale  qui  passent  au  point  (,rt,,  yu)  en  étudiant  la  fonction  x  de  y,  pour 
les  valeurs  de  y  voisines  de  ?/„. 

Le  théorème  suivant  se  démontre  absolument  comme  le  premier  : 

Si  f(x,  y,  z)  désigne  une  fonction  de  trois  variables,  bien  définie  dans  un  champ  de  variations  (G) 
comprenant  le  point  [xQ,  y0,  z0)  pour  lequel  on  a  f(x0,  ;/„,  z0)  =  0;  si,  de  plus,  cette  fonction  admet  des 
dérivées  partielles  continues  dans  ce  champ  de  variations  et  que  la  troisième  dérivée  partielle,  f'Jx,  y,  z), 
ne  soit  pas  nulle  au  point  (.r„,  y0,  z0),  l'équation  f(x,  y,  z)  =  0  définit  une  fonction  z  de  x  et  y,  qui  se 
réduit  à  :,j  pour  x  =  x0,  y  ~  yo,  continue  et  pourvue  de  dérivées  partielles  continues  au  voisinage  du 
point  [x0,  ?/o\ 

De  là,  ces  conséquences  : 

Si  l'équation  f(x0,  y0,  z)  =  0  admet  p  racines  différentes  :,,  za,  :,,,  ...,  zp,  pour  lesquelles 
f'z(xt),  J/o.  z)  ne  soit 'pas  nulle,  et  si  les  conditions  toujours  supposées  jusqu'ici  sont  remplies  par  la  fonction 
f(x,  y,  z),  l'équation  f(x,  y,-z)  =  0  représente  p  fondions  de  x  et  y,  réelles,  continues  et  pourvues  de 
dérivées  partielles  continues  au  voisinage  du  point  [x0,  y0). 

Au  point  de  vue  géométrique,  cette  équation  représente  p  nappes  de  surfaces  coupant  la  droite 
x  =  j'0,     y  =  y0,     aux  points  dont  les  cotes  sont  zt,  ;2,  .  .  .,  zp. 

Si  pour  une  racine  z0  de  l'équation  f{x„,  y0,  z)  —  0,  on  a  f'-{x0,  y0,  z0)  =  0,  on  se  renseignera 
sur  les  nappes  correspondantes  de  la  surface  iotale  qui  passent  au  point  (x0,  y0,  :,,),  en  étudiant  l'une 
ou  l'autre  des  fondions  x  ou  y  de  y  el  ;  ou  de  x  et  ;  que  l'équation  définit  en  général,  pour  des  valeurs 
voisines  de  y„  et  ;0  ou  de  x0  et  z0. 

A  un  autre  point  de  vue  et  pour  une  généralisation  plus  grande,  on  a  le  théorème  particulier  que 
voici  : 

Les  racines  d'une  équation  entière  sont  des  fonctions  continues  des  coefficients. 

Comme  dernière  extension,  nous  allons  considérer  deux  fonctions  de  x,  y  et  z,  f(x,  y,  z)  et 
®[x,  y,  z),  bien  définies  dans  le  même  champ  de  variations  (C),  y  possédant  des  dérivées  partielles 
continues,  et  nulles  pour  un  point  (ar0,  </o,  z0)  de  ce  champ  de  variations,  et  nous  allons  nous  demander 
sous  quelles  conditions  les  deux  équations 

f(x,  y,  z)  =  0,  s  x,  y,  z)  =  0 

définissent  deux  fonctions  de  x,  y  el  z,  se  réduisant  à  y0  etz0  pour  x  =  x0.  Supposons  que  l'une  des 
dérivées  partielles,  f'z  ou  o'z,  ne  soit  pas  nulle  pour  x„,  y0,  z0,  par  exemple  f'z{x0,  ya,  z0)  ^t  0  ;  alors  la 
première  équation  définit  une  fonction  z  =  F(.r,  y),  qui  se  réduit  à  z0  pour  x  =  x„,  y  =  y„,  qui 
est  continue  et  pourvue  de  dérivées  partielles  continues  au  voisinage  du  point  (x0,  y0)  ',  si  on  porte  cette 
valeur  de  ;  dans  la  seconde  fonction  on  obtient  une  fonction  composée  de  x  et  y, 

*(.r,  y)  =  o[x,  y,  F(.r,  y)], 
qui  est  pourvue  de  dérivées  partielles  continues  par  rapport  à  x  el  y,  au  voisinage  du  point  (a?0,  </„   el 

qui,  de  plus,  est  nulle  en  ce  point;  si  donc  la  dérivée  par  rapport  à  ;/,    -r-i    n  est  pas  nulle  au  point 

(<r0,  yo),  l'équation 

.I.(.r,  y)  =  0 

définit  au  voisinage  de  x  —  x0  une  fonction  y  de  x,  réelle,  continue  et  pourvue  d'une  dérivée  conti- 
nue ;  la  fonction    z  =  Ff.r,  y)     devient  donc  bien  aussi  une  fonction  de  x  réelle,  continue  et  pourvue 


324  AGRÉGATION   DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES 

d'une  dérivée  continue  au  voisinage  de    x  =  a  :     d'ailleurs  ces  deux  fondions  prennenl  les  valeurs  j/0 
el  :,,  pour    .r  =  .',,.     Le  bul  que  nous  poursuivions  esl  donc  atteint. 

Nous  avons  trouvé  qu'en  outre  des  conditions  générales  imposées  aux  deux  fonctions  /   i 
.  .-  .  dans  un  certain  champ  de  variations,  il  faul  encore  que  l'une  des  dérivées  partielles 
soil  différente  de  0  au  poinl  initial  (a;0)  ;/„.  :„  .  el  que  de  plus  si  on  choisit,  pai  exemple,  /    >,.  y0i  z0)^0, 
il  faut    que  l'on  ail     *    '  ■  '/„    .--0:     mai-     *         .        -  I    .     pour    z  —  F(x,  y),     et.  comme   on   a 

1  ■    et  que     -,       F(x0,  j/0),     on  voil  qu'il  faut  que  le  déterminant    •-.'/;  —  /"■-..     ne  soit  pas 

nul  au  poinl     <■„.  </,,.  :„   :  cette  nouvelle  condition  entraîne  d'ailleurs  la  première,  car  si     y  f 

esl  différent  de  0,  les  deux  dérivées  partielles  par  rapporl  à  :,   f.  et  ol,  ue  peuvenl  être  nulles  en 

même  temps.  La  seule  condition  a  ajouter  aux  conditions  ._>  néralesque  nous  avons  rappelées  plusieurs 

lois  au  cours  de  cet  article,  esl  donc  que  le  déterminant  fonctionnel  des  deux  Ion, -lions  /'  el  ; 

connue  fonctions  de  y  >'i  :  seulement,  soil  différent  de  0  au  poinl    ./■„,  ?/0,  z0),  c"est-à-dire  que  l'on  ait 

"■ 

Los  fonctions  y  et  :  existanl  alors  et  ayanl  do-  dérivées,  nous  obtiendrons  ces  dérivées  en  appli- 
quant la  règle  des  fonctions  composées  aux  deux  fonctions  f(x,  y,  :  ri  •.  /■,  ?/,  ;,  qui,  étanl  toujours 
nulles,  oui  des  dérivées  toujours  nulle-,  et  conduisenl  ainsi  aux  deux  équations  du  premier  degré 

fi+y'f      «Y     -"■ 

ces  équations  du  premier  degré  donneronl  y1  el  :  tant  que  le  déterminanl  fonctionnel  ne  sera  pas  nul, 

•-  / 


II 


I    -    -f'v*'* 


Non-  ne  parlerons  pas  du  cas  où  le  déterminanl  fonctionnel  est  nul  au  poinl  x0,  .'/„.  :,,  .  el  nous 
terminerons  cet  article  en  faisant  remarquer  que,  sous  les  conditions  signalées  plus  haut,  les  deux 
équations  /  r,  1/,  s)  =  0  el  o(x,  y,  z  0  représentent  analytiquement  une  branche  de  courbe  qui 
passe  au  poinl    (a*0,  //„.  :0). 

Ce  résultai  esl  susceptible  de  s'étendre  au  cas  où  il  y  a  plus  d'une  variable  indépendante. 

A  notre  avis,  il  esl  intéressanl  de  remarquer  que  Ion  le  celle  théorie  a  été  édifiée  sans  recourir  à  la 
théorie  de  l'élimination. 

♦ 

AGRÉGATION    DES    SCIENCES    MATHÉMATIQUES     Concours  de    1895). 


433.  —  On  donne  un  ellipsoïde  E  qui,  rapp  \    inc  paux,  a  pour  équation 

ii-        z- 

I        0 

et  une  spfii  1  <  de  1  ayon  r  et  de  centre   V  (x0,  y  , 

On  cou  idèn  les  quadriques  S  qui  sont  tangentes  à  tous  les  plans  tangents  communs  à  la  sphère  et  à 
l'ellipsoïde  E;  du  poinl  \  on  abaisse  une  normale  AP  sur  l'une  des  quadriques  S.  etaupied  P  de  cette 
normale  on  màm  le  plan  tangent  n  à  cette  quadrique. 

I"  Prouver  que  le  plan  11    est  le  plan  polaire  du  point  A  par  rapporl  à  une  surface  II.  homo focale  à 

l'ellipsoïde  E,  représentée  par  l'équation 

1/2  ;s 

Il  ,  -1=0. 

ii-  —  3        /r  —  0        <;-  —  0 


AGRÉGATION  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  325 

2°  Prouver  que  le  plan  II  est  le  plan  polaire  du  point  A  par  rapport  à  l'une  des  quadriques  S  ; 
prouver  qu'il  est  aussi  un  plan  principal  pour  une  autre  de  ces  quadriques.  Les  réciproques  de  ces  propo- 
sitions sont-elles  vraies  ? 

3°  Pur  tout  point  M  de  l'espace  il  passe  trois  plans  n  polaires  il"  point  A  par  rapport  à  trois 
quadriques  H,.,  H,,,  H.,  du  système  homofocal.  Exprimer  les  coordonnées  du  /mini  M  en  fonction  des 
paramètres  X,  p,  ». 

Déduire  des  expressions  ainsi  obtenues  le  heu  des  points  M  pour  lesquels  les  trois  plans,  n  sont 
rectangulaires. 

4"  Trouver  ce  que  deviennent  les  expressions  des  coordonnées  du  point  M.  soit  quand  ce  point  est  sur 
la  développable  enveloppée  pue  le  plan  n.  soit  quand  il  se  trouve  sur  Varète  de  rebroussemenl  de  cette 
développable.  F.n  conclure  le  <le<jié  de  lu  développable  •■/  /"  nature  île  son  arêle  de  rebroussemenl 

5"  Tout  plan  il  coupe  la  développable  suivant  la  génératrice  de  contact  et  suivant  une  conique.  De 
quelle  espèce  est  cette  conique?  En  connaît-on  des  tangentes  remarquables  ? 

6°   Trouver  le  lieu  des  foyers  de  ces  diverses  coniques. 

L'équation  tangentielle  de  l'ellipsoïde  est 

E  =  a'-u-  +  Ire2  +  CSW3  —  /r  =  0  : 
celle  de  la  sphère, 

S  =  r-(u-  -+-  e2  +  ir1  —   u.i;,  -+-  vy0  —  wz-o  —  />  -  =  0. 

L'équation  générale  des  quadriques    S    inscrites  dans  la  développable  circonscrite  à  ces  deux  surfaces 
est  donc     S  -t-  OE  =  0,      0  étant  un  paramètre  arbitraire. 

1°  Soit  alors  AP  l'une  des  normales  à  la  surface  (0)  issue  du  point  A.  et  «e+  vy  +  trz-h p  =  0 
l'équation  du  plan  tangent  à  la  surface  (0),  au  pied  1'  de  cette  normale  ;  les  coordonnées  de  ce  plan 
vérifient  la  relation  Ï  +  OE  =  0  ;  d'autre  part,  les  coordonnées  du  point  de  contact  sont  données  par 
les  relations  symboliques 

n       J    n  n 

ou,  dans  le  cas  actuel,  en  posant     P  =  ux,>  +  ri/„  +  wz0  -  p, 

r-u  —  P.,-,  -+   Un- u 


(point  P) 


—  P  —  O/i 

r-o  —  Py0-\-Ob2v 

~~—P  -0/>  ~ 

f-ir  —  P:„  -+-  Qc-W 


—  P  —  II// 

les  paramètres  de  la  droite  AP  ont  pour  valeurs     x  —  x0,     </—.</,>.     :   -  -  :. ,     ou 

rtu 4_ ea2M  -+-  Bpx0,  rs»+eésa  +  ep?/0,  rhv   \-0c3w      Hpz0. 

Pour  exprimer  que  cette  droite  est  perpendiculaire  au  plan    (u,  i\  10,  p),    il  n'y  a  qu'à  écrire  que  les 
nombres  précédents  sont  proportionnels  à  u,  v,  w  :  on  a  ainsi 

,-+0*  + '**  =  ,•  +  *•  '  6,  **, 

U  v  li- 

OU 

1'  Li  P  ,  /' 

u  v  10 

en  appelant  p  la  valeur  commune  de  ces  trois  nombres.  On  déduit  de  là 

u    _       x0  r    _       »/„  w  z„ 

p         o  —  a-  /i    ~  p  —  h-  '  V    ~  ?  —  c*  ' 


326  AGRÉGATION   DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES 

et,  par  suite,  l'équation  du  plan  n  esl 

aJ  —  p       //-  —  p       <•'-  —  p 

équation  montre  immédiatement  que  le  plan  n  esl  le  plan  polaire  du  poinl  par  rapport 

à  la  surface 


x-  II-  z 

"p  =  ~t +  rr—  + ■  -1  =  0, 

er  —  p       h-  —  p       c-  —  p 


homofocale  à  l'ellipsoïde  E. 


2°  Cherchons  le  plan  polaire  du  poinl  [x  pai  rapporta  la  surface    8);  il  nous  suffit,  pour 

de  remarquer  que  les  formules  (point  P)  donnent  les  coordonnées  du  pôle  du  plan    ».  v,  w,  p), 

puis  d'égaler  les  valeurs  de  x,  «/,  :  aux  nombres  x0,  </„,  :, .:  in>u<  aurons  ainsi  les  coordonnées  du  plan 

polaire  du  poinl  A.  a  l'aide  des  équations 

"  r  0,  v   i  '       Bi  i       8py0  =0,  --  8pz„        0. 

Nous  obtenons  de  cette  façon 

—  u  —  v  Oi/o  —  "'  <>-,■ 

p     ~  (m1  -t-  r'-  '  /<     —  Olr  +  rJ  '  y*      —  Oc2  +  >■•  ' 

<•-                                                                                    —  /■- 
et  nous  voyons  qu'il  suffit  de  poser   —  =  —  p,    ou  de  prendre  pour  valeur  de  0 pour  que  le 

plan  envisagé  coïncide  avec  le  plan  n.  Le  procédé  employé  dé ntre  évidemment  la  réciproque,  c'est- 
à-dire  que  le  plan  polaire  du  point  A  par  rapport  à  une  certaine  surface  (0  esl  aussi  plan  polaire  par 
rapport  à  une  des  surfaces  II.,  et,  par  suite  aussi,  plan  tangent  au  pied  de  l'une  des  normales  issues 
du  poinl    \  à  une  autre  surface  du  faisceau  (0). 

Pourprouver  que  le  plan  n  est  aussi  plan  principal  pour  une  des  surfaces  0  .  il  suffit  déconsidérer 
l\  usemble  des  surfaces  homofocales  à  cette  sut  l'arc  particulière, 

S  -+-  6E  -+-  0,  (u-  -+-  u2  +  w-)  =  0, 
el  de  chercher  celles  de  ces  surfaces  qui  se  réduisent  aune  courbe,  c'est-à-dire  celles  dont  l'équation 
admet  une  solution  double  par  rapport  à  u,  v,  w,  p.  Si  l'on  pose     rL'4-0,  =  s,     on  obtient,  en  annu- 
lant les  quatre  dérivées  partielles  par  rapport  à  n,  y,  w,  p, 

tu  —  \'x„  -+-  Oasu  =  0, 

m>  —  Py0-\   <>"''■  =  0, 

nv—  !':„      Ocsw  =  0, 
P  +  Op  =  11; 
ces  équations,  jointes  à    P  =  ux0-\-vyo  -+-  wz0  -\-p,     déterminent  u,  v,  w,  p  el  -. 

Elles   donnenl  successivement     P  = —  8»,      u  = '  °    ,     u= '    "°   ,      w  = ^  ""  , 

o-l-8a  cr-4-0//- 

puis 

'"•   ,    "y»   ,    6z»  _i   e. 


<r-t-0fls        s       8é 

1  ette  dernièn  équation  détermine  t.  les  précédentes  déterminent  le  plan  principal  qui  correspond 
à  la  valeur  choisie  pour  -;   el   l'on   voit  aisément  que  ce  plan  coïncide  avec  le  plan  n  si    l'on  a 

—  =  —  y.     or  ceci  a  lieu  pour  une  valeur  de  0  donnée  par  l'équation' 


1  —  0 


—  p        b*  —  p        ca  —  p 

La  proposition  a ncée  esl  donc  établie. 

I  es  calculs  que  is  venons  de  faire  élablissenl  en  même  temps  la  réciproque  :  ils  montrent  que 

tout  plan  principal  d'une  surface  '•  est  plan  polaire  du  poinl  (ar0,  y,,  i  par  rapport  à  trois  surfaces  H,,, 
e  esl  i  dire  esl  trois  fois  plan  n,  en  limitanl  ainsi  la  signification  de  ce  plan. 


AGRÉGATION  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  327 

3°  Si,  dans  l'équation     n  =  0,     on  regarde   x,  y,  z   comme  donnés,  on  obtient  une  équation  du 
troisième  degré  en  p, 

XXn  î/'/ii  ZZn 

a  —  p        lr  —  p        c2  —  p 
et  il  en  résulte  immédiatement  que  trois  plans    II    passent  par  le  point  donné  (a:,  y,  z).  En  désignant 
par  ).,  (jl,  v  les  paramètres  de  ces  plans,  on  obtient  de  suite  l'identité 

xx0{b2—  p)(c2-p)  +  2/i/o(c2—  P)(a2  —  p)-t-z-o(a2—  ?W  —  ?)  —  {ai—  p)(*2  —  p)(c2  —  p)  =  (p-X)(p  —  n)(p— v). 
II  suflit  de  faire  dans  cette  identité   p    égal  successivement  à   a-,  b2,  c2,    pour  avoir  les  valeurs  de 
x,  y,  z  en  fonction  des  paramètres  des  trois  plans  qui  passent  en  ce  point;  on  trouve  ainsi 

/        _  («-  —  X)(a2  —  <j.){a2  —  •/} 


(1) 


.r„  lr  —  a-  {c2  —  a'1) 

{bi  —  V,{b*—lL)(b,-—v) 

J/o(c2  —  b2)(a-  —  lr) 
(ci_X)(C«_^)(C»_v) 


»0(o*-e«)(4*-   c2) 
En  exprimant  que  les  trois  plans  II  de  paramètres  X,  fi,  v  sont  rectangulaires,  nous  obtenons  trois 
relations  telles  que  la  suivante  : 

Jq ,'/o | Z? 

(a»  -  X)(a»  -  (i)  +  (62  -  X)(62  -  ,,) +  (c«_X)(c«_,x)  ~  ° ; 
ces  relations  se  réduisent  à  deux  et,  en  décomposant  chacune  dos  fractions  du  premier  membre  de 
chaque  équation  en  deux  autres,  nous  avons  de  suite  les  égalités 

xï    |     y*    ,     -p    _    xi    ,     ?/q     ,     :»    =    *'     ,     yj         »'   . 

«2  —  X       Ja  —  X       c2  —  X        a-  —  (a       ô2  —  [ji       c-  —  \i        a2  —  v       b1  —  v       c2  —  ■/  ' 
finalement  si  nous  désignons  par   I;   la  valeur  inconnue  commune   à   ces   trois   expressions,  nous 
sommes  conduit  à  exprimer  que  les  deux  équations 

xx0  ijyQ  zz 


a2  —  p       b2  —  p       c'2  —  p 

*^0  .'/il  .  *o 


1  =0, 

-  k  -  t) 


a2  —  p       b2  —  p       c2  —  p 

ont  les  mêmes  racines  X,  p,  v  pour  une  certaine  valeur  de    k\    celte  identification  donne  pour  lieu  du 
point  (a*,  y,  z)  la  droite    —  =  —  =  — . 

■^o  I/o  ~'0 

Mais  il  est  facile  de  parvenir  à  ce  résultat  par  la  méthode  qu'indique  l'énoncé,  en  se  servant  des 
formules  (1).  En  effet,  à  l'aide  de  ces  formules,  la  relation  d'orthogonalité  écrite  plus  haut  devient 
(as-v)*„  ,  (&s-v)y0  (c2-,)z 


(b*  —  a,)(c*  —  a*)x      (c2  —  b*)(a2  —  b2)y  (a2  —  c2)(i2  —  c*)z 
les  deux  autres  relations  analogues  deviennent 

("'-*)*,  (*'-%.  (c2-x):0 

(62  —  «2)(c2  —  a2)*      (c2  —  62)(a2  —  A2)?/  (a2  —  c2)(ô2  —  c2); 
{a2  —  (i)a?0                    (62  -  ix)y„  {c2  —  ,u);0 


=  0; 

=  0, 
=  0. 


(b2  —  a2)(c2  —  a2)x      {c2  —  b2)(a2  —  b*)y      (as  —  c2)(ô8  —  c*)z 
Ces  trois  équations  ont  un  déterminant  nul  et  se  réduisant  à  deux,  et  nous  aurons  des  quantités 
proportionnelles  aux  inconnues  en  résolvant  les  deux  dernières  équations  ;  nous  obtenons  ainsi 

■'■«  I/o 

.r(b2  —  a2)[c2  —  a2)  _  y{c"  —  lr){a2  —  b2)  _ 


(b2-l)(c2-  ^)-(b2-i,)(c2-l)       (ct-XXo'-ri-^-jiXtf-X) 


328  AGRÉGATION  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES 


.'/„ 


/  /-■      as  r-      a2)(6a      .■-!>.  —  ;jli       y(cs  —  ô2)^2  —  b*)(c*  —  a*)Q 
et  nous  déduisons  immédiatement  de  là 

X  IJ  Z 

xo  I/o  -0 

4"  La  développable  enveloppe  des  plans  n  est  le  lieu  des  points  par  où  passent  deux  plans  D  con- 
fondus, c'est-à-dire  le  lieu  des  points  pour  lesquels  l'équati lu  3e  degré  en   p   a  une  racine  double. 

Nous  aurons  donc  les  coordonnées  îles  points  de  cette  surface  eu  rendant  égaux  deux  des  paramètres 
X,  ;j.  -.  dans  les  formules  (1)  ;  on  obtient  ainsi  les  équations  de  la  surface  à  l'aide  de  deux  paramètres 
arbitraires, 

/    XXq-  (a~—  'A)2(«2—  lx) 

(2)  ,    2/2/o 


a?      e2)(62—  c2) 


\ 


(6». 

-a2)(c2- 

-a2) 

(6S 

-  X)a(62 

-  1^) 

(C». 

-62)(a2- 

-6») 

(c= 

-X)2(c». 

-ri 

Ces  équations  mettent  en  évidence  un  double  mode  de  génération  de  celte  surface  :  les  courbes 
X  =  c'°  sont  des  droites,  les  génératrices  rectilignes  de  la  surface  ;  les  courbes  n  =  c'c  sont  des 
coniques:  toutes  ces  courbes  sont  situées  dans  les  plans  n,  d'après  la  nature  même  des  para- 
mètres À  et  |i. 

Si  on  porte  les  valeurs  de  x,  y,  z  dans  les  équations  de  deux  plans  quelconques,  on  obtient  deux 
équations  en  X  et  [*,  du  second  degré  en  X,  du  premier  degré  en  ut,  qui.  par  suite,  ont  quatre 
solutions  communes  ;  nous  en  concluons  que  l'ordre  de  la  surface  est  i.  Lu  développable  est  donc  du 
4e  degré. 

Les  points  de  l'arête  de  rebroussement  sont  ceux  pour  lesquels  les  trois  plans  il  sont  confondus  : 
les  équations  de  cette  courbe  sont  donc 

(6a  —  as)(c*  —  a^x^ 

,-  (*'-*)' 

[  '  I    J       (c»-62)(a»-6»)y0' 

■  _  (c2->.)3 

(a2 —  c')(6s  —  c*)*^ 

elles  montrent  que  l'arête  de  rebroussement  est  une  cubique  gauche.  La  développable  enveloppe  des 

plans  D  esl  l'on  née  par  les  I  ;i  i  Lgen  I  es  à  ce  'I I  o  courbe  ;  les  plans  II  soi  il  les  plans  OSCUlateurS  de  la  cubique, 

et  le  fait  seul  que  par  tout  point  de  l'espace  il  passe  trois  de  ces  plans  permettait  de  prévoir  ions  les 
résultats  qui  précèdent. 

5°  Chaque  plan  n  coupe  la  développable  en  deux  espèces  de  points  :  en  certains  points  il  est  langent 
à  cette  surface,  et,  en  d'autres,  il  est  simplement  sécant.  Si  l'on  se  reporte  aux  formules  (2)  et  à  la 
manière  dont  elle-  onl  été  établies,  on  voit  que,  pour  les  premiers  points,  le  paramètre  du  plan  n  est 
le  paramètre  double,  pour  les  autres,  le  paramètre  simple;  donc  en  appelant  h  le  paramètre  d'un 
[dan  m  particulier,  on  aura  le- premiers  points  en  faisant     X       h     dans  les  formules   2),  et  les  seconds 

en  faisanl     :>       h  ;     on  trouve  ainsi  une  droite  et  une  conique,  la  droite  devant  être  compt leux  fois, 

a  cause  du  contact  du  [dan  n  avec  la  surface  en  chacun  de  ses  points. 

Cette  conique  est  une  parabole,  car  elle  rencontre  le  plan  de  l'infini  en  deux  points  confondus  ;  elle 


AGRÉGATION  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  359 

passe  évidemment  au  point  de  l'arête  de  rebroussement  qui  est  dans  le  plan  M  y.  =  h),  et  touche 
cette  courbe  en  ce  point  ;  ceci  se  vérifie  facilement  en  faisant  X  =  h  dans  les  équations  de  cette 
conique  et  en  formant  les  équations  de  la  tangente  en  ce  point. 

6"  Il  s'agit  maintenant  de  trouver  le  lieu  des  foyers  des  coniques 

{a-  —  iy(a-  —  /() 

i  |  h-  —  <i,-)ic~-  —  a'1) 

(Ô*_X)2(62  —  Al 


.'/  = 


!/o(C2—  b*  (fl2— 6a) 

(ci-inc--h) 


î0(a3  —  c2)(62  —  c*) 
quand  h  varie. 

Nous  allons  à  cet  effet  déterminer  d'abord  les  points  en  lesquels  la  tangente  est  isotrope.  On  sait 
que  les  équations  de  la  tangente  au  point  dont  le  paramètre  est  X  sont 

&  —  x  _  Y— -y  _  Z  —  z 
dx  dy  dz 

dX  dX  dl 

on  a  donc,  dans  le  cas  actuel,  pour  équations  de  la  tangente  au  point  (X), 

a;  — A(aa  — X)»-  =  y-B(6s  — X)2  _  :-C(c'2-XJ- 
]  A(Vz2  —  X)  B(//2  —  X)  C(c2— X)      ' 

en  désignant  par  A,  B,  C  les  constantes  qui  figurent  comme  coefficients  de  (h- —  X)-,  (fr  —  X)2, 
[c-  —  X)2,  dans  x,  y,  z;  il  en  résulte  que  les  paramètres  des  points  en  lesquels  la  tangente  est  isotrope 
sont  donnés  par  l'équation 

(5)  As(as  —  X;»  h-  B2(/y2  —  Xf  -+-  C2(ea  -  X)s  =  0. 

Si  l'on  se  reporte  aux  valeurs  de  x,  y,  z,  on  voit  de  suite  que  ces  deux  points  sont  dans  le  plan 

A.r  +  Uy  -+-  C;  =  0  ; 
comme  d'autre  part  nous  connaissons  a  priori  l'équation  du  plan  de  la  conique  (/*), 


<J'Jo 


0, 


a-  —  h       fr  —  h       c1  —  h 

nous  avons  de  suite  les  deux  équations  de  la  directrice  de  la  parabole  considérée.  Pour  obtenir  le  foyer, 
désignons  par  X,,  X,  les  racines  de  l'équation  (5),  par  t,  et  t2  les  valeurs  respectives  des  rapports  4  . 
pour  les  valeurs  X,  et  X,,  et  pour  les  coordonnées  du  point  commun  aux  deux  tangentes  isotropes; 
nous  aurons  en  égalant  les  valeurs  de  x,  y,  z, 

/,  a3  —  X.)  —  U{a"-  —  X2)  =  (a2  —  X2)a  —  ("-  —  X,)2, 

f,(  Ji  _  X,)  -  fs(ô2  -  X2)  =  (62  -  X2)2  -  [fr  -  ) 

fl(c»  -  X.)  -  t-Ac*  -  X2)  =  (c2  -  X,)«  -  (c»  -  X,)2  ; 
si  nous  posons    -  =  tt  —  t2  —  2(X,  —  /._,),    -z'  —  tt\  —  tj.>,     ces  équations  se  simplifient  et  deviennent 

(t-~  —  r'  =  X;  —  XJ, 

bh  —  -t  =  X*  — X2, 

c2t  -  -:  =  Xi  —  X*  ; 
nous  voyons  immédiatement  qu'elles  se  réduisent  à  deux  el  onl  pour  solution      -  =  ().      -  =  X|  —  X2. 
De  ces  deux  dernières  équations  on  déduit  de  suite 


330  ALGÈBRE 

et,  en  se  servant  de  l'une  de  ces  valeurs,  on  peut  calculer  de  suite,  à  l'aide  des  rapports  4),  les  coor- 
données du  point  commun  aux  deux  tangentes  isotropes,  c'est-à-dire  du  loyer;  on  trouve  ainsi 

— -  =  (à  —  «-(À,  -+-  X2)  -+-  / ■!>... 

;  -|-  =  **-*î(x1+x8)+xlxl, 


__  =  c*_c»(X1  +  Xî)  +  XlXï. 

Il  n'y  a  plus  qu'a  porter  dans  ces  formules  les  valeurs  de    X,  -+-  "t-,    et  X,Xa  qui  sont  données  par  l'équa- 
tion  5), 

/     .        ,         .AV  +  B^'  +  CV 
l     X,  -+-  1,  =  2 —  , 

j  _  A2a4  -t-  B264  -t-  CV 

pour  avoir  les  coordonnées  du  foyer  en  fonction  de  h. 

Les  équations  (6]  simplifiées  à  l'aide  des  formules  7)  définissent  le  lieu  des  foyers.  Ces  équations 
montrent  que  x,  y,  z  sont  du  3e  degré  en  //,  avec  un  dénominateur  commun  du  second  degré.  Le  lieu 

est  donc  une  euliique. 


ALGEBRE 
436.  —  Démontrer  que  Von  a 

l-2-3 ">(t)"' 

et  aue  l'on  n 

l'" ":(,)' 

si  a  est  inférieur  à  e. 

1"  Si  l'on  envisage  la  courbe  y  —  Lx  et  l'aire  comprise  entre  cette  courbe,  l'axe  des  .<•  et  les 
ordonnées  ar  =  1,  x  =  n,  on  a  de  suite  en  considérant  des  rectangles  circonscrits  à  cette  aire  ayant 
pour  hases  des  segments  égaux  à  t  et  portés  par  Ox  et  pour  hauteurs  les  ordonnées  1.2,  1,3,  ..  ..  Lm 
l'inégalité 

L2  +  L3+ h  Ln  >  |    Lx.dx, 

•  i 

,,ii  L(n!)       n\.ii  —  n   \    I  ; 

mi  a  dune  a  fortiori 

l.(/i  !)  >  «Ltt  — n  =  L 


Par  conséquent  on  a  bien 

■-<')'■ 

Cette  première  inégalité  peut  d'ailleurs  s'obtenir  immédiatement  en  considérant  le  développement 
de  >  '  en  série    cai  on  a 

n       n-  n" 

e"_i++H (__+... 

1        1.2  n  ' 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  331 


et  par  conséquent  l'inégalité  qui  suit  est  évidente  : 

n" 
»  ! 
c'est  une  autre  façon  d'écrire  l'inégalité  annoncée. 

2"  De  même  que  précédemment  on  a,  en  considérant  c^tte  fois  des  rectangles  inscrits, 


,'n-t-l 

L2-+-L3H 1-Lh<    /        Lx.dx, 


ou  L(n!)<(n  +  l)L(n-i-l)—  n. 

On  déduit  de  là 


L(„!)<L<ϱ4£ 


et,  par  suite, 

Cette  inégalité  peut  s'écrire 


(K  +  ir 

"  !  < ; — 


,  »\'/ir+  l\'" 

H  !    < 


ou,  en  introduisant  un  nombre  a  positif  et  inférieur  à  e, 

»'<œ"œ"»('4)-+' 

/          1  \'!+'                                  /  a  \"  n 

Or,  quand  n  grandit  indéfiniment,       Ih tend  verse,     n\ —        ou  —         tend  vers  0; 

\          ni                                    \e  )  (e_\n 

par  conséquent  au  delà  d'une  certaine  valeur  de   h,   on  a    ni —  )  (  H )  <  1     et,  par  suite, 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


448.  -  Étant  donnée  une  ellipse  fixe  (E),  on  considère  toutes  les  coniques  (C)  qui  sont  bitangen  es  i 
cette  ellipse,  tangentes  à  une  droite  (D),  et  qui  sont  vues  d'un  point  donné  P  sous  un  angle  droit. 

On  demande  : 

1°  Le  lieu  du  pôle  de  la  corde  des  contacts  : 

28  D'étudier  la  nature  de  ce  lieu,  quand  la  droite  (D)  varie  dons  le  plan  ; 

3°  De  trouver,  dans  le  cas  où  la  droite  (D)  est  rejetée  à  l'infini,  le  lieu  des  foyers  et  l'enveloppe  des 
axes  des  coniques  (C). 

Soit     E  =  — --*-  4 '  =0     l'équation  ponctuelle  de  l'ellipse  donnée,  rapportée  à  ses  axes;  dési- 

a         li2 

gnons  par  a  et  p  les  coordonnées  du  pôle  de  la  corde  des  contacts,  par  x0  et  y0  celles  du  point  P  et 

enfin  par     ux-i-vy-^l  =  0    l'équation  de  la  droite  donnée  (D).  L'équation  générale  des  coniques  (C) 

est 

avec  les  deux  conditions  qui  expriment  que  ces  coniques  sont  tangentes  ;ï  la  droite  (D)  el  vues  du 
point  P  sous  un  angle  droit. 


332  GÉOMÉTRIE  A.YU.YThHT. 


I.;i  première  condition  s'obtient  en  formanl  l'équation  du  faisceau  des  droites  qui  joignenl  l'origine 
aux  deux  points  de  rencontre  de  la  conique  (C  el  de  la  droite  D  .  puis  exprimant  que  le  premier 
membre  de  celle  équation  h< gèi n  x  el  \j  esl  un  carré  parfait.  Nous  obtenons  ainsi  el  succes- 
sivement 

|  .',  "  |  "|  "  +  fr  +  «*     •*],=  0- 

puis  .n f i ii  la  condilion 

[H.!    »•)  ,..;.    »)'][<4    .)  i,;  ..)']  |,;,^t    .j-u.j.  D! 

cette  condition  se  simplifie  e(  se  mel  aisément  sous  la  forme 

(I)  -  A(A  +  V    +l^~  '  )+(«w-t-pO  +  l)S  =  0, 

où    A    désigne  le  premier  membre  de  l'équation  tangentielle  de  l'ellipse,  pour  les  valeurs  considérées 

;  i  (  •  1 1 H  •  1 1  <  ■  1 M  «  •  1 1 1  de    a    ri    r.      \   —  u'ir -{- /i2/-1 —  I. 

Nous  obtiendrons  la  seconde  condition  en  remarquant  que  l'équation  1  représente,  quand  u  el  u 
varient,  l'équation  tangenlielle  de  la  conique  C)  ;  nous  aurons  alors  1rs  deux  tangentes  issues  du  point 
(■Toi    .Vo)    en    résolvant    les    deux    équations    simultanées    (1)    el      ux0  -t-  vy0  -+- 1  =  0  ;      l'équation 

U  ZJ 

en    —    <ni   en  s  obtient   en   éliminant  la   variable   d'homogénéité   entre  les  précédentes;  nous 

o  il  ' 

trouverons  ainsi,  en  désignant  par  X'  la  quantité    Xh \- l, 

a-        h2 

'    "  ' „ —  ".'/„  J  -  "J»J  —  '':<-;         *  —  x0)u+  ';.  -  v„  '  -  =  0, 
ou  I    ,,       a'     l-(a  — *,)«]«»H 1-  >'(.'/"  —  ^"-)  -^  (P  —  .'/u)^"-"  =  ». 

Il  reste  à  exprimer  que  le  produit  des  racines  de  cette  équation  est  égal  à  —  1,  c'est  à-dire  que 
la  somme  des  coefficients  des  termes  en  u1  et  <"  esl  nulle.  On  Irouve  ainsi  la  seconde  condition  : 

-  *'C,  .     •       <    ■'  h  ;--  -.</„  »  =  0, 

"H  i  ,,  désigne  la  quantité    x\  -+-  yl  —  a-  - 

1°  Nous  aurons  le  lieu  du  poinl  (a,  f$)  en  éliminant  X'  mire  les  équations  (I  et  (2  .  Celle  élimination 
est  immédiate  H  donne 

3  A   r  —  x0y  -+-  (y  —  j/o)s    i  <  «  "■'    I-  »</  h-  l)s  =  0, 

en  désignant  actuellement  par  .r  et  7  les  deux  coordonnées  variables  %  et  p.  Ce  lieu  esl  une  conique 
ayant  pour  foyer  le  point  I'  el  pour  directrice  correspondante  la  droite  (D). 

2°  Pour  que  cette  conique  soit  réelle,  il  faut  que  A  et  Co  soient  de  signes  contraires  ;  si  donc  le 
poinl  P  est  à  l'extérieur  du  cercle  orthoptique  de  l'ellipse  E),  il  faut  que  A  soit  négatif,  c'est-à-dire 
que  la  droile  (D)  ne  soit  pas  sécante  à  l'ellipse  :  si,  au  contraire,  le  poinl  P  esl  à  l'intérieur  du  cercle 
orthoptique,  il  faut  que  la  droite  l>  soit  sécante  à  l'ellipse  (E)  ;  dans  le  cas  où  le  point  P  esl  sur  le 
cercle  orthoptique,  le  lieu  se  réduit  à  (x  —  a-0)2  +  (j/  —  j/0)'-  =  0,  à  moins  que  A  ne  soit  aussi  nul. 
auquel  cas  le  lieu  esl  complètement  indéterminé. 

Supposons  alors  que  Co  et    \  soient  de  signes  contraires,  et  désignons  par  es  l'excentricité  de  la 

d  »-  +  r- 
conique   :>  :  nous  aurons    e!  =  —      — - —  En  écrivant  que  e1  est  plus  petit  que  I,  nous  aurons 

A 

Co(m2+i>») 
la  condition  pour  que  cette  conique  soil  une  ellipse  :  nous  trouverons  ainsi  - — <;  I.     ou 

I  \     \      h  G     e  I). 

Le  premier  facteur,  égalé  à  0,  fournil  l'équation  tangentielle  de  l'ellipse  (E)  ;  le  second  donne  de 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  333 


même  l'équation  tangentielle  d'une  conique  homofocale  à  (E)  et  dont  l'équation  ponctuelle  est 

Bornons  noire  discussion  au  cas  oii  la  conique  (3)  est  réelle.  Deux  cas  sont  à  distinguer  : 

Ou  bien  le  point  P  est  à  l'extérieur  du  cercle  orthoptique  (C0  >  0)  ;  alors  A  est  négatif,  la 
droite  (D)  est  non-sécante  à  l'ellipse  (E)  :  d'autre  part  la  conique  (5)  est  une  ellipse  extérieure  à  (E), 
et  si  (D)  ne  coupe  pas  celte  conique,  l'inégalité  (4)  est  vérifiée,  le  lieu  est  une  ellipse  :  si  (D)  coupe 
cette  conique,  le  lieu  est  une  hyperbole  ;  si  (D)  est  tangent  à  cette  conique,  le  lieu  est  une  parabole  ; 
et  enfin,  dans  le  cas  extrême  où  (D)  est  tangente  à  (E),  le  lieu  se  réduit  à  une  droite  double,  deux 
fois  la  droite  (D). 

Ou  bien  le  point  P  est  intérieur  au  cercle  orthoptique  (C0  <  0)  ;  alors  A  est  positif,  la 
droite  (D)  est  sécante  à  (E).  D'ailleurs  ce  cas  se  subdivise  en  plusieurs  autres  :  si  le  point  P  est  tel 
que  — b-  <  C0  <  0,  c'est-à-dire  si  le  point  P  est  compris  entre  les  deux  cercles  x2-\-y- —  a2  =  0  et 
xi-\-yî—a3 —  b2  —  0,  laconique  (S)  est  une  ellipse  intérieure  à  (E),  les  sécantes  à  celte  conique 
donnent  des  ellipses,  les  sécantes  à  (E)  seulement  donnent  des  hyperboles,  les  tangentes  à  (5)  des 
paraboles  et  les  tangentes  à  (E),  des  droites  doubles  ;  si  l'on  a  —  a3  <C  Co  <  —  b2,  la  conique  (5)  est 
une  hyperbole,  et  les  résultats  sont  semblables  aux  précédents;  enfin  si  — a-  —  b~  <  Co  < — a-, 
la  conique  (5)  est  imaginaire,  toutes  les  coniques  réelles  du  faisceau  (3)  sont  des  hyperboles  ou,  à  la 
limite,  des  droites  doubles. 

3°  Dans  le  cas  où  la  droite  (D)  est  rejetée  à  l'infini,  la  conique  (C    est  une  parabole  ;  la  condition 

a2  S2 

(1)  devient  alors    À  = —'•    el  l'équation  de  la  conique  (C)  est 


7-f)(7-HM-£-£-' 


d. 


OU  (?•»•—  *!/)'"+  2(é2ï.r  +  rt2p)/)  —  (7/2x2  -+-  f/23-  -f-  r/2/y-j  =  (J. 

Nous  poserons  B  =  b-%-  -+-  «2p2  -+■  a-b-  ;  puis  nous  formerons  l'équation  aux  coefficients  angulaires 
des  tangentes  issues  du  point  <x„,  y0)  en  formant  l'équation  aux  abscisses  des  points  de  rencontre  de 
celte  conique  avec  la  droite  y — )/„  =  »<( a;  —  x0)  et  exprimant  ensuite  que  celte  équation  a  une 
racine  double.  Nous  obtenons  d'abord 

(p  —  xmrx2  +  2[i2a  -+-  a'pm  —  a(p  —  <*m)[y0  —  mx0)]x  ■+■  x3(y0  —  ma?„)a  -f-  2a?$(y0  —  mxv)  —  B  =  0, 
[mis 

[b'2a.  -+-  a2m$  —  »(p  —  *'")(.'/o  —  nix0)}2  —  (P  —  imf\^iyll  —  mx9)%  -t-  2ax$(yt  —  mx0)  —  Bj  =0. 

Cette  relation  simplifiée,  ordonnée  par  rapport  à  m,  et  débarrassée  du  facteur    a2p2  -+-  b**-,    s'écrit 

(6)  (a3_2a.-r0-i-as)m!-+-2(Px0H-ai/o— op)m  +  P2  — 2?2/0-h6s  =  0. 

En  exprimant  que  la  somme  des  coefficients  extrêmes  est  nulle,  on  obtient  d'abord  la  condition  pour 
que  la  parabole  soit,  vue  du  point  [xn,y„)  sous  un  angle  droit;  cette  condition,  qu'on  aurait  pu  déduire 
immédiatement  des  relations  (11  et  (2),  est  actuellement 

(7)  a2  +  p2  -  2m-0  -  %,  -t-  a2  -+-  b-  =0. 

Si  maintenant  dans  l'équation  (6),  on  remplace  x0,  y0  par  x,  y,  et  si  on  exprime  que  cette  équation 
se  réduit  alors  à    k(m?  ■+■  \)  =  0,     on  obtient  les  deux  équations  suivantes,  qui  définissent  le  foyer  de 

la  parabole, 

I     y2  _  p*  _  2m? -f- 2pi/ H- a2  —  b2  =  0, 

)     yp  —  3.;-  —  %y  =  0. 

Nous  aurons  donc  le  lieu  des  foyers  en  éliminant  a  et  p  entre  les  équations  (7)  et  (8).  Or  cette 
élimination  peut  se  faire  très  simplement  en  calculant  d'abord  «2  et  p2  à  l'aide  de  l'équation  (7)  et  de  la 
première  équation  (8)  ;  on  a  alors  linéairement,  en  fonction  de  «  et  p,  les  valeurs  de  a8,  p2,  x$, 


(8) 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


=  -«(*- *o) -r- P(j/-+- y») -*2, 

3t{5  : 

cela  fait,  on  multiplie  la  première  équation  par  p,  la  seconde  par  •/.  el  l'on  remplace  dans  les  deux 
résultats  >.  ■-'.  xp  par  les  valeurs  précédentes  lant  qu'on  le  peut;  on  arrive  ainsi  à  deux  équations 
linéaires  en  »  el    '-. 

=<(•'■,'/.-"/.-'.'/         3   <'■„  —  7.'/,  +  !/:  -"■                    ■''-.'/—  '/.,        0, 
'■'        ./■„  —  //'■'  i  i   S  .)■„(/„  —  .c„i/  —  </-<        a    i  —  a;0)  +  é'x  =  0 . 
De  ces  deux  équations  on  déduil    »   el    p,  et  il  n'y  a  plus  qu'à  porter  leurs  valeurs  dans  I  équation 
xp  =  xi/      ;•</.     pour  avoir  l'équation  du  lieu.  Ce  calcul  facile  à  faire  conduit  à  un  lieu  du  quatriè 

'li  _■  1 1  ■ 

L'axe  de  la  parabole    C    a  [unir  coefflcienl  angulaire    —  ;    la  direction  perpendiculaire  a  [tour 

X 

coefficient  angulaire     -j—    L'axe  de  la  parabole  a  dune  pour  équations 

cette  équation  développée  esl  ici 

(a»  +  ps)  Sar  —  m/ 1+    A2  -  02)ap  =  0  ; 

li  s  coordonnées  de  cette  droite  sont  données  par 

(9)  Ou  =  j}(a2+pa),  "r  =  -a(a»-+-  3-  .  Ow  =    6'—  a 

Nous  aurons  l'équation  tangentielle  île  l'enveloppe  des  axes  en  éliminant    ■*-.  p  et  fl  entre  ces 

équations  el  la  relation  (7).  Or  des  deux  premières  équations  (9)  nous  déduisons     —  = =  [i;     les 

équations  [9  deviennent  alors 

0  —   —  ;x':  il-  -f-  r  i.  Ow   =   r-y-'i/ç. 

en  désignant  comme  habituellement  par  cs  la  quantité    a2  —  l>-\    d'autre  part,  l'équation   7   devient 

■r- [u*  +  v%)  —  2{i(t>ar0  -  «J/o  +  "'J  +  &s  =  0. 

On  a  immédiatement  la  valeur  de    n,     n  = — r;    il  n'y  a  plus  qu'à  porter  cette  valeur  de    ;< 

/'•//-'  +  y2) 

dans  la  dernière  équation  pour  avoir  l'équation  tangentielle  de  l'enveloppe  îles  axes  ;  relie  équation  esl 

(10)  c*wV  +  2chivw(vxo  —  uy0]  +  I  "'-  +  //J  »'J  "J  +  <-'2)  =  0  ; 

elle  montre  que  l'enveloppe  des  axes  est  une  courbe  de  quatrième  classe  doublement  tangente  à  la 
droite  de  l'infini  aux  deux  points  cycliques. 

Remarque.  —  Les  calculs  sont  plus  simples  en  se  servanl  dés  le  début  des  coordonnées  langen- 

lielles.  C'esl  un  exercice  utile  que  nous  signalons  ; s  lecteurs  et  qui  ne  présente  pas  de  difficultés 

Il  esl  bon  en  outre  de  remarquer  que  l'équation   7i  peut  s'écrire 

0—  Zo)2  +  (P  —  VoY  =  Co- 
lin voitainsi  que  les  paraboles    C)  ne  peuvent  être  réelles  que  si  C„  esl  positif,  c'esl-a-dire  si  le 
point    P    est  à  l'extérieur  du  cercle  orthoptique  de  l'ellipse    E);  on  peut  alors  poseï 
«  —  x0  =  y'Co  cos  o,  p—  i/„  =  y'Co  sin  o, 

et  tirer  des  équal -   8   les» données  du  foyer  en  f :lion  de    cos  o    et    sin  ip.     On  aperçoit  ainsi 

immédiatement  que  le  lieu  des  foyers  est  une  quartique  unicursale. 

Solutions  exactes  par  l'emploi  des  coordonnées  langenticllcs  :  MM.  K.  Balli  (collège  Stanislas  ;  I.  Lhériaud   lycée  de  Toulouse'  : 
\.  Laureacx   lycée  de  Besançon  . 

M.  E.  Duporc  phes,  nous  b  envoyé  une  solution  géométrique  intéressante  de  la  première  partie. 

Solution  analogue  a  le  précédente,  mais  plus  c pliquée  :  M.  C.  Grolli  m  ,  répétiteur  général  au  lycée  de  Marseille. 


QUESTIONS    PROPOSEES  3:33 


PHYSIQUE 


463.  —  Etudier  la  distribution  des  pressions  dans  une  masse  de  liquide  pesant  enfermée  dans  un  rase 
qui  se  déplace  verticalement  avec  une  accélération  donnée.  Un  corps  solide  plongé  danser  liquide  étant 
supposé  maintenu  en  repos  relatif  à  l'aide  d'un  ressert  qui  le  relie  au  fond  du  vase,  quelle  est  l'action  sup- 
portée par  ce  ressort?  Si  le  fond  du  vase  est  perce  d'an  orifice,  qac  peut-on  prévoir  au  sujet  de  l'écoulement 
du  liquide  par  cet  orifice?  Examiner  en  particulier  le  cas  d'un  mouvement  uniforme  et  celui  d'an  vase 
abandonné  à  lui-même  et  tombant  en  chute  libre . 

La  question  doit  être  traitée  comme  dans  le  cas  d'équilibre. 

Un  cylindre  liquide  vertical  de  hauteur  ;  et  de  section  s  supporte  les  forces  verticales  suivantes  : 
son  poids  gz<j-u,  \j.  désignant  la  masse  spécifique  du  liquide  ;  l'action  p-s  due  à  la  pression  p  sur  sa 
base  inférieure;  l'action  p'v  due  à  la  pression  p'  sur  sa  base  supérieure.  Ces  forces,  au  lieu  de  mainte- 
nir l'équilibre  comme  dans  le  cas  habituel,  produisent  une  accélération  donnée,  y  ;  elles  ont  donc  pour 
résultante  «ny  : 

~Z\J.g  -+-  p'n  —  pn  =   «ay, 

p  —  p'  =  zn(g  —  y). 
La  répartition  des  pressions  est  donc  la  même  que  si,  le  liquide  étant  en  repos,  la  gravité  était 
g  —  7.     Par  suite,  la  résultante  des  actions  sur  une  surface  fermée  de  volume  V  sera 

VK<7— r). 

Le  corps  plongé  dans  le  liquide  et  fixé  par  un  ressort  supporte  :  son  poids  Vmg,  m  désignant  sa 
masse  spécifique  ;  l'action  F  du  ressort;  la  poussée  du  liquide,  \f.(g  —  y);  et  ces  forces,  produisant 
une  accélération  y,  doivent  avoir  pour  résultante  Veiy  : 

Vmg  +  F  —  Vp.(û  —  Y)  =  Vjxy, 
F  =  — V(m— n)(0-T). 
Si  on  perce  un  orifice  en  mince  paroi,  la  vitesse  relative  d'écoulement  est  déterminée  par  la  pres- 
sion au  fond  du  vase  et,  par  conséquent,  donnée  par  l'expression 

»  =  •%--,>/«. 
Si  y  était  plus  grand  que  g,  la  pression  serait  plus  grande  à  la  partie  supérieure  qu'à  la  partie  infé- 
rieure, et  le  liquide  s'écoulerait  par  un  orifice  percé  à  la  partie  supérieure  du  vase. 
La  question  a  été  résolue  partiellement  par  M.  11.  Delacroix,  lycée  de  Besançon. 


QUESTIONS  PROPOSEES 


484.  —  On  considère  une  ellipse  fixe  de  foyers  F  et  F'  et  un  point  M  mobile  sur  cette  ellipse;  la  tangente  à 
l'ellipse  au  point  M  rencontre  les  directrices  relatives  aux  loyers  F  et  F'  respectivement  en  T  et  T';  par  ces  points 
on  mène  les  deuxièmes  tangentes  TN  et  T'iY,  et  on  considère  les  paraboles  inscrites  dans  les  angles  MTN  el 
MT'N'  et  ayant  respectivement  pour  foyers  F'  et  F.  On  demande  alors  : 

{"  De  démontrer  qu'une  des  deux  autres  tangentes  communes  aux  deux  paraboles  est  fixe  et  que  la  seconde 
est  la  normale  à  l'ellipse  en  M  ; 

2"  De  démontrer  que  les  tangentes  aux  sommets  des  deux  paraboles  sont  respectivement  parallèles  à  MF  et 
MF'  et  passent  par  un  point  fixe,  et  de  déduire  de  là  le  lieu  du  point  de  rencontre  des  directrices  ; 

3"  De  démontrer  que  les  axes  des  deux  paraboles  se  coupenl  sur  la  parallèle  au  petit  axe  passant  par  le 
point  M,  et  de  trouver  le  lieu  de  leur  point  de  rencontre  ; 

4°  De  trouver  les  lieux  des  points  de  contact  de  chacune  des  paraboles  avec  les  tangentes  communes  aux 
deux  paraboles  et  variables.  Vasnier. 

485.  —  On  considère  une  conique  variable  homofocale  à  une  ellipse  \ixe  et  une  droite  fixe.  On  demande  : 


336  GÉOMÉTRIE    II    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


i     Le    lieu  du  point  de  rencontre  des  normales  à  cette  conique  aux  points  où  elle  esl  coupée  par  la 
droite  Bxe; 

2    L'enveloppe  de  la  corde  qui  joint  les  pieds  des  deux  autres  normales  concourantes  avec  les  premières. 

.1.  Chambos. 

486.  —  Étanl  donnée  une  ellipse  Bxe  et  une  ellipse  de  grandeur  constante  qui  tourne  autour  de  son  centre, 
trouver  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  deux  tangentes  communes  à  ces  ellipses.  J.  Ciumbon. 


DEUXIÈME     PARTIE 


GEOMETRIE    ET   GEOMETRIE   ANALYTIQUE 


431.  _  /.,/  tangente  au  point  M  d'une  parabole  rencontre  la  tangente  an  sommet  en  un  point  N.  On 
joint  le  sommet  0  au  point  M,  on  mène  par  N  une  parallèle  à  OM  et  par  0  une  parallèle  à  MN;  ces  deux 
droites  se  rencontrent  en  un  point  M  .  En  supposant  que  le  point  \l  décrive  lu  parabole,  on  demande  : 

1  L'enveloppe  de  M  N  : 
2°  Le  lieu  du  point   M  : 

3 '  L'enveloppe  il'-  la  droite   MM  : 

',    / .  Heu  du  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  0M.\. 

i°  Soil     yî  —  2px  =  0    l'équation  de  la  parabole,  el     y  —  mx  —  0    celle  de  la  droite   OM.    Les 

coordonnées  du  poinl  M  sonl  —  •  —  ■  et  la  tangente  en  ce  poinl  à  la  parabole  a  pour  équation 

m-     m 

m-'.r  —  imij  -+-  i/i  =  0. 

Elle  rencontre  Oy  au  point     N  (0,  — J,     et  l'équation  de  NM'  esl 

1  urx  —  my-j-p  =  0. 

En  écrivanl  que  cette  équation  a  une  racine  double  en  m.  on  a  l'équation  de  l'enveloppe  de  la 
droite  NM   : 

y-  —  kpx  =  0, 

qui  représente  une  parabole  avant  même  a\o  et  même  sommel  que  la  parabole  donnée  el  un  paramètre 
double. 

2  La  droite  OM'  ayanl  pour  équation  2y  —  m.r  =  0,  en  éliminanl  m  entre  celte  équation  el 
l'équation   1    on  obtient  l'équation  du  lieu  du  poinl  M  .  On  trouve  aisémenl 

2,<r  h  /"      o, 

qui  représente  une  parabole  aisée  à  construire. 

3"  La  figure  NOMM'  esl  un  parallélogramme;  la  droite  MM    passe  par  le  milieu     lx  =  0,     y  —        ) 

de  ON.  L'équation  de  cri  le  droite  peut  donc  s'écrire 

y-1        ~r       r 
2m        m       -lm 


>-P 


ou  :!//(■'./      iunj  i  -ifi  =  0. 

L'enveloppe  de  cette  droite  a  pour  équation 

-l,r  -  3px  =  0  : 
i  ■■  i  une  i boli 


GEOMETRIE    ET    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


3IÎ7 


y 


4°  Le  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  OMN  est  à  l'intersection  des  perpendiculaires  menées 
respectivement  aux  droites  ON  et  OM  en  leurs  milieux  : 

f  =  o,  y-JL=_±{x_JL\ 

■lui  m  m  y         m3 1 

En  éliminant  m  entre  ces  doux  équations,  obtient  l'équation  du  lieu  demandé.  On  trouve 

8î/2  —  2/)x  -h  p2  =  0  : 
c'est  encore  une  parabole 

Louis-Joseph  GOUJON,  pensionnat  de  Valbenoite,  à  Saint-Etienne. 

Solulions  analogues  par   MM.   Henri    Bonnard,  à   Bordeaux;   F.  PÉGOMEB,  répétiteur  au   collège   île  Celle:  0.  A.   Pouilliart; 

G.    L.KOEllll.ll. 

M.  E.-N.  Barisien  nous  a  aussi  envoyé  une  solution  do  la  mémo  question  ol  propose  de  démontrer  : 

1°  Que  le  lien  du  centre  de  gravité  du  triangle  OMN  est  une  parabole  : 

2»  Que  le  lieu  de  l'orlhocentre  de  ce  même  triangle  e*t  une  mitre,  ■parabole; 

3°  Que  le  cercle  circonscrit  à  ce  triangle  enveloppe  une  cubique  circulaire  imicursale. 


Solution   géométrique. 


1°    Soient.    F   le   foyer  de  la  parabole;   A   et  1   les  points  de  rencontre  des 
droites  MN,  M'N  avec  l'axe  de  cette  parabole.  On  a 
AN  =  NM  =  M'O. 
La  ligure  ANOM'  est  donc  un  parallélogramme 
et  l  est  le  milieu  de  AO. 

Dès  lors,  soit  NF'  la  perpendiculaire  élevée  en  N 
à  M'N.  On  a,  dans  les  triangles  rectangles  ANF, 
INF', 

ON2  =  OA.OF  =  Ol.OF', 
d'où  OF'  =  20F. 

La  droite  M'N  enveloppe  donc  la  parabole  de 
foyer  F"  et  de  sommet  0. 

2°  La  droite  M'O  rencontre  en  II  la  parallèle 
menée  par  M  à  l'axe  de  la  parabole  donnée.  La 
figure  AMHO  est  un  parallélogramme.  Donc 

011  =  AM  =  20M'  ; 
OM'    rencontre    donc    la   parabole  donnée    en   un 
point  K  tel  que 

OK  =  40M'. 
Le  lieu  de  M'  est  par  suite  la  parabole  homo- 
thétique  inverse  de  la  parabole  donnée  par  rapport 

à  0,  le  rapport  d'homothélie  étant  —  >  c'est-à-dire 

la  parabole  de  sommet  0  admettant  pour  foyer  le  point  F"  situé  à  gauebe  de  0  tel  que 


OF"  = 


OF 


3°  La  droite  M'M  est  une  diagonale  du  parallélogramme  NMOM'.  Elle  rencontre  OA  en  un  point  J  qui  est  le 
point  de  rencontre  des  médianes  du  triangle  ONM'.  Soit  PF'"  la  perpendiculaire  élevée  à  M'M  au  point  P  où  elle 

— -)     la  perpendiculaire  élevée  en  ce  point  à  la  droite  1P.  Les  triangles  rec- 


rencontre  ON  et  soit     Po(0<?  = 
langles  lPo,  .IPF"'"  donnent 


d'où  l'on  tire 


OP 


ni 


X  Oc?  =  OJ  X  OF'"  =  -=-OI.OF'", 


OF'" 


i-0<p  =  4-0F; 


M'M  enveloppe  donc  la  parabole  de  sommet  0  et  de  foyer  F'". 

b"  Soit  R  le  point   de  rencontre  de  la  normale  en  M  à  la  parabole  avec  l'axe.  Les  angles  en  M   et  ()  étant 
droits,  le  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  OMN   n'est  autre  que  le  milieu  u  de   Ml.    Iles  points   ta    et   M 
abaissons  les  perpendiculaires  toC,  MD  sur  l'axe  de  la  parabole  et  soit  E  le  point  de  rencontre  de  cette  dernière 
droite  avec  OU. 
On  a 

ED  =  NO  =  2uC, 
OD  =  F'R  =  2FC. 


GÉOMÉTRIE    ET   GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


Les  triangles  OED.   FcoC  sont  donc  semblables.   F«o  est  donc  parallèle  à  nR  et  Ton  a 

OE       (iK 


Le  lieu  de  w  est  donc  une  parabole  de  sommet  F,  d'axe  I  II.  le  rapport  de  similitude  de  celte  parabole  à  la 
i 
8"' 


parabole  donnée  étant  é<ral  à  — 


Victor  BER.TR  \\'l>,  répétiteur  au  lycée  de  Douai. 
Bonnes  solutions  analytique  et  géométrique  «le  M.  G.  de  FR  LNCE. 


432.--    Une  conique  à   centre  tourne  autour  de  son  centre.  Trouver  l'enveloppe  de  la  polaire  d'un 
point  fixe  et  le  lieu  du  pôle  d'une  droite  fixe  par  rapport  à  cette  conique. 

i°  Prenons  pour  origine  le  centre   0   de  la  conique,  pour  axe  des   y   la  droite  qui  joint  le  point   0 
au  point  fixe  P,  l'axe  des  x  étant  perpendiculaire  ù  Ox. 

Soient    \  el  B  les  carrés  des  demi-longueurs  des  axes.  L'équation  de  la  conique  peut  s'écrire 

x  cos  y-  —  \i  sin  a)3      [x  sin  y.  —  y  cos  a)2  _ 

~~ Â"  B  ~~     " 

en  désignant  par  y  l'angle  que  fait  Ox  avec  l'un  de?  axes  de  la  conique. 
La  polaire  du  peint  P(0,  p)  a  pour  équation 

</ sin  a)/)  sin  a      (a- sin  a  —  y  cos  a  )p         _ 
A  B  ~     ' 

ou,  en  posant     tg  *  =  /. 

-  ty)pt  _  itx  —  y:p  cos  a  _ 
A  B  l  ' 

On  aura  l'enveloppe  de  celte  droite  en  écrivanl  que  cet  le  équation  a  une  racine  double  en  /.  On 
trouve 

équation  qui  représente  une  conique  ayanl  son  centre  sur  Oy. 

2    Prenons  pour  origine  le  centre  0   de  la  conique,  pour  axe  des   y   une  parallèle  à  la  droite  fixe 
donnée  el  pour  axe  des  x  une  perpendiculaire  à  celte  droite. 
Le  pôle  de  la  droite     {x  —  d  =  0)    par  rapport  à  la  conique 

i  cos  -J-—  y  sin  -x  -       [x  sin  a  —  y  cos  x  - 
X  '  B 

esl  déterminé  par  les  équations 


1  =  0 


cos  i(x  cos  at  +  v  sin  a)      sin  a(.r  sin  a  —  y  cos  »)       i 
: 2 •  -I r: ' r  =  0, 

A  i;                      d 

>in  •/  ./•  cos  y  -■-  y  sin              -  >  -in  a  —  y  cos  a)  _ 

  B 

Multiplions  les  deux  membres  de    la  première  par     cos  a,    ceux  de  la  seconde  par    sin  a    et 

ajoutons  ;  nous  avons 

x  cos  a  -i-  w  sin  -/       cos  * 

—  =  0. 

A  d 

Multiplions  de  même  les  deux  membres  de  la  première  par  sin  -y.  ceux  de  la  seconde  par  —cos  *, 
puis  ajoutons  :  nous  obtenons 


x  sin  o   -      cos  a      sin  a 
B  ~~d~ 


0. 


CÉO.MÉTRIE    ET    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  339 


Il  est  alors  aisé  d'éliminer  tg  a  entre  ces  deux  dernières  équations  ;  il  vient 

Cette  équation  représente  un  cercle  ayant  son  centre  sur  U.c. 

J.  HAIS. 
Out  résolu  la  question  :  MM.  G.  de  Fhancr,  E.-.N.  Barisien. 


446.  —  Lieu  du  milieu  d'une  corde  de  longueur  constante  inscrite  dans  une  parabole. 

Soient  y2  —  2px  =  0  l'équation  de  la  parabole  rapportée  à  ses  axes  ordinaires  et  A  ,<\  y), 
B(ar',  ?/')  les  extrémités  de  la  corde  indiquée  dans  l'une  de  ses  positions;  désignons  par  /  la  longueur  do 
la  corde  AB.  Nous  aurons  successivement  : 

(1)  y'1  —  2px  =  Q,  y'-  —  Ipx'  =  0, 

(2)  {x-af)*  +  {y-y')'  =  Pt 
et 

(3)  x  +  .r'  =  2X,  y-±-y'  =  2Y, 

en  appelant  X  et  Y  les  coordonnées  du  milieu  de  AB,  c'est-à-dire  d'un  point  du  lieu. 

?/2  i/'- 

Des  équations  (i)  nous  tirons    x=^~—  i     x  —  ~—  ;     l'équation  (2)   devient   alors,   en  tenant 


compte  de  la  seconde  des  équations  (3), 


P2l'2 


v 

la  première  des  équations  (3)  devient 
et  l'on  déduit  de  ces  deux  équations 

2yi/  =  4pX  —     P 


puis,  [y  -f-  j/')2  =  8/>X 

a  est  donc 
AT-  =  8j>\ 


Y2-r-;j2 

pH2 


Y2+/72' 

mais    y  -+-  y'  =  2Y  ;     l'équation  du  lieu  est  donc 

pH* 


Y2  -+-  p2 

Pour  construire  cette  courbe,  il  suffit  d'étudier  la  fonction  X  de  Y;  or  si  on  change  Y  en  — Y, 
X  ne  change  pas,  la  courbe  est  donc  symétrique  par  rapport  à  Ox  et  il  sufiit,  pour  l'étude  de  X,  de 
faire  varier  Y  de  0  à    +  °o  .    La  valeur  de  X  est 


Y2+^r 


AAA     •*•  A-    4  ,  (lX  l     /',v  P*™ 

on  en  déduit  immédiatement  — -  =  —  |  A\  — 


/Y       hp  \  (Y2  +  p3f  I 

OU  =  — '—L i y 

dY  Ap{Yi -h  p2)2 

Le  numérateur  s'annule  pour    Y  =  0    et  pour  les  valeurs  de  Y  qui  vérifient  les  équations 

2(Y2  +  p1)  =  ±  pi  ; 
seules,  les  valeurs  qui  correspondent  au  signe  -+■  sont  susceptibles  d'être  réelles  ;  elles  ne  le  sont  d'ail- 
leurs que  si  /  est  plus  grand  que  2/).  Plaçons-nous  d'abord  dans  cette  hypothèse;  nous  voyons  alors  que 

dX     ,  ,  /J,  dX 

-j-  nest  nul  que  pour     Y  =  0     et      \»  =  V    -£-(*  — 2p).     De   0  à  Y0,    —  est  négative,   X   décroit, 


340 


GÉOMÉTRIE    ET   GÉOMÉTRIE    \\  \l  ï  «QUE 


de    —    à    une    certaine    valeur    positive  ;    puis,    de    Yo    à    -+-  x , 

s/' 
rfX 

i  posiln  c,  X  ci  .ni  jusqu  à   ■     x  . 

appelons  \,  l'alwcisse  de  l;i  parabole  qui  correspond  au  même  Y 

que  l'abscisse  de  la  courbe  ;  uous  aurons    X,  =  —    el 

X       V       si 

Cette   relation    nous  montre    que  la   courbe   proposée   esl    tout 

entière  à  l'intérieur  de  la  parabole  el  asymptote  à  cette  parabole.  La 

portion  de  courbe  étudiée  esl  alors  aisée  à  construire,  el  la  symétrie 

par  rapport  a  Ox  permel  d'achever  le  lieu. 

Si     l  <  2p,      X     croil   constammenl    el    le  lieu   total   affecte  la 

forme  d'une  parabole  ordinaire;    elle  esl   d'ailleurs  toujours  à  l'intérieur  de  la  parabole  donnée  el 

as\  mptote  à  cette  courbe. 

E.  MERLIN    Bruxelles  . 

Solutions  analogues  :  MM.  E.-N.  Bamsien;  G.  île  Frànci     Versailli     ;J    Goujon    Pensionnat  de  Valben 
Solution  d'un  problème  plus  général  :  M.  Mario  G\ 


447.  -  Un  cercle  G  roule  sur  un  autre,  C,  fixe,  qui  lui  est  égal.  Soient  M  un  point  fixe  sur  (.. 
M  son  correspondant  sur  •'.  l.n  droite  MM'  couj>ant  »'.  en  A,  C  en  A.  on  joint  M',  \  avec  le  point  S 
de  contact  des  deux  cercles;  on  demande  : 

I  '  De  démontrer  que  le  triangle  M  NA  est  rectangle; 

-i"  D'en  dédu  ire  le  lieu  du  point  M  . 

1°   Puisque   les   ares   NM,    NM'   onl   même    longueur  dans  des  cercles  égaux,  on  a  évidemment 

NM  =  NM',  le  triangle  NMM  esl  isocèle,  el  la  bissectrice  de 
l'angle  MNM  est,  par  suite,  la  hauteur  de  ce  triangle;  mais 
eeite  bissectrice  esl  la  tangente  commune  en  N  aux  deux 
cercles;  dune  MM  esl  parallèle  à  la  ligne  des  centres  CC 
Alors  on  a    M'NH  =  HNM    el    HNM  =  NAM;     par  suite 

ANM"        A  Mi    ;    lï.\\î         WÏÏ       NAM; 
donc  l'angle  ANM    esl  droil . 

2  Les  deux  droites  Al:  el  NM'  sonl  parallèles,  comme 
étanl  perpendiculaires  à  la  même  droite  AN;  on  a  donc 
A\l       l:\     -  m. 

Ceci  montre  clairement  que  le  lieu  de  M  esl  une  car- 
dioïde,  c'est-à-dire  un  limaçon  de  l'a-cal  à  un  rebrousse- 
menl . 

E.  MEULIN  (Bruxelles). 

Remarque.  L'identité  entre  la  cardioïde  el  l'épicycloïde  à  un  rebroussemenl  esl  un  fait  très  connu  et  géné- 
ralemenl  enseigné  aux  élèves  de  Mathématiques  spéciales. 

A  résolu  la  question  :  M.  G.  de  France  (Versailles). 


451.  —  On  donne  la  base  et  le  périmètre  d'un   triangle  variable.   Trouver  le  lieu  il"  point  de  la  haï 
teur  qui  est  à  une  dislance  de  la  base  égale  à  l'un  des  autres  côU  s. 


GÉOMÉTRIE    ET    GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


341 


Prenons  pour  nxe  de 


la  base  fixe  du  triangle  et  pour  axe  des  y  la  perpendiculaire  élevée  au 
milieu  de  cette  base. 

Soient  A  et  A'  les  sommets  de  la  hase,  a  et  — a  leurs  abs- 
cisses. B  l'autre  sommet.  y.  et  3  ses  coordonnées;  si  nous  exprimons 
que  le  périmètre  du  triangle  est  constant,  nous  avons 


$2+v^ 


a?  -+-  3*  =  /.-, 

/.•  désignant  une  constante  ;  d'autre  part,  les  coordonnées  d'un  point 
y  =  \f(x  —  d'f  +  V.     par  exemple,  l.a 

/.■  —  y—  v'  ''■  +  C'  —  ?2  ;     en 


du  lieu,  M,   sont    x  =  y.    et 
première  équation  peut  donc   s'écrire 


élrvant  cette  équation  au  carré,  tenant  compte  de    y-  =  a2-t-3- 
puis  remplaçant  a  par  x,  nous  obtenons  l'équation  du  lieu, 

4oa;  +  2%  —  Ifi  =  0: 

ce  lieu  est  une  droite. 


-a-  —  2aa, 


Si  nous  avions  pris  le  point  M  au-dessous  do  l'axe  Ox,  si  nous  avions  posé    y  =  — <J^ — a)-->r-'i- 
nous  aurions  obtenu  la  droite  symétrique  de  la  précédente  par  rapport  à  Ox, 

lax  —  ïkij—  le1  =  0. 

Enfin  en  prenant  y  égal  à  l'autre  côté,  on  obtient  deux  nouvelles  droites  symétriques  des  précédentes 
par  rapport  à  Oy.  Le  lieu  total  se  compose  de  quatre  droites. 

Mais  ce  lieu  ne  correspond  pas  tout  entier  au  problème  proposé  :  il  y  en  a  une  portion  qu'on  obtient 
en  prenant  la  différence  arithmétique  des  radicaux  et  qui  correspond  à  un  autre  problème,  analogue  au 
précédent  et  dans  lequel  on  donne  la  hase  du  triangle  et  la  dillérence  des  deux  autres  côtés  ;  ces  deux 
problèmes  ne  sont  pas  possibles  en  même  temps  à  l'aide  de  nombres  tous  réels.  Seulement  il  faut 
remarquer  que  le  point  B  n'intervient  dans  la  question  que  par  la  parallèle  à  Oy  sur  laquelle  il  est 
situé  et  qu'il  peut  parfaitement  être  imaginaire  ;  il  suffit  que  la  longueur  choisie,  AB  par  exemple,  soi! 
réelle.  Or  si  l'on  prend  AB  réel,  A'B  le  sera  aussi,  soit  que  l'on  veuille  avoir  AB  —  A  B  =  /.  ou 
|  AB  —  A'B  |  =  /«•,  ou  seulement  la  seconde  équation,  si  elle  est  seule  possible.  Le  point  B  sera  alors 
déterminé  par  l'intersection  de  deux  cercles  ayant  pour  centres  A  el  A';  l'axe  radical  de  ces  deux 
cercles  est  toujours  réel,  c'est  PB  ou  PM  ;  nous  voyons  donc  que  le  point  M  obtenu  ainsi  est  toujours 
réel.  Il  est  facile  avec  cette  interprétation  d'expliquer  l'origine  de  chaque  point  du  lieu  et  de  voir  quelle 
équation  l'a  fourni.  Il  suflit  pour  cela  de  revenir  à  l'équation  dont  on  est  parti  et  de  comparera  ±k, 
la  valeur  de  l'ordonnée  du  point  M  considéré. 

BLAZY-LACOMRE  (lycée  de  Toulouse 

Ont  résolu  la  question  :  MM.  E.  B.  Babisien  :  J.  Goujon  (pensionnat  de  Yalheuoilc). 


Solution  géométrique.  —  Suit  ACB'  un  triangle  répondant  à  la  question;  sur  la  hauteur  HA,  soit 

ll.M  =  AB. 
Sur  la  perpendiculaire  Ou  au  milieu  de  BB',  soient 

OP  =  AB,  OP'  =  AB'. 

11  est  évident  que 

HT-HB'"  =  À~B2—  ÂB'2  =  OP"  —  i)l'-- 

Si  w  est  le  milieu  de  PP',  on  a  donc 

BB'.OÏÎ  =  PP'.o^). 
ésalité  d'où  l'on  déduit 

ÔB.MP  =  oTP.^Ô. 

Les  triangles  MPu  et  uOB  sont  donc  semblables  :  le  point  <■>  étanl  lixe,  le  lieu  du  point   M  esl  donc  la  droite 
"jM,  qui  fait  avec  (uO  un  angle  égal  à  l'angle  wBO.  Alpha. 


342 


GÉOMÉTRIE    ET    GÉOMÉTRIE    W  AIÏ  Uni  E 


452.—  Deux  paraboles  égales  ont  l  u  igulaires.  L'une  est  fixe;  l'autre,  mobile;  une  des 

cordes  communes  passe  au  pied  de  la  directrici     1  t  de  la  seconde  parabole. 

Prenons  pour  axes  la  directrice  el  l'axe  de  la  parabole  fixe;  l'équation  de  cette  courbe  est 
y-  —  2/i.r  -\-p*  il.  Celle  de  la  parabole  mobile  est  a;  —  a)!  =  ± 2p(i/  ;-  en  désignant  par  a  et  p  les 
coordonnées  du  sommet,  -m  alors  nous  désignons  par  h/  =  x  l'équation  de  la  sécante  commune  qui 
passe  à  l'origine,  il  faudra  que  les  deux  équations  <[ui  donnenl  les  abscisses  des  points  de  rencontre  de 
cette  droite  avec  les  deux  paraboles  aient  les  mêmes  racines;  or  ces  équations  sonl 

.c-—-ir;.-.,     />-■      o 


et  x2-2(a±4 

Considérons  d'abord  le  signe   -+-   devant  ji 
P 

d'où  nous  déduisons  les  valeurs  de  *  et  de  {S, 

=  P 

P 


I  X  -+-  a2  ±  2pZ  =  0. 

nous  aurons,  en  identifiant  les  deux 


r'- 


' 


U 


i.r  -oui  1rs  équations  du  lieu  en  fonction  d'un  paramètre  /  :  elles  nous  monlrenl  que  cette  courbe 

est  du  sixième  degré.  L'élimination  de  '/ 
entre  ces  deux  équations  esl  d'ailleurs  très 
facile,  el  nous  donne  l'équation  ordinaire  du 
lieu,  en  remplaçant  *  par  x  el  ;<  par  y, 

(2)     (x8  +  2py  {x-  —  px  -+-  Zpi/Y  —  pe  =  0. 

Si  nous  prenons  le  signe  —  devanl  le  pa- 
ramètre /'  de  la  seconde  parabole,  nous 
obtenons  le  lieu  symétrique  du  précédenl 
par  rapport  à  Oj-,  ainsi  que  cria  esl  d'ailleurs 
évident  géométriquement. 

Pour  construire  cette  courbe,  nous  remar- 
querons d'abord  qu'elle  admet  pour  direction 
asymptotique  sextuple  l'axe  «les  y  et  que 
les  branches  correspondantes  sonl  des 
branches  paraboliques;  en  mitre  qu'elle  est 
toul  entière  a  l'extérieur  de  la  parabole 
x-  ■+■  2py  =  0  ;  puis  nmis  r.m-i  misons  la 
courbe  auxiliaire  qui  a  pour  équations 

ensuite  il  faudra  i  etranchei  de  chacune  des 

c  esl  à  dire  leur  ajouter  les  ordonnées  correspondantes 
-r 
de  la  parabole    xs  ,  Zpy      0.    Or  en  prenant  la  dérivée  de  x  par  rapport  à  X  et  annulant  cette  dérivée, 
on  obtienl  immédiatemenl  les  variations  de  x;  celles  de  y  sonl  évidentes    équations  [3  .  et  nous 
pouvons  facilemenl  former  le  tableau  suivant  : 


y 

^r" 

^ 

/-■      / 

^-"       ^ 

^'          ^ 

/' 

/ 

-   "    / 

^'               \ 

•^ 

(T^.            \ 

X 

//' 

\           \ 
\ 
\ 

\ 

\ 

A 

\ 
\ 

\ 

■^       // 

\ 

fi 

// 
ii 

\ 

// 

/ 
i 

ii 
i 

/ 
/ 

/ 
/ 

j! 

V 

\\ 

\ 

ordonnées  de  cette  courbe,  la  quantité 


CONCOURS    DE    1895 


343 


-Vt 


X 

y 

+  x 

-+■  X 

décroit 

déc. 

\n'm.  p[y±  ■+■ 

\ 

\ 

4) 

croit 

-+-  x 

min.  0 

—  X 

croit 

croit 

0 

P_ 
2 

croit 

croît 

+  x 

-+-  X 

Remarquons  maintenant   que   l'asymptote   qui   correspond   à  X,    x    a    pour  équation    y  =  — < 
que  c'est  une  asymptote  double  et  que  la  courbe   auxiliaire  est  une  cubique,  nous  pourrons  alors  la 
tracer  sans   difficulté;   elle   est   indiquée  en  pointillé  sur  la  figure;  il  en  est  de  même  de  la  parabole 
auxiliaire  x2  ■+■  2p>j  =  0.  En  retranchant  alors  les  ordonnées  de  cette  parabole  de  celles  de  la  cubique, 
on  obtient  aisément  la  forme  du  lieu.  11  a  deux  branches  asymptotes  à  la  parabole  auxiliaire. 

AUZERAM,  Montpellier. 

Solution  différente,  mais  complète,  sauf  le  tracé  de  la  courbe  :  M.  E.  N.  Barisien. 

Remarques.  —  1°  Le  centre  des  moyennes  distances  des  quatre  points  d'intersection  des  deux  paraboles 
est  sur  l'axe  de  la  parabole  fixe. 

2°  Si  l'une  des  sécantes  communes  aux  deux  paraboles  passt  pat  un  point  ilmw  de  l'axe  de  la 
parabole  fixe,  le  sommet  de  la  parabole  mobile  décrit  une  sextique. 

3°  Le  pôle  de  cette  droite,  par  rapport  à  la  parabole  fixe,  est  situé  sur  l'ordonnée  du  foyer  de  cette 

parabole.  (E.  N.  BARISIEN.) 

* 

CONCOURS   DE    1895    (Suite  ■ 


École  des  Mines  de   Saint -Etienne. 

Physique  et  Chimie. 

I.  —  Énoncer  le  principe  d'Archiinède,  le  démontrer,  et  montrer  comment  on  peut  le  vérifier  expérimen- 
talement. 

II.  —  487.  Une  cloche  ayant  un  diamètre  de  20cm,  une  hauteur  de  20cm,  a  une  épaisseur  de  paroi  uniforme 

de  lmm.  Elle  pèse  tk«;  elle  est  plongée  verticalement  dans  l'eau  et  guidée  latéralement  de 
F      manière  à  se  tenir  verticale.  On  la  met  intérieurement  en  communication  avec  un  récipient 
ayant  de  l'air  à  la  pression  P,  au  moyen  d'un  tube  fin  de  volume  négligeable.  La  pression 
extérieure  est  de  76cm. 

1°  Quelles  sont  les  valeurs  extrêmes  de  P  pour  lesquelles  la  cloche  serait  complètement 
immergée  ou  complètement  émergée? 
2°  Calculer  h  quand     P  =  79cm. 

3°  La  communication  avec  le  réservoir  d'air  étant  supprimée,  on  demande  quel  poids  il  faudra  ajouter  sur 
la  cloche  pour  la  faire  affleurer  et  quelle  est  la  hauteur  de  l'eau  dans  la  cloche  à  ce  moment. 

III.  —  Quel  est  le  volume  de  chlore  sec  mesuré  à  Or  et  à  ~6cm  que  l'on  obtient  en  traitant  avec  de  l'acide 
chlorhydrique  en  excès  100»r  de  bioxyde  de  manganèse  pur? 

Poids  atomiques  :  Cl  =  35,50;  Mn  =  55;  0  =  16. 

Le  poids  du  litre  d'air  à  0°  et  T0m  est  IS',43. 

{30  juillet,  de  S  h.  li>  à  0  h. 


\h. 


:\  ',  s 


QUESTIONS  PROPOSÉES 


Mathématiques. 

488.  —  On  donne  un  poinl  fixe  A  et  une  droite  fixe  MN  ne  passant  pas  par  ce  | it.  Deux  droites  AI'..  Ai'.. 

de  coefficients  angulaires  m  et  m',  passant  par  le  poinl  \.  rencontrenl  la  droite  MN  aux  points  B  el  C. 

i    I  crire  l'équation  générale  des  cercles  S  passant  par  les  trois  points  A,  l>,  G. 

2  On  suppose  que  Al;  et  A.C  tournenl  autour  de  A  en  faisant  entre  elles  un  angle  constant  B.  On  demande 
le  lieu  des  centres  des  cercles  S. 

:;  nu  mène  de-  tangentes  en  A,  I'..  C  aux  cercles  S.  L'angle  8  restant  constant,  on  demande  le  lieu  des 
points  de  rencontre  deux  a  deux  tir  ces  tangentes  et  on  demande  de  discuter  la  forme  de  ce  lieu  lorsque  0  varie 
,1e  0  a    180e 

(31  juillet,  de  7  h.  i/2  a  il  h.  1 12.) 
Calcul  Irigonométrique. 

Calculer  les  angles  et  les  coiés  di's  deux  triangles  ayanl  le-  éléments  communs  suivants  : 

a  —  5Sm,9251,  c  =  32m,p462,  C  =  22°  37'  I  r/i-'. 

Calculer  en  outre  la  surface  de  la  différence  îles  deux  triangles. 

Q,  3 1  juillet,  de  3  h.  «  /  h 

Epure  de  géomèti  ie  descriptive. 

Pénétration    d'une    sphère    par    une    pyramide   triangulaire,    ayanl     pour 


base  sur  le  plan  de  profil  QjlQ'  un  triangle  isocèle  A1B1C1.  L'arête  se  en  pro- 
jection horizontale  passe  par  le  poinl  o,  et  s'a',  s'b'  passent  en  projection  verticale 
par  o'  ;  s  -,  s'e'  esl  horizontale. 

Construire  l'intersection  des  trois  arêtes  et  des  trois  faces  de  la  pyramide 
avec  la  sphère.  Mener  les  tangentes  en  un  des  points  d'intersection  de  l'arête 
horizontale  avec  la  sphère. 

Représenter  a  pari  le  solide  commun  et  développer  ses  faces  planes. 

/"■  août,  de  S  h.  /:'.///  /,.  /;;■ 


QUESTIONS    PROPOSEES 

489. —  Soient  Ox,  Oy  deux  axes  rectangulaires  Ox  porte  un  segment  fixe  A.V  :  OA  =  0A'=  a  ;  Oy  porte 
un  segment  variable  BD'  :  OBxOB'  =  k-.  On  considère  les  coniques  (C  passanl  par  les  quatre  points  A,  A'. 
B,  1!'  et  tangentes  à  une  droite  fixe   A    parallèle  a   Ox. 

i"  Montrer  que  les  coniques   C   restent  tangentes  à  une  parabole  (P). 

2"  Trouver  le  lieu  des  centres  îles  coniques  (C). 

3"  Soient  o  le  centre  d'une  conique  (C)  et  M  le  point  où  cette  conique  louche  la  parabole  I'  :  trouver  le 
lieu  du  second  poinl  de  rencontre  de  la  droite  OM  avec  la  conique   C  .  Hbnet,  à  Toulouse. 

490.  —  On  considère  deux  droites  rectangulaires  Ox  el  Oy,  un  point.  A  fixe  sur  Ox,  un  poinl  B  fixe  sur  Oy 

et  un  point  I',  queli que,  mais  donné  dans  le  plan  des  axes.  On  considère  en  outre  les  paraboles  inscrites  dans 

le  triangle  OAB. 

1"  On  demande  l'enveloppe  des  polaires  du  poinl   I'  par  rapport  à  ces  paraboles. 

2°  Cette  enveloppe  est  uni'  conique  (C),  et,  en  supposant  que  le  point  P  se  déplace  dans  le  plan  et  que  la 
droite  AB  pivote  autour  de  A,  on  demande  le  lieu  du  poinl  I'  pour  que  la  conique  (C)  passe  au  point  O  el  que 
la  somme  dis  carrés  de-,  longueurs  de  ses  axes  suit  Constante  el  égale  à   /-. 

3°  Trouver,  dans  ces  conditions,  le  lieu  des  centres  des  coniques  (0).  Ai  /hum,  à  Montpellier. 

491.  On  considère  toutes  les  hyperboles  équilatères 

Il       ..•'       •.'/  7/      //'  —  2alx  =i  0. 
I-  Trouver  b-  nombre  des  hyperboles  11  qui  sont  tangentes  à  une  droite  donnée. 
2°  Trouver  la  relation   qui  existe  entre  les  droites   H   pour  lesquelles  l'un  des  points  de  contact  est  sur  le 

cercle 

C  ■    r  =  0  ; 

combien  ;  a-t-il  de  ces  limites  parallèles  à  une  direction  donnée  ou  passant  par  un  point  donné '.' 

3°  Combien  y  a-t-il  d'b\ perboles  11  doublement  tangentes  au  cercle  C  ?  Lieu  du  point  de  contact  autre  que 
l'origine,  quand  C  varie.  Construire  ce  lieu.  K.  II. 


/.,■  Rédacteur-Gérant  :  11.   VUIBERT. 


HAll  LE    la  !..  Oit.    "■•■'<  B-JACQBET. 


6e  Année.  N°  6.  Mars  1896. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE  PARTIE 


SUR  LA  CONSTRUCTION  DE  CERTAINES  COURBES  ALGEBRIQUES 

EN    COORDONNÉES    POLAIRES 

par  M.  H.  Andoyer, 
Chargé  de  cours  à  la  Faculté  des  sciences  de  Paris. 


Soit  p  =  /"(a)),  f{u>)  étant  une  fonction  rationnelle  des  lignes  Irigonométriques  d'un  certain 
nombre  limité  d'angles  tous  commensurables  avec  w,  l'équation  en  coordonnées  polaires  d'une 
courbe  C,  nécessairement  algébrique.  Je  vais  montrer  comment  on  peut  construire  cette  courbe  le 
plus  simplement  possible. 

Soit  a  le  plus  petit  angle  positif,  tel  que  l'on  ait 

/':<■)  +a)    =    if   lo    , 

e  représentant  l'unité  positive  ou  négative.  Alors  on  a  aussi,  p  étant  un  entier  positif  ou  négatif, 

f<.,+pz)  =  i"f{u), 
et  il  est  clair  que,  réciproquement,  les  angles  pa  sont  les  seuls  angles  0  tels  que  la  fonction    /"(w-i-O) 
soit  égale  au  signe  près  à  la  fonction  /(to). 

Comme  la  fonction  f(t»),  d'après  sa  définition,  admet  certainement  pour  période  un  certain  multiple 

de  2n,  on  voit  que  l'angle  a  existe  toujours  et  est  de  la  forme     — -,  m  et  n  étant  deux  entiers  positifs, 

premiers  entre  eux  :  cet  angle  est  par  suite  facile  à  déterminer  dans  chaque  cas  particulier. 

Les  multiples  de  a  qui  sont  en  même  temps  multiples  de  n  sont  les  multiples  de  «a,  puisque 
m  et  71  sont  premiers  entre  eux  :  le  premier  est  na,  égal  à  m-. 

Pour  obtenir  la  courbe  C  tout  entière,  sans  duplication,  il  faut  faire  varier  w  dans  un  intervalle 
total  2/(ir  tel  que  /;  soit  le  plus  petit  entier  positif  donnant  la  relation 

/'  <o -j-  2/<-    =  /'  m  . 
ou  simplement  dans  l'intervalle  Air,  si  h  est  impair  et  si  l'on  a 

/■(,„  + for)  =  — /'(>J. 

Ceci  posé  : 

1°  Si  l'on  a  e  =  4,  m  pair  et  n  impair,  on  obtient  toute  la  courbe  C  en  faisant  varier  tu  dans  un 
intervalle  total  de  m-  :  la  courbe  se  compose  de  n  arcs  égaux  A,,  A,,  ...,A„.  Le  premier  de  ces 
arcs  est  obtenu  en  faisant  varier  u>  depuis  une  valeur  arbitraire  <o0  jusqu'à  w0  -+-  a  ;  le  second  corres- 
pond à  la  variation  de  u  depuis  w0  -+-  a  jusqu'à  iu0  -+-  2a  et  u'esl  autre  que  l'arc  Ai,  que  l'on  a  l'ail 
tourner  de  l'angle  a  ;  et  ainsi  de  suite  ; 

2°  Si  l'on  a  ;  =  —  1,  m  impair  et  n  impair,  on  arrive  exactement  aux  mêmes  conclusions,  sauf 
que  l'arc  A»  est  le  symétrique  par  rapport  à  l'origine  0  de  l'arc  A,  que  l'on  a  fait  tourner  de 
l'angle  a;  l'arc  A3  est  l'arc  A!  que  l'on  a  fait  tourner  de  l'angle  2a  ;  el  ainsi  de  suite  ; 

3"  Si  l'on  a     e  =  1,     m  impair,  n  pair  ou  impair,  cm  obtient  toute  la  combe  C  en  faisant  varier  m 


â46  CONSTRUCTION  DÉ  COI  RBËS   U,GÉBRiQUES  EN  COORDONNÉES  POLAIRES 


un iatervalle  total  de  2mn  :  la  courbe  se  compose  de  2n  arcs  égaux  A,.  A:.  .  ..,A2„.  Le  premier 
de  ces  arcs  est  obtenu  en  faisant  varier  u  depuis  u>,  jusqu'à  i»0+a;  le  second,  qui  correspond  à  la 
variation  de  m  depuis  w0-t-a  jusqu'à  <•.„  2a.  i->t  lai--  \ ,  que  l'on  a  fait  tourner  de  l'angle  a  ;  el 
ainsi  de  sui 

4°  Si  l'on  a  e  = —  1,  m  et  n  de  parités  différentes,  on  arrive  exactement  aux  mêmes  conclu- 
sions, sauf  que  l'arc  A.  esl  le  ~vin.lri.iue  par  rapporl  à  l'origine  0  de  l'arc  A,  que  l'on  a  fail  tourner 
de  l'angle  ■>■  :  l'arc  A3  esl  l'arc  A,  que  l'on  a  fait  tourner  de  l'angle  2*  ;  et  ainsi  de  suit.'. 

On  voif  que  dans  tous  les  cas.  il  suffit  de  faire  varier  <o  de  u0  à  too-r-a,  dans  un  intervalle  *,  et 
de  répéter  l'arc  ainsi  obtenu  un  nombre  convenable  de  fois  dans  des  angles  déterminés  pour  avoir  toute 
la  courbe  C  :  en  outre  le  point  de  la  courbe  qui  correspond  à  une  valeur  donnée  de  <o  se  détermine 
toujours  sans  difficulté. 

L'origine  0  est  un  centre  pour  la  courbe  C  s'il  existe  un  entier  k  tel  que  l'on  ait 

f  <o  +  2Â--    =  - 
ou  encore  s'il  existe  un  entier  K  tel  que  l'on  ait 

/'   U     -  -     M    -4-1)5!  /'->. 

Nous  dirons  que  0  est  centre  de  première  espèce  dans  le  premier  cas,  el  centre  de  seconde  espèce 
dans  le  second  cas.  Alors,  on  voit  tout  de  suite  que  la  courbe    C    n'a  pas  de  centre  en   0    si  l'on  a 
e  =  i.     m  pair,  n  impair  ou  bien    t  =  — 1,     m  impair,  n  impair;    0   est  centre  de  première  es 
pour  la  courbe    C    si  l'on  a     s  =  — i,     m  pair,  n  impair;  0  esl   centre  de  seconde  espèce  pour  la 
courbe  C  si  l'on  a     ;  =  1,     m  impair,   n  pair  ou  impair,  ou  bien     i  =  —  I.   m  impair,   n   pair. 

Quand  la  courbe  C  a   l'origine    0    pour  centre,  et  seulement    dan-  ce  cas,  elle   se    compose   de 

-2,i  aies  égaux     A.  A \      :     les   arcs     A     ,.  \ , .  ,,     .    ,  A,„     sont  respectivement    symétriques 

.le-  arcs  A,.  A,,  . .  .,  A„  par  rapport  au  centre  0.  Donc,  dans  ce  cas,  après  avoir  obtenu  la  moitié  de 
la  courbe,  en  taisant  varier  w  de  to0  à  to0-t-na  ou  io„  -t-  rrnz,  on  obtient  l'autre  moitié  par  symétrie 
par  iapp.nl  au  point  0. 

La  construction  se  simplifie  encore  quand  la  courbe  C  possède  un  ou  plusieurs  axes  de  symétrie 
passant  en  0.   Supposons  qu'il  existe  un  angle  p  tel  que  l'on  ait 

e'  représentant  l'unité  positive  ou  négative. 

Si  i  —  i.  la  droite  i»  =  P  est  pour  la  courbe  C  un  axe  de  symétrie  que  nous  qualifierons  de 
première  espèce  ;  si    <=—  1,    la  droite    w=p+—    est  pour  la  courbe  C  un  axe  de  symétrie  que 

nous  qualifierons  de  seconde  espèce. 

Réciproquement,  toul  axe  de  symétrie  de  la  courbe  C   passanl  par  0,  rép  >nd  à  l'une  ou  l'autre  de 
[eux  définitions. 
D'ailleurs,  on  a  aussi 

et  il  est  clair  que  les  angles    2>-t-/r/    sont  les  seuls  angles  0  tels  que  la  fonction    /"(O  —  «••    soit  .'val. • 
i  fonction  /  ■■■     Donc  li  -  dn  ites    <■>  =  P+p-^    sont  des  axes  de  première  espèce  si 

£''e'  =   1.      el    le-    droites       ■<>  —  ^  +  )>—r  +  —       SÙIlt    des    axes    île    -.■.■ou. le    espèce    -i       e''e    =   —  I.       En 

2         2 

outre,  la  courbe  C  n'a  pas  d'autres  axe-  de  symétrie  passanl  par  l'origine  0. 

Cela  i  facile  d'énumérer  les  divers  axes  de  symétrie  que  possède  la  courbe  C  des  qu'elle 
en  a  un. 

I    Si  l'on  a  e  =  I,     m    pair  et    n    impair,  la  courbe  a   n   axe-  de  symétrie  de   première  ou  de 


CONSTRUCTION  DE  COURBES  ALGÉBRIQUES  EN  COORDONNÉES  POLAIRES  347 

seconde  espèce  suivant  que  l'on  a  e'  =  1  ou  t'  =  —  1  ;  ces  axes  forment  une  étoile  régulière 
à  2»  rayons,  l'angle  de  deux  rayons  consécutifs  étant  —  • 

2°  Si  l'on  a  z  =  — 1,  m  impair  et  n  impair,  la  courbe  a  n  axes  de  symétrie  qui  sont  chacun 
des  deux  espèces  :  ces  axes  forment  une  étoile  régulière  comme  ci-dessus. 

3°  Si  l'on  a  s  =  1,  m  impair,  >t  pair  ou  impair,  la  courbe  a  2»  axes  de  symétrie  de  première  ou 
de  seconde  espèce  suivant  que  l'on  a     e!  =  i     ou     e'  =  —  1  :     ces  axes  forment   une  étoile  régulière 

■K 

ii   \n  rayons,  l'angle  de  deux  rayons  consécutifs  étant   - — 

4°  Si  l'on  a  s  =  —  i,  m  et  n  de  parités  différentes,  la  courbe  a  n  axes  de  symétrie  de  chaque 
espèce;  les  n  axes  de  chaque  espèce  forment  une  étoile  régulière  à  2n  rayons;  l'ensemble  des  2n  axes 
forme  une  étoile  régulière  à  in  rayons. 

On  peut  remarquer,  ainsi  qu'il  était  évident  a  priori,  que  la  courbe  n'a  de  centre  que  si  elle  a  un 
nombre  pair  d'axes;  dans  ce  cas,  les  axes  sont  perpendiculaires  l'un  sur  l'autre  deux  à  deux;  les  n  axes 
d'une  étoile  à  2»  rayons  ne  sont  perpendiculaires  l'un  sur  l'autre  deux  à  deux  que  si  n  est  pair. 

Si  P  est  un  angle  tel  que  l'on  ait 

m  -  »)  =  e'/W, 
choisissons  pour  u>0  l'angle    p  —  -•   Pour  obtenir  l'arc  A,,  il  faut  faire  varier  <„  de  P  —  —    à  {J+  —  ; 

mais  il  suffit  de   faire  varier  m  de    p  à    p-t- -     et  de  prendre  ensuite  le  symétrique  de  l'arc  ainsi 

obtenu  par  rapport  à  la  droite  w  =  p  ou  à  la  droite  w  =  (S  -t-  -  suivant  que  l'on  a  ■=■'  =  1    ou  a  =  —  1 . 

De  même    l'arc    A»    se  composera  de  deux  parties  symétriques  par  rapport  à  l'axe    w  =  p  -t-  y.    ou 

a  =  p  -+-  a  -)-  - ,    suivant  la  valeur  de  e'  ;  et  ainsi  de  suite. 

Mais  pour  obtenir  la  courbe,  il  suffît  de  prendre  les  symétriques  de  l'arc  A,    par  rapport  à  tous  les 

il 
axes  de  symétrie  de  la  courbe  C  autres  que  l'axe     w  =  p    ou    w  =  p-+-  -  :    en  effet,  1  arc  A,,  qui  cor- 

a  y. 

respond  à  la  variation  de  «  depuis     p —-  + (p  —  l)a  jusqu'à     p-t-  --t-  (/;  —  l)a    est  symétrique  de 

l'arc  A,  par  rapport  à  l'axe  u>  =  p+(j>  —  1)  -  ou  tu  =  P  +  (>—  1)  ^  -+-  r'  suivant  le  signe  de  -,' .  En 
même  temps,  on  voit  qu'il  est  toujours  facile  de  déterminer  le  point  de  la  courbe  qui  correspond  à  une 
valeur  donnée  de  u. 

Ainsi,  quand  la  courbe  C  possède  des  axes,  on  déterminera  tous  ces  axes  connaissant  l'un  deux, 

a  a 

et  faisant  varier  w  dans  un  certain  intervalle  égal  à  -  ,    de  p  à     p-t-  ->    on  aura  l'arc  A,    en  prenant 

le  symétrique  de  l'arc  ainsi  obtenu  par  rapport  à  l'axe  w  =  p  ou  «  =  p  — t-  —  >  et  toute  la  courbe 
en  prenant  les  symétriques  de  l'arc  A,  par  rapport  à  tous  les  autres  axes. 

Remarquons  en  terminant  que  tout  ce  qui  précède  s'applique  encore  au  cas  où  /'(V)  serait  une 
fonction  périodique  quelconque,  de  période  commensurable  avec  -. 

«(0  /H»  !><<>  /«'J 

Arnilicalion.    —   Construire    les    courbes      p  =  sin — ,       p  =  tg —  i        p  =  cos h  cos- — > 

"  7  7  7  7 

p  et  q  étant  deux  entiers  premiers  entre  eux. 


348  GÉOMÉTIUH  ANALYTIQUE 


GÉOMÉTRIE     ANALYTIQUE 


412.  —  On  donne  une  parabole  P  ayant  pour  axe  Ox,  et  une  droite  \  perpendiculaire  à  cet  axe; 
une  parallèle  à  Ox  rent  ectivemeni  a  et    P    aux  points  A  >•/  I!. 

r  Démontrer  que  les  cercles  C  qui  admettent  AI!  /;>,,/,•  diamètre  restent  tangents  <i  mi  cercle  fixe, 
lorsque  Al;  se  de;  lace  parallèlement  à  Ox.   Dans  les  mêmes  conditions  : 

2  TVowuei  /■'  lieu  du  centre  du  cercle  C.  circonscrit  au  triangle  conjugué  commun  à  la  parabole  I' 
ei  "»  c, ■/■<•/.-    (1  : 

;t°  Trniin-r  Venveloppe  du  cercle  (C). 

1  Soienl 

P  =  ?/s  —  2px  =  0,  x  —  a  =  0 

1rs  équations  de  la  parabole  P  et  de  la  droite  a.  el  /  l'ordonnée  de  la  parallèle  à  Oc  Les  coordonnées 
du  point  A  sont  x  =  a,  y  X,  celles  du  poinl  1!  sont  x  =  —  •  ;/  =  À:  il  en  résulte  que  le 
cercle  décrit  sur  AB  comme  diamètre  a  pour  équations 

A"     . 

[x  —  a){x-  —  j+  y  —  X)J  =  0, 

C  =  2/<  .r-  +  i/-   —  2/»/  +  /.-'.c  —  Aply  +  X*(a  4-  2p)  =  0  ; 

Nous  aurons  l'enveloppe  de  ce  cercle  en  écrivanl  que  cette  équation  a  une  racine  double  en  /  :  nous 

obtenons  ainsi 

(x —  a)[x2  -+-  »/2  —  a  4-  2/<  t   =  0, 

ce  qui  montre  que  les  cercles  C  sonl  tangents  au  cercle  fixe 

a-- 4-  >.r  —  a  -:■  2/j  x  =  0. 

2  Les  coordonnées  des  sommets  du  triangle  conjugué  commun  aux  coniques  P  et  C  vérifient  les 
équations 

c;  _  c;  _  c^ 
Yr  ~~pT  ~  "pT' 

ou 

kpx  —  Hjin  -•■-  '/-'         ipy  —  ■'</>>.  __  —  (2;>«  -h  Xa).r  —  4//).//  +  2/.-  a  4-  2//i 

—  P  '/  /"' 

On  en  déduit,  en  multipliant  en  croix  ces  rapports  deux  à  deux,  les  équations  de  Irois  coniques 
circonscrites  au  triangle  conjugué  commun  : 

/',  =  i/u'.7   ;   '  '')>'  —  -P"  —  '    y       ''/'  '  =  °, 

f,  =  ïpx-  4-  2pXi/  —  À-'//  4-  2p)  =  0, 

f%  =  (i)r  —  2//a  —  \-)xy  —  4pXj/2  —  \jrlx  4-  2XJ  a  +  2p  y  =  0. 

L'équation  du  cercle  C  est  alors 

5/,     _  2/MI  _  À-')/',  +  S////\  -  Ipfr   =   0, 
OU 

L6j9s)  i    ;   -,        H'./-'-      v    \p"-— Ipa  —  1*        RpX2(a      2p)]— 4p!>  l»s  —  2pa  -Xa)  —  8pX3(a-+-2/j)  =  0. 

L'abscisse  du  centre  de  ce  cercle  esl  égale  à  —  -^i  le  lieu  de  ce  point  est  donc  la  directrice  de  la 
parabole  1'. 

Remarque.  —  On  peul  obtenir  par  un   procédé  différenl   l'équation  du  cercle  C  ;  il  sufûl   de  se 

i  l'équation  d  un  cercle 

C  =  a2  4-  >j-  4-  2/r  4-  -Inn/  -t-  li  =  0 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  349 


et  d'écrire  qu'il  existe  un  triangle  inscrit  dans  le  cercle  C  et  conjugué  par  rapport  à  toutes  les 
coniques  du  faisceau  C  -+-  uP  =  0.  Pour  cela,  on  forme  le  discriminant  de  la  fonction  C  -+-  uP  +  vC, 
et  on  écrit  que  le  coefficient  de  v  dans  ce  discriminant  est  nul  pour  toutes  les  valeurs  de  p.  On  a 
ainsi  trois  relations  qui  déterminent  /,  m,  h. 

3°  En  transportant  l'origine  des  coordonnées  au  point  x  =  —  -^— ,  ;/  =  0,  l'équation  du 
cercle  C  devient 

F(X)  =  I6p2"/.(x2  -+-  if)  -+-  y[X*  —  4X2p(6p  +  a)  ■+-  4p*(2p  —  a)2}  —  4pXs(3p  -4-  2a)  —  4p'X(5p  —  2a)  =  0, 
et  pour  avoir  l'équation  de  l'enveloppe  il  faut  éliminer  X  entre  les  équations     F(X)  =  0,     F'(X)  =  0. 

On  peut  résoudre  ces  deux  équations  par  rapport  à  x-  et  y;  en  effet,  l'équation  F(X)  —  XF'(X)  =  0 
est  du  premier  degré  par  rapport  k  y  ;  en  remplaçant  y  par  la  valeur  obtenue  dans  l'équation  F(X)  =  0, 
on  en  tire  x2  en  fonction  rationnelle  de  X.  Mais  la  discussion  est  fort  pénible  dans  le  cas  général. 

VASNIER. 


434.  —  On  donne  une  hyperbole  équilatère  (H).  On  lui  mène  une  tangente  quelconque,  qui  rencontre 
les  asymptotes  en  A  et  B.  Eu  ces  points,  on  mène  aux  asymptotes  des  perpendiculaires  qui  rencontrent 
l'hyperbole  en  a  et  p. 

1°  Démontrer  que  »(3  est  parallèle  à  AB  et  que  quand  AB  varie  en  restant  tangente  à  l'hyperbole  (K), 
ap  enveloppe  une  hyperbole  équilatère  homothétique  et  concentrique  à  l'hyperbole  (H). 

2°  Par  1rs  quatre  point!:  A,  x,  B,  p  passe  une  seule  parabole  P  en  outre  du  couple  de  droites  parallèles 
AB  et  3$;  démontrer  que  la  seconde  sécante  commune  a'P'  à  celte  parabole  et  à  l'hyperbole  (H)  est  parallèle 
à  AB,  et  que  quand  AB  varie  en  restant  toujours  tangente  à  l'hyperbole  (Il  .  sc'P'  enveloppe  aussi  une  hyper- 
bole équilatère  homothétique  et  concentrique  à  l'hyperbole  (H). 

3°  Lieux  des  centres  des  sécantes  communes  à  l'hyperbole  (H)  et  à  la  parabole  (Pi,  autres  que  celui  du 
couple  ap,  a'p'  quand  AL!  varie  en  restant  assujettie  à  la  même  condition. 

4°  Par  un  point  M  du  plan  passent  quatre  paraboles  telles  que  la  parabole  ••  P).  Les  quatre  points  de 
contact  des  tangentes  à  l'hyperbole  (H)  qui  leur  correspondent  sont  à  l'intersection  de  V hyperbole  (II)  et 
d'une  certaine  ellipse  (E). 

Lieu  des  points  M  fefa  que  l'ellipse  (E)  correspondante  devienne  un  cercle,  lieu  du  centre  et  enveloppe 
de  ce  cercle. 

5°  Démontrer  que  le  centre  de  gravité  des  quatre  points  d'intersection  de  l'ellipse  (E)  et  de  l'hyper- 
bole (H)  décrit  une  parallèle  à  une  asymptote  de  cette  dernière  hyperbole,  lorsque  le  point  M  décrit  une 
parallèle  à  l'autre  asymptote. 

a 
1°  Soient    x  =  — >    y  =  at    les  coordonnées  du  point  de  contact  de  la  tangente  AB  sur  l'hyperbole 

équilatère 

(H)  xy  —  a2  =  0. 

La  tangente  AB  a  pour  équation 

(AB)  l2x  -+-  y  —  2at  =  0. 

2a  at  a 

Les  coordonnées  du  point  a  sont   —    et    — ;    celles  du  point  p,    —    et  2a/;   par  suite  1  équation 

de  la  droite  «p  est 

,  ,                                                             „               5at 
(ap)  Px  +  y —  =  0. 

On  voit  immédiatement  que  celte  droite  est  parallèle  à  AB  et  qu'elle  enveloppe  l'hyperbole 

Wxy  — 25a2  =  0. 


350  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


2    Soil     l3x  -+- y  -h  fi  =  0    l'équation  d  un. •  droite  parallèle  à  i?;  l'équation  générale  des  coniques 
passant  par  les  points  de  rencontre  de  l'hyperbole  ef  de  ces  deux  paraboles  esl 

,  xy  _  as   +  ,  t*x  h    y—   — J  (-x  H-y-f-  ;/)  =  0. 

Écrivons  que  cit.'  équation  représente  une  parabole,  nous  avons    X  =  —  H1;     en  outre  qu'elle 

-  '      \ 
esl  vérifiée  par  les  coordonnées  du  point  A  (   <>  )  el  par  celles  du  point  li  (0,  2a<  .  nous  obtenons 

la  même  valeur  pour    i,     n  =  Gai.     L'équation  de  la  parabole  P  est  donc 

—  4t-(xy  —  a*-)  -h  ((2x  +  i/-^-)(/2i^  .'/ -r  «>"'.  =  ». 

l*x  +  y-h6at  =  0. 
Cette  droite  enveloppe  l'hyperbole     xy  —  9os  =  0. 
3"  L'équation  générale  des  coniques  circonscrites  au  quadrilatère  *i- 

f(x,y)  =  l{xy  —  a*)  +  (px+y—£)  t*x-+-y+6at)  =  0. 
Les  centres  des  couples  de  sécantes  communes  à  ces  coniques  sont  déterminés  par  les  équations 
h/^-rt-,  ,;  t*Ux  +  y—JÏ\  =  0, 

fi  =  lx  +  «'a  +  y  +  G,,/  -  (»*  +  y  —  ^  =  0  , 

/"s'  =  —  2Xas £(t*x  +  y      6ai       Qatfpx-t-y-^)  =  0. 

On  en  déduit 

fi-«Y;  =  x(y-Af)  =  o, 

et  comme  À  ne  peul  être  nul,  on  voit  que  les  [joints  considérés  sont  sur  la  droite  y  —  /->  =  0  qui 
joint  les  milieux  de  xp  et  de  *'p'.  Ce  résultat  était  à  prévoir,  car  dans  le  trapèze  w  les  points  de 
concours  des  diagonales  sont  sur  la  droite  qui  joint  les  milieux  des  bases. 

Dans  les  équations     f'y  =  0,     f.  =  0     remplaçons  t-  par  —  ;   il  vient 

'fit 
>x  +  ky  -+-  -— -  =  0, 

—  2).a-t-  7/)/  — 30a  ^-  =  0; 
.r 

puis  éliminons  À  entre  ces  deux  équations  :  nous  obtenons 

7/  xy  ■+  n-)  =  -1-lmj  : 

■  i  remplaçons  /-'  par  —  ;  nous  avons  enfin 

4Q(xy  +  a-  -  —  i8Aasxy  =  0. 

Le  premier  membre  de  cette  équation  esl  un  trinôme  en   xy  ;    l'équation  représente  deux  hyper- 
boles équilatères  ayant  pour  asymptotes  0a   el  O7. 
4°  L'équation  de  la  parabole  1 1'    esl 


y  —  a1)  +  (  1 


0; 


en  écrivant  que  cette  équation  esl  vérifiée  pai  les  c données  du  point    M  n  a  une  équation 

du  quatrième  degré, 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  351 


(1)  ftr»  +  Zfî  <s  -  <\2*.y.  +  lia*)  +^  t  H-  y!  =  0, 

aux  quatre  racines  de  laquelle  correspondent  quatre  points  de  l'hyperbole  (H).  Cherchons  l'équation 
générale  des  coniques  passant  par  ces  quatre  points.  Soit  une  conique  quelconque 
A.r2  +  IBxy  -t-  Cy2  +  2D\r  +  2Ey  +  F  =  0  ; 

les  valeurs  de    t   relatives  aux  points  de  rencontre  de  cette  conique  et  de  l'hyperbole  (H)  sont  racines 
de  l'équation 

(2)  Ca't'  -+-  2Eat2  -+-  [2Ba3  -+-  F)f2  -+-  2Dat  ■+■  An'2  =  0. 

Écrivons  que  les  équations  (1)  et  (2)  ont  mêmes  racines  ;  nous  avons 

Ca-  _        4E  _  zBas  -+-  F  2D  _  Art2 

xl  lx0~       2i0y0  +  Haî_       7y0  —  y[' 

Il  en  résulte  que  l'équation  générale  des  coniques  passant  par  les  quatre  points  considérés  plus 
haut  est 

Pour  que  cette  équation  représente  un  cercle,  il  faut  qu'on  ait    x20  =  y%,    B  =  0.     Le  lieu  du 
point  M  se  compose  des  bissectrices  des  axes  de  coordonnées. 

Supposons  par  exemple    xt  =  y„  =  m  ;     l'équation  de  ce  cercle  est 

_  (jji  +  yi)  +  _  (x  +  y)  _  Qm2  _  1  la»  =  0. 

Son  centre  est  sur  la  même  bissectrice    (x —  y  =0)    que  le  point  M,   et  l'équation  de  son  enve- 
loppe est 

49  (a: -H  y)2 -M  76  (a:2-!-?/2  —  2a2)  =  0; 

elle  représente  une  ellipse  ayant  son  centre  à  l'origine  et  bitangente  au  cercle    x-  -+-  y-  —  2a2  =  0,     aux 
points  de  rencontre  avec  la  droite     ,r  +  y  =  0. 

5°   On   voit  aisément  que  la  somme  des  abscisses  des  quatre  points   communs    aux  coniques 


~,ni 


7aa 


représentées  par  l'équation  (3)  est    — — - ,     la    somme    des    ordonnées  est ;     en  désignant 

zt/o  2.r0 

par  x'  et  y'  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  des  quatre  points,  on  a 

Ax'  =  — 
ce  qui  démontre  les  propositions  énoncées. 


*x   =  —  r —  i  -HI    =  —  - — 

2y0  J  2a;0 


E.-N.  BARISIEX. 


Autres  solutions  par  MM.  C.  de  France,  à  Versailles,  et  F.  Pégobieh,  répétiteur  au  collège  île  Cette. 
Très  bonne  solution  de  M.  Vasnibr. 


435.  —  On  considère  un  triangle  ABC  etunedroite  1)  :  parunpoint  M,  quelconque  dans  le  plan 
du  triangle,  il  passe  deux  coniques  circonscrites  au  triangle  et  tangentes  à  la  droite  (D). 

1°  Trouver  le  lieu  des  points   M    pour  lesquels  les  deux  coniques  qui  passent  par  chacun  de  c  -  i 
ont  pour  tangentes  en  A  deux  droites  conjuguées  harmoniques  par  rapport  à  Ali   et  AC  ;  montrer  qu'alors 
les  tangentes  en  M  sont  aussi  conjuguées  harmoniques  par  rapport  à  MB  et  MC. 

2°  Si  on  fait  jouer  successivement  aux  trois  sommets  le  rôle  il"  point  A.  on  obtient  trois  coniques  pour 
lieux  correspondants  du  point  M:  montrer  qu'elles  sont  bitangentes  deux  à  deux  et  étudier  la  nature  de 
chacune  d'elles,  d'après  la  position  de  la  droite  (D). 


352  GÉOMÉTRIE     VNALYTIQUE 


;;  /  ou  .  l'enveloppe  des  polaires  d'un  point  P  par  rapport  aux  coniques  circonscrites  au  triangle  et 
tangentes  à  la  droite  D),  ci  montrer  que  cette  enveloppe  passe  par  trois  points  fixes,  indépendants  de  la 
position  de  la  droite  (D). 

Prenons  le  triangle    ABC    pour  triangle  de  référence     x  —  0.     l'équation  du  côté    BC,    etc.  .  ri 

soient 

(r)     —  —  ^  +  -^-=0,  (D)     ux-hvy  +  wz       0 

les  équations  de  la  conique  circonscrite  au  triangle    ABC    el  de  la  droite     I»  .    el  enfin    a  .  </ .  :    les 
coordonnées  de  M. 

On  a  les  conditions 

oc  8 

|  fat  -f-  \f$V  4-  fîiô  =  0,  -7-+ J7--*--7-  =  0- 

x  y  z 

1    La  tangente  en    A(y  =  0,    ;  =  0)    à  une  conique  i    esl 


y 


H =  0. 


8 
Les  deux  valeurs  de  —  déterminées  par  le  système   I   doivent  être  égales  et  de  signes  contraires. 

L'élimination  de  «  donne 

(kj?'—  '•»/  '  '-': :'-'y- ---  'n.r'  4-  wz'r  i/'2-,-         -  h»J/'  +  W3     —VUiy'z    t/z'Çrf  =  0. 

Le  lieu  des  points  .M  est  donc  la  conique 

Ct  =  w:r(wa;-t-  m/  -+-  ioz]  —  vwyz  =  0, 
qui  passe  par  les  points    B,    C    et  les  points  où  (D)  rencontre  les  côtés    AI!.    AC.    L'équation  de  la 
tangente  en  M  à  i   es! 

.c  -  '/  -  :  - 

Elle  rencontre  le  côté  BC  en  A,,  et  l'équation  de   \\    est 

^  +  4  =  0. 

y  - 

Les  deux  valeurs  de  —  étant  de  signes  contraires,  les  deux  droites  telles  que  AA|  sont  conjuguées 
V 
par  rapport  à  AH,  AC;  et  il  en  est  de  même  des  deux  tangentes  telles  que  MA,  par  rapport  a   MU,  MC. 

2°  Par  permutations  circulaires,  on  a  les  deux  coniques  analogues  à  Ci  : 

Cj  =  vy(ux  -hvy-{-  irz   —  wuzx  =  0, 

C3  =  wz(ux-+-  vy  -+-  wz)  —  uvxy  =  0. 
On  voit  que  l'on  a 

Ct  H-  C2  =  (ux^-vy)1  ; 

C    et  C    sont  donc  bitangentes,  de  même  C,  el  C3,  C2  et  C3. 

Pour  étudiei    la  nature  de  la  conique  Ci,  cherchons  ses  points  d'intersection  avec  la  droite  de 
l'infini 

ax  -f-  hy  -+-  cz  =  0, 

(a.  h.  ■■  étanl  les  longueurs  des  cotés  BC,  CA,  Al;  . 

L'équation  quadratique  «les  droites  joignant  ces  points  d'intersection  au  sommet    \  esl  : 

bu(av      l,,i  ,/-  -~  cu(aw —  cu)z%  -f-  [a{avw  ■   bwu     -cuv)  —  2bcir]yz  =  0. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


353 


il 
Suivant  que  les  racines  de  cette  équation  en  —  sont  réelles,  confondues  ou  imaginaires,  la  conique  Ct 

est  une  hyperbole,  une  parabole  ou  une  ellipse.  Cette  réalité  dépend  du  signe  de 

S,  =  81/cu-cw  —  (avw  +  biou  -+-  cuv)-. 

2,  =  0    est  l'équation  tangentielle  d'une  courbe  de  quatrième  classe  que  nous  allons  étudier. 
Par  la  transformation  du  second  ordre 


elle  se  transforme  en  la  conique 


un   =  t'v  =  ww\ 


ai  =  8bcv'w'  —  (au' -\-  bv' -+■  en/)2  =  0. 

L'interprétation  géométrique  des  formules  (II)  est  la  suivante  : 

ï,  (5,  y   étant  les  points  où  la  droite    (m,  v,  w)    rencontre  les  côtés    BC,  CA,  AB    du  triangle  de 

référence,  la  droite  associée  (w',  v',  w')  les  rencontre  aux  points 

a',  p',  y'  tels  que  l'on  ait 


CA*  =  BAa', 


CB[i  =  ABp', 


ACV  =  BCT' . 


Cette  transformation  permet  de  construire  une  courbe  par 
ses  tangentes,  si  l'on  connaît  les  tangentes  de  la  transformée. 

A  un  point  correspond  une  conique  inscrite  dans  le  triangle 

de  référence,  et  réciproquement.  A  une  tangente  AA'  passant  par 

un  sommet  du  triangle,  correspond  le  côté  opposé  comme  tangente  et  le  point  de  contact  sur  ce  côté, 

A",    est  tel  que     CAA'  =  BAA".      Si  le  point  de  contact  de  la  tangente    AA'   est  le  sommet   A,   le  côté 

opposé  est  tangente  ^inflexion  de  la  courbe  transformée. 

Revenons  maintenant  à  l'étude  de  la  courbe  S,  au  moyen  de  celle  de  nj  ;  au  +  bv  -+-  cw  =  0  est 
l'équation  tangentielle  du  centre  des  médianes  antiparallèles  du  triangle  (point  P).  La  conique  a,  est 
tangente  en  B  et  C  aux  droites  PB,  PC.  Son  équation  ponctuelle, 


-£  =  »• 


montre  qu'en  dehors  des  points  B  et  C,  elle  rencontre  les  côtés  AB,  AC  aux  points  C",  B"  conjugués 

harmoniques  sur  AB,  AC  des  points  C  et  B'  où  CP,  BP  rencontrent  AB,  AC. 

Des  remarques  analogues  s'appliquent  aux  coniques  »,,  cr3  transformées  des  courbes  S2j   S3   dont 
dépend  la  nature  des  coniques  C2,  C3. 

Or  le  point  P  étant  à  l'intérieur  du  triangle  et  les  points 
A",  B",  C"  étant  en  ligne  droite,  il  est  facile  de  voir  que  parmi  les 
trois  angles  BPC  ,  CPA,  APB  dans  lesquels  sont  inscrites  les 
coniques  n,  il  en  est  un  (BPC  dans  le  cas  de  la  figure)  pour  lequel 
les  points  B",  C"  de  la  conique  inscrite  dans  l'angle  sont  à  l'intérieur 
de  cet  angle  ;  il  en  est  un  autre  (CPA)  pour  lequel  les  points  A",  C» 
sont  l'un  à  l'intérieur,  l'autre  à  l'extérieur  de  l'angle  ;  et  le  troi- 
sième (APB)  pour  lequel  les  points  A",  B"  sont  dans  l'angle  opposé 
par  le  sommet.  Le  premier  cas  correspond  à  une  ellipse   a,   et  les 

deux  autres  à  des  hyperboles  <x2  et  a3.  Us  donnent  lieu  à  des  tracés  un  peu  différents  des  courbes  I. 
La  courbe  ?,,  transformée  de  l'ellipse  au  a  pour  tangente  double  BC  et  pour  tangentes  d'inflexion 

AB,  AC.  Elle  est  bipartite,  et  a  des  branches  inlinies  avec  deux  asymptotes  réelles.  La  droite  de  l'infini 


3  14 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQ1  E 


ayanl   pour  droite  associée  la  droite    \l;i.'    ( h  —. — i — -  =  0  ,    les  asymptotes  de  1,   sont  les 

transformées  des  tangentes  à  -t  aux  points  B",  C    où  la  droite  APC    rencontre  -,. 
On  peul  le  voir  par  le  calcul  : 
Les  coordonnées  des  asymptotes  vérifient  les  équations 

S,(w,  y,  w)  =  0,  àS;u  +  //ï,,  —  r-ï„,  =  0 

ou 

III  86cws»w  =    nfir  —  Iiirn  -+■  cuv  -.  %abcuvw  =  (acv  -t-  abw —  bcu    avw  H    bwu ■+■  CM»). 

Les  i données  des  tangentes  d'inflexion  el  de  la  tangente  double  satisfonl  aussi  aux  équa- 
tions (III).  On  écarte  ces  solutions  en  multipliant  en  croix  1rs  deux  membres  des  équations  ;1II),  et 
après  suppression  du  facteur    2bcuvw(avw  +  bwu      cuv),    il  reste 

'ilinr  -+-  iiinc/r  —  3hicit  —  'Acuv)  =  0. 

La  transformée  de  cette  conique  est  une  conique 

■:,  =  ibevw  +  au  au  —  36a  —  3cw  i  =  0. 

Les  asymptotes  de  la  courbe  S,  sont  les  transformées  des  tangentes  communes  aux  deux  coniques 
s,  et  -,     Si  l'on  forme  la  combinaison    2t,  —  a,  =  0,     on  a 

au  —  bv  —  cir)   Wmi        In;  —  rir    =  0, 

c'est-à-dire  deux  points   Pi,  Pi   de  la  droite   Al'.    Le  premier  est  le  point  de  concours  des  droites   BB*, 

CC",  el  le  second  est  le  pôle  de  A"B"C"  par  rapport  à  -, 

Les  asymptotes  réelles  sont  donc  les  transformées  des  tangentes  à   a,  en  B  .  C 

11  est  facile  de  voir  que  les  trois  points  analogues  à   Pi   sont  intérieurs  aux  coniques   i  qui  leur 

correspondent.  Chacune  des  courbes  ^   n'a  donc  que  deux  asymptotes  réelles.   Les  équations  ponc- 

luelles  des  coniques  -  montrent  qu'elles  sont  bitangentes  deux  a  deux  aux  points  A  .  B  ,  C  : 


b  I 


(  " — h 


Il  en  résulte  que   Sn  S2,  S3  ont  deux  à  deux  une  asymptote  commune. 

De  même  elles  ont  deux  à  deux  un  point  d'inflexion  commun  sur  un  des  côtés  du  triangle. 

Les  tracés  des  trois  combes  sont  les  suivants 


Les  asymptotes    ax  ■  by   i  lez      0,    etc.,  sont  parallèles  aux  côtés  du  triangle  VBC. 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


355 


On  a  exactement  les  mêmes    résultats    pour    C2  et  C3. 


Les  courbes   I   avant 
une  tangente  double  et 
deux  tangentes  d'infle- 
xion sont  de  degré 
m  m  _  ij  _  9/_3,=  4 

m  étantlaclasse.Cesont 
donc  des  quartiques. 

Nous  pouvons  main- 
tenant étudier  la  nature 
des  coniques  C,.  C  .  C  . 

Le  signe  de  S,  dépend 
du  nombre  de  points 
d'intersection  réels  de  la 
courbe  S,  et  de  la  droite 
D  .  Or  la  droite  de  l'in- 
fini qui  rencontre  Ij  en 
deux  points  réels  donne 
un  résultat  de  substitu- 
tion négatifdans  2,  On  a 
donc  les  résultais  sui- 
vants : 

La  droite  D  coupe  ï, 
en  0  ou  4  points  réels  : 
-.  est  >  0,  C,  est  une 
ellipse. 

La  droite  D  coupe  ï, 
en  2  points  réels:  I,  est 
<U,  C,  est  une  hyper- 
bole. 

La  droite  D  est  tan- 
gente à  ï,  :  I,  =  0, 
C,  est  une  parabole. 


3°  La  polaire  d'un  point  fixe 


X  À 

y1    s'2 

avec  la  condition 

(1) 

•«-+- 

v  /'■'  —  /f« 

Pour  avoir  1 

enveloppe 

de  la 

polai 

re,  il  faut  éliminei 

ux  - 

'-'1  - 

X 

_    y 

\-J.II 

i/pô 

et  l'équation    1  , 

ce 

qui  donne 

,i  r  J 

nj-_  _  ^_ 

X 

y 

)  par  rapport  à  une  conique  r  a  pour  équation 
'■''       Pu       ;■' 


entre  les  équations 


I  ,< 


conique  circonscrite  au  triangle  ABC. 

M.  A.  L.,  a  Alençon,  nous  a  envoyé  une  bonne  solution  Je  celle  question. 


0, 
VASNIER,  lycée  de  Versailles. 


356 


GÉOMÉTRIE     ANALYTIQUE 


443   —  U  équation     — —, —  =  arc  cot *(x2H-y!),     dans  laquelle  k'  est  une  constante  et  *  une 

•21;-  x 

fonction  arbitraire,  représente  une  infinité  de  surfaces  -  rapportées  à  trois  axes  rectangulaires  OXYZ.  En 
chaque  point  M  d'une  surface  -  on  mène  la  normale  et  la  parallèle  à  (  >X  qui  coupent  le  /'/««  \<»Y  aux 
points  I'  et  Q.   Démontrer  que  la  surface  du  triangle  POQ  est  constante. 

L'équation  d'une  surface  définit  :  connue  fonction  (1rs  deux  variables  i  el  y,  el  les  équations  de 
la  normale  en  un  poinl  Mr.  y,  :    de  cette  surface  peuvent  s'écrire 

X  — j _  Y  —  y _ Z  — : 

^dT--  "^T-      — î 

<).r  d  / 

Cette  normale  rencontre  le  plan  XOY  en  un  poinl  P  qui  a  pour  coordonnées 

dz  dz 


•'-, 


ou,  eu  posanl 


du 


du 

ày 


D'autre  part,  les  coordonnées  du  point  Q  sont  x  et  y;  il  en  résulte  que  la  surface  du  triangle  OPQ 
gale,  au  signe  près,  à 

0  0  1 

du 


0 

0 

1 

x 

y 

1 

du 
àx 

y 

du 

1 

1        Ou         0u\ 

T[xTy-yTx  • 


Or,  de  l'équation  de  la  surface  S,  on  tire 
1  du  _ 
~¥d~x  ~  x1 


I   du 
~Fdy 


2x*    r- 


iij'V    ./- 


!/'). 


on  en  déduit 


du 


du 
dx 


fcs 


=  h\ 


La  surface  du  triangle  OPQ  estdonc  égale  à   — ■ 


Remarque.  —  Réciproquement,  on  peut  se  proposer  de  chercher  toutes  les  surfaces  qui  jouissent 
de  la  propriété  indiquée. 

Tout  revient  à  trouver  la  fonction  u  des  deux  variables  x  et  .'/,  telle  que  l'on  ait 

•'dx 

du         du 

ou  .r-; w-r— 

dy        dx 

Nous  allons  faire  un  changement  de  variables,  et  substituer  aux  variables  .<  et  y,  les  nouvelles 

variables  r  et  '•  définies  par  les  relations 

x  =  r  cos  8,  u  =  r  sin  8. 


=  ±  z.-2. 


Nous  avons 


lu     dy       Ou 
IPi  ~  ôx     0<i  ~^  ô>j  '  àH  ~  àx^ 


du  ,.  du        du 

+  t-  r  cos  Oi  =  a-- i/-—  • 

dy  '         dy 


dx 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  337 


On  a  donc 

J?  =  ±  *», 

et,  en  intégrant, 

u  =  ±  A20  -+-  IfiC, 


C  désignant  une  quantité  indépendante  de   6.   Comme  u  est  une  fonction  de  r  et  de  0,    C  sera  une 
fonction  arbitraire  de  /•  ou  de     x--^-y2  ;     nous  pouvons  poser    C  =  *(.r2  -+-  y-  .     D'autre  part   8  est 

égal  à   arc  tg  —  ;    on  voit  ainsi  que  l'équation  générale  des  surfaces  telles  que  le  triangle  OPQ  ait  une 


surface  constante  et  écale  à  — -  est 


2/,' 


=  ±  arc  tg  —  -+-  *  .r2  —  v  • 


La  somme      arc  tg  —  -+-  arc  eut  —     étant  constante,  on  peut  écrire  l'équation  générale  sous  l'une 


des  deux  formes  suivantes 


^Yi  =  —  ai'C  cot  -= — h*  ■'"  H-  y~), 

^r-  =  ±  arc  tg  —  -+-  *  (x3  -+-  >/2  . 
•2k2  e    x 


z  y 

444. —  L'équation     7—  =  arc  cot- — h*  x2  -+-  y-      représente  une  infinité  de  surfaces  ï  rapportées 

à  trois  axes  rectangulaires  OXYZ.  En  chaque  point  M  d'une  surface  -  on  mène  la  normale  et  laparallèle 
ii    OX    qui  coupent  le  plan    XOY    aux  points    P   et   Q.    Démontrer  que  le  volume  du  tétraèdre   MOPQ   est 

constant. 

On  a  vu  précédemment  que  la  surface  du  triangle    OPQ   est  égale  à     —    xz^r- —  uz^r-    ;     par 
r  ^  °  n  2   I       dy      J   dx  \ 

lit):  dz  \  1    I     c'y  do  I 

conséquent  le  volume  du  tétraèdre  MÛPO  est  éaral  à     —    .r:3 '/:2-r-    >     ou  à     — -    x- u-r     ' 

4  6  I       dy      J    dx  |  tl »  |    dy       J  dx  \ 

v  désignant  la  fonction  —  • 

Or,  de  l'équation  de  la  surface  on  déduit 

I      dv  à  v  I 

|     Oy        '  dx  | 

A'3 
il  en  résulte  que  le  volume  du  tétraèdre  est  égal  à  —  -  • 

On  établirait  comme  plus  baut  que  l'équation  générale  des  surfaces  jouissant  de  cette  propriété 
peut  se  mettre  sous  l'une  des  deux  formes  suivantes  : 


3A 


'/ 

-  =  ±  arc  cot  —  -t-  *ui-  +  y2), 


3A-! 


ï/ 
±  arc  tg  —  -+■  <i>  .<3  +  y  . 


Ont  résolu  les   questions  443  et  444  :  MM.  E.   Barré,  à  Douai  ;  Blazy-Lacohbe,  lycée  de  Toulouse  ;  E.  Fiiu\  ;  C.  de   France,  à 
Versailles. 


358 


AGRÉGATION   DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES 


AGREGATION   DES  SCIENCES  MATHEMATIQUES    1893 


Mathématiques   élémentaires. 

492.  —  On  donne  un  triai    <     I   ' .:  on  considère  le  triangle  T   qui  a  pour  sommets   les  projections 
orthogonales  'l'un  point  M  sur  les  côtés  du  triangle  T. 

i°  Démontrer  que,  si  le  point  M  décrit  une  droite  a  dans  le  plan  du  triangle  T,  les  côtés  du  triangle  I 
enveloppent  trois  paraboles  P,  l'i,  P2. 

Ces  paraboles  sont  inscrites  dans  un  même  angle  :  -<<<  construira  leurs  foyers  ri  leurs  direch  h 
Quelle  position  doit  occuper  In  droite  a  pour  que  ces  trois  paraboles  soient   tangentes  en   un   même 
point  ? 

-2°  Comment  faut  il  choisir  In  droite  a  pour  que  les  directrices  des  trois  paraboles  P,  I',,  Ps  con 
en   h  h  même  /mi  ni  II  à  distance  finir  ? 

/.n  droite  a  se  déplaçant  de  manière  à  satisfaire  à  celle  condition,  trouver  le  lieu  du  point  H. 
:;    Démontrer  y"',  si  l'un  fuit  tourner  lu  droite  i  autour  'l'un  point  fixe  K,  /"  directrice  il'-  !•<  para- 
bole P  passe  elle  même  par  un  /un, il  fixe  I. 

Trouver  l'enveloppe  de  In  droite  Kl  lorsque  I  un  ,!,  s  points  K  <>»  \  ,/:■,■,■, i  une  droite  donnée. 
\     \  un  pdint  K  correspondent  trois  points  I.  [„  I  .  relatifs  un.,-  directrices  des  paraboles  I'.  1',.  I'  . 
On  demande  quelle  position  doit  occuper  le  point  K  /"<»,■  i/ur  1rs  irais  points  I,  I,.  I.   soient  m  ligne 
droite,  ri  ,m  propose  de  démontrer  quesi  le  /mini  K  se  déplace  de  manière  n  satisfaire  n  celte  condition,  In 
il>  oite  I  I|I ,  tourne  autour  il' un  /mini  fixe. 

1°  Lorsque  le  poinl  M  décril  la  droite  a.  les  deux  points  I;   >■>  C   décrivent  deux  séries  semblables 

à  celles  que  décrit  le  poinl  M.  et,  par 
suite,  semblables  entre  elles  :  donc  la 
droite  B'C  enveloppe  mu'  parabole 
inscrite  dans  l'angle  A.  De  même  les 
droites  A'C  et  A'B  enveloppent  deux 
paraboles  respectivement  inscrites 
dans  les  angles  B  et  C. 

Ces  trois  paraboles,  Pi,  Ps,  P3,  sont 
tangentes  aux  deux  droites  de  Sim- 
son  relatives  aux  deux  points  M,  >■!  M 
ou  la  droite  a  rencontre  le  cercle  cir- 
conscrit au  triangle  ABC,  rai1,  pour 
ces  points  M,  et  M  ..  les  trois  points 
A .  B',  <'•'  sont  en  ligne  droite. 

Le  cercle  circonscrit  au  triangle 
AB'C  passe  constamment  par  le  foyer 
île  la  parabole  I',  :  mai-  c'esl  le  cercle 
décrit  sur  A\l  comme  diamètre,  el 
ce  cercle  passe  toujours  au  pied  de  la 
perpendiculaire  abaissée    <  1  n  point    A 

sur  la  droite  a  qui  porte  le  point  M.  Ce  poinl  l;,  esl  H île  foyer  de  la  parabole  l',.   De  même   les 

foyers  des  paraboles  i\  •  ■!   I',  sont  les  projections  des  points  B   et  C  sur  a. 

Si    !'•   poinl    M   vienl  en   n,   ri  c,,  mu  la  droite  a  coupe  les  côtés    AC   ri    \K.    la   droite   B'C 
devient    B,C"   et   CfB    respectivement    perpendiculaires    sur  Al:  et  AC;   les   deux    points  l!     el    C 


AGRÉGATION  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  339 

sont  donc  sommets  d'angles  droits  circonscrits  à  la  parabole  P,,  et  la  droite  B"C"  est  directrice  de 
cette  parabole.  On  trouverait  de  même  les  directrices  des  deux  autres  paraboles. 

Pour  que  les  trois  paraboles  soient  tangentes  en  un  même  point,  il  faut  que  leurs  deux  tangentes 
communes  coïncident,  car  elles  ont  encore  deux  à  deux  pour  tangentes  communes  les  trois  côtés  du 
triangle  ABC,  qui  sont  des  droites  distinctes;  il  faut  donc  que  les  points  M,  et  M.  coïncident,  c'est-à-dire 
que  la  droite  A  soit  tangente  au  cercle  circonscrit  au  triangle  ABC. 

2°  Si  on  considère  les  deux  paraboles  P,  et  P2,  elles  sont  inscrites  dans  un  même  triangle  formé 
par  les  droites  de  Simson  des  deux  points  M,  et  M,  et  par  le  côté  AB;  leurs  directrices  passent  donc 
toutes  deux  par  le  point  de  concours  des  hauteurs  de  ce  triangle.  Si  donc  on  envisage  les  droites  de 
Simson  des  points  Mi  et  M2  et  les  trois  triangles  que  forment  avec  elles  les  côtés  du  triangle  donné, 
les  directrices  des  trois  paraboles  se  coupent  deux  à  deux  aux  points  de  concours  des  hauteurs  de  ces 
triangles,  H,,  H2,  H3;  pour  qu'elles  soient  toutes  trois  concourantes,  il  faut  donc  que  les  points  11,.  H2 
et  H3  soient  confondus,  c'est-à-dire  que  les  deux  droites  de  Simson  soient  rectangulaires,  et  alors  les 
trois  points  susmentionnés  coïncident  avec  le  point  de  rencontre  H  de  ces  droites.  Or  on  sait  que 
l'angle  des  deux  droites  de  Simson  relatives  aux  points  M,  et  M2  a  pour  mesure  la  moitié  de  l'arc 
MiM2.  Donc  la  droite  a  doit  passer  par  le  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  ABC.  Soit  N,NS  une 
telle  droite;  les  droites  de  Simson  relatives  à  ces  points  passent  par  les  milieux  des  segments  qui 
joignent  les  points  N,  et  N2  au  point  de  concours,  R,  des  hauteurs  du  triangle  ABC  ;  ce  sont  donc  deux 
droites  rectangulaires  passant  par  les  milieux  P  et  Q  de  RN,  et  RN»;  d'ailleurs  ces  points  ont  pour  lieu 
commun  le  cercle  homothétique   du   cercle  circonscrit  par  rapport  au  point   R  et  dans  le  rapport 

d'homothétie    —  •    Ce  cercle  est  le  cercle  des  neuf  points;  il  a  pour  centre  le  milieu  de  RO  et  ce  point 

se  trouve  au  milieu  I  de  PQ  ;  donc  le  point  H  sommet  d'un  angle  droit  dont  les  côtés  passent  en  P  et  Q 
se  trouve  aussi  sur  le  cercle  des  neuf  points  et  décrit  ce  cercle. 

3°  Si  Ton  fait  tourner  la  droite  a  autour  d'un  point  fixe  K,  les  trois  paraboles  restent  respective- 
ment tangentes  aux  droites  telles  que  B'C,  C'A'  et  A'B'  relatives  au  point  K;  chacune  d'elles  est  donc 
inscrite  dans  un  triangle,  la  parabole  P,,  par  exemple,  dans  le  triangle  formé  par  les  droites  AB,  AC  et 
BJ,C0;  donc  sa  directrice  passe  par  un  point  fixe,   I,,  le  point  de  concours  des  hauteurs  de  ce  triangle. 

Supposons  maintenant  que  le  point  K  décrive  une  droite  fixe  A;  alors  B'0C'n  enveloppe  la  parabole 
Pi  qui  correspond  à  cette  droite,  et,  par  suite,  le  point  Ii  est  sur  la  directrice  de  cette  parabole,  B'C"; 
d'autre  part,  les  deux  points  I,  et  K  décrivent  deux  séries  semblables  à  la  série  que  décrit  le  point  C't, 
c'est-à-dire  semblables  aussi;  donc  l'enveloppe  de  Kl,  est  une  parabole  tangente  aux  deux  droites  A  et 
B"C";  elle  est  d'ailleurs  tangente  aux  deux  droites  C,B"  et  B,C','  qui  sont  deux  positions  particulières 
de  Kl,;  c'est  donc  la  parabole  inscrite  dans  le  quadrilatère  CiB"C"B,. 

4°  Pour  que  les  trois  points  I,,  E  et  I3  soient  en  ligne  droite,  il  faut  que  les  trois  droites 
BdCj,  C'oAÔ,  AiB'„  coïncident.  En  effet,  la  ligure  CiKB[,I,  est  un  parallélogramme;  de  même  la  figure 
KA'0I3BÛ  est  un  parallélogramme;  par  conséquent  I,I3  est  parallèle  à  A'0Cô.  De  même  1,1,  est  parallèle  à 
AJ,BÔ,  et  LI3  est  parallèle  à  B'„Ci.  Donc  si  les  trois  points  I,,  E,  I3  sont  en  ligne  droite,  les  trois  points 
Ai,  Bi,  Ci  sont  aussi  en  ligne  droite.  Réciproquement,  si  cela  est,  la  droite  A'oB'0Ci  forme  avec  les 
côtés  du  triangle  ABC  un  quadrilatère  complet,  et  l'on  sait  que  les  quatre  points  de  concours  des 
hauteurs  des  triangles  que  forment  ces  droites  sont  en  ligne  droite.  Il  en  résulte  que  pour  que  la 
condition  énoncée  soit  remplie,  il  faut  et  il  suffit  que  le  point  K  soit  sur  le  cercle  circonscrit  au 
triangle  ABC,  et  alors  la  droite  I,I2I3  passe  par  le  point  de  concours  des  hauteurs  du  triangle  donné. 

P.  BOURGUIGNON. 

M.  Laisakt  m'a  communiqué  de  la  part  de  M.  Pau.  BbQce  (Besançon)  une  solution  complète  et  bien  faite  de  la  question,  mais 
plus  longue  que  la  précédente  et  moins  nettement  géométrique. 

E.  H. 


360  PHYSIQUE 


PHYSIQUE 


Concours  général  de  Mathématiques  spéciales    1895 

425.  —  Un  prisme  est  placé  sur  la  jilate- forme  d'un  goniomètre  de  Babinet,  l'arête  parallèle  à  l'axi 
de  rotation.  Dans  le  collimateur,  on  a  remplacé  la  fente  par  une  ouverture  circulaire  munie  de  deux  fils 
rectangulaires  A  et  li.  le  /il  A  étant  parallèle  à  l'arête  du  prisme.  L'ouverture  est  éclairée  par  une  s< 
monoch  omatique . 

1"  Montrer  d'une  manière  générale  que,  le  tirage  du  collimateur  •/  l'angle  d'incidence  étant  quel- 
conques, chacun  des  /ils  ne  sera  du  nettement  qu'avec  un  tirage  différent  de  la  lunette. 

j  Etant  donné  un  tirage  de  collimateur  et  l'angle  d'incidence  du  faisceau  qui  a  pour  sommet  la 
croisée  des  fils,  montra  comment  devra  varier  le  tirage  de  la  lunette  pour  voir  nettement  A.  puis  B. 
Discuter  comment  variera  le  tirage  pour  le  /il  A,  de  l'incidence  rasante  •<  l'émer  jence  rasante,  en  supposant 
successivement  l'ouverture  <■»  avant  et  en  arrièredu  plan  focal  principal  du  collimateur. 

:;  Déduire  de  celte  discussion  un  ou  plusieurs  procédés  pour  placer  lu  croisée  des  /ils  exactement  <lmix 
le  plan  focal  du  collimateur. 

',  Ce  dernier  réglage  étant  supposé  obtenu,  étudier  les  formes  successives  de  l'image  de  l'ouverture 
circulaire  lorsque  l'incidence  prend  toutes  les  valeurs  possibles. 

On  traitera  comme  un  angle  infiniment  petit  !<■  diamètre  apparent  il>-  l'ouverture  vue  du  premier  point 
nodal  il  a  collimateur. 

1°  Un  faisceau  lumineux  étroit,  issu  d'un  point,  esl  transformé,  comme  on  sait,  par  son  passage 
au  travers  d'un  prisme,  en  un  faisceau  donl  les  rayons  s'appuienl  sur  deux  petites  droites,  l'une 
parallèle  et  l'autre  perpendiculaire  à  l'arête  du  prisme;  ce  sont  les  deux  droites  focales.  La  distance  />, 
de  la  première  au  prisme  est  liée  à  la  distance  p  du  point  lumineux  par  la  formule  connue 


ci  is    r  cos'  ' 
]h  =  V — — — —  ; 
cosa  /  cos!  /■ 

la  dislance  //.,  de  la  seconde  est  indépendante  de  l'incidence  et  l'on  a  toujours 

tl-,  =p. 

m  les  rayons  proviennent  d'une  raie  lumineuse  A  parallèle  a  l'arête  du  prisme,  les  rayons  réfractés 
forment  une  image  nette  A'  à  la  distance  />,  où  les  droites  focales  des  divers  points  s'alignent  sur  une 
même  droite;  ils  ne  donnent,  au  contraire,  rien  de  net  à  la  distance  pa  "il  les  droites  focales  des  divers 
points  se  juxtaposent  pour  former  une  large  tache.  Pour  la  même  raison,  une  raie  lumineuse  B.  per- 
pendiculaire a  la  première,  donne  une  image  B    à  la  distance  /<    et  rien  de  net  à  la  distance  /;,. 

Les  deux  lils  du  collimateur  forment  d'abord  dans  la  lentille  deux  images  situées  dans  un  même 
plan  focal  et  celles-ci,  a  leur  tour,  donnent  dans  le  prisme  les  images  \  et  B'  sur  lesquelles  on  ne 
pourra  mettre  au  point  qu'avec  des  tirages  différents  de  la  lunette. 

2°  Si  l'ouverture  du  collimateur  esl  située  entre  la  lentille  h  son  loyer,  son  image  dans  la  lentille 
et  les  images  des  Bis  dans  1''  prisme  sont  virtuelles.  L'image   V  esl  à  l'iuiini  sous  l'incidence  rasante, 

près  du  pris sous  l'émergence  rasante;  l!    reste  à  une  distance  fixe.  Pour  passer  de   \    à  B',  il  Tant 

allonger  la  lunette  entre  l'incidence  rasante  et  le  minimum  de  déviation,  la  raccourcir  entre  le 
minimum  de  déviation  et  l'émergence  rasante. 

Si  l'ouverture  du  collimateur  esl  plus  éloignée  de  la  lentille  que  le  loyer,  les  images  sont  réelles, 
Il  en  résulte  des  conclusions  inverses  de  celles  du  cas  précédent. 

3°  Si  la  croisée  des  n I -  est  dans  le  plan  focal  du  collimateur,  les  fils  s,, ni  au  point  tous  deux  en 
même  temps  pour  toutes  les  positions  du  prisme.  Se  plaçant   pies  de  l'incidence   rasante,  on  visera 


CONCOURS    DE    1894 


361 


l'image  A',  qui  est  très  éloignée;  puis  on  déplacera  l'ouverture  du  collimateur  de  manière  à  donner 
aux  deux  images  le  même  aspect;  A'  aura  alors  perdu  un  peu  de  sa  netteté;  on  mettra  au  point  de 
nouveau  sur  A'  et,  peu  à  peu,  on  arrivera  ainsi  à  avoir  les  deux  images  nettes  simultanément.  Cette 
netteté  devra  persister  sous  toutes  les  incidences. 

4°  Quand  un  rayon  se  propage  en  dehors  de  la  section  principale  d'un  prisme,  le  rayon  incident  et 
le  rayon  émergent  font  le  même  angle  avec  la  section  principale  ;  d'autre  part,  un  faisceau  plan  de 
petite  ouverture  et  perpendiculaire  à  la  section  principale  est  transformé  par  la  réfraction  en  un  autre 
faisceau  plan  ayant,  d'après  la  première  proposition,  la  même  ouverture.  Il  en  résulte  que  les  cordes 
parallèles  à  l'arête  du  prisme  dans  l'ouverture  circulaire  du  collimateur  sont,  dans  l'image  objective, 
amplifiées  simplement  dans  le  rapport  des  distances  focales  de  la  lunette  et  du  collimateur.  Au  con- 
traire, une  corde  perpendiculaire  à  l'arête  est,  en  outre,  modifiée  dans  un  rapport  qui  dépend  de 
l'angle  d'incidence.  Par  suite,  l'image  de  l'ouverture  aura  la  forme  d'une  ellipse. 

Si  di  désigne  l'angle  de  deux  rayons  incidents  situés  dans  la  section  principale,  di'  l'angle  des 
deux  rayons  réfractés  correspondants,  on  a 

di'       cos  i  cos  /■' 

di       cos  i'  cos  /• 

di' 
Entre  l'incidence  rasante  et  le  minimum  de  déviation,  -p  est  plus  petit  que    l'unité   et  l'ellipse   est 

aplatie  dans  le  sens  de  la  section  principale;  elle  est  allongée,  au  contraire,  entre  le  minimum  de 
déviation  et  l'émergence  rasante. 


CONCOURS  DE  1894 


ECOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSEES 
Cours  spéciaux. 


Analyse  et  Trigonométrie. 

493.  —  Etant  donné  une  série  de  paraboles  admettant  l'axe  des  x  comme  axe  et   l'axe 
des  y  comme  directrice,  on  demande  : 

t°  de  déterminer  l'enveloppe  de  ces  courbes  ; 

2"  de  former  l'équation  différentielle  de  leurs  trajectoires  orthogonales  ; 

3°  d'intégrer  cette  équation. 

494.  —  Un  observateur  situé  en  un  point  0  d'un  rivage  rectiligne  AB  observe  un  navire  qui  occupe  succes- 
sivement les  positions  C,  C,  G",  aux  trois  époques  t,  t',  f. 

L'observateur  mesure  les  angles  COD,  C'OB,  C"OB  que  font  les  rayons  visuels  OC,  OC,  OC"  avec  la  direction 
du  rivage.  D'autre  part  la  vitesse  v  du  navire  est  supposée  constante  et  connue, 
r  Cela  posé,  on  demande  de  déterminer  par  la  distance  01)  ou  se  le  point  D  du 

.C  rivage  vers  lequel  se  dirige  le  navire  et  l'époque  T  à  laquelle  il  atteindra  ce  point. 

Faire  le  calcul  dans  le  ras  où  : 
COB  =  79°  28'  30",  C'OB  =  62°  i  I'  13",  C'OB  =  47°  8'  27"  ; 

~T;      »  =  16  kilomètres  à  l'heure,  t  =  midi  20',  t'  =  midi  40',  t"  =  i". 


*£L__ 


Mécanique. 

495.  —  Un  rouleau  cylindrique  0  étant  couché  sur  un  sol  horizontal,  une  planche  MN  est  posée  de  manière 
à  s'appuyer  en  K  sur  le  rouleau  et  en  M  sur  le  sol.  La  planche  peut  glisser  sur  le  sol  :  elle  peut  -lisser  et  rouler 


3G1  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


sur  le  cylindre,  qui  peut  lui-même  glisser  et  rouler  sur  le  sol.  Les  différents 
semenls  qui  peuventse  produire  sont  d'ailleurs  accompagnés  de  frottements  et 
l'on  admet,  pour  simplifier  qu'un  même  coefficient  <le  frottement  f  est  applicable 

ii    ces   divers  frottements:   la  résistance  au  roulement  est  considérée  c me 

négligeable. 

Le  cylindre  supposé  homogène  a  un  poids  m. 

La  planche  a  un  poids  propre  qu'on  néglige,  mais  elle  porte  une  surchargeP 
appliquée  en  un  poinl  I  défini  par  sa  distance  IM  ou  dà  l'extrémité  inférieure  de  la  planche. 
i  In  demande  : 

I    uuelles  sont  les  conditions  d'équilibre  ilu  système; 

2°  Quelle  sera  la  nature  du  mouvement  initial  que  prendra  le  système  si,  par  suite  d'un  déplacement  du 
point  d'application  du  poids  P,  l'équilibre  se  trouve  rompu. 

♦ 


QUESTIONS  PROPOSEES 


496.  —  Trouver  une  courbe  (C  passant  par  l'origine  des  coordonnées  0  et  telle  que  le  rayon  de  courbure 
en  un  point  quelconque  M  de  celte  courbe  ait  même  longueur  que  l'arc  de  courbe  OM. 

Ai  zefuh,  à  Montpellier. 

497.  —  Deux  prismes  de  verre  rectangles  el  isocèles  sonl  rapprochés  parleurs  faces  hypoténuses  de  manière 
à  constituer  parleur  réunion  un  prisme  unique  à  section  carrée.  On  a  seulement  interposé  entre  les  deux 
prismes  une  lame  mince  d'un  liquide  moins  réfringent  que  le  verre.  Un  faisceau  lumineux  de  lumière  blanche 
est  dirigé  sur  le  système.  Étudier  la  composition  du  faisceau  transmis  et  celle  du  faisceau  réfléchi  par  la  lame 
liquide  dans  le  voisinage  dr  la  réflexion  totale. 


DEUXIEME     PARTIE 


ii  EOM  ETR  I  i:    ANÀLYTIQU  E 


442.  — On  prend  deux  axes  rectangulaires  Ox,  Oy  et  une  dt         I1   lyant pour  équation     y  —  mx  =  0. 

I"  Trouver  l'équation  générale  des  hyperboles  ayant  pour  asymptote  Oy  et  pour  directrice  la  di         I1 

i    I  ■     du  fo       correspondant  à  la  directrice  donnée. 

'■'.    Pour  chaque  position  du  foyer,  trouver  le  centre  de  la  courbe'  en  déduire  le  lieu  du  second  / 
le  lieu  des  sommets  réels. 

I    Pour  chaque  position  du  fo  ni  des  parallèles  aux  asymptotes  de  l'hyperbole  correspondante. 

Ces  parallèles  rencontrent  l'hyperbole  aux  points  P  et  Q.  Trouver  le  lieu  du  pôle  de  PQ  lorsqu'on  fait 
le  foyer,  et  par  suite  l'hyperbole  correspondante. 

5°  On  suppose  que  l'on  donne  une  position  fixe  du  foyer,  et  que  l'on  fait  varier  la  direction  de  la 
droite  1».  en  faisant  varier  le  coefficient  m  Trouver  alors  :  le  lieu  du  second  foyer;  le  lieu  du  pôle  de  PQ  ; 
/,■  Heu  des  sommets 

1  ■  L'équali les  coniques  ayanl  pour  directrice  la  droite  l>  esl 

x       x)2  +   y  —  ,'i  -  —  X  y  —  m. r  -  =  0; 
en  écrivant  que  Oy  est  asymptote,  on  a     p  =  0,     )       I.     et  l'équation  générale  chercl 

(x  —  *)-  -+-  y2  =  y  — 

OU  I   —  -  -l'xx+a2  =  0. 

(in  voit  aisémi  ni  que  l'excentricité  de  ces  coniques  esl  constante  et  égale  à  \  m:      \ 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  363 


2°  Puisque  £  est  nul,  le  lieu  des  foyers  relatifs  à  la  directrice  D  est  l'axe  Ox. 
Ce  résultat  était  à  prévoir,  car  on  sait  que  la  projection  d'un  foyer  d'une  hyperbole  sur  une  asymp- 
tote est  située  sur  la  directrice  correspondante. 

3°  Le  centre  C  de  la  courbe  est  à  l'intersection  de    ùy   avec  la  perpendiculaire    menée  par  le 

foyer   F(*,  0)    à  la  droite  D;   il  a  pour  ordonnée Le  deuxième  foyer  F' 

ni- 
ent symétrique  de  F  par  rapport  au  point  G  ;  ses  coordonnées  sont 

2  2 

X  =   —  se,  y  =  —  , 

1)1 

et  quand  *  varie,  le  lieu  de  ce  point  est  une  droite  passant  par  l'origine  et 

2a: 
qui  a  pour  équation     y  -\ =0. 

m 

On  a  le  lieu  des  sommets  réels  en  éliminant  a  entre  l'équation  de  la 
courbe  et  celle  de  l'axe  réel     FF'[my  +j;-ï=:0];     on  obtient  facilement 
mx2  —  Ixij  —  my*  =  0, 
équation  qui  représente  deux  droites  rectangulaires  passant  par  l'origine. 

On  voit  d'ailleurs  géométriquement  que  le  lieu  du  point  F'  est  la  conjuguée  harmonique  de  OF 

C  F       C  F' 
par  rapport  à  Oy  et  à  la  parallèle  à  CF  menée  par  l'origine.  De  plus,  les  rapports  —  et  —  étant  égaux 

à  l'excentricité  et  par  suite  constants,  le  lieu  des  sommets  S  et  S'  se  compose  des  droites  OS  et  OS' 
qui  sont  perpendiculaires,  puisque  CS  et  CS'  sont  égaux  à  CO. 

4°  Supposons  que  P  désigne  le  point  de  rencontre  de  l'hyperbole  et  de  la  parallèle  à  l'asymptote  Oy 
menée  par  le  foyer  F.  Le  pôle  de  la  droite  PQ  est  l'intersection  de  la  tangente  à  l'hyperbole   au 

point  P   avec  l'axe  réel.  Or  les  coordonnées  du  point  P  sont  ».  et  — ,  la  tangente  en  ce  point  a  pour 

équation     2y  —  vix  =  0;     c'est  l'équation  du  lieu  puisqu'elle  est  indépendante  de  a. 

5°  Supposons  maintenant  que  «  soit  fixe  et  m  variable. 

Le  lieu  du  foyer  F'  est  la  droite    i  +  «  =  0. 

Le  lieu  du  pôle  de  PQ  s'obtient  en  éliminant  m  entre  les  équations 

2y  —  mx  =  0,  my  -+-  x  —  *  =  0, 

ce  qui  donne 

2»/2  +  a-2  —  ix  =  0, 
équation  d'une  ellipse  aisée  à  construire. 

Enfin  nous  aurons  le  lieu  des  sommets  réels  en  éliminant  m  entre  l'équation  de  l'axe  réel  ' 

my  -t-  x  —  a  =  0, 
et  celle  de  l'ensemble  des  droites  OS,  OS' 

m  x*  —  y-)  —  2.ri/  =  0. 
On  trouve 

a:  (a;2  -+-  y-)  —  a  (a;2  —  y-)  =  0, 

équation  qui  représente  une  strophoïde  droite  ayant  le  point  F  pour  sommet  et  pour  point  double  le 

point  U.  Ce  résultat  s'aperçoit  immédiatement  sur  la  ligure,  car  lorsque  m  varie,  la  droite  FC    tourne 

autour  du  point  F  et  l'on  a  constamment     CS  =  CS'  =  CO. 

Mario  GUESDE. 

Oui  résolu   celte   question  JIM.  K.-N.  Baiiisien  ;   Joseph   Goujon,  pensionnât   de   Valbeuoite,  u   Saint-Etienne;  J.   Guiiiaud,  lycée 
Saint-Louis  ;  F.  Pégorier,  répétiteur  au  collège  de  Celte. 


445.  —  On  considère  une  hyperbole  équilatère  et  deu  v  limites  conjuguées  par  rapport  à  relie  hyperbole 
■l  rectangulaires  entre  elles.  On  demande  de  montrer  : 


364  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


I  Que  l'enveloppe  de  l'une  des  droites,  I»,  est  une  parabole  quand  la  seconde,  I),,  tourne  autour  d'un 
point  fixe  P  ; 

2'  Que  si  P  décrit  un  cercle  passant  au  centre  de  l'hyperbole,  le  foyer  de  la  parabole  décrit  une  droite. 

3    Trouver  l'enveloppe  de  celte  droite  quand  le  centre  du  cercle  décrit  l'hyperbole  donnée. 

1°  Suit  x' — y- —  n2  =  i)  l'équation  de  l'hyperbole  rapportée  à  ses  axes,  et  i  .  <,■  ■  les  coor- 
données  du  point  1'.  Une  droite  quelconque,  h,,  passant  par  le  poinl  P  a  pour  équation 

y  —  i/o  =  "<(•£  —  X0)  ou  '"■''  —  y  +  .'/o  —  "!'ro  =  0  i 

la  droite    I)   correspondante  esl   perpendiculaire  à    I»,    et   passe  par  le  pôle  de  celte  droite.  Les  coor- 
données  de  ce  pôle  sont  délei  minées  par  1rs  équations 

x         —  i/  —  a- 


m  —  I         l/0  —  mar„ 

d'où  l'on  tire 

n- m  n- 

?/o  —  mxo  '  î/o  —  m*o  ' 

la  droite  L)  a  pour  équation 

a-  I  ,  a2»»     \ 

y  H = *h • 

?a,  -  ",j,o         '"  \      y0—mxJ 

ou,  en  ordonnant  par  rapporl  à  m, 

//ry-r,,  -+-  »!  .i-x0  —  //i/,,  —  2»2   — .t;/0  =  0. 

Nous  aurons  l'enveloppe  de  celte  droite  en  écrivant  que  celle  équation  du  deuxième  degré  en  m   ;i 

une  racine  double  ;  nous  avons  ainsi 

'  ''.'  ~~  ?/.'/u  —  -al  I  "+"  ^X1.lxv]h  =  0 
ou 

'  '  ■    1"  yVof  —  4a*<  .r.i\,  —  yy0   -+-  'm1,  =  0. 

C'est  l'équation  d'une  parabole  tangente  aux  deux  axes,  la  corde  des  contacts  ayant  pour  équation 

xx0  —  j/j/o  —  2a'2  =  0 . 

2"  La  projection  de  l'origine  sur  cette  droite  est  le  foyer  de  la  parabole,  ses  c< lonnées  sont 

,         -"  '■' '„  .  _         -""'.'/» 

—  xl  -+-  yî  '  'vi  +  î/o 

Si  le  point   P  décrit  un  cercle  passant  à  l'origine,  nous  avons 

»oS-t-2/os  —  2*r0  —  2fy,  =0, 
ou 

I  -2a— ^ 2S      ?/o       =  0, 

*o  +  .V  5  ''5  +  î/5 

ce  qu'on  peut  encore  écrire 

,     «r     tf     0 

ou  enfin 

a*''  —  (Si/'  —  fl2  =  0. 

Le  foyer  de  la  parabole  décrit  donc  la  droite  qui  a  pour  équation     ttx —  (3y  —  a"-  =  0. 

3"  Si  le  centre  du  cercle  [a,  p    est  sur  l'hyperbole  donnée,  la  droite    ax— (îy  — a!  =  0    estpréci 
sémenl  la  tangente  ii  l'hyperbole  au  point  (a,  p).    L'enveloppe  demandée  est  donc  l'hyperbole  donnée. 

MM.  E.  FÉux  et  .1.  Goiraud  (lycée  Saint-Louis)  ont  résolu  cette  question. 


450.       On  considère  toutes  les  coniques  m/uni  un  foyer  I  '  donné  et  tangentes  à  deux  droites  fixes  a  et  b. 
Montrer  uni1  les  directrices  relatives  au  foyer  F  passent  toutes  par  un  même  point. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


3fio 


Déduire  de  là  la  construction  de  la  conique  particulière  du  faisceau  /mur  laquelle  le  rapport  des  dis- 
lances du  foyer  fixe  au  centre  et  à  la  directrice  est  donné. 

Prenons  pour  axes  les  deux  droites  fixes  et  désignons  par  st,  fi  les  coordonnées  du  point  F.  Une 
conique  quelconque  ayant  ce  point  pour  foyer  a  pour  équation 

x  —  a  2  +  -1  x  —  a)(y  —  3)cos  8  -+-  i  y  —  B  '  —  À  u.r  +  oy  +  w  2  =  0  ; 
nous  allons  écrire  que  celte  conique  est  tangente  aux  deux  axes.  Faisons     y  =  0    dans  l'équation  ; 
nous  avons 

x2  (  1  —  Xx2)  —  2a;  (a  -h  S  cos  0  -b  \uw)  -h  'Jr  -+-  2a3  cos  9  -(-  £2  —  Xw2  =  0 . 

Pour  que  cette  équation  ait  une  racine  double,  il  faut  qu'on  ait 


COS  8  -+-  ~kuw) 2  —  (1  —  Xii2)(a2  -1-  2*3  COS  0  -+-  32 


=  0, 


X[w2(a2  +  2a3  cos  8  -+-  82)-l-2Mw(a+3  cos  6)  +wa]  —  £2  sin2  6  =  0. 
En  écrivant  de  même  que  la  conique  est  tangente  à  Oy,  on  obtient 

X[u2(a2  +  2a3  cos  0+  S2j  +  2»w(B-f-a  cos  6)  +!f!j  —a2  sin2  8  =  0. 
Éliminons  X  entre  ces  deux  dernières  équations,  nous  avons 
(  ■x-  -+-  2a3  COS  8  +  32  |(otsu2  —  32u2  !  -t-  2a2  !  ï  -+-  B  cos  8  )  uw  —  232  l  3  +  a  COS  8  UK!  +    i2  —  B!  /r2  =  0  . 

<m  -+-  oB  -h  W    i«ï(a2  +  2a3  COS  9+  S2;  —  «B(a2  +  2aB  COS  0 -t-  B2|  -+-  îo(a2 —  S2 )]  =  0. 
Le  premier  facteur     im  -+-  ri+  w     ne  peut  être  nul,  car  la  directrice  ne  passe  pas  par  le  foyer  ;  on 


doit  donc  avoir 

h  y.  x2  +  2<i  cos  0+  S2:  - 

ce  qui  montre  que  la  directrice     ».r+  vy 

z|  ï2  -+-  2a8  cos  8  - 


U&(a2  -H  2a3  COS  ')  ■+-  Ba)  +  W  (a2  —  B2)  =  0, 
■  w  =  0     passe  par  le  point  qui  a  pour  coordonnées 

-  2a3  cos  8  -+-  32 1 


y  =  —  - 
*  —  f  *  —  f 

Remarque.  —  Les  coniques  considérées  sont  bitangentes  d'une  part  à  la  conique  formée  par  les 
droites  Ox,  Oi/  et  d'autre  part  à  la  conique  formée  par  les  droites  isotropes  qui  passent  au  point  F. 
D'après  un  théorème  connu,  les  cordes  de  contact  se  coupent  au  centre 
d'un  des  couples  de  sécantes  communes.  Or  ce  point  est  fixe,  Tune  des 
cordes  de  contact  est  la  directrice  relative  au  foyer  F  ;  le  théorème  est 
établi.  . 

Parmi  les  coniques  tangentes  aux  deux  axes  et  ayant  pour  foyer  le 
point  F  il  y  a  une  seule  parabole,  dont  la  directrice  passe  par  les  points  A 
et  B  symétriques  de  F  par  rapport  à  Ox  et  à  Oy.  De  plus,  les  points  de 
contact  Ai  et  Bi  de  celte  parabole  et  des  deux  axes  sont  situés  sur  les 
droites  menées  par  A  et  B  perpendiculairement  à  la  droite  A.B. 

Le  point  lixe  P  cherché  est  à  l'intersection  de  AB  et  de  A|B,. 

Nous  allons  maintenant  indiquer  la  construction  de  la  conique  parti- 
culière du  faisceau  pour  laquelle  le  rapport  des  distances  du  point  F  au 
centre  C  et  à  la  directrice  est  égal  à  k. 

Soit  II  le  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  F  sur  ladirec- 

trice  de  cette  conique,  nous  avons    =  k. 

FH 

Le  point  II  appartient  au  cercle  r  qui  a  pour  diamètre  11',  il  en  résulte  que  le  centre  C  esl  situe 
sur  un  cercle  t"  homothétique  du  cercle  r,  le  centre  d'homothétie  étant  le  poinl  F. 

D'autre  pari,  le  lieu  des  centres  des  coniques  est  la  perpendiculaire  IJ  élevée  au  milieu  de   \K, 


366 


GÉOMÉTRIE    VNALYTIQ1  1 


\  ei  B  étanl  les  projections  du  foyer  sur  les  deux  axes  Ox,  Oy,  car  on  sail  qui  ces  deux  points  sont 
équidislanls  du  centre. 

Il  en  résulte  que  le  centre  de  la  conique  cherchée  esl  à  l'intersection  du  cercle  r  el  delà  droite  1.1. 
Le  centre  étanl  connu,  la  conique  esl  déterminée. 

on  aura  donc  deux  solutions  réelles,  imaginaires  ou  confondues  selon  la  nature  des  points  de 
rencontre  de  la  droite  el  du  cercle.  Joseph  LHÉRIAUD,  lycée  de  Toul 

Autres  solutions  par  MM.  At  7.1:1101.   i  Montpellier;   Iîlazy-Lacombe,  lycée  de  Toulouse  ;  G.  de  Fhance,  ù  Versailles. 


454.  ^  ()n  donne  une  droite  et  un  cercle  qui  la  coupe;  mener  une  tangente  qui  forme  avec  la  droite 
donnée  et  le  diamètre  perpendiculaire  un  triangle  d'aire  maximum  ou  minimum. 

Lieu  ,1,,  point  de  contact  quand  la  circonférence  •<  son  centre  fixe  et  que  son  rayon  i  a 
Prenons  pour  axe  des  y  la  droite  donnée  et  pour  axe  des  x  le  diamètre  perpendiculaire  :  soit 

,r  —  a  -  -T- y-  —  R2  =  0 
l'équation  du  cercle. 

Une  tangente  quelconque  à  ce  cercle  a  pour  équation 

(x  —  a)  cos  o-r-î/  sin  o  —  R  =  0, 
elle   l'orme   avec  les  axes  un  triangle  dont  l'aire  a  pour  mesure  la  valeur  absolue  de  la  quantité 

i  a  cos  o  -t- — _  ^    En  égalant  à  zéro  la  dérivée  de  cette  fonction,  nous  aurons  les  valeurs  de    <?   corres- 

sin  2<j> 
pondantes  au  maximum  ou  au  minimum  de  l'aire  du  triangle. 
.Nous  avons  ainsi  l'équation 

a  cos  o-*-  li    </(sin  <p  sin  2<p  -t-  cos  o  cos  2<f        R  cos  2<s]  =  0, 
ou  encore,  en  supprimant  le  l'acteur    a  cos  o  -+-  R    qui  ne  peul  s'annuler,  puisque  R  est  supérieur  à  a, 

a  cos  o  +  R  cos  2s  =  0, 
2R  cos2  o  -\-  a  cos  o  —  R  —  0. 
Cette  équation  admel  une  racine  positive  comprise  entre  o  et  I,  et  une  racine  négative  comprise 
entre  —  1  et  0.  A  la  racine  positive  correspondent  deux  points  du  cercle, 
\l  el  M,,  symétriques  par  rapport  à  Ox  et  ayant  une  abscisse  commune 
positive.  A  la  racine  négative  correspondent  également  deux  point-  M 
et    M',    dont  l'abscisse  commune  est  négative,  car  on  vérifie  aisémenl  que  la 

n 
racine  négative  de  1  équation  esl  comprise  entre     —  1     et     —  — ■ 

Nous  aurons  le  lieu  décrit  par  les  points    M,  M  .  M,.  M,    en  éliminant    li 
el    o   entre  les  équations 

x  —  a  =  1!  cos  o, 
j/  =  R  sin  », 
2R  cos-  o  ■+■  a  cos  o  —  R  =  0. 
-,    et  en  portant  celle  valeur  dans  la  troisième  équation,  il 


y 

A 

Nî1 

f\ 

jjp 

V   P 

0 

x 

Mi\. 
A' 

M, 

De  la  première  on  tire    cos  »  = 

vienl 

2  x  —  af  +  a  x  —a)  —  R-       0, 

et  en  remplaçant  R-  par      t      a         y3,     on  a 

.r-  -- 1/2  -    ax       0. 
C'est  l'équation  dune  hyperbole  équilatère  qui  a  pour  sommets  les  points  P  et  0. 

VUZERAM,  h  Montpellier. 

Solutions  analogues  par  MM.  E.  N.  Iîahi-ie>  :  Blazy-Lacombe  et  Joseph   Uéiuaud,  lycée  de  roulouse;  Joseph  Goujon  cl  Antoine 
Langlois,  iiriisimni.il  or  Valbcnotte,  Saint  Etienue. 


QUESTIONS    POSEES    AUX    EXAMENS    ORAUX 


367 


Autre  solution. 

Considérons,  d'une  manière  générale,  les  triangles  qui  admettent  deux  droites  fixes  pour  côtés  et 
dont  le  troisième  côté  enveloppe  une  courbe  quelconque  :  ceux  dont  l'aire  est  maxima  ou  minima  sont 
tels  que  le  côté  variable  touche  son  enveloppe  en  son  milieu  :  cette  propriété  résulte  de  ce  que  les 
triangles  de  même  aire  qui  admettent  deux  droites  fixes  pour  côtés,  ont  leurs  troisièmes  côtés  tangents 
en  leurs  milieux  à  une  hyperbole  dont  les  asymptotes  sont  les  deux  droites  fixes. 

Dans  le  cas  particulier  de  la  question  la  tangente  cherchée  touche  donc  le  cercle  0  en  un  point  M, 
tel  qu'il  existe  une  hyperbole  tangente  au  cercle  en  ce  point  et  admettant 
pour  asymptotes  la  droite  donnée  AA'  et  le  diamètre  perpendiculaire  OP  : 
la  droite  OM  est  normale  à  cette  hyperbole,  et  le  point  M  est  par  suite 
sur  l'hyperbole  d'Apollonius  correspondant  au  point  0  et  aux  hyperboles 
d'asymptotes  AA'  et  OP  :  le  lieu  cherché  est  donc  celle  hyperbole  équila- 
tère  H  de  sommets  0  et  P. 

Le  problème  se  trouve  donc  ramené  à  construire  les  points  où  un 
cercle  de  centre  0  coupe  l'hyperbole  H  :  soient  m  et  m'  leurs  projections 
sur  OP  :  ces  points  se  correspondent  évidemment  dans  l'involution  déter- 
minée sur  OP  par  les  points  0  et  P  d'une  part,  et  d'autre  part  par  les 
extrémités  du  diamètre  OP  ;  ils  se  correspondent  d'ailleurs  aussi  dans 
toutes  les  involutions  que  déterminent  les  projections  sur  OP  des  points 
où  les  coniques  0  et  H  coupent  une  droite  quelconque,  par  exemple  une  asymptote  de  11  :  le  milieu 
de  la  corde  interceptée  sur  0  par  cette  asymptote  se  projette  évidemment  au  quart  de  OP  à  partir  du 
point  0,  et  cette  projection  doit  être  le  milieu  de  mm'.  On  en  déduit  cette  construction  très  simple  : 
les  points  m  et  m!  sont  sur  la  circonférence  passant  par  A  dont  le  centre  est  au  quart  de  OA  à  partir 
du  point  0.  AlphA- 


QUESTIONS  POSEES  AUX  EXAMENS  ORAUX 


ÉCOLE    CENTRALE  (1894) 
Géométrie   analytique.    (M.   Gouilly.) 

Géométrie  analytique  à  deux  dimensions  (Suite). 

113.  —  Lieu  des  milieux  îles  cordes  menées  normalement  à  une  parabole. 

114.  —  En  un  point  M  d'une  parabole,  on  mène  la  tangente  et  la  normale  ;  la  normale  coupe  l'axe  de  la  parabole  au 
point   N.   Lieu  du  point  de  rencontre  de  la  tangente  en  M  avec  la  perpendiculaire  à  l'axe  menée  par  le  point  N. 

115.  —  Une  parabole  donnée  se  déplace  en  restant  tangente  aux  deux  axes  de  coordonnées.  Lieu  de  son  foyer. 

116.  —  Exprimer  que  l'équation  générale  du  second  degré  représente  une  parabole  dont  le  foyer  et  le  paramètre  sont 
donnés.  —  Lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  à  cette  courbe  parallèle  à  Oy. 

117.  —  Équation  générale  des  coniques  circonscrites  à  un  parallélogramme.  —  Démontrer  que  leur  centre  est  le  point 
de  concours  des  diagonales.  —  Chercher  les  asymptotes. 

118.  —  Equation  générale  des  paraboles  ayant  une  corde  commune  et  tangentes  à  une  droite  parallèle  à  cette  corde.  — 
Écrire  l'équation  de  l'axe  de  l'une  de  ces  paraboles.  —  Lieu  des  foyers. 

119.  —  On  donne  un  cercle  et  un  point  C  sur  ce  cercle;  on  mène  une  parallèle  AB  à  0,r.  Équation  générale  des 
coniques  qui  passent  par  les  points  de  rencontre  A  et  B  de  cette  droite  avec  le  cercle  et  sont  tangentes  au  cercle  au  point  C. 

120.  —  On  donne  une  ellipse  et  un  point  sur  cette  ellipse.  Équation  d'un  cercle  tangent  en  ce  point  à  l'ellipse. 

121.  —  Équation  d'une  courbe  du  troisième  degré  qui  a  une  asymptote  parallèle  à  l'axe  des  x,  une  parallèle  à  l'axe 
des  y  et  une  parallèle  à  la  bissectrice  de  l'un  des  angles  des  axes.  De  plus  elle  passe  par  l'origine  et  y  est  tangente  à  cette 
même  bissectrice. 

122.  —  Exprimer  qu'une  équation  du  troisième  degré  représente  une  courbe  qui  a  un  point  double  isolé  à  l'origine, 
une  asymptote  parallèle  a  l'axe  des  x  et  une  parallèle  à  la  bissectrice  de  l'un  des  angles  des  axes. 


368  QUESTIONS  PROPOSÉES 


r3 4  x* 1 

123.  —  Construire  1rs  courbes  ;/  ••=  — — -.  y  =  ■ -• 


12'».  -  Construire  les  courbes          y  =  v  x  —  i  i.r  —  2  x  —  4),           y  =  ^\c  —  u^.r  —  b)(x  —  c) 

125.  —  Construire  la  courbe    y  =  o&Jx —  t. 

lx  —  \  x~=\ 

126.  —  Construire  les  courbes  y  =  i/  — -,  y  =  i — _. 

\    ./-  — 4  V    (ï  +  i)(j  +  2) 


.r -i- l)(x  +  2) 

127.  —  Construire  la  courbe      '/ =  v     ; sr 

\      x  —  I    .r  —  i 

128.  —  Construire  la  courbe      '/  =  .n     ;■ 

\    X  —  s 

12!>.  —Construire  la  courbe  x  —  a)*y*  —  x* ■+■  6*  =  0. 

130.  —  Construire  la  courbe  ./  —  n  :y'-  —  x(x  +  b)  =  0. 

131.  —  Construire  la  courbe  x'  —  a*)!/5 -t- a:(s/ -t- x)  =  0. 

132.  —  Construire  la  courbe  '■•  n      \xy         r-  —  iif  =  o. 

Déterminer  les  asymptotes  :  les  points  multiples  avec  les  tangentes  en  tes  points. 

133.  —  Construire  la  courbe      p  =  a  cos  (m  —  a). 

134.  —  Construire  la  courbe     ;-  =  a  cos(u  -  j    h  //  sin  u  —  i). 

135.  —  Construire  la  courbe    •-  =  a  cos  ou. 

13(>.  —  Construire  la  courbe    c  =  cos--  :     en  particulier    o  =  cos — ■• 

/H  2 

137.  —  Construire  la  courbe     p  ^ 

1  —  cos  <i> 

138.  —  Gonstruirr  la  courbe     ■-  =  — —  • 

cos-  w 

cos:  u 
cos 

cos8  u 

140.  —  Construire  la  courbe    p  =  a—: 

5111  u 

141.  —  Construire  la  courbe    p  — • 

u  -h  ! 

142.  —  Construire  la  courbe    p  =  — -• 


ni  i;sïl(i\S    PROPOSÉES 


498.  —  On  donne,  une  parabole  et  on  considère  ?on  axe,  <>..-,  et  sa  tangente  an  sommet,  Oy.  La  tangente  en 
nu  poinl  variable  M  de  cette  parabole  rencontre  ces  deux  droites  en  A  et  1>  ;  la  normale  au  même  point  M  les 
i  encontre  en  A'  et  11'.  On  demande  les  lieux  des  centres  des  cercles  circonscrits  aux  triangle*  OAI!  et  I  t.\'ll',  les 
enveloppes  de  ces  cercles  et  le  lieu  de  leur  second  point  de  rencontre. 

I  ..   A.   POUII  I.l  IRT.) 

499.  —  Une  ellipse  de  grandeur  constante  tourne  autour  de  son  centre;  trouver  l'enveloppe  des  tangentes 
parallèles  à  la  bissectrice  de  l'angle  ipie  l'ait  un  des  axes  avec  une  direction  fixe. 

E.  Berthelot 

500.  —  I  ne  ellipse  île  grandeur  constante  tourne  autour  île  son  centre;  trouver  le  lieu  des  projections  du 
centre  sur  les  tangentes  qui  fonl  avec  une  direction  donnée  un  angle  égal  au  tiers  de  celui  que  l'ait  un  des  axes 
mobiles  de  l'ellipse  avec  la  même  direction. 

(E.  Bertbi  lot. 

— 4 

Le  Rédacteur-Gérant  :  11.  VUIBERT. 

BAR-LE-IU'C.  —    IMP.    COMTE -JACIJCET. 


6e  Année.  N°  7.  Avril  1896. 

REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


'    i  iiihiii  «mi'im  """i 

NÉCROLOGIE 


Nous  avons  le  vif  regret  d'apprendre  à  nos  lecteurs  la  mort  d'un  des  fondateurs  de  la 
Revue  de  Mathématiques  spéciales,  M.  TARTINVILLE,  resté  jusqu'à  la  dernière  heure  un  colla- 
borateur fidèle  et  désintéressé.  Chaque  année  il  publiait  dans  la  Revue  les  solutions  des 
questions  posées  aux  examens  d'admission  à  l'Ecole  centrale,  et  ces  solutions  étaient  toujours 
de  sa  part  l'objet  d'un  soin  méticuleux,  d'une  étude  approfondie  et  pleine  de  sagacité,  où  les 
méthodes  proposées  aux  élèves  étaient  en  correspondance  parfaite  avec  leurs  connaissances. 
En  dehors  de  ce  concours  effectif  et  précieux,  les  rédacteurs  habituels  de  la  Revue  avaient  en 
lui  un  ami  sur  et  dévoué,  se  réjouissant  de  tout  ce  qui  pouvait  assurer  le  succès  de  leur 
publication  et  prêt  à  les  aider  de  ses  judicieux  conseils. 

Mais  ce  serait  amoindrir  la  personnalité  de  M.  Tartinville  que  d'insister  outre  mesure  sur 
cette  manifestation  trop  particulière  de  sa  bienfaisante  activité.  L'Université  perd  en  lui  l'un 
des  professeurs  les  plus  consciencieux,  les  plus  dévoués  aux  intérêts  des  élèves  qu'elle  ait 
jamais  eus.  On  peut  dire  qu'à  bien  des  points  de  vue  M.  Tartinville  fut  le  modèle  du  véritable 
professeur  :  conscience,  loyauté,  bienveillance,  désintéressement,  préparation  scrupuleuse, 
toutes  les  qualités  qui  font  d'un  homme  un  guide  recherché  pour  la  jeunesse,  il  les  possédait 
au  plus  haut  degré.  Nul  plus  que  lui  n'a  eu  le  souci  des  grands  intérêts  qui  lui  étaient  conliés, 
la  préoccupation  constante  d'améliorer  son  enseignement  ;  et  le  travail  continu  qu'il  s'est  imposé 
n'est  certainement  pas  étranger  à  sa  mort. 

Il  y  a  un  an,  lorsqu'il  fallut  procéder  à  l'élection  d'un  représentant  des  agrégés  de  mathé- 
matiques au  Conseil  supérieur  de  l'Instruction  publique,  un  certain  nombre  d'entre  nous 
proposèrent  avec  enthousiasme  la  candidature  de  M.  Tartinville  ;  elle  triompha,  et  le  corps 
des  agrégés  reconnut  ainsi  publiquement  les  mérites  exceptionnels  de  l'ami  que  nous  pleurons 
tous  aujourd'hui.  Avec  lui,  nous  savions  nos  intérêts  en  bonnes  mains;  nous  étions  sûrs 
qu'aucune  considération  personnelle  ne  lui  ferait  abandonner  les  justes  idées  qu'il  nous  avait 
soumises  et  qu'il  s'était  engagé  à  défendre.  Hélas  !  nous  ne  pensions  guère  qu'il  restât  si  peu 
de  temps  à  ce  poste  d'honneur  !  Que  ce  soit  du  moins  pour  nous  une  consolation  de  lui  avoir 
procuré  avant  sa  mort  cette  haute  satisfaction  morale  ! 

Dans  ce  journal,  moins  que  partout  ailleurs,  il  n'est  pas  permis  de  passer  sous  silence 
les  ouvrages  que  l'honorable  professeur  a  publiés  dans  cette  même  librairie.  Ils  portent  la 
marque  de  son  esprit  méthodique  et  sagace.  Ses  élèves  y  retrouveront  l'écho  de  cette  parole 
dévouée  et  qu'à  tant  de  titres  ils  aimaient  ;  leurs  successeurs  >  prendront  des  idées  justes  et 
saines,  l'habitude  de  la  rigueur  mathématique,  ce  scrupuleux  souci  de  l'exactitude  qui  est  la 
loi  morale  de  l'esprit  et  conduit  si  souvent,  par  des  chemins  mystérieux,  à  l'observation 
sereine  des  plus  hautes  lois  de  la  conscience. 

Qu'il  nous  soit  permis,  en  terminant,  d'offrir  à  sa  veuve  et  à  ses  chers  orphelins  l'hom- 
mage de  notre  profonde  douleur  et  de  notre  vive  sympathie.  11>  peuvent  être  assurés  que 
le  souvenir  de  l'homme  excellent,  du  loyal  collègue  et  du  partait  universitaire  que  fut 
M.  Tartinville  vivra  toujours  parmi  nous.  Plus  tard,  quand  les  pauvres  enfants  auront  grandi 
et  pourront  se  mêler  à  ceux  d'entre  nous  qui  seront  encore  là,  ils  comprendront  les  regrets 
que  leur  père  laisse  aujourd'hui,  et  cette  chère  mémoire  leur  assurera  toutes  les  sympathies 
cl  tous  les  dévouements.  E.  II. 


370 


LEÇON    D'AGRÉGATION 


PREMIERE  PARTIE 


LEÇON   D'AGREGATION 


12. 


Invariant  de  la  forme  cubique.  —  Application  à  la  résolution  de  l'équation 
du  troisième  degré 

Nous  nous  appuierons  sur  cette  propriété  bien  connue  que  le  hessien  d'une  forme  homogène  il»' 
degré  quelconque  et  renfermant  un  nombre  quelconque  de  variables  est  un  covariant  de  cette  forme. 
Nous  allons  d'ailleurs  démontrer  cette  propriété. 

A  cet  effet,  désignons  par  f{xi,x2 r     une 

conque  p,  et  représentons  par 

/     a;,  =  <*„;/,  +  a12ya 


ni 1 1 < *  homogène  h  n  variables  de  degré  quel 


(1) 


"2l,'/l  +   «22Î/2 


uni'  substitution  linéaire  à  effectuer  sur  1rs  variables  xt  :  les  formules  1  résolues  par  rapport  à 
J/ii  !/2.  •  ••>  '/.i  donneront  les  variables  nouvelles  en  fonction  îles  anciennes.  Effectuons  alors  identi- 
quement la  substitution  indiquée  sur  la  forme  /'  ce,,  x. /„  de  façon  que  l'un  ail 

m  verlu  des  formules    I,;  désignons  par   P,,  Ps,  ...,  P„   les  dérivées  partielles  de    /',  </,,  t/2, i/„) 


par  rapport  à    y,,  >/••, 
aurons  .dois 


»/„,   et  supposons  ces  fonctions  exprimées  à  l'aide  des  variables   a ■■..   Nous 


Ox, 


JÏL. 


dP, 

l~a- 
ox3 

dP, 

hdrV 


dPi 

dx„ 

\-  V-  Ont, 

ax„ 


à% 


ôx', 


dP> 

<)x. 


dx„ 


àyidy„ 

et,  de  même,     »  —  i     autres  systèmes  analogues  pour  chacune  des     n  —  1     autres  lignes  du  hessien 

de  la  l'orme    /i(j/i,  j/si    . . ,  ;/„)•    Ces  formules  montrent  immédiatement    que   le   nouveau    hessien, 
ll,('/,.  '/....  . .   ,  ;/„).     esi  le  produit  du  déterminant 

dPt            dP,  dP, 

dxt             dxt  dx„ 

,)\':             dP,  dP. 

dx,             >'/  dx„ 


•  J'ai  reçu  dans  le  courant  du  mois  dernier  une  lettre  d'un  candidat  ;i  l'agrégation  me  demandant  de  publier  dans  la 
Revue  les  le s  de  mathématiques  spéciales  portanl  les  N  12,  14,  15  voii  Annales  de  l'agrégation  des  sciences  mathé- 
matiques I  es  ili'ii\  dernières  ne  pourraienl  intéresser  qu'un  nombre  trop  restreinl  de  lecteurs  pour  qu'il  me  -"il  possible  de 
di  férei  au  vœu  qui  m'a  été  adressé  :  mais  la  première  esl  assez  aisée  a  suivre  pour  qu'un  élève  de  Mathématiques  spéciales 
ordinaire  In  lise  avec  intérêl  cl  proûl  :  aussi  je  m'empresse  de  la  publier.  E.  II. 


INVARIANT    DE    LA    FORME    CUBIQUE  371 


D'autre  part,  l'identité  (2)  nous  donne 


par  suite  nous  avons 


,)/\         df  df  df 

dy,       dx,  dx2  ax„ 

dP,       âsf  d*f  d3f 

-r-  =   7^".i  +  -j — ï-OïtH-  ■•■+  i [~",n- 

dxt       dxk  oxtoXî  uXiOx„ 

d\\  _     <)-f  d-f  d2f 


dx2        dxidxi  dx\    '  àx ..t).r„ 

,)]>,  d-f  d3f  d-f 

Y-  =    -, ^ —  '/,i  -H  -r r-ai-.H HjyH»i; 

()x„  OXiÔXn  <)r,i)x„  ilx- 

nous  avons  de  même   n  —  1   autres  systèmes  semblables  pour  les  dérivées  partielles  de  P2,  P3,  . .    ,  P„ 
par  rapport  à  x,,  x2,  . . . ,  x„.   Ces  formules  montrent  aussi  de  suite  que  le  déterminant  fonctionne]  des 
fonctions   P*  est  le  produit  du  liessien  de  la  forme  f(xu  x2,  . . . ,  xn)   par  le  module  de  la  substitution. 
Nous  obtenons  donc  finalement  l'identité  suivante,  qui  démontre  la  propriété  annoncée  : 
(3)  H,(i/,,  ?/,,  . .   ,  ?/„)  =  m*E[xu  x2 v„  . 

Pour  appliquer  ce  qui  précède  aux  formes  binaires  cubiques,  représentons  par 

x,  =  *i;/i  -t-^î.'/i, 

xi  =  p,y,  +  fry, 
les  formules  de  substitution  et  par 

n.r]  -h  "àbx\Xî  -+■  'ScXiXi  -+-  dxl, 

".'/,'  +  3%;y2  -+-  3c,y,y^  +  dtyl 
les  deux  formes  cubiques  identiques  en  vertu  de  ces  formules;  nous  aurons  d'abord  m  =  %x'p, —  o^f,; 
puis,  en  divisant  les  deux  hessiens  par  le  facteur  numérique  36, 

H(x,,  x,)  =  (ac  —  b'2)x\  +  (afZ  —  bc)xtx2  H-  (6d  —  cs  )x\, 

H'(ï/i)  f/s)  —  (alcl  —  bltyl  "+"  (al^i  —  ^ici ).'/!.'/ *  "+"  (Wl   ~~  c?)i/ai 

et,  en  vertu  de  l'identité  (3), 

H|(?/i,  y2)  =  m2H(x,,  x2';. 

D'autre  part,  si  l'on  applique  à  la  fonction   H(x,,  x2)   la  substitution  envisagée,  on  a  identiquement 
H(x,,  xt)  =  &y\  +  By±ys  -+-  Cyl, 
et  la  propriété  du  hessien  fournit  l'identité  nouvelle 

4AC  —  Bs  =  m8[4(ac  -  b*){bd  —  c2)  —  [ad  —  bef]  ; 
ensuite  on  a,  en  vertu  de  ce  qui  précède, 

H,(y„  y2l  =  m\Ay\  -+-  By,y,  -+-  Cy\); 
d'où,  immédiatement, 

4(alC(  _  b\){bldi  —  c\)  -  {a,d,  —  6,c,)2  =  m4(4AC  —  B2). 

Par  conséquent,  en  désignant  par  A  et  A,  les  deux  fonctions  k{ac  —  b'2{bd —  c2j  —  {ad — bc)1  et 
4{aiC!  —  bi)[bidi  —  c2) —  (airf,  —  4,c,)2,     nous  trouvons  la  nouvelle  identité 

(4,  A,  =  m6A., 

qui  montre  que  le  discriminant  de  la  forme  cubique  est  un  invariant.  Nous  allons  voir  bientôt  que  la 
forme  cubique  n'a  pas  d'autre  invariant. 

Il  est  bon  de  remarquer,  avant  de  continuer  l'étude  de  cette  forme,  qu'un  calcul  semblable  nous 
permettrait  d'établir  pour  une  forme  quelconque  bomogène  que  le  liessien  du  liessien  est  un  covariant 
de  cette  forme.  Cette  propriété  est  d'ailleurs  bien  connue  et  n'est  qu'un  cas  particulier  d'une  autre 
beaucoup  plus  générale. 

Si  l'on  envisage  le  liessien  de  la  forme  cubique,  on  voit  qu'il  ne  peul  être  identiquement  nul  que 
lorsque    la   forme  considérée    est   un    cube   parlait,   car  les   hypothèses     ac —  62  =  0,     ad — bc  =  0, 


372  LEÇON    D'AGRÉGATION 


/„/ c*  =  0    entraînent  de  suite  cette  conclusion.  Donc  en  laissant   de  côté  ce   ras  exceptionnel, 

immédiatement  étudié,  on  voit  qu'il  n'y  a  que  deux  cas  à  considérer  réellement  :  le  cas  où  le  hessien 
esl  nu  produit  de  deux  facteurs  linéaires  distincts,  c'est-à-dire  le  cas  où  le  discriminant  est  différent  de 
zéro;  et  le  cas  oùle  hessien  esl  un  carré  parfait,  cas  qui  se  présente  quand  le  discriminant  est  simplement 
nul,  sans  que  les  hypothèses  envisagées  plus  haut  soient  réalisées. 

Cas  général.  —  Supposons  d'abord  le  discriminant   non  nul.  Nous  allons  montrer  que  la  forme 

cubique  esl  la  s ne  des  cubes  de  deux  formes  linéaires  indépendantes  et  indiquer  le  moyen  de  réaliser 

cette  décomposition. 

Supposons,  en  effet,  que  nous  ayons 

/',,.,        -Xî  +  Xl, 

avec  X,  =  «C-t-a'jr., 

ap'  —  pa'^O, 
X2  =  p.ri  -t    ,    - 

nous  déduisons  immédiatement  de  celte  identité 

E(xu  xt)  =  [«?  —  Pa')sX,X  . 

Il  ;■,,  .r.<    étant,   comme  antérieurementj  le  hessien  divisé  par  36;  par  conséquent  nous  voyons  que 

\,    et    Xs    sonl  les   facteurs  du  hessien.  Inversement,  désignons  maintenant  par    V,    et    Y.    les  doux 

facteurs  du  hessien  écrits  en  lixant  d'une  certaine  façon  1rs  facteurs  variables  qui  se  trouvent  dans  leurs 

coefficients,  et  posons 

Y,  =  3,£,  •+-  ouî'o, 

y5=;-.,, 

ces  formules  définiront  une  substitution  linéaire,  car  le  déterminant  x, p,  —  a2p,  n'est  pas  nul,  les 
facteurs  du  hessien  étant  distincts;  en  vertu  de  cette  substitution,  nous  aurons  identiquement 

f(xi,  x,)  =  aiY\-\-3biY\Y1  +  3c,Y1Y*-|-dfYÎ, 

el 

n  .,-,.  ,      :(a,^-^;^,,  il,  y„  ys). 

Or  ll'.r,,  Xi)  est,  à  une  constante  pies,  le  produit  V,YS  ;  donc  les  deux  coefficients  extrêmes  du 
hessien     II,  Y,.   Y       sont  nuls,  et  l'on  a 

a,d  —  b\  =  0  a,. Ci  —  b,.bt  =  0, 

/v'i  —  c'J  =  0  Cj.Cj  —  d|.6i  =  0, 

et,  comme    '/,//,  —  /v,     n'esl  pas  nul,  puisque  le  hessien  n'est  pas  identiquement  nul,  on  en  déduil 

h,  =  0,     c,  =  0.      La  nouvelle   forme  se  réduit  donc  à      ajYj-t-diY»,     et,  en  posant     X,       Y,^",. 

X2  =  YsVdt,    la  forme  cubique  est  ramenée  à  une  somme  de  deux  cubes  indépendants. 

Tous  les  calculs  indiqués  sonl  possibles  algébriquement,  sauf,  dans  certains  cas,  ceux  qui  con- 
sistent a  former  l'une  des  racines  cubiques  de  a,  el  une  des  racines  cubiques  de  </,.  qui  ne  sonl 
effectuables  sans  l'emploi  des  fonctions  circulaires  que  si  a,  el  </,  sont  réels. 

La  résolution  de  l'équation  cubique  esl  abus  immédiate  et  se  ramène  a  celles  de  trois  équations  du 

premier  degré  à  une  inc< ue  que  l'on  doit  envisager  successivement, 

\,    i    X2  =  0,  X.-t-OX»  =  0,  X,-M2X2=0, 

0  el  '!■  étanl  les  deux  racines  cubiques  imaginaires  de  l'unité. 

Il  esl  facile  aussi  de  faire  voir  que,  dans  le  cas  général  où  nous   nous  sommes  placé,  il  n'y  a  pas 

d'autre  invarianl  que  A.  Supposons,  en  effet, qu'il  j  en  ait  un  autre,  une  certaine  foncti les , fficients 

de  la  forme  cubique,     K  a,  6,  c,  d)  :    alors,  en  vertu  de  l'identité 

f[xt,  x2)  =  X?-t    \:. 
avec 

Xl  r  0!        P  '     .  O 


INVARIANT    DE    LA    FORME    CUBIQUE  373 

nous  aurons 

K(a,  6,  c,  d)  =  (ap'— pa'^Ktl,  0,  0,  1)  ; 
de  même 

A  =  (=t(3'-Pa')6.\(l,   0,   0,    1) 
OU 

A  =  -(«?- M». 
Or    K(l,  0,  0,  d)     se  réduit  à  une  quantité  numérique,  absolument  constante,  A;  donc  nous  voyons 
que 

JL  IL 

K(a,  6,  c,  d)=h'\  G  ,  /<'  =  /<.(—  1)  6  . 

L'invariant  K  n'est  donc  pas  autre  chose  qu'une  certaine  puissance  de  l'invariant  a  :  il  ne  diffère  donc 
pas,  à  proprement  parler,  de  celui-ci. 

Cas  particulier.  —  Le  hessien  est  un  carré  parfait,  le  discriminant  est  nul.  Alors  nous  allons 
montrer  que  la  forme  cubique  se  ramène  à  la  forme  X!X2,  Xi  et  X2  étant  deux  fonctions  linéaires 
indépendantes.  D'abord,  si  cela  est,  on  voit  de  suite,  en  raisonnant  comme  antérieurement,  que  le 
hessien  est  le  carré  de  X4.  D'autre  part,  si  le  hessien  est  un  carré  parfait,  soit 

H(a?„  x,)  =  X?  =  (%xt  -+-  a'xa)2  ; 
adjoignons  à  cette  fonction  linéaire  une  autre  fonction  linéaire,     Ys  =  pa?i  H-  p'a;2l     indépendante  de  la 
précédente,  et  effectuons  la  substitution  définie  par  ces  deux  équations  ;  nous  aurons 
H  xu  x3)  =  a,X? -t-36,X2Y2  +  3c,X,Yi  +  dtY\  ; 

si  nous  exprimons  maintenant  que  le  hessien  de  cette  nouvelle  forme  cubique  se  réduit  à  kXl,  nous 
aurons 

aid,  —  //,<:,  =  0,  //,(/,  —  c;  =  0, 

et,  comme  axCi  —  b\  ^  0,  nous  déduisons  de  là  d^  =  0,  ct  =  0  ;  ceci  nous  montre  que  la  forme 
cubique  se  réduit  à  Xî(atXi  -t-  36iY2)  ou  à  X?X2  ;  d'ailleurs  la  forme  X2  est  indépendante  de  X,, 
sans  quoi  la  forme  cubique  serait  un  cube  parfait  et  le  hessien  serait  identiquement  nul,  cas  que  nous 
ne  considérons  pas.  Une  fois  la  forme  cubique  mise  sous  la  forme  X2X5,  la  résolution  de  l'équation 
f(xu  xt)  =  0  est  évidente.  Les  calculs  indiqués  dans  le  cas  actuel  ne  présentent  jamais  d'impossibilité 
arithmétique. 

Résolution  de  l'équation  du  troisième  degré  dans  le  cas  général. 

Nous  allons  exposer  maintenant  la  résolution  de  l'équation  cubique  dans  le  cas  général  en  mettant 
le  premier  membre  sous  forme  d'une  somme  de  deux  cubes.  Pour  cela,  il  nous  suffit  de  déterminer 
p,  q,    a  et  fi  de  façon  à  satisfaire  à  l'identité 

aa-3  +  36a;2  -+-  3ca;  -+-  d  =  p(x  ■+■  a)3  —  q(x  -+-  Pj3  ; 
nous  obtenons  ainsi  les  équations 

p  —  q  =  «,  px  —  grp  =  //, 

py- — çP2  =  c,  //-/'' — r/p3  =  d  ; 

de  là  nous  déduisons  aisément  les  combinaisons 

pq(a  —  p/  =  62  —  ac, 

p,j  v.  -h  p)(a  —  p)2  =  bc  —  ad, 

pqy-$(z  —  p)2  =  c-  —  bd  ; 
d'où,  par  division, 

a-H  p 


ud  — 

bc 

ac  — 

Ir 

bd  — 

c2 

ac  —  62 


374  LEÇON    D'AGRÉGATION 


Nous  voyons  donc  que  >  el  p  sonl  racines  de  l'équation  du  second  d(  - 

5)  ac—b*  \  id)X  +  bd  —  ct  =  0; 

le  discriminanl  de  cette  équation  n'étant  pas  nul,  elle  fournil  deux  valeurs  différentes  pour  x  el  p.  Les 
deux  premières  équations  entre  p,  q,  *  et  p  donnenl  lesvaleurs  de  p  et  </. 

On  peul  prendre  | ■  »  et  p  les  deux  racines  de  l'équation  (3    dans  un  ordre  quelconque,  car  si  on 

échange    x  el  p,   p  el  g  s'échangent  l'un  dans  l'autre  et  changent  de  signes,  de  sorte  que  la  décompo- 
sition ne  change  pas   I  ta  a  alors  successivemenl 

ad  —  6c  —  v/  —  a 

a  =  2(ac  —  6S)  ' 

ad  —  6c  -+-  v'  —  a 
'   ~~  2(ac  —  6")         ' 

1      <?A 

7  _     26s  +  asd  — 3a6c  — ay/^Â  2    «M 


«v/—  A 


—  afZT 


/'  -2/>3  +  ahl  —  3abc  -+-  a,/^Â    "      _^  ^A_ 

2    ~<M" 

en  désignant  par   a   la  quantité      l(ac —  6S   6rf  —  c1)  —  (6c  —  adf     et  par    —  v'  —  a     et     ^  —  a     les 
doux  racines  carrées  de     —  a     prises  dans  un  ordre  quelconque. 

Le  nombre  —  et  1rs  nombres  ■>■  el  '--  sont  dune  calculables  dans  tous  les  cas  à  l'aide  d'un  certain 
/' 

nombre  d'opérations  arithmétiques.  Appelons  II  lenombre—  effectué;  nous  sommes  ramenés  finale- 
ment à  la  résolution  de  l'équation 

\x  -+-  p  / 
c'est-à-dire  à  l'extraction  de  la  racine  cubique  d'un  nombre  imaginaire  H.  Soit  h  l'une  des  racines 
cubiques  de  11,  nous  aurons  alors  les  racines  de  l'équation   proposée  en  résolvant  les  trois  équations 
linéaires 

— =  h  ou  './/  -m  0»/i. 

x  -+-  p 

11  n'y  a  rien  de  plus  à  dire  du  cas  le  plus  général. 

Dans  li' cas  où  les  coefficients  sont  réels,  on  peul  aisément  discuter  l'équation  proposée.  On  voil 
en  effet  de  suite  que  a  est  réel,  et  alors  : 

1"  Si  a  est  négatif,  «,  p  et  II  sont  réels,  il  y  a  une  racine  cubique  de  II  qui  est  réelle,  ft,  une 
valeur  de  x  est  réelle,  1rs  deux  autres  sont  imaginaires  conjuguées  : 

2°  Si  à  est  positif,  x  et  p  sont  imaginaires  conjugués  l'un  de  l'autre,  de  même  p  el  q;  par  suite 
on  aura  les  racines  cubiques  de  II  en  associant  les  racines  cubiques  imaginaires  conjuguées  de  p  et  q  : 
les  trois  valeurs  de  x  >cr..nt  donc  données  par  des  équations  linéaires  de  la  forme 

a;  -+■  -(  -+-  8i        l-}-mi 

x-i-y  —  8i        /  -    mî 

el   l'on  voit  de  suite  qu'elles  sont  toutes  réelles.  Ce  cas  est  irréductible  au  point  de  vue  purement 

arithmétique,  car  l'extraction  d'une  racine  cubique  de  nombre  imaginaire  se  ramène  a  la  résolution 

.l'une  équation  cubique  à  coefficients  réels  el  donl  les  trois  racines  sont  réelles. 

Si  a  est  nul,  la  méthode  que  nous  avons  suivie  n'est  pas  applicable.  E.   II. 
♦ 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  373 


GEOMETRIE    ANALYTIQUE 


449.  —  On  donne  un  ellipsoïde  rapporté  à  ses  axes  et  une  droite  A  silure  d'une  manière  quelconque 
dans  l'espace.  Par  la  droite  a  on  mène  le  plan  P  perpendiculaire  au  plan  tangent  en  un  point  M  de 
l'ellipsoïde. 

1°  Trouver  le  lieu  dupoint  de  rencontre,  \>-,  du  plan  P  avec  le  diamètre  de  l'ellipsoïde  qui  aboutit  au 
point  M,  quand  le  point  M  décrit  l'ellipsoïde. 

2°  Ce  lieu  est  une  quadrique  S  passant  par  la  droite  A:  trouver  toutes  ses  génératrices  rectiligties,  et 
indiquer  comment  doit  être  placée  la  droite  a  /noir  qu'elle  soit  un  paraboloïde  hyperbolique. 

3°  Prouver  que  la  quadrique  S  contient  la  cubique  aux  poils  îles  normales  relative  à  un  point 
quelconque  de  A,  et  trouver  sur  l'ellipsoïde  le  lieu  du  point  \l  lorsque  le  point  y  décrit  la  cubique  aux 
pieds  des  normales  relative  à  un  point  donné-  de  a. 

4°  On  considère  une  deuxième  droite  a,  rencontrant  a,  et  la  quadrique  correspondante  Si,  analogue 
à  p.  Prouver  que  les  quadriques  S  et  St  ont  en  commun  une  cubique  gauche  et  une  droite  I);  trouver 
cette  droite  I)  et  eu  indiquer  une  construction  i/éométrique  simple. 

5°  Soit  1),  l'intersection  du  plan  P  et  du  plan  tangent  en  M  à  l'ellipsoïde.  Montrer  que  si  le  point  \1 
décrit  l'ellipsoïde,  il  y  a  deux  droites  D,  passant  par  un  point  donné,  w,  de  l'espace,  et  trouver  le  lieu  des 
points  i,i  pour  lesipiels  les  deu.r  droites  qui  y  passent  sont  confondues.  Ce  lieu  est  une  surface  I'  du 
quatrième  ordre,  qui  admet  a  comme  droite  double  :  prouver  qu'elle  peut  être  engendrée  par  une  conique, 
et  donner  la  définition  géométrique  simple  de  cette  conique. 

1°  Soient     — —-+■  -. h  — 1=0     l'équation  de  l'ellipsoïde  et = —  =  - 5     les 

a-         Ir         c1  u  v  m 

équations  de  la  droite  A.  Tout  plan  passant  par  cette  droite  a  une  équation  de  la  forme 

(P)  >■  {x  —  x0)  +  p-{y  —  I/o)  +  *(2  —  Zo)  =  o, 

X,  |ji  et  v  vérifiant  la  relation 

Xî(.  -+-  pu  -+-  vil)  =  0. 

Soient  alors  *,  p,  •;  les  coordonnées  du  point  M  ;  le  plan  tangent  en  ce  point  a  pour  équation 

M  &II  yz 

~  +7T  +  J7-1  =0' 
a-  62  c2 

et  si  on  exprime  que  le  plan  P  est  perpendiculaire  à  ce  plan,  on  obtient  la  relation  nouvelle 

)  a  u3  vv 

—  +  -7T  +^=  0. 
u-  b-  c- 

Les  deux  relations  qui  contiennent  À,  ix  et  v  donnent  pour  ces  paramètres  des  valeurs  propor- 
tionnelles à 

yv  $w  iir         y"  P«  '-"' 

<;-  b-  a-  c3  A-  "J 

et,  par  suite,  l'équation  du  plan  P  est 

D'autre  part,  les  équations  du  diamètre  OM  sont     —  =  -7-  =  —  1     et,  en  remplaçant  dans  l'équa- 

x  p         y 

tion     P  =  0,     »,  (3,  y  par  les  quantités  proportionnelles  x,  y,  z,  on  a  de  suite  l'équation  du  lieu, 

c        /  vz        "''/ \/  ,       /  '"'■'"        uz\  ,       I uy        v.c\. 

<'e  lieu  est  une  quadrique. 


376  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


Il  est   important   de  remarquer  que  l'élimination   s'esl  faite  sans  tenir  compte  de   lu  relation 

-  -+-  '—  +  —  —  1  =0,     qui  exprime  que  le  point  M  est  sur  1  ellipsoïde.    Cela  lient  à  ce  que  dans 

l'énoncé  on  peut  prendre  le  point  M  où  l'on  veut  sur  un  diamètre  déterminée)  prendre  poui  second 
plan  le  plan  polaire  du  point  M;  le  plan  P  est  le  même  pour  tous  ces  poinls  M.  et,  par  suite,  ils 
donnent  tous  le  même  point  du  lieu. 

2  La  quadrique  S  contient  évidemment  le  point  (x0,  </...  :  ,  c'est-à-dire  un  point  quelconque 
de  a;  donc  elle  contient  la  droite  a.  il  est  d'ailleurs  facile  de  vérifier  que  les  coordonnées  r— «;, 
yo  +  op,  ■    d'un  autre  point  quelconque  de  la  droite  a  satisfont  à   l'équation  de   la  surface 

quel  que  soit  p. 

La  quadrique  s  est  donc  réglée.  Pour  avoir  ses  génératrices,  revenons  aux  équations  contenant 
X,  -x  et  ■,  et  qui  déterminent  le  plan  P;  en  remplaçant  dans  deux  d'entre  elles  v  par    —  ■  •     elles 

de\  iennent 

\[w(x  —  a;»)  —  u(z—  z0    +  v[t0{y  —  y»)  —  v(z  —  zt     =  0, 


K5— ?-)-KS— 3-)—! 


il  suffit  alors  d'éliminer  >■  et  -x  entre  elles,  et  de  remplacer  x,  p,  ■;  parles  quantités  proportionnelles 
x,  y,  :  pour  avoir  l'équation  de  la  quadrique  sous  la  forme 

Ali  — CL)  =  0, 
\.  B,  C  el  I)  étant  des  fonctions  linéaires  de  x,  y,  z.  Les  deux  systèmes   de  génératrices  on1  donc 
pour  équations 

'    A  — A-C  =  0.  I   A  —AD  =  0. 

AB  —  D  =0,  j    hk—  B  =  0. 

h  el  h  étant  deux  paramètres  variables. 

Pour  que  la  surface  S  soit  un  paraboloïde  hyperbolique,  il  faut  que  l'on  ail 

-dire     u  =  0    ou    v  —  0    ou    w  =  0.     Il  faut  donc  que  la  droite  donnée  a  soit  parallèle  à  un 
des  plans  principaux  de  l'ellipso   l 

3    L'équation  de  la  surface  S  peut  s'écrire 

[>:-:„?       ziy—y„l       Jz.r—x,.        a-';  — y"|         p'y-.v,,'       y{x—x0)-]       ri 
"L       lr  c*       J    '   1       C  a»       J+"L       a'  6*       J~ 

OU  KCj  —    'C;    —    //'('.;    =    0, 

en  désignant  par  C„  Cj,  C    les  trois  premiers  membres  des  équations  de  trois  cylindres  hyperboliques, 

Ces  trois  cylindres  ont  en  commun  la  courbe 

c  —  x0)  _  6s(j/—  y  -z0) 


a;  y  ; 

c'est-à-dire  la  cubique  aux  pieds  des  normales  issues  du  poinl  [x0,  y0)  z0  ;  doue  la  quadrique  s 
contient  cetl  I  lie  contient  de  même  la  cubique  relative  à  toul  autre  poinl  de  a.   car  le  pi    al 

-i  nu  point  quelconque  de  cette  droite. 

rous  li  s  résultats  que  non-  venons  d'établir  se  voient  facilement  par  la  géométrie. 

En  effet,  considérons  d'abord  une  droite  quelconque  u  et  cherchons  combien  il  y  a  de  points  \i 
sur  cette  droite.  Soil  m  un  point  qui  décrit  la  droite  u;  le  plan  diamétral  de   om  tourne  alors  autour 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  37' 


d'une  droite  et  il  engendre  un  faisceau  de  plans  homographique  au  faisceau  de  rayons  om  ;  d'autre 
part,  le  rayon  on  perpendiculaire  au  plan  (A,  m)  décrit  un  faisceau  de  rayons  homographique  au  fais- 
ceau de  plans  (A,  m),  et  celui-ci  est  homographique  au  faisceau  de  rayons  om,  puisqu'ils  ont  pour 
section  commune  la  ponctuelle  ni.  Le  faisceau  on  est  donc  homographique  au  faisceau  des  plans 
diamétraux  des  rayons  om;  donc  le  rayon  ou  est  situé  deux  fois  dans  le  plan  diamétral  correspondant, 
et,  par  suite,  le  point  mobile  m  sur  la  droite  u,  est  deux  fois  un  point  du  lieu.  Le  lieu  du  point  n  est 
•donc  une  surface  du  second  ordre. 

Considérons  maintenant  un  plan  quelconque  P  passant  par  la  droite  A  et  soit  on  la  perpendicu- 
laire abaissée  du  point  o  sur  le  plan  P  ;  les  divers  plans  tangents  qui  correspondent  au  plan  P  enve- 
loppent le  cylindre  circonscrit  parallèlement  à  on,  et  leurs  diamètres  décrivent  le  plan  diamétral  de  la 
direction  on  ;  soit  Q  ce  plan  ;  le  lieu  des  points  ^  situés  dans  le  plan  P  est  donc  la  droite  d'inter- 
section des  deux  plans  P  et  Q.  En  outre  sur  chaque  plan  P  passant  par  la  droite  A,  il  y  a  ainsi  un 
point  de  a,  variable  avec  le  plan  P,  qui  appartient  au  lieu  ;  donc  la  droite  A  tout  entière  appartient  au 
lieu.  Si  on  fait  mouvoir  le  rayon  o<x  dans  un  plan  quelconque  passant  par  le  point  o,  le  plan  diamé- 
tral de  on  décrit  un  faisceau  de  plans  homographique  au  faisceau  de  rayons  op.; Te  plan  perpendiculaire 
à  ce  plan  diamétral,  mené  par  A,  décrit  donc  aussi  un  faisceau  de  plans  homographique  au  faisceau  de 
rayons  op  ;  le  lieu  du  point  p.,  pour  ce  faisceau  de  rayons,  est  alors  une  conique.  Cette  conique 
dégénère  en  deux  droites  quand  le  rayon  o\x  qui  rencontre  a  est  dans  le  plan  correspondant  du  fais- 
ceau a,  c'est-à-dire  quand  le  plan  mené  par  le  point  o  et  la  droite  a  est  perpendiculaire  au  plan 
diamétral  du  rayon  on  qui  rencontre  A.  Or  cela  a  lieu  pour  une  droite  issue  du  point  o  et  rencon- 
trant A;  cette  droite  est  sur  la  surface  et  le  lieu  des  points  ;ji  situé  dans  tout  plan  passant  par  cette 
droite  se  compose  d'une  droite  passant  au  point  o  et  d'une  autre  droite.  Nous  obtenons  ainsi  toutes 
les  droites  du  système  de  a. 

Pour  que  la  quadrique  S  soit  un  paraboloïde  hyperbolique,  il  faut  que  l'une  des  droites  trouvées 
dans  le  plan  P  aille  à  l'infini  ;  il  faut  donc  que  le  plan  diamétral  du  rayon  on  normal  au  plan  P  soit 
parallèle  au  plan  P,  c'est-à-dire  soit  un  plan  principal.  Par  conséquent  il  faut  que  la  droite  A  soit  dans 
un  plan  parallèle  à  un  plan  principal. 

Si  l'on  considère  maintenant  tous  les  ellipsoïdes  homothétiques  et  concentriques  à  l'ellipsoïde 
proposé,  le  lieu  des  pieds  des  normales  abaissées  d'un  point  de  la  droite  a  sur  toutes  ces  surfaces  est 
la  cubique  gauche  aux  pieds  des  normales  issues  de  ce  point  ;  d'ailleurs  il  est  visible  que  chacun  de 
ces  points  est  un  point  p  ;  car  le  plan  (a,  p)  est  perpendiculaire  au  plan  tangent  à  l'ellipsoïde  qui 
passe  en  ce  point  et  ce  plan  tangent  est  parallèle  au  plan  polaire  du  point  n  par  rapport  à  l'ellipsoïde 
donné. 

Quant  au  lieu  de  M  correspondant  au  mouvement  du  point  n  sur  une  de  ces  cubiques  gauches, 
c'est  l'intersection  avec  l'ellipsoïde  du  cône  du  second  degré  qui  de  l'origine  projette  la  cubique 
■considérée. 

4°  Les  équations  d'une  deuxième  droite  passant  au  point  (.r„,  y0,  z0)  sont 

x  —  x0  _  y  — y  g  _  z  —  z0 

«I  ('(  H', 

et  la  quadrique  S,  correspondante  a  pour  équation 

S,  =  Uid  -+-  «iCs  -+-  m',C3  =  0  ; 
elle  coupe  donc  la  première  quadrique   S   suivant  la  cubique  commune  aux  trois  cylindres    Ci,  C..,  Cj. 
Ceci  est  évident  d'ailleurs  d'après  ce  qui  précède. 

Ces  deux  quadriques  se  coupent  encore  suivant  une  autre  droite  qu'il  s'agit  de  déterminer.  Pour 
■cela  il  suffit  de  remarquer  que  pour  tous  les  points  de  l'intersection  de  S  et  de  S,,  autres  que  ceux  dr 
la  cubique  gauche  du  point  (x0,  yn,  ;„  ,  on  n'a  pas     C(  =  0,     C2  =  0,     C3  =  0  ;     alors  en  résolvant  les 


378  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


deux  équations    S  =  0    et    Si  =  0    par  rapport  à  Ci,  r...  c..,  on  en  déduit 

Ci  =  -  ow,  —  " 

'  J     !>M,    -  »"',    . 

C    =  0  nr,  —  vu,), 
»/(z  —  Sol  -"('/  —  '/■ 


u'étanl  pas  nul  :  ou  bien 


lr 

:{x  —  a-»)         ./■.:  —  z„) 


=  »i'o, 


as  6a 

en    posanl      u(  =  vwt —  n'v, ,      i>o  =  ww!  —  ?<//•,,      n\,  —  uvt  —  vui.      En    multipliant    ces    équations 

par      -'—  •    -^j-i    -^    et  ajoutant;  puis  par    x  —  x0,     !j  —  >ja,    z-  —  :.,    el  ajoutanl  encore,  on  obtient 

les  deux  plans 

/os  1    "o^  "+■  °»m  +woA;  =  0, 

(2)  ^         ""  o-  c- 

{     "„  r  —  ,rlt      ,    r..  y   -  tj  ,         /' ■„■  :  —  :      =  0, 

qui  définissent  la  droite  cherchée.  Or  si  l'on  remarque  que  u0,  u0,  »•„  sont  les  paramétres  directeurs  de 
la  direction  ON  perpendiculaire  au  plan  des  deux  droites  a  et  a,,  on  voit  que  le  premier  plan  est  le 
plan  diamétral  conjugué  de  cette  direction,  et  le  second,  le  plan  (a,  a,).  Ce  résultai  est  d'ailleurs 
évident  géométriquement,  d'après  ce  qui  a  été  dil  pins  haut  sur  le  lieu  des  points  ;i  qui  sont  placés 
dans  un  plan  P. 

Mais  le  calcul  que  nous  venons  de  faire  a  une  portée  plus  haute  :en  remarquant  que 

a  ii„  +■  '''i  -  "vr0  =  0, 
on  voit  de  suite  que  les  équations  (2)  ne  contiennent  qu'un  seul  paramètre  variable,  par  exemple  le 

rapport    —  >    et  représentent  alors,  sous  une  forme  élégante,  les  équations  générales  des  génératrice  - 

y0 

de  S  de  l'autre  système  que  a.   Le  premier  plan   2   tourne  autour  de  la  droite    -—  =  -4-  =—^-    qui 

J  l  II.  a2u  lrr  ciw 

est  la  génératrice  du  même  système  que  a  et  passant  à  l'origine. 
5    Los  équations  de  la  droite  l>,  sont 


(3) 


\    tf[(w(y  —  V")  —  v(z  —  2o)]"+-jF  "  :  —  :n  —»■(.,•  — .r,,    -+-  —  [v{x  —  xa  —  u  y  —  y,)]  =  0, 

1  .','  -^-+-4- 1  =  0- 


Lorsqu'on  exprime  que  la  droite  I»,  passe  par  un  point  donné  [x,  y,  s),  ers  doux  équations  deviennent 
doux  relations  entre  x,  p,  y;  connue  elles  sont  linéaires  et  que  x,  p,  -,•  vérifient  en  outre  l'équation  du 
second  d 

a2  3-  ••- 

—  +  .  -1      o, 

ir  lr  l'- 

on voit  qu'il  y  a  deux  solutions  et  que,  par  suite,  doux  droites  l>,  passent  au  point  choisi,  d'ailleurs 
arbitrairement,  (a .  y,  :  . 

On  peut  au  surplus  interpréter  ces  calculs  d'une  façon  élégante  :  regardons   »,  P,  y  comme  étant 
des  coordonnées  courantes  et   x,  y,  z   comme  étant  dos  nombres  donnés;    les  équations     -   repré- 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  379 


sentent  une  droite  dont  il  faut  trouver  les  deux  points  de  rencontre  avec  l'ellipsoïde  ;  les  coordonnées 
de  ces  points  constituent  les  deux  solutions  indiquées.  On  trouvera  alors  le  lieu  du  point  w  par  où 
passent  deux  droites  D,  confondues,  en  exprimant  que  la  droite  que  nous  venons  d'introduire  est 
tangente  à  l'ellipsoïde;  or  ceci  peut  se  faire  de  plusieurs  façons,  en  particulier,  en  cherchant  les  plans 
tangents  conduits  par  cette  droite  et  exprimant  qu'ils  coïncident.  A  cet  effet,  désignons  par  A,  B,  C 
les  fonctions  linéaires     w(y —  y0)  —  v{z  —  z0),    u(z  —  z0)  —  w(x  —  x0),    v(x  —  x0)  —  u(y  —  ya);    l'équation 

générale  des  plans  passant  par  la  droite  auxiliaire  est    ■ — — —  a+: — — — S  +  " — : — y  — 1  =0;  la  con- 

ii-  o2  c' 

dition  de  contact  avec  l'ellipsoïde  est 

{x  +  (A)2      (y  -*-  (Bf      (z  +  IC)* 


62 


—  1  =  0  ; 


elle  donne  en  général  deux  valeurs  pour  le  paramètre  /;  ici  ces  deux  valeurs  doivent  être  confondues. 

et  nous  avons  la  condition 

n/A2      B-      C-\     Ikx      By      C;\2      n 
4  E  (-ï  +  ïi-«--ï)— l  —  -+-ÏM+-Ï     =0' 

en  désignant  par  E  le  premier  membre  de  l'équation  de  l'ellipsoïde.  Cette  équation  est  l'équation  du 
lieu  demandé.  Ce  lieu  est  une  surface  du  4e  degré  qui  admet  la  droite  A  comme  lieu  de  points  doubles, 
car  les  fonctions  linéaires  A,  B,  C,  qui  représentent  les  premiers  membres  des  projections  de  A  sur  les 
plans  de  coordonnées,  entrent  dans  cette  équation  partout  au  second  degré. 

Il  résulte  alors  de  là  que  tout  plan  passant  par  A  coupe  encore  la  surface  suivant  une  conique  ; 
cette  surface  est  donc  engendrée  par  une  conique  variable.  Pour  mettre  en  évidence  cette  conique 
variable,  remarquons  que  l'on  a    «A  -t-  vB  -+-  wC  =  0;     déduisons  de  là    C  = — ■  i     et  portons 

celte  valeur  de  C  dans  l'équation  (4)  ;  cette  équation  deviendra  homogène  et  du  second  degré  en  A 
et  B,  et  alors  en  coupant  par  le  plan  variable  B  —  Ax  =  0,  supprimant  la  solution  A2  =  0,  qui 
correspond  à  la  droite  double  a,  il  restera  une  équation  du  second  degré  en  x  et  y  et  aussi  en  x,  qui, 
avec  l'équation     B  —  At  =  0,     représentera  le  système  des  coniques  que  nous  avons  signalées. 

Il  reste  à  traiter  géométriquement  cette  dernière  partie.  Considérons  à  cet  effet  un  plan  P  passant 
par  la  droite  A  et  cherchons  le  lieu  des  points  ai  situés  dans  ce  plan.  Pour  qu'un  point  de  ce  plan  soit 
point  w,  il  faut  que  par  ce  point  passent  deux  plans  tangents  à  l'ellipsoïde  perpendiculaire  au  plan  P  et 
confondus.  Or  l'enveloppe  des  plans  tangents  à  l'ellipsoïde  et  passant  au  point  w  est  le  cône  C„  circons- 
crit à  l'ellipsoïde  et  ayant  pour  sommet  le  point  w;  les  plans  tangents  à  ce  cùne  et  perpendiculaires  au 
plan  P  s'obtiennent  en  menant  ion  perpendiculaire  au  plan  P  et  par  ce  rayon  deux  plans  tangents 
a  C,„  ;  ces  plans  seront  confondus  si  ion  est  sur  le  cône  C,„,  c'est-à-dire  est  une  tangente  à  l'ellipsoïde. 
Les  droites  ton  sont  donc  les  génératrices  du  cylindre  circonscrit  perpendiculaire  au  plan  P.  La  trace 
de  ce  cylindre  sur  le  plan  P  est  le  lieu  des  points  u  de  ce  plan;  c'est  une  conique  rP.  Le  lieu  total  des 
points  w  est  engendré  par  cette  conique,  quand  le  plan  P  tourne  autour  de  A;  il  est  donc  visible  déjà 
que  la  droite  A  fait  partie  du  lieu.  Cela  posé,  soit  a^  un  point  de  cette  droite  :  le  plan  perpendiculaire 
ii  a  mené  par  «,  coupe  l'ellipsoïde  suivant  une  conique,  à  laquelle  on  peut  mener  deux  tangentes  du 
point  w,,  n^n,  et  m,»'.',  le  point  u>,  est  donc  donné  deux  fois,  par  les  deux  cylindres  circonscrits  à 
l'ellipsoïde  et  parallèles  à  '-v'i  cl  w,»».  Chaque  point  de  la  droite  A  est  donc  point  double  et  le  lieu 
total  des  points  w  est  une  surface  du  4e  ordre. 

Il  y  a  beaucoup  d'autres  remarques  géométriques  à  faire  à  propos  de  cette  question.  Nous  laissons 

au  lecteur  le  soin  de  les  apercevoir. 

Très   bonnes  solutions  géométriques  :  MM.  E.  P.allï   (collège  Stanislas);  Bartiie  (lycée  de   Bar-le-Duc)  ;   C.  Letierce  (lycée  de 
Douai). 

Bonnes  solutions  géométriques  :  MM.  E.  Berthf.i.ot  ;  G.  de  Franck  (à  Versailles  . 
Bonne-;  solutions  analytiques  :  MM.  G.  de  France  (Versailles;  ;  Auzeram  (Montpellier). 
Solution  analytique  et  géométrique  :  M.  E.  BAnniî  (Douai). 


380  GÉOMÉTRIE     DES!  RIPT1VE 


<,in\ii;n;ii;   iii;si;kiptiyk 


427.  —  Un  tore  à  axe  vertical  a  son  centre  :  I  1  tO  du  bord  droit  de  la  feu  .  .  |80m,n  du  bord 
inférieur  en  projection  horizontale,  et  à  3IOmm  du  même  bord  en  projection  verticale.  Le  cercle  méridien  a  -2Smm 
de  rayon,  et  son  centre  est  à  68°""  de  distance  de  l'axe  du  tore. 

Une  sphère  de  24""=  de  rayon  touche  l'axe  du  tore  ■'•  S0mni  au-dessus  du  centre  de  celui-ci.  En  projection  hori- 
zontale le  centre  de  cette  sphère  est  sur  la  bissectrice  de  l'angle  de  deux  droites  issues  du  centre  du  tore,  l'une  de 
front  dirigée  vers  la  gauche,  l'autre  de  bout  dirigée  vers  le  haut  de  la  feuille. 

A  cette  sphère  est  circonscrit   un  cône  dont  le  sommet  est  sur  l'axe   du   tore,  à    '.Ci11""  au-dessus  du 
celui-ci. 

de  représenter  par  ses  projections  la  partie  du  tore  supposé  plein  qui  est  intérieure  au  cône.  — 
La  courbe  d'intersection  des  deux  surfaces  sera  en  traits  noirs  pleins  pour  les  parties  vues,  en  points  noirs  ronds 
pour  les  parties  cachées. 

On  indiquera  en  traits  rouges  la  construction  :  1°  d'un  point  quelconque  de  la  courbe  et  de  la  tangente  en  ce 
point     î  U  de  la  courbe  choisi  sur  chacun  irents  circuli    > 

lore  et  du  cône  en  dehors  de  l'intersection. 

Ecole  Polytet  ■ 

Soient  m,  <•>'  le^  projections  de  la  sphère  tangente  au  point  (o,  -'  à  l'axe  vertical  [o,  o'z'  du  tore  Le  cône 
de  sommet  (o,  s')  circonscrit  à  la  sphère  a  pour  contour  apparent  vertical  les  deux  tangentes  au  cercle  co'  issues 
de  s'. 

Les  deux  surfaces  admettant  un  plan  vertical  de  symétrie,  la  trace  horizontale  oio  de  ce  plan  est  un  axe  de 
symétrie  de  la  projection  horizontale  de  l'intersection.  Comme  d'ailleurs  une  partie  des  génératrices  du  cône 
voisines  de  la  génératrice  verticale  (o,  s'o')  ne  rencontrent  pas  le  tore,  il  n'y  a  ici  qu'une  courbe  d'intersection, 
tangente  aux  deux  génératrices  limites  du  cône. 

Détermination  d'un  point  quelconque  de  l'intersection.  —  Tout  plan  vertical  mené  par  l'axe  du  tore  coupe 
cette  surlace  suivant  deux  cercles  méridiens  et  le  cône  suivant  deux  génératrices  tangentes  au  petit  cercle  de 
la  sphère  w,  </  situé  dans  ce  plan.  L'une  de  ces  génératrices  se  confond  avec  l'axe  du  tore,  avec  lequel  elle  n'a 
par  suite  aucun  point  commun;  l'autre  coupe  l'un  des  deux  cercles  méridiens  en  deux  points  que  nous  allons 
déterminer. 

Soit  oh  la  corde  déterminée  par  la  trace  horizontale  du  plan  auxiliaire  considéré  dans  le  cercle  ■■>.  Si  l'on 
amène  ce  plan  vertical  à  être  de  front  par  une  rotation  autour  de  l'axe  o,  o'z'  ,  le  cercle  méridien  e<l  figuré 
verticalement  par  le  cercle  c',  et  le  petit  cercle  de  la  sphère  par  le  cercle  n'A-0  tangent  en  -'  à  o'z'  et  dont  le  dia- 
mètre esl  égal  à  oh  :  la  tangente  à  ce  dernier  cercle  menée  par  [s,  s')  rencontre  généralement  le  cercle  c,  '  en 
deux  points.  Soit  (m0,  m'B)  un  de  ces  points  ;  en  amenant  ce  point  sur  oh,  on  a  en  [m,  m')  les  projections  de  l'un 
des  points  de  l'intersection. 

Tangente  au  point  (m,  m').  —  Celte  tangente  est  perpendiculaire  au  plan  des  normales  menées  en  ce  point 
aux  deux  surfaces. 

La  normale  en  (m,  m')  au  tore  perce  le  plan  de  l'équateur  au  point  »,,  intersection  de  ...  avec  le  cercle  o 
passant  par  c. 

La  normale  en  m,  au  cône  rencontre  l'axe  ',<w,  s'to')  de  ce  cône  au  même  point  n,  n')  que  la  normale 
au  point  o,  /'  ,  intersection  de  la  génératrice  verticale  o,  o's'  avec  le  plan  perpendiculaire  à  l'axe  mené  par  le 
point  [m,  m').  La  normale  a  pour  trace  horizontale  sur  le  plan  de  L'équateur  le  point    h,       :  hn,  esl 

donc  la  trace  sur  ce  plan  du  plan  des  normales,  et  en  abaissant  sur  celte  trace  la  perpendiculaire  mt,  cette  droite 
est  la  tangente  en  m  à  la  projection  horizontale  de  l'intersection.  D'ailleurs  le  plan  des  normales  coupe  le  plan 
vertical  délini  par  la  ligne  de  terre  h'o'  suivant  la  trace  xv'  sur  laquelle  il  ne  reste  plus  qu'à  mener  la 
perpendiculaire  m't',  qui  est  tangente  en  m'  à  la  projection  verticale. 

Points  remarquables  de  l'intersection  : 

t     Sur  les  contours  app  irents  <lu  tore. 

Ces  points  s'obtiennent  en  ramenantà  leur  position  primitive  les  génératrices  de  fronl  s'aj,  s'b't,  s'd 
on  obtient  ainsi  deux  points  tels  que    a,  a'    et    b,  lé    sur  le  contour  apparent  horizontal  el  deux  points  tels  que 

et    e,  e')  sur  le  contour  apparent  vertical. 

Considérons  par  exemple  la  génératrice  projetée  en  s'e'„;  on  trace  le  cercle  de  diamètre  -  tangent  à  celle 
génératrice,  puis  on  reporte  oso  en  oi  sur  le  cercle  w;  l'intersection  de  os  avec  le  cercle  oc  détermine  e,  el  on  en 
déduit  •■'  par  une  ligne  de  rappel. 


//    /   !»  V\  V 


Û~. 


fYrWWh 


■tr 


382  PHYSIQUE 

Les  points  situés  sur  le  méridien  de  fronl  son!  déterminés  par  la  tangente  s'ff  au  cercle  de  front  m'—'  de 
la  sphère. 

2°  Sur  le  contour  apparent  vertical  du  cône. 

La  génératrice  projetée  suivant  le  contour  apparent  s  '  louche  la  sphère  u,  t>>'  en  un  point  («',  ï  du  grand 
cercle  de  front  de  cette  sphère;  en  appliquant  alors  la  construction  générale  à  la  génératrice  [si,  sV  ,  on  obtient 
deux  points  de  l'intersection  projetés  verticalement  en  p'  et  a'  su 

En  répétant  la  même  construction  sur  la  seconde  génératrice  de  contour  apparent,  on  reconnaît  quelle 
n'a  aucun  point  commun  avec  le  tore. 

génératrices  limites  dit  cône. 

Ces  génératrices  sont  celles  qui  sont  tangentes  au  tore;  elles  correspondent  évidemment  à  la  génératrice 
de  front  s'rj^  tangente  au  cercle  c'.  Ces  deux  génératrices  sont  tangentes  à  l'intersection;  une  seule  [oy,  s':,  est 
figurée  sur  l'épure. 

En  appliquant  la  construction  générale  à  la  génératrice  projetée  horizontalement  suivant  ow,  on  obtient  les 
points  (r,  r')  et    u,  u'    pour  chacun  desquels  la  tangente  à  l'intersection  est  horizontale. 

n.  —  En  projection  horizontale,  les  parties  vues  du  solide  commun  sont  la  portion 
de  la  surface  du  cône  el  les  deux  portions  arata  et  6mô,&  de  la  surface  supérieure  du  tore;  il  en  résulte  que  toutes 
les  lignes  de  contour  de  la  projection  horizontale  sont  vue-  el  doivent  être  figurées  en  trait  plein. 

En  projection  verticale,  les  parties  vues  du  solide  commun  sont  la  portion  p'a'e'q'  de  la  surface  du  cône, 
et  sur  la  surface  du  tore,  la  portion  externe  e'f  el  la  portion  interne  d'a'e'e[a,d[d' ;  les  lignes  de  contour  de  ces 
trois  portions  seront  donc  en  trait  plein  el  les  autres  lignes  eu  pointillé. 

Louis  MESSENT. 
♦ 

PHYSIQUE 


Concours  pour  les  Bourses  de  licence  es  sciences  physiques  (1895  . 

472.  —  Deux  (rails parallèles    \  et   B,    ;l     ants   de  um:.l.    si  n  à  travers  un  m\ 

composé  à  oculaire  positif.   Dans  le  plan  ou  nettement  par  cet  oculaire  peut  être  déplacé  un  /il  de  réticule 
au  moyen  d'une  vis  micromélrique.  On  an  ent  ce  fil  en  coïncidence  avec  les  images  a  et  b 

des  traits  A  et  B,  et  on  trouve  qu'il  faut  j)Our  passer  d'une  position  à  l'autre  déplacer  ce  fil  de  lmm,9. 

avoir  allongé  de  5cm  la  longueur  du  tube  du  microscope,   on   met  de  nouveau  au  point  les  deux 
traits  A  et  I!.  et  l'on  répète  la  mêm      ■■  cernent  du  fil  du  réticule  pour  passer  di  l'image  a 

n  l'image  li  est  trouvé  égal  à  :2mm,-i. 

La  distance  du  plan  des  deux  traits  A  et  B  au  plan  ab  il"  fil  du  réticule  est  dans  ce  dernii 
égale  à  26    ,35. 
On  demande  : 

I     Quelle  est  la  distance  focale  <!■  l'objectif; 
■2    Quelleest  la  distana  <!<  -  d  ux  plans  principaux  de  cet  objectif; 

-     l'oculaire  employé  <*  de  ■>(i  dioptries,  quelle  est  en   dioptries  lu  puissance  tin 

pour  In  dernière  longueur  du  tube. 

i.  d'une  manière  générale, 

•''  el  y  les  valeurs  absolues  des  distances  i juguées  par  rapporl   à  l'objectif  dans  la  première 

position, 

h  -  valeurs  analogues  pour  la  seconde  position, 
/'  la  distance  focale  de  l'objectif,  en  valeur  absolue, 

;    le-  grossissements  successifs  de  l'objectif, 
c  la  clislanee  de  ses  ilenx  plans  principaux, 

d  rallongement  du  lui ntre  la  première  el  la  seconde  position, 

I'  la  distance  de  1  objel  a  son  image  objective  dans  le  second  cas. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  383 

Les  formules  générales  des  lentilles,  appliquées  à  l'objectif,  donnent 

J_    J_  —  _L         J__L-jL 

x         y    ~    f  '  x'        y1  ~   f  ' 

y  y1       , 

x         J  x'        J 

L'image  objective  se  fait,  dans  le  second  cas,  à  la  même  distance  de  l'oculaire  que  dans  le  premier, 
puisqu'on  met  au  point  ;  l'allongement  du  tube  représente  donc  le  déplacement  de  l'image  objective  : 

?/'  =  .'/  +  f'- 
Enfin  on  a 

D  =  x'  -f-  <•+</'. 

L'élimination  de  x,  y,  x'  et  y'  entre  les  cinq  premières  équations  donne 

La  dernière,  quand  on  y  remplace  x'  et  »/'  par  leurs  valeurs,  donne 

9 
Enfin,  la  puissance  P  de  l'instrument  est  égale,  comme  on  sait,  au  produit  de  la  puissance  p  de 
l'oculaire  par  le  grossissement  de  l'objectif: 

P  =  pg'. 

L  application  numérique  donne 

f=Vm,  e  =  0cm,31,  P  =  720. 

A.   LAUREAUX,  lycée  de  Besançon. 
M.  Causse,  à  Castres,  a  également  résolu  celte  question. 


QUESTIONS  POSÉES  AUX  EXAMENS  ORAUX 


Ecole  normale  supérieure    1895). 

a 

98.  —  Calculer  sin  —  ounnaUsant  rus  a.  —  l'ouvait-on  voir  a  priori  que  l'on  devait  arriver  à  une  équation  du  6e  degré  ? 

—  Pourquoi  les  valeurs  de  sin  —  données  par  cette  équation  sont-elles  deux  à  deux  égales  et  de  signes  contraires  ? — Pourrait-il 
se  faire  que,  pour  certaines  valeurs  de  a,  cette  équation  ait  des  racines  doubles? 

99.  —  Que  représente  l'équation    xxy  -t-  yijz  +  ~;zx  =  0    suivant  les  positions  du  point  *.  }.  ','  dans  l'espace  ? 
100.  —  Un  corps  peut  tourner  autour  d'un  axe  fixe.  Conditions  d'équilibre   de  plusieurs  forces 

agissant  sur  ce  corps. 

Application  :  on  considère  une  tige  AB  mobile  dans  le  plan  vertical  autour  de  son  extrémité  A  ;  en  B 
est  attaché  un  fil  qui  s'enroule  sur  une  petite  poulie  C  qui  est  située  sur  l'horizontale  passant  par  A.  Le 
g"     ^P    fil  est  tendu  par  un  poids  P.  Trouver  la  position  d'équilibre. 

101.  —  Un  cône  du  second  degré  a  son  sommet  à  l'origine  ;  par  un  point  de  l'espace  on  peut  mener  deux  plans  tangents 
à  ce  cône.  Former  l'équation  du  système  de  ces  plans. 

-102.  —  La  série    -. — h  — — h  — — h  . . .   —    est-elle  divergente  ou  convergente  ?  cas  où    a;  =  1. 

1  2  3  n 

103.  —  Construire  la  courbe     x   -  y  xy  +  1    =  x-  —  if. 

./-  i/:  z2 

104.  —  On  considère  une  famille  de  surfaces  homoi'oeales    — r  —  t. r  -+-  -: r=  t.    et  les  plans  polaires  d'un 

a'  +  /.       b-  +  a  c-  -t    /. 

point  fixe  par  rapport  à  ces  surfaces.  Combien  passe-t-il  de  ces  plans  par  un  point  donné  de  l'espace  '.'  Y  a-t-il  des  points  tels 
que  les  trois  plans  polaires  passant  par  ce  point  forment  un  trièdre  trirectangle  ? 

105.  —  Une  surface  du  second  degré  est-elle  déterminée  quand  on   se   donne  un  cercle   sur  la  surface  et  un   axe   de 
symétrie  ? 

106.  —  On  considère  l'équation     <         pa        </  =  0.     Combien  cette  équation  a-t-elle  de  racines  réelles  ' 

107.  —  Construire  la  courbe    .<V  +  [x—  !/)*=  0. 


384  QUESTIONS  POSÉES   \l\  EXAMENS  ORAUX 

108.—  nu  coupe  la  surface    z  —  xy  par  un  plan  parallèle  à  l'axe  des  s.  Quelle  esl  ta  section  obtenue  'En  trouver  Taxe. 
109.—    1' =  0,    Q  =  0,    11  =  0,    S  =  0    étanl  I  s  de  quatre  plans,  que  représente  l'équation    -(-•   r)— 0? 

1 ÎO.  —  Limite  de     (1+  —  \       pour    m  =  x  . 


111.  —  Supposent  que  représente  une  hyperbole.  Comment  obtiendra-t-on 

l'équation  de  l'hyperbole  conjuguée?  —Montrer  que  les  termes  du  premier  el  du  second  degré  sont  les  mêmes  dans  les  deux 
équations. 

112      -  Etanl  donnée  uni   équation  algébrique,  comment  ail  on  si  elle  a  des  racines  multiples  ' 

113.  —  Une  li>]ierl)(ili>  esl-elle  cli'i'-i-iiiiin'i-  quand  on  donne  une  asymptote,  le  centre  el  un  point  d'une  directrice. 
Equation  générale  de  ces  hyperboles;  lieu  des  foyers. 

X* 

114.  —  Construire  la  courbe    . =  : • 

1  —  x       1  —  y 

115.—  Trouver  l'équation  d'un  cône  circonscrit  à  un  ellipsoïde  donné  el  ayanl  poui  sommel  un  poinl  donné.  — 
Lieu  'lu  * net  d'un  cône  circonscril  à  l'ellipsoïde  el  qui  couperait  un  plan  donné  suivant  une  parabole. 

116.  —  Calculer  les  racines  de  l'équation    x*  -+■  px  +  q  =  0.    —Comment  trouve-t-on  le  nombre  des  rac s  réelles 

de  1  équation  du  3'  di  - 

117.  —  Etanl  données  deux  droites  non  dans  un  même  plan  el  leur  perpendiculaire  commune,  soit  P  un  plan  uxi 
passant  par  cette  perpendiculaire.  On  mène,  parallèlement  a  P,  u]\  plan  variable  I'  qui  coupe  les  deux  droites  données  en 
iliu\  points  \  '■!  B.  On  trace  sur  u;  comme  diamètre  el  dans  le  plan  P  un  cercle.  Quelle  est  la  surface  engendrée  par  ce 
cercle  lorsque  P'  se  déplace  parallèlement  à  P  ? 

b* 

118.  —  Etanl   donnée  l'équation     x3  ■+-  px  +  q  =  0     dont   les  racines  sont  a,  b,  c.  Je  pose    y  =  — - —  •   De  quel 

degré  sera  l'équation  en  y  .' 

11!».    -  D  composeï  une  fraction  rati telle  en  fractions  simples. 

120.  —  Transformer  le  produit  cos  a  cos  (a  -+-  -£•  \  cos  (  a  — '  )  en  une  somme  de  lignes  trigonométriques  ;  ne 
connaissez- vous  pas  uni  équation  qui  conduil  a  considérer  une  quantité  de  la  même  tonne? 

121.  —  Dne  surface  de  révolution  du  second  degré  est-elle  déterminée  par  la  condition  de  passer  par  deux  droites 
d'innées .'  Lieu  de  l'axe. 

122.  —  ijuc  représenti    l'équatioi  ::  —  S/.fiz  ■  Ju-n/ =  0,     suivant  les  positions  dans  le  plan  des  xy  du 

point  dont  les  coordonnées  sont  a  et  ;j  :  —  Trouver  1rs  axes  de  cette  surface.  N'y  en  a-t-il  pas  un  qui  esl  en  évidence 

123.—  Ramener  l'intégrale     l'f  .i-,\'n.r-  —  b.r  --<■  d.r    h  celle  d'une  fraction  rationnelle.— Cela  sérail  il  possible  si,  sous  le 

radical,  on  axait  un  polyn en  x 

,  '       dx 
124. —   Soit       /     ,  —  ■       Ramener  cette  intégrale  à  celle  d'une  fraction  rationnelle. 

,  I     yx[x  —  1 1 

12Ô.  —  Si  ou  avait,  sons  le  radical,  un  polynôme  du  3°  degré,  | rait-on  intégrer  ? 

126.  —  Déterminer  les  points  d'inflexion  de  la  courbe    y'  =  !*  +  ax1  +  bx-he.  —    Combien  y  en  a-t-il  de  réels 

127.  —  (tu  a  dans  l'espace  deux  droites  qui  ne  se  coupent  pas.  Un  considère  les  paralioluides  hyperboliques  passant  par 
us  droite-  et  donl  les  plans  directeurs  sont  perpendiculaires.  Ces  conditions  suffisent-elles  pour  détenu 

boloïdes  ? 

128.  —  liésoudi  i  les  équations  j/1  —  s3  =  i.  yz  =  b. 

129.  —  Soit  la  cubique  .<  ;  y'  —  xy  =  0.  Trouvei  les  tangentes  menées  à  cette  cubique  par  un  point  a.  ï  du  plan. 
—  Former  l  équation  générale  des  coniques  passant  par  les  points  de  contact. 

130.  —  On  considère  la  série  dont  le  terme  général  esl    — •    /■  étant  un  nombre  entier  positif.  Est-elle  divergente  ou 

ente   ' 

('                           /-                            t 
131 .— On  considère  la  courbe  gauche  dont  les  coordonnées  sont      x  —  — — ,         y  =  — — —  ,         ;  =  — —  ; 

on  la  coupe  par  un  plan  parallèle  au  plan  des  ./:.  En  combien  de  points  ce  plan  rencontre-t-il  la  courbe  ?  Démontrer  que 
Cespoinls  Mint  lr-  sommets  d'un  parallélogramme. 

Iiiimm  i  la  surface  engendrée  pai  les  quatre  côtés  du  parallélogramme  quand  le  plan  variable  se  déplace  parallèlement 

au  plan  des  xz.  —  Par  deux  des  soin  met  s  du  parallélogramm i  mène  des  tangentes  à  la  courbe  gauche  donnée.  D ntrei 

que  ces  tangentes  sonl  dan-,  un  même  plan. 

132.  —  Condition  pour  qu'un  plan  soit  tangent  à  une  quadrique  donnée  pai  son  équation  ponctuelle.  Que  devient  celle 
condition  lorsque  la  quadrique  esl  un  cône  ou  un  couple  de  plans  ?  Quelles  sont,  dans  ces  cas,  les  équations  tangentielles 
véritables  1 

133.—  On  donne  '-  v  <  tg  i  Démontret  que  cette  équation  définit  une  fonction  .'/  =  f(x)  continue  pour  toutes 
les  valeurs  de  c  el  qui  -'annule  pour    x  =  0.    Trouver  ta  di  rivée  de  cette  fonction. 

/  '*'"                dx 
[nplication  :      Calculer       / ; —     o  i  a  el  b  sont  des  constantes. 

.  '  a  COS    ''       S  -nr  X 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  385 


134.  —  Construire  une  parabole  connaissant  quatre   tangentes.  Dans  quel  ordre  doit-on  numéroter  les  sommets  de 
l'hexagone  de  Brianehon  pour  que  le  théorème  de  Brianchon  soit  applicable  .' 


QUESTIONS    PROPOSEES 


501.  —  On  considère  le  réseau  des  coniques  bitangentes  à  une  conique  fixe  (C)  et  passant  par  un  point 
fixe  A  ;  on  demande  : 

1°  Le  lieu  du  point  de  rencontre  de  la  tangente  en  A  avec  la  corde  des  contacts  ; 

2°  De  montrer  que  si  l'on  assujettit  la  corde  des  contacts  à  passer  par  un  point  fixe  P,  les  coniques  passent 
par  un  second  point  fixe  B  ; 

3°  Ue  trouver  le  lieu  du  point  B  quand  le  point  A  décrit  une  conique  donnée.  E.   Bertiielot. 

502.  —  Par  un  point  A  d'une  ellipse,  on  mène  les  trois  normales  autres  que  la  normale  en  A,  AP,  AO, 
AR  ;  soient  P,  Q,  R  les  pieds  de  ces  normales.  On  mène  en  outre  les  tangentes  à  l'ellipse  en  ces  points  et  l'on 
considère  les  quatre  cercles  tangents  à  ces  trois  droites,  C,,  C>,  Cs,  C-,;  soient  T.,  T2,  T,,  Tt  les  autres  tangentes 
communes  à  l'ellipse  et  à  ces  cercles.  Démontrer  que  le  quadrilatère  T1T2T3T*,  est  circonscriptible  à  un  cercle  et 
trouver  le  lieu  du  centre  de  ce  cercle  quand  le  point  A  décrit  l'ellipse.  Vasmer. 

503.  —  Un  cône  de  révolution  de  1/2  angle  au  sommet  50°  a  son  axe  vertical  et  sa  directrice  dans  le  plan 
horizontal  de  projection  est  tangente  à  xy.  Son  sommet  S  a  pour  cote  7cm,5. 

Par  S  on  mène  la  droite  de  profil  SA  dont  la  trace  horizontale  A  a  pour  éloignement  220m. 
Un  second  cône  de  révolution,  dont  l'axe  est  debout,  a  son  sommet  ï!  sur  SA.  Son  1/2  angle  au  sommet  est 
45°  et  S  a  pour  éloignement  12cm. 

Représenter  le  solide  commun  à  ces  deux  cônes  en  le  limitant  aux  deux  plans  de  projection. 

N.  C. 

504.  —  Un  pendule  OM,  mobile  autour  du  point  0,  est  constitué  par  un  fil  fin  de  longueur  l  et  par  une 
petite  houle  M  de  masse  m.  A  cette  petite  boule  est  attaché  un  autre  fil  flexible  qui  passe  sans  frottement  dans 
un  anneau  très  petit,  A,  et  porte  à  son  extrémité  un  corps  de  masse  M  ;  l'anneau  A  est  situé  sur  la  verticale  du 
point  0  et  la  distance  OA  est  égale  à    l-\-  L.     Calculer  la  durée  d'une  petite  oscillation  du  pendule. 

505.  —  Les  températures  étant  évaluées  avec  le  thermomètre  à  hydrogène,  le  coefficient  moyen  de  dilata- 
tion du  mercure  de  0°  à  t°  est  donné  par  la  formule  empirique 

m  =  a  +  bt,  a  =179X10-°,  b  —  2522x10-", 

et  le  coefficient  de  dilatation  du  verre  par  la  formule 

k  =  x+Ç>t,  a  =  26X10-6,  p  =  1475X  10-". 

On  demande  quelle  est,  à  300"  du  thermomètre  à  hydrogène  : 

1°  La  température  t'  qui  serait  indiquée  par  un  thermomètre  fondé  sur  la  dilatation  réelle  du  mercure  ; 
2°  La  température  t"  indiquée  par  un  thermomètre  à  mercure  ordinaire. 


DEUXIEME    PARTIE 


GEOMETRIE  ET  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


469.  —  Dans  un  triangle  quelconque  ABC,  on  mène  les  trois  médianes  AA,,  BB,,  CC,,  et  les  perpen- 
diculaires aux  milieux  des  côtés  OA,,  OB,,  OC,,  ;  puis  on  prend  les  milieux  des  six  segments  ainsi  obtenus: 
M,  N,  P,  milieux  de  AA,,  BB„  CC,,  ;  M',  N',  P',  milieux  de  OA,,  0B„  OC,.  Démontrer  que  V on  a 

MM'  =  NN'  =  PP'  =  ^-, 


386 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


I;  d  signant  le  rayon  du  cercle  'circonscrit ;  que  MM',  N'Y.  PP'     concourent  en  un  /mini   K  qui  est  leur 

milieu,  et  que  par  suite  les  six  points  sont  sur  un  cercle  de  rayon   —    Enfin  montrer  que  le  point  K  est 

situé  sur  In  droite  qui  joint  le  centre  du  cercle  circonscrit  nu  centre  de  gravité  >'•.   entre  ces  deux  points,  et 
que  l'on  a     il\i  ■       ni;. 

La  droite   MM    joignant  les  milieux  des  portions  de  droites    \  \   el    \.,0,  on  voi1   immédiatement 
que  le  segment    MM    esl  parallèle  à  AO   et  en  esl  la   moitié;  on  verrai!  de  même  que   Y\    el    PP 

sont  les  moitiés  respectives  de  *  » 1 1  ri  OC.  Les  trois 
segments  MM',  NN',  PP  sont  donc  bien  égaux  entre 
eux  et  ii  la  moitié  du  rayon  du  cercle  circonscrit. 

D'autre  pari,   les  trois    droites    \\:.    1:1'.,,  CC,  se 
coupent   au   centre  de   gravité   <•  'lu   triangle  et  on 


a,   en    particulier,     GA  =  ^  A, A,     <ili 


B,B,       ri. 


ne  MA  et  NI:  sont  les  moitiés  de  \,A  el  B|B, 
on  en  conclut  que  GM  et  GN  sont  les  sixièmes  par 
ties  '1'-  \,  \  el  i:,i:  ri  les  quarts  de  GA  el  GB  ;  il  en 
résulteque  MN  esl  parallèle  à  Al:  et  égal  au  quart 
il.'  Al;-,  de  même  M'N'  esl  la  moitié  de  A,l;,.  c'est-à-dire  le  quarl  de  AB  ;  donc  la  ligure 
MNM'.Y  est  un  parallélogramme  et,  par  suite,  les  deux  diagonales  MM  et  NN  se  coupent  en  leur 
milieu  K  ;  pour  une  raison  semblable,  le  segment  PP  passe  au  milieu  commun  il.-  MM  cl  NN  i  i 
admet  <■<■  point  pourmilieu.  Les  -i\  points  M.  M  .  N .  \  .  I'.  I'  sont  donc  sur  un  cercle  ayanl  ce  point  K  pour 

contre  et  pour  rayon   -•    II  c-t  en  outre  évident  que  ce  cercle  est  le  cercle  des  neuf  points  des  triangles 

OA,B„     OA,C„     OB,d. 

Enfin,  puisque  <:M.  GN  el   (il1  sont  les  quarts  de  GA,  GB,  GC,  le  triangle  MM'  esl  homothétique 
direct   du  triangle   ABC,  le  centre  d'homothétie  étant  le  point  <i  et  le  rapport  d'homothétie  étanl  égal  à 

'■    le  cercle  que  nous  venons  de  trouver  esl  'lune  homothétique  du  cercle  circonscrit  au  triangle  V.BC, 
i 

1 
par  rapport  au  point   G  et  dans  le  rapport -;  les  trois  points  ii.    K  et  0  sont  donc  en  ligne  droite  el 

l'on  a  (iO  =  4<iK,    ce  qu'il  fallait  prouver. 

.1.    BLANDIN,  à  Melay. 

Ont  résolu    la  question:   MM.  K.   N.    Barisien  ;  J.   Gocjon,  Maiplai     pensionnai     i    V'albei  l.  Langlois 

Miat  Sainte-Marie,   à  Saint-Etienne  :   J.    Liikriacd  '        usi   :    G.   di    Franci    Versailles  ;  J.  Mosskri  :  G.   v 

orier   répétiteur  au  colli    e  de  Cette);  E.  Bally   collège   Stanislas   ;  Jorge  F.  d'Avillez  de  Reguengo  ;  J.  Blandin    a  Mcl 


470.   —  On  considère  toutes   les  coniques  ayant  des  directions  asymptotiques  et  un  foyer  donnés,  et 

a  ide  : 
i"  L'enveloppe  de  la  directrici  correspondant  à  ce  foyer  ; 
2    Le  lieu  du  second  foyer. 

1»  Les  directrices  de  ces  coniques  étant  perpendiculaires  aux  axes  sont  parallèles  aux  bissectrices 
des  directions  asymptotiques  données. 

2°  Le  lieu  du  second  foyer  se  compose  'les  parallèles  à  ces  bissectrices  menées  par  le  foyer  donné. 

E.-N.   BARISIEN. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  387 


Solutions  identiques  par  :  MM.  Blazï-Lacombe,  lycée  de  Toulouse  ;  Louis-Joseph  Godion,  pensi lat  fie  Valbcnoite,  a  Saint-Elienuc  : 

,1.  Goin  kOD,  lycée  Saint-Louis  ;  Joseph  Lhébial'd,  lyc.'-è  de  Toulouse  ;  Sugot,  lycée  Saint-Louis. 


453.  —  On  donne  un  point  A  sur  une  droite  et  un  point  B  en  dehors  de  cette  droite  ;  un  mobile  va 
de  H  en  A  par  les  segments  de  droite  BM  et  MA,  avec  les  vitesses  respectives  o  et  >•'.  Trouver  les  variations 
du  temps  employé. 

Prenons  pour  axe  des  x  la  droite  AM  et  pour  axe  des  y  une  perpendiculaire  à  celte  droite 
menée  par  le  point  A,  les  directions  de  ces  axes  étant  choisies  de  telle  sorte  que  les  coor- 
données du  point  B,     a  et  b,    soient  positives. 

Nous  avons  à  étudier  les  variations  de  la  fonction 

_  BM      MA 

M  V  ~~    v  v' 

quand  le  point  M  décrit  l'axe  des  x. 

1°  Supposons  d'abord    x  >  0.     —  Nous  avons 
B  J(x  —  a)2  +  62        x 

y  =- — r ^-3-; 


cette  fonction  est  continue  pour  toutes  les  valeurs  de  x.  Prenons  la  dérivée  ;  nous  obtenons 

(  x  —  a  \ 

»  \/\x  —  a)s-t-62        b' 
Si  x  est  plus  grand  que  a,    y'  est  sans  cesse  positive,  y  va  en  croissant. 
Suit  maintenant    x  <  a  ;     nous  pouvons  écrire 

v  \/{x  —  a)1  -+-  b'  -\-v'(x  —  a 


!l 


vv'  s/{x  —  a)2  -H  b'1 
b-v'1  —  (v'-  —  v*)(x  —  t 


b»'  \>ix  —  a)'2  -+-  b'1  [v  \/x  —  a)2 -h  b-  —  v'[x  —  «)] 
et  dans  notre  dernière  hypothèse,  le  dénominateur  de    y'   est  positif,  par  conséquent  y'   a  le  signe  du 
numérateur. 

Si    d2  —  v"1    est  positif,  le  numérateur  de  y'  est  positif,  y  croit. 

Si     i>2  —  u"2    est  négatif,  le  numérateur  de  y'  peut  s'écrire 

~bv  —  v'f'2  —  v-(x  —  a)][bv  ■+-  v/o'2  —  v-(x  —  a)  : 

bu 
le  premier  facteur  est  positif,  puisque    x  —  a  <<  0  ;     le  second  s'annule  pour    x  =  a  —  i     et 

/ir'  —  v- 

cette  valeur  n'est  à  considérer  que  si  elle  est  positive. 

Nous  pouvons  résumer  ce  qui  précède  de  la  façon  suivante  : 

Si  l'on  a  en  même  temps 

bv 

V  <<  V  ,  CI  >  -  - 

vV2 V2 

la  fonction  y  a  un  minimum  pour  x  =  a -=^=  ;    elle  décroit  quand  x  croit  de  0  à    a — 

s/v'-  ■ —  c-  vv    —  v- 

et  elle  croit  quand  j;  croit  de     a t  à     -H  oo  . 

s/v'2  —  v- 

Dans  tous  les  autres  cas,  y  va  sans  cesse  en  croissant  quand  x  croît  de  0  à  +  oo . 
2°  Supposons    x  <  0.     —  La  fonction  à  étudier  est  alors 

v/(a;  —  a)2  -+-  lr        x 


388 


ALGÈBRE 


i    désignant  toujours  l'abscisse  du  point  M.  etnousavons 

,  x  —  a  1 

f-V  x  —  a)-  -h  b'1       v' 
Or,  x  liant  aégatif,  y   esl  négative  quel  que  soil  x,   il  en  résulte  que  la  fonction  y  est  sans  cesse 
décroissante. 


Conséquences.  —  Si  l'on  a 


v  <  d\ 


a> 


6« 


*<  - 


la  variation  de  y  esl  donnée  par  le  tableau  suivant 


X 

croîl 

0 

crotl 

bv 

-!-  X 

<Jv-  —  v- 

-+-  » 

décroil 

décroit 

croîl 

vfa2  -+-  62 

r 

vo' 

-+-x 

Dans  tous  les  autres  cas,  nous  avons 


X 

—  X 

croit 

0 

croit 

+  00 

il 

+  00 

déci.iit 

Ja^Tl? 

r 

croit 

-+-  « 

ALGEBRE 

476.  —  On  demande  de  déterminer  un  trapèze  isocèle  dont  on  connaît  la  base  'lu  et  les  côtés  égaux  b 
de  manière  à  rendre  sa  surface  aussi  grande  que  possible. 

i         des  Ponts  et  Chaussées,  Cours  préparatoires,  1S95.) 
Nous  regarderons  2a  et  b  comme  étant  des  nombres  essentiellement  positifs  ;  il  n'y  a  aucun  intérêt 

à  ''tendre  la  question  en  supposantque  a  et  6  puissenl 
être  négatifs.  Nous  désignerons  par  ç  l'angleque  l'ait 
A  A  avec  AB  ;  nous  aurons  évidemment  tous  les  cas 
de  Bgure  en  faisant  varier  o  de  0  à  -. 

Cela  posé,  dans  le  cas  d'un  trapèze  ordinaire,  nous 
aurons 

-tt—  =  a  —  b  cos  ?, 

et,   pour   hauteur  du    trapèze,    ôsincp;    l'aire  de  ce    trapèze  est  donc     b  sin  o  [la — b  cos  o).     Nous 

aurons  donc  la  formule 

A  =  ès  sin  ç  i  k  —  cos  -- i, 

2« 
en  désignant  par   \  l'aire  du   trapèze  et  par   k  le  rapport  —  •  Pour  que  cette  formule  reste  vraie  dans 

lecasdelasecondeligure.il  faut  désigner  par  A  la  différence  entre  les  aires  des  triangles  OAB  et 
OA'B'.  C'esl  ce  que  nous  appellerons  alors  l'aire  du  trapèze  pour  conserver  un  sens  géométrique  uni- 
forme el  précis  à  l'égalité  précédente. 

Proposons-nous  maintenant  de  trouver  les  maxima  ei  minima  de  la  fonction  A  :  pour  cela  annulons 
sa  dérivée  par  rapporl  à  »;  nous  aurons  ainsi 

\  .  —  b1  [cos  <?  (k —  cos  o)  -+-  sin2  o    =  0, 


i  cos3  o  —  I;  eus  o  —  1  =  0. 


QUESTIONS    POSÉES   AUX   EXAMENS    ORAUX  389 


Cette  équation  du  second  degré  en  cos  o  a  ses  deux  racines  réelles, 


k  —  y/F 

+  8 

4 

k  +  \  ,  - 

COS  Ss  =  : 

—  !S 

la  première  est  négative  et  toujours  comprise  entre  —  1  et  0  :  ce  dernier  point  s'aperçoit  aisément 
en  substituant  à  cos  o,  —  1  et  0.  dans  l'équation  envisagée  :  la  seconde  est  positive,  et.  pour  qu'elle 
soit  comprise  entre  0  et  1,  il  faut  qu'en  faisant  cos  o  =  1  dans  l'équation  en  cos  o,  le  résultat 
obtenu  soit  positif  ;  on  trouve  ainsi    i  —  Â>0    ou     Â<1. 

Prenons  alors  la  dérivée  seconde:  nous  aurons  A'o  =  sin  o  :4  cos  --.  —  k).  Pour  tout  angle  compris 
entre  0  et  -,  le  premier  facteur,  sin  o  est  positif  :  donc,  pour  ç  =  o,,  la  dérivée  seconde  est  négative 
et  celte  valeur  de  9,  donne  un  maximum.  Si  k  <  1.  c'est-à-dire  si  l'angle  =.*  existe,  la  dérivée  se- 
conde est  positive  pour  o  =  os  et  A  acquiert  alors  un  minimum.  Si  k  =  I ,  cos  ot  =  1,  l'angle  os  est  nul 
et  le  minimum  de  A  est  nul.  Si  A-  >  1,  l'angle  os  n'existe  pas,  il  n'y  a  pas  de  minimum  algébrique 
proprement  dit  ;  cependant  lorsque  9  varie  de  0  à  o,,  la  dérivée  première  est  positive  et  la  fonction 
croissante  ;  on  peut  donc  dire  encore  qu'au  point  de  vue  où  nous  nous  sommes  placés,  la  fonction  A  a 
pour  minimum  0.  Quand  les  deux  angles  existent  à  la  fois,  l'angle  o}  est  aigu,  l'angle  ?,  toujours  obtus; 
le  minimum  a  donc  lieu  avant  le  maximum,  quand  o  croit  de  0  à  -. 

A.   GAUSSÉ,  à  Castres. 

Ont  traité  la  question  :  MM.  J.  Blandin,  a    Melav;  ;  H.  Bo.n.nard  (surveillant  général  au  lycée  de  Bordeaux  . 


QUESTIONS   POSEES    AUX    EXAMENS   ORAUX 


ÉCOLE    CENTRALE  (1894) 
Géométrie    analytique.    [M.    Goliliv. 

Géométrie  analytique  à  trois  dimensions. 

143.  —  a',  a",  a'"  désignant  les  projections  d'une  aire  plane  A  sur  les  trois  plans  de  projection  supposés  rectangulaires, 
prouver  qu'on  a    A2  =  a"-  —  a"-  — 

144.  —  Qu'exprime  la  relation    cos  a  cos  a'  —  cos  b  cos  b'  —  cos  c  cos  e'  =  1  ? 
Montrer  qu'elle  est  suffisante  pour  exprimer  que  deux  droites  sont  parallèles. 

145.  —  Démontrer  que  si  une  droite  est  perpendiculaire  sur  un  plan,  ses  projections  sont  perpendiculaires  aux    races 
de  même  nom  du  plan. 

146.  —  Distance  de  l'origine  à  la  droite    x  =  iz  -+-  5,     y  =  2;  —  6. 

147.  —  Distance  d'un  point  de  l'axe  0:  à  la  droite    y  =  tnx  -H  p.    ;  =  0. 

jj  Q  y    ff  »j  £ 

148.  —  Equation  d'un  cylindre  de  révolution  de  rayon  R  et  dont  l'axe  a  pour  équations =  — = —  =  - ■ 

149.  —  Équation  d'un  cône  ayant  pour  sommet  un  point  A  donné  sur  0;  et  pour  directrice  l'ellipse  donnée  par  les 
équations    b'x-  +  a-y"  —  a'-b!  =  0,     ;  =  0. 

150.  —  Equation  du  cône  engendré  par  la  droite    ]/  =  {,    z  —  mx  —  p. 
en  tournant  autour  de  0;. 

151.  —  On  donne  dans  le  plan  des  xz  une  circonférence  dont  le  centre  est  sur  Ox.  Équation  de  la  surface  engendrée  en 
tournant  autour  de  0;. 


390  QUESTIONS  POSÉES    \l\    EXAMENS  ORAUX 

152.  —  On  donne  la  droite  représentée  par  tes  équations    a  =  u:  +  p,    ;/  =  bz  ■+■  q. 

Équation  de  la  surface  engendrée  par  une  droite  qui  s'appuie  «••'ii-t.mim.'iit  sur  lu  limite  proposée  cl  sur  l'axe  <>:.   en 
restant  parallèle  au  plan  a;Oy. 

153.  —  Relations  entre  les  coefficients  directeurs  des  diamètres  conjugués  dans  l'ellipsoïde. 

154.  _  Deux  quadriques  qui  on(  deux  plans  tangents  communs  se  coupent  suivant  deux  courbes  planes. 

155.  —  Équation  générale  des  quadriques  qui  son!  coupées  par  le  plan  des  xy  suivant  la  conique 

\,        ZBxy      Cg        -\y  =  0. 

156.  _  un  donne  trois  axes  rectangulaires  et  dans  le  plan  sOx  une  parabole  ayant  Ox  pour  axe  et  Os  pour  tangi  nte  au 

sommet.  Équati te  la  surface  engendrée  par  une  deuxiè parabole  se  déplaçant  parallèlement  au  plan  xOy  de  manière 

que  son  axe  soit  parallèle  à  Oa  et  que  son  sommet  soit  constamment  sur  la  première. 

157.  —  Équation  de  la  tangente  à  une  courbe  gauebe.    -  Tangente  en  un  point  de  la  courbe 

x'-  -+-  if  -t-  z"  =  R-,  l.r    •    iiaj        nz    ■   p  =  0. 

Même  question  pour  la  courbe 

x2  ■+-  y-  =  R2,  y  =  cos  ;. 

Géométrie.    M.  Appell.) 

158.  —  Trouver  dans  le  plan  d'un  triangle  un  point  d'où  on  voie  les  trois  côtés  sous  le  même  angle. 

159.  —  Déduire  la  propriété  des  hauteurs  d'un  triangle  [concourantes   de  celle  des  bissectrices. 

100.  —  Lieu  des  centres  des  circonférences  qui   coupent    deux   circonférences  tixes  en  des   points  diamétralement 
opposés. 

161.  _  On  donne  deux  circonférences,  et  une  troisième,  tangente  aux   deux  premières.  La  droite  qui  Joint  1rs  points  de 

contact  passe  par  l'un  des  centres  de  similitude  des  deux  premières. 

162.  —  Lieu  des  milieux  des  droites  ijui  s'appuient  sur  deux  droites  données  de  l'espace. 

163.  —  Liant  donnés  un  point  et  une  circonférence  dan-  l'espace.,  trouver  la  plus  courte  distance  du  point  à  la  circon- 
férence. 

164.  _  Lieu  du  milieu  d'une  droite  de  longueur  constante  dont  tes  extrémités  décrivent  deux  droites  rectangulaires 

dans  l'espace. 

165.  —  Condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  deux  hauteurs  d'un  tétraèdre  se  rencontrent. 

l(i(i.  —  Lieu  des  points  équidistants  de  deux  cercles  donnés. 

107.  —  Lieu  des  points  dont  la  dislance  à  une  droite  lixe  est  é»ale  à  leur  distance  à  un  point  fixe,  plus  une  constante. 

168.  —  Le  cercle    inscrit  dans  le    triangle  loi  nié  par  l'axe  liansverse  et  les  deux  lavons  vecteurs  d'un   poinl  de  l'hyper- 

liole  touche  le  grand  axe  au  sommet  de  la  branche  correspondante. 

169.  —  Condition  nécessi 1  suffisante  pour  qu'un  quadrilatère  puisse  être  circonscrit  a  une  circonférence.  Montrer 

qUC  p.  quadrilatère  formé  en  joignant  deux  points  d'une  hyperbole  aux  deux  foyers  est  circonscriptible. 

170.  —  Construire  une  conique  ci aissant  : 

\"  un  foyer  et  trois  points  ; 
2«  un  foyer  et  trois  tangentes. 

171.  —  Construire  une  ellipse  connaissant  les  sommets  A,  1!  et  l'excentricité  égale  à  —  • 

172   —  Construire  une  hyperbole  connaissant  un  lover,  une  asymptote  et  une  tangente. 

173.  —  Construire  une  parabole  connaissant  :  1  ■  le  foyer  et  deux  points  :  2e  deux  points  et  la  directrice  ;  3°  la  directrice, 
un  point  et  une  tangente. 

Géométrie  descriptive.  (M.  Appell.) 

174.  _  Étant  donnée  une  pyramide  triangulaire  dont  la  hase  est  dans  le  plan  horizontal  et  le  sommet  dans  le  plan 
vei-ln  .d.  construire  la  section  de  celle  pyramide  par  le  premier  plan  bissecteur. 

175.  _  On  donne  un  tétraèdre  défini  par  sa  hase  dans  le  plan  horizontal  el  la  projection  cotée  de  son  sommet.  Détei 
minei  la  plus  courte  distance  de  deux  arêtes  opposées.  Construire  le  rectiligne  de  l'un  des  dièdres. 

17G.  —  Angle  d'une  droite  définie  par  ses  projections  avec  le  plan  bissecteur  du  second  dièdre. 

177.  —    On  d leiiv   plans  par  leurs  Irai  es  et  un  axe  de  bout,   l'aire  tourner  un  des  plans  autour  de  l'axe  de  façon 

a  l'amenei  a  être  perpendiculaire  a  l'autre  plan  supposé  fixe. 

178.  _  on  donne  (rois  points  par  huis  projections  et  leurs  cotes.  Construire  le  cercle  passant  par  ces  trois  points. 
17!).  —  On  donne  deux  cylindres  de  révolution  par  huis  axes  el  huis  rayons.  Mener  pai  un  poinl  donné  1 tangente 

,  ommune  à  ces  deux  cylindres. 

180. — Mener  par  un  point  nue  tungenl aune  à  deux  sphères. 


QUESTIONS   POSÉES   AUX    EXAMENS  ORAUX  391 


181.  —  Par  un  point  donné  de  l'espace  mener  ii  une  sphère  donnée  une  tangente  faisant  un  angle  donné  avec  la  ligne 
de  terre. 

182.  —  Mener  par  un  point  une  droite  s'appuyant  sur  une  droite  donnée  et  faisant  un  angle  donné  avec  le  plan  hori- 
zontal. 

183.  —  Construire  une  droite  rencontrant  deux  droites  données  et  faisant  des  angles  donnés  avec  les  plans  de  projection. 

184.  —  Plans  tangents  communs  à  deux  cônes  circonscrits  à  une  même  sphère. 

185.  —  Mener  les  plans  tangents  communs  à  deux  cônes  de  révolution  ayant  même  sommet,  définis  par  leurs  axis  et  les 
angles  au  sommet. 

186.  —  Mener  un  plan  tangent  commun  à  une  sphère  et  à  un  cylindre  de  révolution  déliai  par  son  axe  et  son  rayon. 

187.  —  Mener  un  plan  tangent  commun  à  une  sphère  et  à  un  cône  oblique  ayant  sa  base  dans  le  plan  horizontal. 

188.  —Soit  un  trièdre  défini  par  les  projections  de  ses  trois  arêtes.  Construire  l'axe  du  cône  de  révolution  passant  parles 
trois  arêtes.  Ayant  l'axe  de  ce  cône,  comment  construira-t-on  ses  contours  apparents? 

189.  —  On  donne  les  projections  horizontales  et  les  cotes  de  trois  points  A,  Ii,  C,  et  un  plan  défini  par  sa  trace  el  un 
point  M  (projection  horizontale  et  cote).  Déterminer  le  centre  de  la  sphère  passant  par  les  points  A,  B,  C  et  tangente  au  plan 
au  point  M. 

190.  —  Mener  une  normale  commune  a  deux  cônes  de  révolution  ayant  leurs  bases,  l'un  dans  le  plan  horizontal,  l'autre 
dans  le  plan  vertical. 

191.  —  Mener  par  un  point  donné  une  normale  à  un  cylindre  de  révolution  défini  par  son  axe,  qui  est  de  front,  et  son 
rayon. 

192.  —  Mener  par  un  point  donné  une  normale  à  un  cône  de  révolution  défini  par  son  uxe  et  son  angle  au  som (. 

193.  —  Mener  par  un  point  donné  une  normale  à  un  cylindre  dont  la  base  est  un  cercle  situé  dans  le  plan  horizontal  et 
dont  les  génératrices  sont  de  front. 

194.  —  Mener  à  un  cône  donné  une  normale  faisant  un  angle  donné  avec  le  plan  horizontal  et  rencontrant  une  droite 
donnée. 

195.  —  On  donne  dans  le  plan  horizontal  un  cercle  tangent  à  la  ligne  de  terre.  Ce  cercle  est  la  base  d'un  cône  dont  le 
sommet  est  dans  le  plan  vertical.  Construire  la  section  par  un  plan  parallèle  au  plan  vertical. 

196.  —  On  considère  deux  cônes  de  révolution  ayant  leurs  bases  dans  le  plan  horizontal  et  même  angle  au  sommet. 
Trouver  leur  intersection. 

197.  —  On  trace  un  cercle  dans  le  plan  horizontal  et  on  donne  deux  points  par  leurs  projections  horizontales  et  leurs 
cotes.  Intersection  des  deux  cônes  ainsi  définis. 

198.  —  Un  cylindre  oblique  a  pour  base  un  cercle  dans  le  plan  horizontal  et  ses  génératrices  sont  de  front.  Trouver 
l'intersection  de  ce  cylindre  et  d'un  cône  de  révolution  ayant  même  base. 

199.  On  donne  un  cylindre  droit  ayant  pour  base  une  hyperbole  dans  le  plan  horizontal  et  un  cône  de  révolution  avant 
pour  base  une  circonférence  concentrique  à  l'hyperbole.  Intersection  de  ces  deux  surfaces. 

200.  —  On  donne  une  droite  par  ses  projections  ab,  a'b'.  Intersection  des  deux  cônes  engendrés  par  cette  droite  en 
tournant  successivement  autour  des  verticales  (a,  a")  et  (b,  V). 

201 .  —  Intersection  de  deux  cylindres  tangents  au  plan  horizontal  et  dont  l'un  est  parallèle  à  la  ligne  de  terre. 

202.  —  On  donne  un  cùnc  circulaire  donl  la  base  est  dans  le  plan  horizontal.  On  inscrit  un  cercle  dans  le  contour  appa- 
rent vertical  et  on  prend  ce  cercle  pour  base  d'un  cylindre  dont  les  génératrices  sont  perpendiculaires  au  plan  vertical. 
Trouver  l'intersection  des  deux  surfaces. 

203.  —  Un  cylindre  a  pour  base  un  cercle  dans  le  plan  horizontal  et  ses  génératrices  de  front,  bans  le  contour  appa- 
rent vertical  de  ce  cylindre  on  inscrit  une  circonférence  qui  est  la  base  d'un  cylindre  de  bout.  Construire  l'intersection  de 
ces  deux  cylindres. 

204.  —  Intersection  d'une  sphère  avec  un  cône  ayant  pour  sommet  le  point  le  plus  haut  de  la  sphère  et  pour  base  un 
cercle  dans  le  plan  horizontal. 

205.  —  Intersection  d'une  sphère  et  d'un  cylindre  oblique  ayant  pour  base  un  grand  cercle  de  la  sphère. 

206.  —  Intersection  d'une  sphère  et  d'un  cône  de  révolution  ayant  puni  sommet  un  point  delà  sphère,   pour  axe   une 

tangente  à  la  sphère  en  ce  point  et  pour  angle  au  sommet  un  angle  donné. 

207.  —  Intersection  d'une  surface  gauche  Je  révolution  a  axe  vertical  avec  une  droite  verticale. 

208.  —  Mener  par  un  point  des  normales  à  la  surface  gauche  de  révolution. 

209.  —  Trouver  sur  une  surface  gauche  de  révolution  à  axe  vertical  une  génératrice  faisant  un  angle  donné  avec  la 
ligne  de  terre. 

210.  —  On  considère  une  surface  gauche  de  révolution  dont  l'axe  est  vertical;  l'angle  des  génératrices  avec  l'axe  est 
de  45°.  Construire  l'intersection  de  la  surface  avec  le  premier  plan  bissecteur. 

211.  —  Etant  donné  une  surface  gauche  de  révolution  dont  l'axe  est  vertical,  mener  à  cette  surface  des  plans  tangents 
passant  par  la  ligne  de  terre. 

212.  —  Deux  surfaces  gauches  de  révolution  ayant  leurs  cercles  de  gorge  dans  un  même  plan  ont  une  intersection  qui 
se  projette  sur  ce  plan  Minant  une  circonférence. 


392  QUEHh>\-    PROPOS]  l  S 


213.  un  donne  deux  axes  verticaux  et  une  droite  tournant  autourde  ces  deux  axes  successivement  Intersection  des 
deux  mu faci  •  i         '  es. 

214.  —  On  donne  dans  le  pi  lI  i tourbe  C  et  dans  ['espace  une  droite  DD  .  rrouver  la  normale  en  un  point 

m,  m' de  la  surface  engendi   e  pai  la  rotation   le  la  courbe  <    autour  delà  droite  DD'. 

215.  —  Construire  le  contoui  apparent  vertical  de  la  surface  engendrée  pai  la  ligne  de  terre  en  tournant  autour  d'une 
droite  de  fronl  d 

216.  —  On  donne  une  verticale  dansle  plan  vertical  et  une  circonférence  dans  un  plan  de  bout.  Construire  le  contoui 
apparent  di  l  ndrée  car  la  rotation  du  cercle  autourde  la  vertii  aie  donnée. 

217.  _  Construire  le  contour  apparent  horizontal  d'un  tore  dont  l'axe  est  une  ligne  de  front. 

2is.  Intersection  d'une  surface  gauche  de  révolution  à  axe  vertical  et  d'un  cône  de  révolution  ilont  l'axe  esl  de  front 
et  rencontre  l'axedc  la  surface  gauche. 

2i9.  _  intersection  d'une  surface  gauche  de  révolution  a  axe  vertical  e(  d'une  cône  ayant  pour  base  dans  le  plan  horizon- 
tal une  circonférence  dont  le  centre  est  dans  le  vlan  de  front  le  l'axe  de  la  surface  gauche,  e(  pour  sommet  un  point  du 
même  plan  de  front. 

220.  —  Intersection  de  deux  surfaces  de  révolution  engendrées  par  la  rotati 1  une  même  droite  aul ■  de  deux  axes 

qui  se  rencontrent. 

221.  —  Étant  données  une  ellipse  dans  le  plan  hoi  izontal  et  une  ellipse  dans  le  plan  vertical,  peuvent  elles  être  les  pro- 
jections  d'une  même  ellipse  de  l'espace  ? 


QUESTIONS  PROPOSEES 


506.  —  On  donne  un  cercle  de  centre  0,  un  diamètre  Qxe  de  ce  cercle  et  un  point  P  fixe  sur  ce  diamètre  ; 
par  le  poinl  P  on  mine  une  sécante  quelconque  PMM',  et  on  demande  l'équation  géni  raie  '1rs  hyperboles  équi- 
tatères  qui  passent  au  point  P  et  qui  admettent  pour  diamètres  conjugués  les  droites  qui  joignent  le  centre  du 
cercle  aux  points  de  rencontre  de  ce  cercle  avec  la  sécante  mobile  ;  on  demande  en  outre  le  lieu  des  sommets 
et  le  lieu  des  foyers  de  ces  hyperboles.  (G.  A.  POI  ILL1ART. 

507.  On  considère  le  faisceau  de  coniques  ayant  pour  foyer  un  point  donné  F  etpassanl   en  deux   points 

donnés  A  et  B,  et  on  demande  : 

1"  L'enveloppe  des  directrices  qui  correspondent  au  foyer  F  ; 

2'  Le  lieu  du  centre  de  cette  conique  variable  ; 

3°  Le  lieu  du  second  loyer  ; 

I    D'indiquer  la  construction  de  la  conique  particulière  du  faisce  m  qui  a  une  excentricité  donnée. 

L.-.l.  GOUJON   pensionnai  de  Valbenolle,  à  Saint-Etienne). 

508.  —  On  donne  un  cercle    C    et  une  droite    D),  et  l'on  considère  un   cercle  variable    (P)  orthogonal  au 

cercle    ('.    et  tangent  à  la  droite    D). 

1°  Trouver  le  lieu  du  centre  du  cercle  1\ 

rrouver  l'enveloppe  du  cercle  r  et  montrer  qu'elle  se  décompo n  '\<'ux  partie-  que  chaque  cercle  touche 

simultanément  ;  indiquer,  en  outre,  la  correspondance  qui  existe  entre  les  deux  points  de  contact  du  cercle  r 
avec  son  enveloppe. 

;,  prouvet  le  lieu  du  poinl  de  rencontre  de  la  normale  à  l'une  des  parties  de  l'enveloppe  en  l'un  des  points 
de  contact  avec  la  tangente  à  l'autre  partie  en  l'autre  point  de  contact.  Construire  ce  lieu. 

E.  II. 

509.  —  On  donne  une  circonférence  el  deux  tangentes  fixes  à  cette  courbe  ;  on  considère  deux  autres  tan- 
gentes variables  se  coupant  sons  un  angle  donné.  Heu trer  que  le  poinl  de  concours  des  diagonales  du  quadri- 
latère ainsi  formé  décrit  une  ligne  droite.  Traiter  la  question  par  le  calcul. 


Le  Rédacleur-Géranl  :  II.   \l  IBERT. 

BÀR-LE-mc.  —    «P.    COMTE-JACQUET. 


6°  Année.  N°  8.  Mai  1896. 

REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 

PREMIÈRE  PARTIE 


SUR  LES  COORDONNEES  POLAIRES 

par  M.  L.  Lefèvre,  Professeur  de  Mathématiques  spéciales  au  lycée  de  Lille. 


Qu*on  nous  permette  de  présenter  ici  quelques  observations  sur  l'intéressant  article  de  M.  Andoyer, 
paru  dans  Favant-dernier  numéro  de  cette  Revue,  et  relatif  à  certaines  courbes  algébriques  en  coor- 
données polaires. 

Il  est  facile  d'obtenir  l'équation  générale  des  courbes  quelconques,  telles  que  le  rayon  vecteur  p 

reprenne  les  mêmes  valeurs  quand  l'angle  polaire   u>   augmente  d'un  même  anule  donné     %  —  — t.. 

n 
Soit    /'i  o,  'jj )  =  0    l'équation;  on  devra  avoir    /"(?,  ta  +  a.)  =  X/"(p,  u>).     Bornons-nous  au  cas  très 
général  d'un  multiplicateur  À   égal  à   1  ;    il  vient 

fli  /'  p,    to+  y.)  =  f  p,  (o). 

Or  les  fonctions     m  =  p,  v  =  tg  —     satisfont  à  celte  condition  et  il  en  sera  de  même  pour  toute 

m 

fonction  F(w,u)  uniforme  en  u  et  v. 

Inversement,  soit  /"(p,  w)  une  fonction  satisfaisant  à  la  relation  1  );  exprimons  p  et  w  en  »  et  o; 
il  vient    /"(p,  w)  =  F(«,  v).    Je  dis  que  F(w,  v)  est  uniforme  en  u  et  u  :  à  un  système  de  valeurs  u0,  v0 

îc     v0  =  tg  — ■)  correspondent  y;  points  du  plan    j       _        m  •    _  (  , 

Mais  en  l'un  de  ces  points,  on  a  fio,  u)  =  f(p,  0  +  /.^  =  /'.  p.  8  d'après  ri);  donc  /"  ou  F  reprend 
toujours  la  même  valeur  /'(p,  6). 

Ainsi     F(  p,  tg 1  =  0,     dans  laquelle  F  est  uniforme  en  p  et  tg  — .  est  bien  l'équation  géné- 


rale des  courbes  en  question. 

On  verrait  de  même  que     F(  p  cos  — ,  te  —  )  =  0,     dans  laquelle   F  est  uniforrite  en   p  cos  — 
\  m       '     m   !  m 

et  tg  — ,   est  l'équation  générale  des  courbes  dans  lesquelles   p  se  change  en    —  o    lorsque  l'angle 

i  '" 

polaire  augmente  de     a  =  — -. 

Pour  ce  qui  est  des  diverses  espèces  d'axes  et  de  centres  de  symétrie,  de  leur  existence  simultanée 
et  de  leur  usage  pour  simplifier  la  construction  d'une  courbe  absolument  quelconque  rapportée  à  des 
coordonnées  polaires,  nous  en  avions  donné  nous-même  une  étude  complète  il  y  a  quelques  années 
indiquant  en  outre  les  équations  générales  des  courbes  qui  présentent  ces  diverses  sj  métries. 

On  voit  ainsi,  en  l'éprenant  les  trois  exemples  citésparM.  Andoyer   :  que   la  courbe     p  =  sin 

(')  Nouvelles  annules  de  mathématiques,  année  1892. 


394  INTERSECTION    D'UNE    DROITE    \\H.   I  M-    ni  Million-:  (IMCIIK 

rentre  dans  la  forme     F(p,  sin       u>]  =  0,   où!   est  une  fonction  uniforme  et  impaire  en  c   el   mu 

V  '/  7 

possède   p  axes  de  chaque  espèce  el  s'obtient  en  faisanl  varier  m  dan-  un  intervalle  d'éU*ndue   2-/-; 

Que     p       tg  -  '"    est  de  la  forme     F(p,  tg       ■■<)     avec    F    uniforme  et    impaire.    Elle  possède 

/*   axes  de  2"  espèce  el  <  < - 1 1 . ■  - j ■•  > i ni  à  la  variation  7-  de  <••.  si   9  esl  pair.  Elle  possède   2p  axes  de 
2e  espèce  el  w  doil  varier  de  -2</-.  si  9  esl  impair. 

Enfin     p  =  cos  -  u  +  cos2—  10    rentre  dans    F(p,cos  —  <•>)  =  0,    F  uniforme  et  possède  p  axes 

7  7  \  7 

de  1"  espèce,  m  vai  ie  de  -7-. 

— ♦• 

INTERSECTION  D'UNE  DROITE  AVEC  UNE  QUADRIQUE  GAUCHE 
par  M.  C   Roubaudi,  Professeur  au  lycée  BuiTon. 


1. —  Hyperboloïde.  —  Soit  I)  la  droite  dont  il  faut  construire  1rs  points  de  rencontre  avec 
l'hypcrboloïde  défini  par  les  trois  directrices  A,  II,  G.  Les  quatre  droites  A,  li,  G,  1>  peuvent  être 
combinées  trois  à  trois  de  quatre  manières  el  définissent  par  suite  quatre  hyperboloïdes  distincts, 
lesquels  peuvent  être  groupés  deux  à  deux  de  six  façons.  Considérons  un  quelconque  de  ces  groupes, 
\.  i;.  C  el  \.  I!.  D)  par  exemple.  Pour  obtenir  à  la  fois  des  génératrices  des  deux  hyperboloïdes, 
nous  faisons  passer  des  plans  auxiliaires  par  l'une  des  deux  génératrices  communes,  A  par  exemple. 
l'n  plan  quelconque  P  mené  par  celte  droite  coupe  les  trois  autres  droites  H.  C,  D  respectivement 
aux  points  b,  c,  d;  lu-  estime  génératrice  du  premier  hyperboloïde,  elle  rencontre  A  au  point  a; 
bd  esl  une  génératrice  du  deuxième  hyperboloïde,  elle  rencontre  A  au  point  a.  Lorsque  le  plan  P 
(..ni  in' autour  de  A,  les  deux  points  a  el  *  décrivenl  sur  A  deux  divisions  homograpliiques,  cardans 
['hyperboloïde  (A,  B,  C),  les  deux  suites  a)  el  b  sont  homographiques,  et,  dans  l'hyperboloïdé 
(A,  B,  D),  les  deux  suites  (a)  et  (b)  sont  homographiques  ;  donc  les  deux  suites  (a)  et  (a),  homogra- 
phiques à  une  troisième  {b),  sonl  homographiques  entre  elles. 

Cela  posé,  les  deux  divisions   (a)  et  (a),    -il -  sur  la  même  droite   A,    ont  deux  points  doubles 

à  chacun  desquels  correspondent  deux  droites  bc  et  bd  confondues,  c'est-à-dire  une  génératrice  com- 
mune aux  deux  hyperboloïdes.  Ces  droites  s'appuyanl  sur  les  quatre  droites  A,  B,  C,  1>.  sont  deux 
génératrices  de  l'hyperboloïdé  A.  B,  C,  el  les  points  où  elles  rencontrent  D  sont  les  points  d'inter- 
section de  cette  dernière  doite  avec  l'hyperboloïdé  donné. 

H  résulte  <)>■  ce  qui  précède  que  les  deux  hyperboloïdes  (A,  B,  C  .  (A,  B,  D),  qui  «ml  deux  généra- 
trices communes  A  el  l!  de  même  système,  onl  en  outre  en  commun  deux  génératrices  de  l'autre 
système,  de  surir  que  leur  intersection  se  compose  de  quatre  droites,  se  coupant  deux  à  deux  en  quatre 
points  ''M  lesquels  les  deux  hyperboloïdes  sonl  tangents.  On  peut  dire  aussi  qu'il  existe  deux  droites 
-  appuyanl  sur  quatre  droites  données  d'une  manière  quelconque  dans  l'espace. 

Pour  construire  les  points  doubles  des  divisions  (m  el  (-/  .  «m  peut  déterminer  trois  couples  de 
points  ho  h  e  do  :m  ^  au  moyen  de  trois  plans  auxiliaires  passant  par  A,  puis  appliquer  les  Iracés  connus. 
L'homographie  étant  projective,  ces  tracés  se  feronl  en  projection  horizontale  ou  en  projection  verticale. 

Mais  il  est  préférable  de  s.'  servir  des  points  limites  ou  homologues  de  l'infini,  qui  se  déterminent 

aisément.  Poui  avoir  le  point  limite  g  de  la  divis t  ,  il  suffll  de  construire  une  droite  bd  parallèle 

.1  \  et  s'appuyant  sur  l!  et  i>  :  le  plan  kbd  coupe  la  droite  C  en  c,  el  la  droite  6c,  située  dans  ce 
plan,  rencontre  A  au  point  limite  g.  On  obtienl  de  même  le  point  limite  s  de  la  division  *  en 
menanl  une  droite  btc,  parallèle  à  A  el  s'appuyanl  sur  B  el  C,  cherchant  l'intersection  d,  du  plan 
\/v  ,  avec  h  el  menant  la  droite  M,,  qui  rencontre  A  au  point  limite  0 


INTERSECTION   D'UNE   DRuITE   AVEC  UNE  QTADRIQUE   GAUCHE 


39S 


Prenant  ensuite  le  milieu  0  du  segment  «70,  on  cherche  son  homologue  <u  dans  la  division  (a). 
Pour  cela,  on  construit  la  droite  ob2c2  qui  passe  par  le  point  0  et  qui  s'appuie  sur  les  deux  droites 
B  et  C  ;  le  plan  Aô2Cs  coupe  D  en  d,,  et  la  droite  b2d,  rencontre  A  au  point  cherché  w. 

Enfin  on  construit  la  moyenne  géométrique  entre  les  deux  segments  o=>  et  ou,  et  on  la  porte  de 
part  et  d'autre  du  point  0,   ce  qui  fournit  les  points  doubles,  d'après  une  propriété  connue. 

Les  points  doubles  ne  sont  réels  (et  par  suite  on  naura  à  faire  la  construction)  que  si  les  segments 
en   et   ôôj  sont  de  même  sens,  c'est-à-dire  si  les  points  o  et  m  sont  d'un  même  côté  du  point  0. 

Pour  faire  l'épure,  nous  supposerons  la  droite  A  verticale,  ce  qui  simplifiera  les  constructions. 
Remarquons  tout  de  suite  qu'on  peut  toujours  profiler  des  simplifications  qu'entraîne  cette  hypothèse, 
pourvu  qu'une  quelconque  des  quatre  droites  soit  perpendiculaire  à 
l'un  des  plans  de  projection  :  il  suffira  à  cet  effet  de  prendre  un  couple 
d'hyperboloïdes  dans  lequel  celte  droite  soit  une  génératrice  commune 
et  de  faire  passer  les  plans  auxiliaires  par  cette  droite. 

Soient  donc  trois  droites    (A. A'),    (B.B'),    (C.C)    définissant  un 

hyperboloïde  dont  il  faut  trouver  les  points  de  rencontre  avec  la  droite 

(D.D').  Nous  cherchons  les  points  limites  des  divisions  homographiques 

tracées  sur  (A. A')  en  appliquant  la  solution  géométrique  ci-dessus,  et 

en  opérant  en  projection  verticale.  La  verticale  [b.b'd1)  est  la  parallèle 

à  (A. A')  s'appuyant  sur  (B.B')   et  (D.D'  ;   le  plan  vertical   \b  — qui 

contient  les  deux  droites  (A. A')  et  {b.b'd!)  —  coupe  la  droite  (C.C) 

au   point    (ce*)  ;    la  droite   b'c'   rencontre    A'   au  point  limite   g'.    De 

la  même  manière  le  plan  vertical   Ab,   fournit  le  deuxième  point  limite 

o'.    0'  étant  le  milieu  du  segment    7  V,    nous  cherchons  l'intersection 

des  deux  plans  définis  par  le  point    'A.o')    et  respectivement  par  les 

droites   (B.B'    et  (C.C),  en  coupant  par  le  plan  de  bout  C,  ce  qui  fournit  la  droite  {kb2c2.o'b'2c'2   ;  le 

plan  déterminé  par  cette  droite  et  par  la  droite    (A. A')    est  le  plan  vertical   kc2   qui  coupe  la  droite 

h.lij   au  point   (d2.d'2)  ;   la  droite    h'J'.    rencontre   A'  au  point   ta',    homologue  de   0'.    On  en  déduit 

aisément  les  points  doubles,  et  on  achève  sans  difficulté  les  tracés  restants. 


11.  —  Paraboloïde.  —  Tout  ce  qui  a  clé  dit  pour  l'hyperboloïde  s'applique  au  paraboloïde, 
puisque  celui-ci  peut  être  défini  aussi  par  trois  droites.  Mais  l'emploi  des  plans  directeurs  facilite  géné- 
ralement les  constructions.  Soit  donc  un  paraboloïde  défini  par  les  deux  directrices  A  et  B  et  le  plan 
directeur  Q  ;  il  s'agit  de  trouver  ses  points  de  rencontre  avec  une  droite  D. 

Les  trois  droites  À,  B,  1)  et  le  plan  Q  qui  équivaut  à  une  droite  située  à  l'infini)  peuvent  se  grouper 
Irois  a  trois  de  quatre  manières  donnant  un  hyperboloïde  et  trois  paraboloïdes.  En  combinant  ces 
quatre  surfaces  deux  à  deux,  on  obtient  six  couples  dont  trois  renferment  un  hyperboloïde  et  un 
paraboloïde  et  les  trois  autres  deux  paraboloïdes.  Considérons  un  groupe  de  deux  paraboloïdes  (A,  D,  Q) 
et  (B,  I),  Q)  par  exemple.  Menons  par  la  génératrice  commune  D  un  plan  P  qui  coupe  A  et  B 
respectivement  aux  points  a  et  b  ;  les  plans  parallèles  à  Q  menés  par  les  points  a  et  b  déterminent 
les  génératrices  ad  et  bo  des  deux  paraboloïdes.  Lorsque  le  plan  P  tourne  autour  de  la  droite  D, 
les  points  d  et  0  décrivent  sur  D  deux  divisions  homographiques.  En  effet,  le  faisceau  des  plans  P 
est  coupé  par  les  deux  transversales  A  et  B  suivant  deux  divisions  [a)  et  (b)  qui  sont  hom 
phiques  ;  or  (a)  est  homographique  et  semblable  à  [d),  b  es!  homographique  et  semblable  à  (S); 
donc  (d  el  S  sont  homographiques.  Ces  divisions  ont  deux  points  doubles  qui  déterminent  deux 
droites  parallèles  au  plan  Q  et  s'appuyant  à  la  fois  sur  les  droites  A.  B,  D  :  les  points  doubles  sont 
donc  les  points  de  rencontre  de  la  droite    l>   ei  du  paraboloïde  >l ié. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  les  deux  paraboloïdes      \.  D,  Q  ,    B,  1».  Q  .    qui  onl  eu  coi un 


39G  INTERSECTION    D'UNE   DROITE   AVEC    ONE  QUADRIQUE  GAUCHE 

une  droite    D    et  un  plan  directeur    Q   (droite  commune  à  l'infini]  se  coupent  en  outre  suivant  deux 
autres  droites. 

On  peut  dire  aussi  qu'il  existe  deux  droites  parallèles  à  un  plan  donné  et  s'appuyant  sur  trois 
droites  données. 

Pour  construire  les  points  doubles  des  divisions  (d)  et  (8  .  on  peut  opérer  comme  pour  l'hyper- 
boloïde.  Ici  les  points  limites  se  déterminent  plus  aisément  encore.  Pour  obtenir  le  point  limite  g  de 
la  division  d),  onmènepar  D  le  plan  parallèle  à  li  qui  coupe  A  en  ",  :  le  plan  parallèle  à  Q  mené 
par  </,  rencontre  h  au  poinl  limite  g.  lie  même  le  plan  auxiliaire  mené  par  D  parallèlement  a  A 
coupe  B  au  poinl  b3  el  le  plan  parallèle  à  Q  mené  par  le  poinl  /•-.  rencontre  D  au  point  limite  ç 
de  la  division  8).  Le  milieu  o  du  segment  ge  étanl  considéré  dans  la  division  (rf),  on  cherche  son 
homologue  dans  (8  :  à  cel  effet,  on  construit  la  génératrice  OA3  du  paraboloïde  (A,  D,  Q)  ;  le  plan 
h  coupe  B  en  //3,  ce  qui  fournit  la  génératrice  correspondante  &3w  du  paraboloïde  B,  D,  Q  ; 
(d  est  l'homologue  de  o.  Prenant  enfin  la  moyenne  géométrique  entre  les  segments  oo  et  ou,  on  a 
1rs  points  doubles  cherchés. 

Pour  taire  l'épure,  nous  supposerons  le  paraboloïde  défini  par  deux  droites  graduées    \    el    B   et 
un  plan  directeur  horizontal    11,    et  nous  nous  proposons  de  trouver 
h  ,  les  cotes  des  points  de  la  surface  qui  sont  projetés  horizontalement  en 

^  /  un  point  donné  m.   Cela  revient  à  trouver  l'intersection  du  paraboloïde 

^v  ,/  avec  la  verticale   M   du  poinl    m.  Nous  employons  à  cet  effet  les  deux 

ô-^s-  -H~  paraboloïdes    M.  A,  H),  (M,  B,  H)  et  nous  opérons  arilhmétiqueuieni . 

r\p  Cherchons  les  points  limites  sur  la  verticale    M    des  divisions  homo- 

%  «V/  graphiques  déterminées  comme  nous  l'avons  expliqué.  Le  plan  mené 

*\  par  la  droite    M    parallèlement  à  la  droite   B    coupe  la  droite    A    au 

point  h  ici  les  indices  inarquent  les  cotes  et  la  droite  B  à  l'infini  ; 
donc  m5  est  un  point  limite.  Le  plan  mené  par  la  droite  M  parallè- 
lement .à  la  droite  A  coupe  B  au  point  bt  et  A  à  l'infini  :  donc  le  point  [*,  où  le  plan  horizontal 
de  b,  coupe  \1  esl  le  second  poinl  limite.  Le  milieu  du  segment  m,^  est  le  point  o3  dont 
l'homologue  s'obtient  en  considérant  le  plan  vertical  Ma:,  qui  coupe  la  droite  B  au  point  &S)1  ;  le 
plan  horizontal  du  poinl    //,,-    coupe  la  droite    M    en  un  point    u,,,    qui  est  l'homologue  de    <<;.    Les 

si  - ni-    o3(Xj,    y3io2),   sont  de  même  sens  et  ont  pour  longueur-  respectives  2m  etOm,3;  leur  moyenne 

proportionnelle  esl  égale  àOm,77;  les  points  doubles  ont  donc  pour  cotes  respectives  3  —  0.77  =  zm,23 
el  .'!  4-0,77  .'i'",77.  Ce  sont  les  deux  points  demandés.  Le  [dan  horizontal  mené  par  chacun  de  ces 
points  coupe  les  deux  droites  A  et  B  en  deux  points  qui  sonl  en  ligne  droite  avec  le  premier.  On 
obtient  ainsi  deux  horizontales   mp,  mq  s'appuyant  sur  les  trois  droites  A,  B,  M. 

On  voil  que  dans  ce  dernier  exemple,  la  solution  proposée  est  d'une  extrême  simplicité. 
Remarque.  —  Les  tracés  que  nous  avons  indiqués  peuvent  servir  à  résoudre  les  trois  problèmes 
suivants  : 

1"  Trouver  les  poinl  s  de  rencontre  d'une  droite  avec  un  hyperboloïde  ou  un  paraboloïde  ; 
-    Construire  une  droite  s'appuyanl  sur  quatre  droites  données,  dont  l'une  peul  être  à  l'infini 
(c'est-à-dire  s'appuyanl  sur  trois  droite-  et  parallèleà  un  plan  donné)  ; 

3°  Construire  l'intersection  de  deux  hyperboloïdes,  ou  d'un  hyperboloïde  el  d'un  paraboloïde  ou  de 
<\ru\  paraboloïdes  qui  onl  en  commun  deux  génératrices  de  même  système. 

<>n  peul  d'ailleurs,  par  des  moyens  semblables,  montrer  que  deux  quadriques  réglées  gauches  qui 
ont  une  -l'ieiati  iee  commune  se  touchent  en  deux  points  de  cette  droite  et  construire  ces  points  de 
conl 


ÉCOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSEES 


397 


SUR    L'HYPERBOLE   D'APOLLONIUS 


On  sait  que  l'hyperbole  d'Apollonius  d'un  point  P  pour  une  conique  donnée,  est  le  lieu  des  pieds 
des  normales  abaissées  de  ce  point  sur  toutes  les  coniques  homothétiques  et  concentriques  à  la 
conique  donnée  ;  on  sait,  en  outre,  que  c'est  le  lieu  du  point  de  rencontre  d'un  diamètre  mobile  de  la 
conique  avec  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  P  sur  la  direction  conjuguée  de  ce  diamètre.  D'ail- 
leurs ces  deux  propriétés  n'en  forment  réellement  qu'une  seule  :  au  fond  elles  sont  identiques. 

II  résulte  immédiatement  de  là,  —  ce  que,  au  surplus,  l'équation  de  cette  hyperbole  met  de  suite  en 
évidence,  —  que  l'hyperbole  d'Apollonius  passe  au  centre  de  la  conique,  au  point  P  et  admet  pour 
directions  asymptotiques  les  axes  de  la  conique.  11  est  alors  facile  de  la  construire,  en  s'appuyant  sur 
une  propriété  bien  connue  de  l'hyperbole  générale  :  que  si,  de  part  et  d'autre  du  milieu  d'une  corde, 
on  porte  deux  longueurs  égales  et  que  par  ces  points  on  mène  des  parallèles  aux  asymptotes,  la  droite 
qui  joint  leur  point  de  rencontre  au  milieu  de  la  corde  considérée  passe  au 
centre  de  l'hyperbole.  En  effet,  soient  alors  Ox  et  Oy  les  axes  de  la  conique 
donnée  et  P  le  point  choisi  ;  la  droite  OP  est  une  corde  de  l'hyperbole 
d'Apollonius  dont  les  extrémités  0  et  P  sont  connues  ;  les  parallèles  aux 
asymptotes  menées  par  ces  points  se  coupent  au  point  A  pied  de  l'ordonnée 
du  point  P;  donc  la  droite  u  qui  joint  ce  point  A  au  milieu  de  la  corde  OP 
passe  au  centre  de  l'hyperbole.  En  outre,  la  tangente  en  P  est  perpendicu- 
laire à  la  direction  conjuguée  de  OP,  et,  par  suite,  aisée  à  construire  ;  soit 
PB  cette  droite  ;  prenons  PB'  =  PB  et  menons  B'D  parallèle  au  second 
axe  ;  la  droite  PD  ou  v,  pour  une  raison  semblable  à  la  précédente,  passe 
aussi  au  centre  de  l'hyperbole  d'Apollonius.  Le  centre  C  de  cette  courbe 
est  donc  déterminé  ;  par  suite,  les  asymptotes  sont  aussi  connues,  et  l'on 
est  ramené  à  construire  une  hyperbole  connaissant  ses  asymptotes  et  un  point.  E.  H. 


ECOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSEES 


Cours  spéciaux  (Concours  de  1895.) 

456.  —  Sur  la  normale  à  une  courbe  quelconque  C,  on  porte,  à  partir  du  pied  m  et  dans  la  direction 
du  centre  de  courbure  [jl,  une  longueur  mn  égale  à  Xp  (p  représentant  le  rayon  de  cour- 
bure, et  X  un  coefficient  constant  qui  puni  recevoir  des  valeurs  positives  ou  négatives). 
On  demande  : 

1°  De  déterminer  en  fonction  des  éléments  caractéristiques  de  la  courbe  C  au  point 
m  la  tangente  à  la  courbe  K  lieu  du  point  n; 

2°  D'écrire  la  condition  analytique  à  laquelle  la  courbe  <;  doit  satisfaire  [mur  que 
la  courbe  K  se  réduise  à  une  droite  :  examiner  ce  que  devient  celte  condition  dans  les  cas  simples  où  X  est 

1 
égal  à    —  1     ou  à    dz  ■ —  • 

1°  Si  nous  appelons  s  l'arc  de  la  courbe  C,  compté  à  partir  d'un  certain  point  et  dans  un  certain 
sens,  a  l'angle  que  fait  la  direction  positive  de  la  tangente  avec  l'axe  des  x,    x  et  y  les  coordonnées 

ils 

du  point  m,      X  et  Y  celles  du  point  n,  et  euiin  p  le  rayon  de  courbure  affecté  d  un  signe,     p  =  -j-i 
nous  pouvons  écrire  de  suite 


398  ÉCOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSÉES 

X  =  x  —  Xp  si n  ï, 
Y  =  y  -f  Xp  cos  a  ; 
nous  déduisons  '1"  là,  quelle  que  soil  la  variable  indépendante  choisie, 

il\  =  d.v  —  >.  sin  «  dp  —  Xp  eus  a  rfa, 
</V  =  1/7  +  /  c>s  y  dp  —  Xp  sin  -j.  da; 
d  où,  les  deux  combinaisons, 

i/\  cos  y-  -T-  '/Y  sin  1  =  ds  —  Xorfa  =  (1  —  X)ds, 

—  rfX  sin  a  +  rfï  cos  ï  =  Xdp. 
Or  en  appelant  A  l'angle  que  l'ail  l'une  des  directions  de  la  tangente  en   ,/   avec  Oje,   qous  savons  que 

,/Y 

=1  Le  A  ;     par  conséquent,  en  divisant  la  -<■<■'•  m  1.  •  <  ■<  [  1 1;  1 1  i  <  >  1 1  jiar  la  proniine,  nous  avons  la  relation 

.    do 

(î)  lë(K-a)=T=ï- 

do 
Cette  équation  définit  l'angle  A  .à  l'aide  de  a  el  de  -j-\  elle  répond  donc  à  la  première  demande 

de  l'énoncé. 

2"  Regardons  maintenant  A  comme  étant  fixe  el  prenons  x  pour  variable  indépendante,  nous 
aurons  la  condition  demandée  pour  que  le  lieu  de  .<■  soil  um-  droite  :  en  appelant  k  la  valeur  fixe  de 
teA     '/'  la  valeur  de  '--•  et  représentant  de  même  par  la  notation  de  Lagrange  les  diverses  dérivées 

l"       '       ''  tl.V 

par  rapport  à  x,  nous  avons  la  relation 

k  —  y'  Xp' 

(2)  \  -t-  ky'  =  (1  —  \s' ; 

c'esl  la  relation  demandée. 

Mais  nous  voulons  l'obtenir  à  l'aide  de  -r.  y  el  des  diverses  dérivées  de  y.  A  cet  effet,  parlons  de 

s 

0  =  — ,     nous  aurons  de  suite 


a  s  s  —  a  A" 


puis 


el  enfin 

l.i  relation    21  s'écril  donc 


ou  enfin 


S  y.  -v  - 

s'2  =  1  +  y'\  s's"  =  y'y"  ; 

a  =  arctg;/.  .  *  =  ^JL-^; 

,_('  +  y")y"-W. 
(1  +  2/T 

3;/y"3  — (1  +?/")?/"  _  1  — X  /,■  —  //' 
y"3  X      t  +  /,•;/'' 

X-l      /i-;/'-|      v 


'/       r   ,    '■  —  1    '>'  —  '/  1    v 

v    r-      ■■îréJïTp- 

(  ette  équation  est  de  la  for 


jf  =  1  y  y  ■ 


étanl  une  fonction  rati telle  en  $/';  elle  esl  donc  intégrable  el  conduil  à  la  relation 

où  t'.  désigne  une  constante  arbitraire. 


i4  =  im 


ÉCOLE  DES  PONTS  ET  CHAUSSÉES  399 

On  a  donc  la  nouvelle  équation 

V"  =  ,;' 
ou  Cdjc  =  g(yJ)dy'  : 

une  autre  quadrature  conduit  à  l'équation 

Cx  -t-  C,  =  h  v  , 
où  C!  désigne  une  nouvelle  constante  arbitraire.  Ou  déduit  de  là 

y'  =  G(Ca:-t-Cj), 
ou  il ij  =  G(Cjp  +  C]  \dx  ; 

par  suite,  une  nouvelle  quadrature  donne  l'équation  finie  de  la  courbe  C  ;  on  trouve  ainsi 

Cy-t-C2  =  H(Ca;  +  Ci). 
Cette  équation  contient  trois  constantes  arbitraires  C,  Ci,  C2,  en  plus  de  A-  et  À;  mais  si  l'on  pose 
Ci/  +  Ci  =  Y,  Cx+Cj  =  X,  on  obtient  une  courbe  homothétique  à  la  courbe  précédente  et  dont 
l'équation  ne  dépend  plus  que  des  constantes  k  et  X.  Donc,  en  regardant  toutes  les  courbes  homothé- 
tiques  à  une  même  courbe  comme  ne  formant  qu'une  seule  solution,  la  solution  la  plus  générale  de 
l'équation  différentielle  que  nous  avons  trouvée  ne  dépend  que  des  deux  constantes   /,  et  X. 

Passons  maintenant  à  l'examen  des  cas  particuliers  signalés  dans  l'énoncé  :  pour    X  =  —  1,     la 
relation  (3/  devient 

?/'"   .         V  y'y"    _ 


(4) 


y"       i     *     i  "+•  y1'  ' 


i, 


pour    À  = 

I 

elle  devient 

(5) 

y" 

—  y            \  ii  h 
=  - 1 -^L- 

1       1  -t-  y 

enfin  pour    X  = ,     on  a 

(6) 


y"      !  +  %' 

Occupons-nous  ensuite  de  la  relation  (4)  ;  une  première  intégration  la  transforme  en 


y"  =  c(?/  +  ^  )  v/i  +  '/2; 


î  î 

Nous  posons  alors     y'-\-—=z,     z  =  — ,     nous  remplaçons  k  par   tg  A,   nous  posons  ensuite 

cos  A  =  /,     et  nous  avons  finalement 

sin  A 

Cilc  — tdt  cos  \ il  1 


sin2  A       v^2  +  sin3  A       Jt-  -h  siir  A  ' 
nous  déduisons  de  là 

(7)  C.r-hC,  =  —  sin2  A  [y/-  -+-  sin-  A  +  cos  AL  (/-h  v'^-t-  sin2  A)]. 

D'autre  part  on  a     dy  =  ?/' t/.r ,     et,  comme 

/  _  -        l  _  l        i    __  k  — "  _  l 


k        u        k  ku  sin  A(/   h  cos  \ 

on  a  aussi 

sin  A  cos  \hll  sin  ;  \<ll 

< .  'l'I  — -  ; 

v^-t-  sur  A         \'l-  -+-  sin3  A 


400  ÉCOLE  DES  PONTS  Kl  CHAUSSÉ!  - 


par  suite 

(8)  Cy  ■+■  C2  =  sin  A  cos  A  v7**  H- sin*  A  —  sin'  A  L  t  -t-  vV2-*-  sin-  A   : 

non»  avons  donc  les  deux  équations  de  la  courbe  en  fonction  d'un  paramètre  / .-  ce  sont  les  équations 
(7)  et  (8). 

Nous  ne  traiterons  pas  les  deux  autres  cas,  qui  sont  plus  faciles  que  celui-ci. 

Solution  différente  :  M.  Adzkbam  (Montpelli 

457.  _  Calculer  les  côtés,  les  <ni</l<<s  |;  et  C  et  I»  surface  </'»//  triangle  Mit',  dans  lequel  on  donne  : 
l'angle  A  =  62,J  20  33  :       l>i  hauteur  l:il  ou  h  =  I532n;       /"  hauteur  CK  ou  k  =  1945". 
Formules  :  Résultats  : 

.  _  c  _      fe     )  g  _  fc  sin  A  ^  a  _  4535m)S3i  0  _  3i95-,8i), 

sinA  smA  2  c  =  :»I1GB,,60,  S  =  4975903mM, 

te  B~C  =  '-'  ~  ''  cote  — ,  a  =  — —  •  B  =  25023'37',3,  C  =  92°15'47  ,7. 

l°      2  c-f-6       &    2  sin  C 


458.  —  Un  point   M.  .  esi  Wfov  uers  rfeuce  rentrr*  fixes  0  ei  0'  /;"/•  des  forces  propor- 

tionnelles aux  distances  respectives  du  point  xnobileà  ces  points  fixes  ;  déterminer  la  trajectoire  du  point  M. 

Examiner  en  particulier  ce  que  devient  cette  trajectoire  dans  le  cas  où  le  point    M    pari  il»  repos  et 
déterminer  dans  ce  cas  I»  loi  complète  de  son  mouvement. 

.  <-  .    a',  i'\c')  les  coordonnées  des  points  0  et  0'  relativement  à  trois  axes  quelconques, 
[x,  y,  z)  celles  du  point  M.  Posons    OM  =  r,     0  M  =  /    et  désignons  par  mpr  et  muV   les  intens 
des  forces  qui  agissent  sur  le  pôinl  M.  Les  projections  de  ces  forces  sur  les  trois  axes  sont  : 

X  =  myr =  m<i(a  —  x),  X'  =  my!  a  —  a  . 

I>  V  ,  -.-/  F.  I  -v 

Y  =  myr —  =  m;j./i  —  y),  î    =  mp,(b  —  y), 

'/,  =  mur =  ma  c  —  ;),  ?■'  =  mu'(c'—  :  . 


et,  par  suite,  les  équations  du  mouvement  sont 

7772"  =  ^a  ~  x)  +  :*  "  ~~  '  ' 

_X=   ,.(/,_  y    +(i'(6-_y), 

àh  ,   ,        . 

^T=  C  '■  —  :   +  RC  — -"  • 

En  fais  spondre  aux  points  0  el  0   les  nombres  ;<  et  ;> .  le  centre  des  distances  propor- 

tionnelles de  ces  deux  points  a  pour  coordonnées 

yia  +  uld  u.b  ''    l-u'c' 

a  =    ! •——  1  S  =    ï-j-  1  Y  = 1 

(i  H-  H  H  + 1»  .a  "+"  i1 

et  les  équations  du  mouvement  pi  uvent  s'éci  ire 

-^  -   :'  +  /:>      '-  "§  =   :»  +  /)(?-?/•         -^  =  (H-iOfr  — =)■ 

On  voit  ainsi  que  le  mouvement  du  point  M  est  le  même  que  si  ce  point  était  attiré  vers  le  point 
(a,  £,  y)  par  une  force  proportionnelle  à  la  dislance  et  dont  l'intensité  à  l'unité  de  distance  esl  égale  à 
la  somme  des  intensités  des  deux  forces  données 


OEOMÉTRIE    ANALYTIQUE  401 


Prenons  alors  pour  origine  le  point   («,  p,  y)   et  pour  plan  des   xy   le  plan  qui  contient  la  vitesse 
initiale;  le  mouvement  s'effectue  dans  ce  plan,  et  il  est  déterminé  par  les  deux  équations 
d'x  ,.  dhi 

dl-  dt-  •'' 

où  nous  avons  posé     /cs  =  jji  -+-  [/. 
On  en  déduit  immédiatement 

x  =  A  cos  kl  -+-  B  sin  kt, 
y  =  C  cos  kt  -+-  D  sin  kt, 
A,  B,  C,  D  désignant  des  constantes  que  l'on  calcule  au  moyen  des  données  initiales. 

Prenons  pour  axe  des   a-   la  droite  joignant  l'origine  à  la  position  initiale,  et  pour  axe  des   y   une 
parallèle  à  la  vitesse  initiale  ;  nous  aurons 

x  =  x0  cos  kl,  y  =  -j-  sin  kt. 

On  voit  ainsi  que  la  trajectoire  est  une  ellipse  qui  a  pour  équation 

x„  vl 

Si  la  vitesse  initiale  est  nulle,  le  mouvement  est  rectiligne;  il  est  défini  par  la  seule  équation 

x  —  x0  cos  kl  ; 

2- 
c'est  un  mouvement  périodique  dont  la  période  est  égale  à  -j—- 

BLAZY-LACOMBE,  lycée  de  Toulouse. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


459.  —  On  considère  le  réseau  de  coniques  ayant  pour  triangle  polaire  un  triangle  rectangle  dont 
l'un  des  côtés  de  Vangle  droit  est  double  de  l'autre,  et  parmi  les  coniques  de  ce  réseau  on  prend  d'abord  le 
système  des  paraboles.  On  demande  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  chacune  d'elles  avec  celui  de  ses 
diamètres  qui  passe  au  sommet  de  Vangle  droit.  On  demande  aussi  le  lieu  des  foyers  de  ces  paraboles. 

Parmi  1rs  coniques  de  ce  réseau,  on  prend  ensuite  le  système  forme  pur  1rs  coniques  semblables  à  une 
conique  donnée,  et  l'on  demande  le  lieu  du  point  de  contact  de  chacune  d'elles  aère  une  droite  passant  au 
milieu  de  l'hypoténuse. 

Construire  ce  dernier  lieu  quand  lu  ionique  variable  est  une  hyperbole  équilatère. 

Soient  OAB  le  triangle  rectangle  donné,  OA  —  a,  OB  =  2a,  et  prenons  OA  pour  demi-axe 
des  x  positif  et  OB  pour  demi-axe  des  )/  positif.  Désignons  par  x,  y,  z  les  coordonnées  homogènes 
d'un  point,  telles  que  ;  =  0  soit  l'équation  de  la  droite  de  l'infini,  et  par  X,  Y,  Z  les  coordonnées 
trilinéaires  correspondantes,  OAB  étant  le  triangle  de  référence,  de  telle  sorte,  en  outre,  que  les 
formules  de  transformation  soient 

f    X  =  x,  x  =  X , 

(    Z  =  2x  +  y  —  Zaz,  2az  =  2X  +  Y  —  Z. 

L'équation  générale  des  coniques  du  réseau  est  XX2  +  |xY* -t- vZ2  =0;  parmi  ces  coniques  il 
faut  prendre  les  paraboles,  c'est-à-dire  celles  qui  sont  tangentes  à  la  droite  de  l'infini  s  =  0  ou 
2X-H  Y  —  Z  =  0  ;  si  l'on  tire  Z  de  celle  dernière  équation  et  si  l'on  porte  dans  l'équation  des  coniques 
du  réseau,  on  obtient  l'équation  du  second  degré 

(2)  XX2-t-nY2-t-v  2X+Yr  =  0, 


502 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


\ 

o 

-'  âX  +  Y 

0 

Y 

2\-)-Y 

V 

Y2 

y.1 

qui  représente  les  deux  droites  joignant  l'origine  aux  points  de  rencontre  de  la  droite  de  l'infini  avec  la 
conique  particulière  envisagi  e.  Il  faul  exprimer  maintenant  que  ces  deux  droites  sont  confondues,  ce 
qui  donne  la  relation 

Les  paraboles  du  réseau  onl  donc  pour  équation  XX2  -+-  nYJ  -f-  vZ2  =  0,  X,  \i  el  v  étanl  liés  par 
la  relation  précédente.  D'autre  pari,  le  premier  membre  de  l'équation  i  esl  un  carré  parfait  et  chacune 
de  ses  dérivées,  par  rapport  à  \  el  Y.  égalée  à  0,  représente  la  droite  qui  joint  l'origine  au  point  à 
l'infini  de  la  parabole  (X,  v.,  v),  c'est-à-dire  le  diamètre  de  cette  parabole  qui  passe  à  l'origine.  Nous 
aurons  donc  le  lieu  demandé  en  éliminant  X,  p  et  v  entre  l'une  de  ces  équations,  la  relation  trouvée 
el  l'équation  des  paraboles  ;   mais  les  deux  dérivées  partielles  de   2  .  égalées  a  (t.  entraînent  la  relation 

trouve ntre   X,   \i   et   v;    il  revient  donc  au  même  d'éliminer   X,   ;»   et       entre  ces  deux  équations  el 

celle  de  la  parabole,  c'est-à  dire  entre  les  trois  équations  suivantes  : 

XX-+-2v  2X       1=0, 

;>ï     i    v(2\  +  Y    =0, 

XXa+(jiYs  +  vZ2  =  0; 
l'élimination  esl  linéaire,  immédiate,  et  doi le  lieu  suivant  : 


=  0 


(3)  XY[Z2-      :'\       ï)2]  =  0. 

Celte  équation  se  décompose  en  quatre  autres  :  X  =  0,  Y  =  0,  — Z  +  2X -l- Y  =  0  et  Z+2X-t-Y  =  0. 
I.a  première  droite  représente  un  lieu  exceptionnel  el  correspond  à  la  parabole  du  faisceau  qui  se 
compose  'le  deux  fois  l'axe  des  y  ;  la  seconde  représente  il'1  même  un  lieu  exceptionnel  qui  correspond 
à  la  parabole  impropre  composée  de  deux  fois  l'axe  des  x  :  la  troisième  représente  la  droite  de  l'infini, 
elle  esl  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  la  parabole  à  l'infini  avec  le  diamètre  considéré  ;  enfin  la 
quatrième  droite  est  le  véritable  lieu,  c'est  une  parallèle  à  l'hypoténuse  AB  passant  aux  milieux  des 
deux  côtés  de  l'angle  droit . 

Pour  avoir  le  lieu  des  foyers  de  ces  paraboles,  appelons  •/  et  p  les  coordonnées  cartésiennes  de 
l'un  d'eux,  dans  le  système  rectangulaire  Oxy;  l'équation  de  l'une  îles  tangentes  a  la  parabole  corres- 
pondante issues  de  ce  point  esl 

?/-P- '(•<'-«)  =  o, 

ou  y  —  ix  —  ;{p  —  ix)  =  I), 

ou  enfin,  à  l'aide  des  formules  (1  ,  en  coordonnées  trilinéaires, 

2a(Y  —  iX)  —  (P  —  w  i(2X  4-  Y  —  Z)  =  0. 

11  faul   expri r  maintenant   que  cette  droite  touche  la  parabole     '.   p,  v)  ;    nous  ferons  ceci  en 

tirant    '/.    de  celle  équation,  le  portant  dans  l'équation  de  la  parabole  et  exprimant  que  le   premier 

membre  de  l'équation  en         ainsi  obtenue  esl  un  carré  parfait  ;  nous  aurons  ainsi  successivement  : 


puis 


(p—  ia)Z       _'\    \      t'a      ai   -t-Y(p  —  t'a  —  2a), 

ta  J  /  V  - 1-  [A-2]  +  v  [2X(p  —  ta  +  ai]  +  Y(p  —  W  —  2< 


=  0, 


ou  enfin 

[X(P-    t'a         i  t'a      ai     V       4v(p  —  fa  +  at'XP  —  t'a  —  2a)Xl        ...       ta)2  +  v(p—  i*  —  2o)8]Ys  =  0, 

puis,  en  dernier  lieu,  en  exprimant  que  ce  trin e,  homogèi n  \.   Y,  esl  un  carré  parlait, 

)   p      ia)s   )--iv(p—  h  ,  ai  '    ;■  p      ta  . /a  — 2a)2]— 4v9(P— .ia-f-ai^p  — t'a  — 2a)»  =  0; 

cette  condition  se  simplifie,  et  devient,  après  division  par    (P  —  t'a)2,     qui  a  déjà  été  supposé  différent 

de  0, 

_î'5c)»-t-Xv(p  —  ta  —  2a)J    i   4(Jtv(P  — ta  +  ai)2  =  0, 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  403 


ou  (X[x-t-  Xv+  ïp)(p  —  h)%-\-  !ï-ii  [2|ivai—  aXv)+  '.,/2  Xv  —  iiv)  =  0. 

Mais  pour  toutes  les  paraboles  du  réseau  on  a 

Xjj.  -+-  Xv  -+-  .'t\ri  =  0  ; 
donc  la  condition  finale  est 

;,         /y.     -,,         ;       \-n    /  <  II. 

ou  2aot  —  X{5  +  a(X  —  |jl)  4-  i (2np  -h  Xa)  =  0 . 

Cette  relation  est  encore  vérifiée  si  on  y  change   i  en    —  i,    car  il  y  a  une  deuxième  tangente  isotrope 
issue  du  foyer  ;  elle  se  décompose  donc  en  deux  : 

2Ma  —  X£-+-a(X—  n)  =  0, 
2fJtP-f-  Xa  =  0. 

Nous  aurons  le  lieu  des  foyers  en  éliminant  X  et  \j.  entre  ces  deux  équations,  c'est-à-dire  en  remplaçant 
dans  la  première  p  par  oc,    X  par    — 23;     nous  obtenons  ainsi 

[i]  2a24-2£2  —  a(*4-23)  =  0. 

Le  lieu  est  le  cercle  des  neuf  points  du  triangle  rectangle  n Ali. 

Proposons-nous  maintenant  de  trouver  la  relation  qui  doit  exister  entre   À,    <x   et   •/    pour  que  la 
conique 

XX-  4-  ,uY-  +  vZ2  =  0 

soit  semblable  à  une  conique  donnée.  11  sutlit  pour  cela  de  se  rappeler  que,  si 

Aa;2  -:-  ZBxij  4-  C;/2  4-  2Da-  -r-  2Ey  4-  F  =  0 
est  l'équation  d'une  conique  en  coordonnées  cartésiennes  rectangulaires,  l'équation  qui  donne  les  deux 
excentricités  de  celte  conique  est 

AC  -B2ic'4-[(A  —  C)24-4B2>-'_    \  -C)2+  'iV>-   =  0: 
il  en  résulte  que  si  c-  est  donné,  nous  avons  entre  les  coetlicients  A,  B,  C  la  relation 

(A-C)24-4B2  =  K(AC  — li-  . 

K    étant  une  constante  donnée.  Or,  si  l'on  remonte  aux  formules  (1),  on  voit  de  suite  que  l'équation  de 

la  conique 

XX2  -s-  uY'2  +  vZ2  =  0 

devient,  en  revenant  aux  coordonnées  cartésiennes, 

Xx2  4-  u)/  +  v  (2a;  4-  y  —  2a)2  =  0  ; 

par  conséquent  la  relation  demandée  est 

(5)  (X  —  [i+  3v)2  -  KiX;i  +  Xv  4-  4(jiv)  =  0. 

Dans  le  cas  où  la  conique  est  une  parabole,  nous  devons  prendre  K  infini  et  la  relation  se  réduit  à 

a:j.  -+-  Xv  +  4fiV  =  0, 

condition  déjà  trouvée  autrement  ;  dans  le  cas  on  la  conique  est  une  hyperbole  équilatère,  nous  avons 
'»2  =  2,     par  suite     K  =  — 4,     et  la  relation  devient 

X  +  n  4-  5v  2  =  0, 
ou 

(6)  À+n  +  5v  =  0, 

relation  qu'il  est  facile  d'avoir  directement.  Cela  posé,  le  milieu  de  l'hypoténuse  a  pour  coordonnées 

trilinéaires     X  =  x  =  — ,    Y  =  y  =  a,     Z  =  0,     ou  a,   2a,  0;   la  polaire  de  ce  point  a  donc  pour 

équation 

XX  4-  2,uY  =  0, 

et  nous  aurons  le  lieu  demandé  en  éliminant    X,   ;i  et  v    entre  cette  équation,  celle  de  la  conique  et  la 


104  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


relation   .">  .  Celle  que  nous  venons  de  trouver,  combinée  avec  l'équation  de  la  conique    X,  y.  •  .  donne 
de  suite 


2Y       —  X         XY2  —  2X2Y 


/- 
Il  n'y  a  plus  qu'il  porter  ces  valeurs  proportionnelles  à  X,  p  et  v,  dans  l'équation  (5),  pour  avoir  le  lieu 
demandé;  nous  trouvons  ainsi 

(7)  Z»(21        X)-+-3XY(Y— 2X    '  —  K     -2XYZ1       SY(Y—  2X)(2Y  —  4X)]Z*  =  0. 
Cette  équation  représente  une  courbe  du  6 

Dans  le  cas  des  paraboles,  elle  se  réduit  au  second  degré,  si  on  enlève  les  lieux  exceptionnels 
X  =  0,  Y  =  0,  Z  =  0.  Dans  le  cas  des  hyperboles  équilatères,  il  n'y  a  qu'a  porter  1rs  valeurs, 
mises  à  la  place  de  X,   i  el  «,  dans  la  relation  (6)  et  l'on  a  de  suite  l'équation  du  troisième  degré 

(8)  X-  2Y  —  X)+  5XY  V  -  2X]  =  0. 

Pour  construire  celte  courbe,  nous  reviendrons  aux  coordonnées  cartésiennes  ;  l'équation  (8)  se 
changera  en 

(9)  :;./•//  y  —  :!.<•)  ■-   2j/-   x   Zx-+-y —  2a)3  =  0. 

Sous  cette  forme,  nous  voyons  de  suite  que  les  quatre  droites  x  =  0,  y  =  0,  y —  2x  =  0, 
2y  —  x  =  0  partagent  le  plan  en  huit  régions  et  que  dans  les  quatre  régions  hachurées  il  n'y  a  pas  de 
points  de  la  courbe  ;  nous  remarquerons  en  outre  que  les  trois  droites  a'  =  0,  y  =  0,  y  —  te  =  O 
touchent  la  courbe  aux  points  où  elles  sonl  coupées  par  l'hypoténuse  1x-\-y —  2a  =  0,  enfin  que 
la  courbe  passe  à  l'origine  et  y  admet  pour  tangente  d'inflexion  la  droite  2»/ — x  =  0.  Cherchons 
maintenant  les  asymptotes  :  nous  avons  d'abord  pour  directions  asymptotiques  les  direction-  données 

par  l'équation 

i/ :  -+-  (uij-  —  :).i:-ij  —  -lx<  =  0  : 

ii  1 

cette  équation  en  —  aune  racine  positive,  comprise  entre  —  et  1,  et  deux  racines  négatives,  com- 
prises entre    —  x     et    — 1,    et    — 1    et  0;  la  cubique  a  donc  trois  asymptotes  simples.  Soif  ts  la 

ii  1 

valeur  de  —  comprise  entre  —  et  1;   1  asymptote  correspondante  a  pour  équation 

J  3       f* -i-4fi  —  l 

a         2fl 

il  est  facile  de  vérifier  que  cette  asymptote  passe  au  point  dont  les  coordonnées  sont  —  el  —  •  c  est-a- 
dire  au  centre  de  gravité  du  triangle  OAB  ;  les  deux  autres  asymptotes  liassent  aussi  en  ce  point.  En 
outre  l'équation  aux  coefficients  angulaires  des  asymptotes  est  identique  à  celle  qui  donne  les  trois 

valeurs  de    tg —   en  fonction  de  tg  o,   quand  on  prend  pour  valeur  de  tg  a  le  nombre     — -.     Il  n'y  a 

donc  plus  rien  à  dire  sur  ce  sujet. 

Posons  maintenant    y  —  tx    et  discutons  l'équation  entre  x  et  /, 

(t»  +  W  —  3t  —  2)xi  —  ia(l  +  1)(t  —  ~)x-\-Aaa(t— •  -— J  =  0. 

La  condition  de  réalité  des  racines  de  l'équation  en  x  nous  donne  à  nouveau  la  séparation  en 
régions  déjà  obtenue  ;  appelons  alors  tit  — fs,  -  t3,  les  trois  racines  du  coefficient  de  x3,  c'est-à-dire 
les  coefficients  angulaires  des  directions  asymptotiques,  l'équation  s'écrira 

(t+u)(t  +  t3){t  -  «,)*■  -  ia{t  +  i)(t— y)x  +  -'"'2(' -  y)  =  °  ; 

elle  nous  montre   immédiatement    que   dans   l'intervalle   (-^->  'i)>   par  exemple,    x    a  une  valeur 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


positive  et  une 
négative  ;  que  , 
dans  l'intervalle 
(/,,  2),  a-  a  deux 
valeurs  positives; 
etc.  Les  résultats 
de  cette  discus- 
sion très  facile  sont 
consignés  sur  la 
petite  figure  ci- 
contre  [fig.  {).  Il 
suffit  alors  de  se 
rappeler  que  la 
courbe  estune cu- 
bique,et  de  rapprocher  dececi  toutce  qui  a  été  dit  antérieurement  pour  pouvoir  tracer  la  courbe  fig.% 

Bonnes  solutions  :  MM.  Lhériaod  et  Blazy-Lacomue  (lycée  de  Toulouse  . 

Solutions  satisfaisantes  :  MM.  A.  Laureaux  (lycée  (le  Besançon)  et  J.  Marchal. 

M.  Sn;oT  a  envoyé  une  solution  qui  serait  excellente,  sans  une  erreur  ilaus  le  lieu  des  foyers. 

Solution  géométrique.  —  Les  paraboles  du  réseau  sont  évidemment  inscrites  dans  le  triangle  O'A'B' 
ayant  pour  sommets  les  milieux  des  côtés  du  triangle  OAB.  Le  point  de  rencontre  de 
la  parabole  considérée  à  un  instant  donné  avec  le  diamètre  qui  passe  en  0  est  le  point 
de  contact  avec  A'B'  ;  le  lieu  de  ce  point  est  donc  la  droite  A'B'.  Le  lieu  du  foyer  est 
évidemment  le  cercle  circonscrit  au  triangle  O'A'B'. 

Les  hyperboles  équilatères  du  réseau  forment  un  faisceau  linéaire  ;  elles  tracent 
donc  sur  une  droite  quelconque  une  involution,  et  deux  d'entre  elles  louchent  cette 
droite  aux  points  double  de  l'involution  ;  il  y  a  donc  deux  points  du  dernier  lieu,  autres 
que  ()',  sur  une  droite  quelconque  issue  du  point  ()'  ;  d'ailleurs  une  seule  de  ces  hyper- 
boles passe  en  0'  ;  le  point  du  lieu  ne  vient  donc  qu'une  fois  en  0'  sur  la  tangente  à 
cette  hyperbole,  et  le  lieu  est  une  cubique  tangente  en  0'  à  cette  dernière  droite.  Or 
cette  tangente  en  0'  est  la  polaire  de  0'  par  rapport  à  l'hyperbole  ;  donc  elle  passe  en  0. 
D'autre  part,  il  y  a  trois  hyperboles  impropres  dans  le  faisceau,  les  couples  de  bissec- 
trices des  angles  A,  B,  0;  le  lieu  passe  donc  aux  trois  points  A,  B  et  0.  Pour 
avoir  la  tangente  en  A,  il  faut  trouver  un  point  de  la  courbe  infiniment  voisin  de  A  ;  ce  point  est  sur  la  po- 
laire d'un  point  infiniment  voisin  de  B  par  rapport  au  couple  de  bissectrices  de  l'angle  A  ;  à  la  limite  cette 
polaire  coïncide  avec  la  droite  OA,  polaire  de  B  ;  donc  la  tangente  en  A  est  OA.  De  même  la  tangente  en  B  est 
OB.  Pour  la  même  raison,  la  tangente  en  0  est  la  polaire  du  point  0'  par  rapport  au  couple  de  bissectrices  de 

l'angle  0  ;  c'est  donc  la  perpendiculaire  à  l'hypoténuse  abaissée  du  point  0. 
Cherchons  maintenant  les  directions  asymptotiques.  Soit  O'H  l'une 
d'elles  ;  cette  droite  est  asymptote  à  une  des  hyperboles  équilatères  du 
réseau  ;  la  polaire  de  0'  par  rapport  à  cette  hyperbole  passe  au  point  0 
et  est  parallèle  à  O'H  ;  soient  OC  cette  droite  et  G  son  point  de  rencontre 
avec  AB  ;  la  polaire  du  point  G  est  la  droite  00'.  Menons  alors  CE  per- 
pendiculaire à  CO  ;  les  deux  droites  GO  et  GF  sont  parallèles  aux  asymptotes 
de  l'hyperbole  envisagée  et,  par  suite,  les  milieux  D  et  E  des  portions  CO 
et  CF,  comprises  entre  le  point  C  et  sa  polaire,  sont  situés  sur  l'hyperbole  ; 
le  diamètre  qui  passe  au  point  C  est  donc  la  droite  CGI  qui  joint  le  point 
G  au  milieu  de  DE  ;  ce  diamètre  coupe  OTl  au  point  G,  qui  est  le  centre 
de  l'hyperbole  ;  d'autre  part,  ce  centre  est  sur  le  cercle  circonscrit  au  trian- 
gle OAB.  Les  deux  triangles  COI  et  LOO'  étant  isocèles,  O'L  est  parallèle 
à  GC  et  la  (igure  CGO'L  estun  parallélogramme;  donc  LC  =  O'G  =  rayon 
du  cercle  décrit  sur  AB  comme  diamètre.  Le  point  C  est  donc  aussi  sur  un 
limaçon  de  Pascal  ayant  pour  point  double  le  point  0  et  obtenu  en  portant  sur  les  cordes  issues  de  ce  point, 
à  partir  de  leurs  points  de  rencontre  avec  le  cercle,   des  longueurs  égales  au  rayon  ;   ce  limaçon  rencontre  la 


106  GÉOMÉTRIE    DESCRIPTIVE 


droite  AI!  en  trois  points   G,  Ct,  Cj  et  au  point  0',  qui  ne  joue  pas  le  même  rôle  que  les  autres  points  ;  il  y 
a  donc  trois  directions  asymptotiques  réelles    OC,    OCi,    OC».    La  cubique  est  alors  bien  déterminée. 

I.  LHÉR1AIID    lycée  de  Toulon-  . 

♦ 


GEOMETRIE    DESCRIPTIV 


503.  —    lu  cône  de  révolution  de  1,2  angle  au  sommet  ;"iu  a  son  axe  vertical  et  sa  directrice  dans  le 
plan  horizontal  de  projection  :  sa  projection  est  tangente  à  xy.  Sun  sommet  S  a  pour  éloignement  T"",5. 
Par  S  la  droite  de  profil   SA  dont  la  trace  horizontale   A  a  pour  éloignement  22 

Un  second  cône  de  révolution,  dont  l'axe  est  de  bout,  a  son  sommet  -  sur  SA.    Son    I   2  angle  au 

/  \:\     (   S  h  /mur  éloignement  12CDI. 
fii  présenter  le  solide  commun  à  ces  deux  cônes  en  le  limitant  aux  deux  plans  de  pi  oji  ction. 

Le  plan  de  profil  mené  par  la  droite  SA  étant  un  plan  de  symétrie  par  rapport  aux  deux  cônes  el  aux  plans 
de  projection,  les  projections  du  solide  commun  sont  symétriques  par  rapport  à  la  droite 

Ce  plan  de  profil  coupe  les  deux  cônes  suivant  quatre  génératrices  dont  on  a  facilemenl  le  rabattement  sur 

li>  plan  horizontal  de  projection  ;  le  contour  apparenl  du  solide  c mn  limité  aux  deux  plans  de  projection  se 

rabat  ainsi  suivant  les  deux  quadrilatères  Sibta'cs  el  m'V'i/'i-  Les  points  6,6')  et  [d,  d'),  communs  à  deux 
génératrices,  appartiennent  à  l'intersection  ;  le  point  <•  est  le  sommel  de  l'hyperbole  équilalère,  trace  du  cône  s 
sur  le  plan  horizontal,  et  qui  a  pour  asymptotes  le  contour  apparenl  horizontal  de  ce  cône;  de  même,  le  point  f 
est  le  sommet  de  l'hyperbole,  trace  du  cône  S  sur  le  plan  vertical,  et  gui  a  pour  asymptotes  le  contour  apparent 
vertical  de  ce  cône.  l.c>  portions  utiles  de  ers  hyperboles  sont  limitées  par  les  cercles  de  base  .s-  et  -s'  des  deux 
cônes. 

Détermination  Jr un  point  quelconque  de  l'intersection.  —  Pour  obtenir  des  points  de  l'intersection,  il  sulïil  de 
couper  les  deux  cônes  par  des  plans  dont  les  traces  passenl  par  les  (races  de  même  nom  a  el  v'  de  la  droite  S£  ; 
chacun  de  ces  plans  détermine  en  général  quatre  génératrices, dont  les  quatre  points  de  rencontre  appartiennent 
à  l'intersection. 

Appliquons  en  particulier  cette  construction  au  plan  a%o\  tangent  au  cône  S  suivant  la  génératrice  pro- 
jetée horizontalement  en  si  ;  ce  plan  coupe  le  cône  S  suivant  deux  génératrices  limites  [ami,  "'»',')  et 
-h,,  a'n'i),  tangentes  à  l'intersection  en  deux  points  (m,  m')  et  («,  »'),  situés  dans  le  plan  projetant  vertical 
de  si. 

Points  de  l'intersection  situés  sur  les  contours  apparents  des  cônes.  —  Pour  le  cône  S,  ce*  points  -'obtiennent 
en  coupant  le  cône  1'  par  un  plan  de  fronl  passant  par  S  ;  la  section  est  un  cercle  projeté  en  -'</'  sur  le  plan 
vertical;  ce  cercle  détermine  sur  le  contour  apparent  vertical  du  cône  S  quatre  points  de  l'interjection. 

En  coupant  de  même  le  cône  S  par  un  plan  horizontal  passant  par  S,  on  obtiendrait  un  cercle  qui,  comme 
on  le  voit  aisément,  n'a  aucun  point  commun  avec  le  contour  apparenl  horizontal  de  S.  Donc  les  branches  de 
l'intersection  sont  entièrement  situées  dans  l'une  des  deux  moitiés  inférieure  ou  supérieure  du  cône  S.  Outre  les 
deux  hianches  indiquées  sur  l'épure,  il  existe  une  troisième  branche  entièrement  située  dans  la  moitié  intérieure 
de  la  seconde  nappe  du  cime  £;  celte  branche  extérieure  à  la  partie  commune  des  deux  cônes  n'a  pas  été 
figurée  afin  de  ne  pas  allonger  inutilement  le  bas  de  l'épure. 

Détermination  des  asymptotes  de  l'intersection.  —  Les  directions  asymptotiques  sont  fournies  par  les  généra 

triées  communes  au  cône    S    et  au  zt de  même  sommel  ayant  ses  génératrices  parallèles  à  celles  du  cône    X. 

Pour  obtenir  ces  génératrices,  prenons  comme  plan  vertical  de  projection  le  plan  de  profil  contenant  la  droite 
SA,  el  coupons  les  deux  cônes  par  une  sphère  de  centre  s,  st)  et  de  rayon  sta'  ;  cette  sphère  rencontre  le 
cône  S  suivant  le  cercle  de  hase  et  le  cône  ï  suivant  un  cercle  de  iront  projeté  verticalement  en  p,gi  sur  le 
nouveau  plan  de  projection  ;  les  points  de  rencontre  (,  r  de  pq  avec  le  cercle  s  sont  le-  trace-  horizontales  de 
deux  génératrices  communes.  Lu  considérant,  le  cercle  symétrique  de  _p»^i  par  rapport  à  .v.  déterminé  parla 
sphère  sur  la  seconde  nappe  du  cône  -,  on  aurait  en  (,  el  r,  les  traces  horizontales  de  deux  autres  génératrices 

communes.  Il  peut  d •  \  avoir  quatre  asymptotes  :  nous  allons  chercher  les  traces  horizontales  de  deux  de  ces 

asymptotes,  les  deux  autres  s'en  déduisant  par  symétrie. 

La  trace  de  l'asymptote  parallèle  à  la  génératrice  commune  H,  s't'  esl  a  l'intersection  des  traces  horizon- 
tale- des  plan-  tangents  au  cône  le  long  des  deux  génératrices  parallèles  projetées  en  s't'  et  -':i' ;  la  première 
trace  est  la  tangente  en  t  au  cercle  s  et  la  seconde  trace  esl  la  droite  hi,  qui  joint  les  traces  horizontales  de  deux 


-V -V — 9K-  ■.    /  . 


-V 
/  \/ 
.X  :  A. 


X 


'  \     /,   :■/•// 

|       A  '    -       / 

!   /      \\^""  /        / 


\        / 


/y    / 

i  /      * 

/  /       •  \ 

/ 


/ 


/ 


408  GÉOMÉTRIE    VNALYTIQ1  I 


droites  de  fronl  situées  dans  le  plan  langenl  au  cône  suivanl  -  /'.  Comme  vérification,  celte  seconde  trace  doit 
toucher  l'hyperbole,  trace  horizontale  du  cône  S.  On  obtient  ainsi  en  /;,  h'  la  trace  horizontale  de  l'asymptote 
parallèle 

On  obtient  la  trace  A.,  A',  de  l'asymptote  parallèle  à  la  génératrice  commune  stt,  st'  en  prenant  le  point 
de  rencontre  de  la  tangente  en  (i  au  cercle  s  avec  la  droite  symétrique  de  In  par  rapport  à  lu,  cette  droite 
étant  la  trace  du  [dan  langent  le  long  de  t't'  à  li  seconde  nappe  du  cône  -. 

Les  seules  parties  cachées  de  I a  projection  du  solide  commun  sont  :  horizontalement,  une  partie  de  la  base 
du  cône  S  et  toute  la  tiare  horizontale  du  cône  -  ;  verticalement,  loule  la  trace  verticale  du  cône  S. 

Loi  i-  MESSI  M 
,  >  justes  :  MM 


QUESTIONS     PROPOS!  ES 


510.  —  On  considère  les  paraboles  P  qui,  rapportées  à  des  axes  rectangulaires,  ont  pour  équation  générale 

{y  —  ix  -        :'/''.'/  =  0, 
si  une  quantité  donnée  et  ).  un  paramètre  variable. 
!    Démontrer  que  par  un  point  quelconque  du  plan,  il  passe  trois  axes  des  paraboles  1'.  Lieu  des  points  <■, 
pour  lesquels  deux  de  ces  axes  sont  rectangulaires. 

2°  Ce  lieu  est  un  cercle  F.  A  chaque  point  to  de  ce  cercle  correspondent  trois  paraboles  P  dont  les  axes 
passent  par  to.  Les  directrices  de  ces  trois  paraboles  forment  un  certain  triangle  ABC.  Lieu  des  sommets  de  ce 
triangle. 

;)°  Lieu  des  milieux  des  côtés  du  triangle  ABC;  lieu  de  son  centre  de  gravité. 

i    Lieu  du  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  ABC  ;  enveloppe  de  ce  cercle. 

5°  Lieu  du  rentre  du  cercle  des  neuf  points  du  triangle  ABC  ;  enveloppe  de  ce  cercle. 

('.    Lapointe. 

511.  —  Enveloppe  des  paraboles  tangentes  aux  deux  axes  d'une  conique  fixe,  ainsi  qu'à  la  tangente  et  à  la 
normale  à  cette  conique  en  un  même  point,  quand  ce  point  décrit  la  conique. 

E.  Di  porcçj. 

512.  —  lin  chaque  point  d'une  parabole  on  mène  la  tangente  et  la  normale:  enveloppe  de  la  parabole 
tangente  à  ces  deux  droites  et  admettant  pour  tangente  au  sommet  l'axe  de  la  parabole  donnée. 

(id  ) 

513.  —  Lieu  des  centres  des  coniques  osculatrices  à  un  cercle  ûxe  en  un  point  donné,  et  ayant  leurs  axes 
parallèles  à  des  directions  rectangulaires  données. 

id. 

514.  —  Lieu  des  centres  des  coniques  osculatrices  à  un  cercle  fixe  en  un  point  donné,  et  dont  l'un  des  axes 
passe  par  un  point  t\\c  de  la  tangente  au  point  d'osculation. 

id. 

♦ 

DEUXIÈME     PARTIE 


GEOMETRI  i:    ANAL YT MU   E 

477.  —  Lieu  du  point  de  concours  des  hauteurs  d'un  triangle  équilaléral  de  grandeur  variable,  inscrit 

dans  un  triangle  rectangle  donné  OAB. 

École  des  Ponts  et  Chaussées,  Cours  préparatoires,  JS95.) 

Prenons  pour  axes  les  deux  côtés  de  l'angle  droil  dirigés  respectivement  vers  les  deux  autres 

sommets,  el   désignons   para   el    b   les  longueurs  de  ces  deux  côtés.  Soient    EFG  une  position  du 

triangle  équilatéra]  inscrit,  y  l'abscisse  du  poinl   E  el   i  l'ordonnée  du  poinl   F;  le  milieu  de  EF  a  pour 

i d lées  — ■  et— -i  les  deux  droites  AB  el   II   ont  puni  •  ■'■■giiiii  i<  >ns  respectives 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  409 


(AB)  bx  +  ay  —  ab  —  0, 

(EF)  $x  -+-  ay  _  ap  -  o  ; 

et,  par  suite,  la  perpendiculaire  au  milieu  de  EF  a  pour  équation 

P 


■(—- j)-K»-ï)=°- 


Les  coordonnées  du  point  G  sont  donc  données  par 

*  -  Y     y  -  y 


pour  une  certaine  valeur  de   X.    Cette  valeur  de  X  s'obtient  en  exprimant  que  les  coordonnées  du 
point  G  vérifient  l'équation  de  la  droite  AB  ;  on  trouve  ainsi 

a  S 

b-—  +a^-  —  aô  +  Maa  +  *P)  =  °' 

D'autre  part,  on  doit  avoir    EG"  =  EF",     c'est-à-dire 

3 

ou  X 2  =  — - , 

4 

on  a  donc    X  =  ^—,     le  radical  ayant  le  double  signe  ;  par  suite  la  relation  précédente  devient 

6(aH-f(/3)  +  a(p  +  on/3  )  —  2ai  =  0. 
Si  l'on  remarque  maintenant  que  1«  point  de  concours  des  hauteurs  coïncide  avec  le  centre  de 
gravité,  dans  le  cas  actuel,  on  a  de  suite 

_  _  3a+Py/3    _  p-t-gy/3 

«  2i/3 

_  3$  +  *JJ  _  «-t-;V3~ 

V  ~         6  "       2^3      ' 

L'élimination  des  paramètres  a  et  p  est  maintenant  immédiate  et  donne  pour  lieu  l'ensemble  des 

deux  droites 

,  ab 

by  +  ax^z  —  =  0. 

Ce  sont  deux  droites  parallèles  à  la  symétrique  de  AB  par  rapport  à  la  première  bissectrice. 

A.  CAUSSE,  à  Castres. 


483.  ■ —  On  considère  un  cercle  fixe  et  une  tangente  à  ce  cercle  en  un  point  fixe  0  ;  un  point  M 
quelconque  du  cercle  est  le  sommet  d'un  triangle  isocèle  OMP  ayant  su  hase  OP  sur  lu  tangente  fixe.  On 
demande,  quand  le  point  M  décrit  le  cercle  donné  : 

1"  Le  lieu  du  poi ni  de  concours  des  hauteurs  du  triangle  OMP  ; 

2"  Le  lieu  du  centre  <ln  cercle  circonscrit  à  ce  triangle  ; 

3"  Le  lieu  du  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  de  0  sur  Ml'; 

4°  L'enveloppe  de  PM. 

Prenons  pour  axes  la  tangente  au  point   O    et  le  diamètre  perpendiculaire  ;  nous  aurons  pour 

équation  du  cercle 

x!  -+-  >f  —  2rj/  =  0. 

Cela  posé,  si  nous  désignons  par  «  et  (3  les  coordonnées  du  point  M,  nous  aurons  OP  =  2a, 
et,    par   suite,  pour   équation  de  PM, 


'.Ki 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


y  =  -  Jl  [x  -  2*  . 

ou  -        ^  0. 

l°La  hauteur  abaissée  du  point  M  a  pour  équation  x  —  a  =  0  ; 
celle  abaisser  du  poinl  0,  ou?—  3y  =  0.  On  aura  donc  le  lieu  du 
poinl  i  oupenl  les  hauteurs  du  triangle,  en  éliminant    i 

el   B  entre  ces  deux  équations  et  la  relation 
a-  +  3-  —  2/-3  =  0, 
qui  exprime  que  le  point  M  est  sur  le  cercle;  les  deux  premières 

donnent  de  suite    a  =  x,    B  = — •■>    et,   en   portant   ces   valeurs 

'/ 
dans  la  der re  équation,  on  obtient  l'équation  du  lieu 

I  =0. 

Celle  équation  se  décompose  en  deux  :    x-  =  0,    qui  représente  deux  fois  l'axe  des  y,  et 

ar2  +  ys-2n/  =  0, 
qui  représente  le  cercle  proposé;  le  premier  lieu  esl  an  lieu  étranger  introduit  par  la  manière  de 
mettre  le  problème  en  équations  et  qui  tient  à  ce  que',   lorsque  le  point   M   vient  en  0,  les  deux 
droites  0(3  ''t  MB  coïncident  avec  l'axe  des  y  et,  par  suite,  se  coupenl  en  tous  les  points  de  0>j. 

2°  Le  point  de  rencontre  îles  perpendiculaires  élevées  aux  milieux  des  côtés  s'obtient  en  prenant, 
d'une  part,  la  droile  MB  perpendiculaire  au  milieu  de  OP,  d'autre  part,  la  perpendiculaire  abaissée  du 
re  C  sur  la  corde  OM  :  on  aura  donc  le  lieu  de  ce  point  *  en  éliminant  a  et  3  entre  les  équations 
de  ces  droites  et  la  relation  que  ces  nombres  vérifient,  c'est-à-dire  entre  les  trois  équations 

./  —  a  =  0,  3  y  —  r)  -t-  ax  =  0, 

or  -t-  3-  —  2ir  =  0. 


el 


La  première   donne     »  =  ar,     la  seconde,     3=  - 
obtient 

—  9; 


y 


.r- 


ou 


'■  - .'/  - 

xi(x-  -+-  ;/'- 


et.   en  portant   dans   la   troisième,   on 


=  0, 


0. 


(2) 

Le  premier  lieu,    ./■-'  =  <>.    esl  enc un  lieu  étranger  dont  la  provenance  s'expliqu imme  antérieu- 

remenl .  Le  vrai  lieu  esl  le  oncle 

x--htj2-  r-  -  0. 

j 

3»  La  droile    l'M    a  pour  coefficienl  angulaire  el  passe  au  poinl   P  dont  les  coordonnées 

sont  2*  el  0:  elle  a  dune  pour  équation 

j/  =  _l(x-2ï), 

ou  Sr  -+-  y.!/  —  2a8  =  0  : 

la  perpendiculaire  abaissée  de  I  origine  sur  cette  droite  a  pour  équation     mc  -  By  =  0. 
Toul  revienl  donc  à  éliminer  a  el   B  entre  les  trois  équations 

ir  —  Sy  =  0, 

.-.'        xy       J.  3    ^  0 

et  3*  —  2rB  =  0  ; 

■x  3 

or  la  première  donne    —  =  —  =  À  ;    d'où    *  =  )j/,    3  =  >> .    et,  en  portant  dans  les  deux  dernières, 

y       x 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


4U 


2).xy  —  a-2  —  y2  =  0, 

*  ■''"'  +  ?/s)  —  %rx  =  0  i 
l'élimination  de  X  entre  ces  deux  équations  donne  de  suite  l'équation  du  lieu, 

(3)  {x2  -+-  y2)2  -  Zrx*y  =  0. 

Pour  construire  cette  courbe,  nous  prendrons  0  pour  pôle,  Ox  pour  demi-axe  polaire  positif,  et  nous 
remplacerons  x  par    p  cos  tu,     y  par    p  sin  tu;     nous  obtenons  de  suite 

p  =  2c  sin  ta  cos-  tu. 
Nous  aurons  toute  la  courbe  en  faisant  varier  »  de  0  à  2-it;  d'ailleurs  si  on  change  tu  en  «-t-ir, 
p  change  simplement  de  signe  ;  les  deux  valeurs  w  et  tu -h  -  donnent  donc  le  même  point,  et  l'on 
aura  la  courbe  tout  entière  en  faisant  varier  tu  de  0  à  -.  D'autre  part,  si  on  change  u  en  -  —  tu, 
p  ne  change  pas  ;  la  courbe  est  donc  symétrique  par  rapport  à  Oy,  et  pour  obtenir  une  moitié  de  cette 
courbe,  il  suffit  de  faire  varier  tu  de  0  à   —  •    Or  la  dérivée  de  p  est    p  =  2r  cos  tu(cos2  io  —  2  sin2  tu); 


dans  l'intervalle     I  0,—  )     le  premier  facteur  est  toujours  positif,  le  second  change  de  signe  pour 

1  -  .  .  .  - 

tg  tu  =  -7=1  ce  qui  donne  un  arc  a  compris  entre  0  et  —  î  de  0  à  *,  p  est  positive,  de  a  à  — . 
°  /2  4  2 

2/-  1i' 

elle  est  négative  :  donc  o  croît  d'abord  depuis  0  jusqu'à    5-7=5     puis  décroît  de    5-7=    jusqu'à  0.    La 

première  tangente  est  Ox,  la  dernière  est  Oy.  On  peut  donc  construire  immédiatement  la  courbe 
tout  entière,  en  tenant  compte  de  la  symétrie  par  rapport  à  Oy. 

4°  Pour  obtenir  l'enveloppe  de  PM,  nous  remarquerons  que  la  relation  entre   j  et  p  peut  s'écrire 

■j-^i$  —  r;*  =  r»; 
on  en  déduit    a  =  r  cos  o,     p  =  r[l  -h  sin  o),     et,  par  suite, 
l'équation  de  PM  s'écrit 

(1  -+-  sin  o)x  -+-  cos  o .  y  —  2;'  cos  tp(l  -+-  sin  tp)  =  0 . 
Prenons  maintenant  la  dérivée  de  cette  équation  par  rapport 
à  ?,  et  résolvons  les  deux  équations  du  premier  degré  que 
nous  avons  ainsi,  par  rapport  à  a;  et  à  y,  nous  obtenons  aisé- 
ment les  équations  de  l'enveloppe,  en  fonction  d'un  para- 
mètre ta, 

t       x  =  2c  cos  <p(l  —  sin  tp), 

(4) 

/       y  =  2r  sin  o(l  +  sin  5  . 

En  éliminant  sin  o  entre  la  seconde  équation  et  celle  qu'on  obtient  en  divisant  x  par  </,  on 
obtient  aisément  l'équation  cartésienne  ordinaire  de  cette  courbe  ;  mais  cela  est  sans  intérêt  pour 
nous  :  il  vaut  mieux,  pour  avoir  la  forme  de  la  courbe,  se  servir  des  équations    i  . 

Ces  deux  fonctions  de  o  ont  toutes  deux  pour  période  2-  ;  par  conséquent  en  faisant  varier  f  dans 
un  intervalle  continu  égal  à  2t:,  nous  aurons  toute  la  courbe.  D'autre  part,  si  on  change  o  en  - — o, 
y  ne  change  pas,  x  change  de  signe  simplement  ;  donc  la  courbe  est  symétrique  par  rapport  à  Oy  :  il 

sutlil  alors  de  faire  varier  o  de    — —  à    +5-'    car,  dans  ces  conditions,    n— tp    varie  de     —  a  — , 

et  les  deux  angles  tp  et  u  —  o  décrivent  à  eux  deux  un  intervalle  d'étendue  égale  à  2-rc;  les  branches 
qui  correspondent  à  ces  deux  angles  sont  symétriques  l'une  de  l'autre  par  rapport  à   Oy    et  il  suffit  de 

~  ~       1 

construire  l'une  d'elles.  Etudions  donc  les  variations  des  fonctions  x  et  y  de     — —à    4-—  •    La 

dérivée  de  x  est 


x1    ou 


dx 

do 


=  — 2r(l  —  sin  o)(l -t-2  sin  o   : 


412 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


celle  de  </, 


*L 


lr  COS  <p(l  +%  SÎD 


\  dérivées  ne  changent  de  signe  que  pour    sin 


1  IC.1t, 

—    ou    o  = '•    (le a 

2  6  2 


la  première  est  positive,  la  seconde  est  négative,  de      -    .     à    +-q'     elles  ont  des  si-nos  contraires  : 


pour     o       0,    ./=0,     i/ =  0;     pour    ç  = 


a-  =  ^ir      -   =  - 


pour    u  =  0,     x  =  2/', 


y    :'0;     pour    o        -i     <       0,     y=  lr.     Enfin  le  coefficienl   angulaire  de  la  tangente,  ,<.  a  pour 

ii  COS 

valeur    n  =  -^-  = H — >     el  l'on  a  aisémenl  ses  principales  valeurs. 

.r  1  —  sin  ? 

X 


0 

a 

—  1t 

2 

+ 

- 

0 

6 

(t 

~2~ 

.'/ 

:>■ 

(i 

0 

décroîl 

•■y 

1 

~7F 

croil 

n 

—  1 

croîl 

-'./• 

-x. 

Il 
croît 

2 
décroil 

-_>/■ 
décroil 

0 


Nous  avons  réuni  tous  c'es  résultats  dans  le  tableau  ci-contre.  Quanl  à  la  forme  de  la  courbe,  'die 
se  déduit  immédiatement  de  celte  étude. 

Solution  géométrique  (voir  fig.  l.)  — -l"  L'angle  ^<H'  est  le  complément  de  l'angle  P  ou  de  l'angle  égal 
MOP  :  donc   l'arc  qu'il   laisse  sur  la  demi-circonférence  OMA  esl  égal  à  l'are  OM,  el,  par  suite,  <u  rencontre  le 

cercle  d é  sur  la  parallèle  à  0y  menée  par  le  point    M;   par  conséquent  le  point  de  concours  des  hauteurs 

décrit  le  cercle  proposé. 

2"  La  perpendiculaire  élevée  au  milieu  de  0M  passe  au  centre  1  ;  les  deux  triangles  IMs  et  IOC  sont  égaux  ; 
donc  M*  =  C0  ;  le  lieu  du  point  a  s'obtient  en  faisant  subir  au  cercle  proposé  une  translation  égale  à  K  dans 
le  sens  \^  ;  c'est  donc  un  cercle  égal  au  premier  el  de  centre  <  ». 

i    L'angle  CMO  esl  le  double  de  l'angle  MOP  ;  d :  l'arc  OM    est  le  double  de  <>M.   Nous  avons  démontré 

que  dans  ces  conditions  la  droite  P.M  ou  MM'  enveloppe  mn'  hypocycloïde  à  trois  rebroussements  Voir  le  u°  I  de 
la  6e  année,  octobre  1 895. 

3°  l.e  lieu  du  poinl  7  est  la  podaire  de  celle  hypocycloïde  par  rapporl  au  point  0. 

Très  1 ics  solutions  analytiques  cl  gi  MM.  J.  Badard   Ecole  des  Mines  de  Sainl-Elici 1  et  G.  Soubirous    i 

1  !        1.  .  :   1.    N.  Barisikn  ;  E.  Barri    à  Douai)  ;  H.  M.   collège  Stanislas). 

Bo  ilriquc  :  M.  .1.  1. 111:111  w  i>  1  lycée  de  'I  oulousc  . 

.  11W    Vuzeram    Montpellier);  F.  Pégoiiieii    Toulousi    :  Martaod    lycée  Hochi   . 


490.  —  ''"  lulaires   Ox  et   Oy,    unpoint    A   fixesur   Ox,    un  /mini  11 

[m- su,-  0y  ri  i,,i  /nu, il    l'.   q  mais  donné  dans  le  /»/«»  des  axes.   <>n  considère  en  outre  les 

paraboles  inscrites  dans  le  triangle  OAB. 

r  On  demande  l'eni  ■  loppe  •><  s  polaires  </»  poinl   I"  /  ar  rapporl  "  ces  paraboles. 

1  1  [le  enveloppe  est  une  conique  [C  .  et,  en  sujiposant  </\ir  l<-  /mini   I'   se  déplace  dans  !•■  plan  ri  que 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  413 


qui  représente  les  deux  rayons  joignant  l'origine  aux  points  de  rencontre  de  la  conique  avec  la  droite 
AB  ;  il  n'y  a  plus  qu'à  exprimer  que  ces  deux  rayons  sont  confondus,  ce  qui  donne 


la  droite    AB   pivote  autour  de    A,    on  demande  le  lieu  du  point    P    /mur  que  la  conique    (C)    passe  au 
point  0  et  que  la  somme  des  carrés  des  longueurs  de  ses  axes  soit  constante  est  égale  à  I-. 

3°   Trouver,  dans  ces  cundilinns,  le  lien  d-'s  centres  îles  enniipies   (<]). 

Prenons  pour  axes  OA  et  OB,  les  demi-axes  positifs  ayant  pour  directions  OA  et  OB  ;  désignons 

x         y 

OA   par   a,    OB   par  // ;   1  équation  de  la  droite  AB  sera  alors h  -7 1  =  0.     D'autre  part,  nous 

a         h 

savons  que  l'équation  générale  des  coniques  tangentes  aux  deux  axes  est 

(ux  -+-  vy  -f-  w)2  -+-  2Xxy  =  0, 
X  étant  un  paramètre  arbitraire;  celte  conique  est  une  parabole  si     AC  —  B2  =  0,     c'est-à-dire  pour 
X  =  —  2wb  ;     nous  aurons   donc   l'équation  générale  des  paraboles  envisagées  en  exprimant  que  la 

conique  (ux  -+-  vy  -t-  w)2  —  kuvxy  =  0 

x         y 
est  tangente  à  la  droite       — 1--7-  — 1=0.     Or  si  on  élimine  la  variable  d'homogénéité  entre  ces  deux 

a         b 

équations,  on  obtient  l'équation 

nx  +  vy-\-u<(  - — h  j-j  \  —  iuvxy  =  0, 

is  joignant  l'origine  aux  points  de  rencontre 
er  que  ces  deux  rayons  sont  confondus,  ce  q 

[(■+f)('  +  T)-*-T-("-f)'('  +  T)'  =  »- 

et  finalement    a  =  0    ou    v  =  0    ou 

au-\-  bv  -+-  iv  =  0. 
Les  deux  premières  conditions  u  =  0  et  v  =  0  donnent,  des  paraboles  impropres,  composées 
chacune  de  deux  droites  confondues  ;  bien  qu'analytiquement  elles  satisfassent  aux  conditions 
imposées,  ce  ne  sont  évidemment  pas  celles  que  l'on  cherche  ;  la  véritable  condition  est  donc 
troisième  :  elle  exprime  que  la  corde  des  contacts  avec  les  axes  passe  au  point  dont  les  coordonnées 
sont  a  et  b  ;  nous  expliquerons  ce  fait  dans  la  solution  géométrique  de  la  question.  Remplaçons  m  par 
-au —  bv,    dans  l'équation  de  la  parabole,  nous  aurons  l'équation  générale  cherchée. 

(1)  [u(x  —  a)  -\-  v  (y  —  b)]"  —  iuvxy  =  0. 

1°  Soient  a  et  p  les  coordonnées  du  point  P  ;  l'équation  de  la  polaire  de  ce  point  par  rapport  à  la 
conique  (1)  est  [(a  —  a)u  -+-  (fi —  b)v][(x —  a)u  4-  (y  —  b)v]  — 2uv(ay  +Çx)=  0. 

Nous  aurons  l'enveloppe  de  cette  droite  en  exprimant  que  ce  trinôme  homogène  en  u  et  v  est  un  carré 
parfait  ;  nous  avons  ainsi 

(2)  [fa  —  a)(y  —6) -HP  —  b)(x  —  a)  —  2(a?/ +  ^)]2  —  4(a  —  a)( $  —  b)(x—  a)(y  —  b)  =  0. 

Cette  équation  nous  montre  que  l'enveloppe  est  une  conique  tangente  aux  droites  x  —  a  =  0  et 
y  —  b  =  0  et  aussi  à  la  droite  n.y -\-$x  =  0.  Ces  résultats  seront  expliqués  dans  la  solution 
géométrique  et  nous  indiquerons  encore  à  ce  moment  d'autres  tangentes  à  cette  conique. 

2"  Nous  exprimerons  que  la  conique  passe  à  l'origine  en  annulant  le  terme  constant  ;  puis  que  la 
somme  des  carrés  des  longueurs  des  axes  est  constante  en  exprimant  que  le  centre  est  à  une  distance 
constante  d'un  sommet  d'angle  droit  circonscrit  à  la  conique,  à  une  distance  constante  du  point  (a,  b). 
La  première  condition  s'obtient  immédiatement  ;  elle  se  réduit  à 

(3)  b7.-a$  =  0. 

Pour  former  la  seconde,  il  faut  d'abord  chercher  le  centre  ;  or  1rs  équations  du  centre  sont  ici 

(6-t-p)H-t-2(a  —  a)(p—  b)(y  —  b)  =0, 

(a  +  a)H  -+-  2(a  —  a)(p  —  b)(x  —  a)  =  0, 
en  désignant  par   II   la  fonction  linéaire 

(■-«)(¥  — *)-h(P  — *)(*  —  «) -2(«y h  :- 


',1  ', 


GÉOMÉTRIE    \N  \\.\  riQUE 


île  ces  deux  équations 
appelons  )    la  valeur 


=  y  : 


imune  des  deux  rapports  et  exprimons  que  le  poinl  correspondant  vérifie 


l'une   des  deux  équations  du  centre,  nous   trouveron 
donc  x  =   — - — i  i 


les  coordonnées  du  centre  >"iii 


/,  — 3 


En  écrivant  que   le  carré  de  la  dislance  de  ce  point  au  poinl     a,  b    est  égal  a  la  constante  /-'.  nous 
aurons  la  seconde  condition 

i  h  +  y-  =  w 

Nous  avons  de  suite  le  lieu   du  point  P,  en  tirant  la  valeur  de  b  de  l'équation   3),     b  —  —  i    et  en 
portanl  cette  valeur  dans  l'équation  (4).  Ce  lieu  a  pour  équation 

5  ■    ■  =--  M'y-. 

On  reconnaît  là  l'équation  d'une  conchoïde  de  droite,  de  la  droite    x  i  a    -  <i.    par  rapport  à  l'origine, 
pour  la  longueur  constante  _/. 

3"  Les    relations    qui    existent    entre    les   c 'données   du   poinl    P 


el    celles    du    centre     snill 


2x  =  a  —  se,     2t/  =  /; —  3  ;     d'autre  part, 


-v 


b  =  ^ 


on  a  donc  de  suite 


En  portanl  ces  valeurs  d 
celte  équation  esl 

(6) 
Elle  représente  encore  une  conchoïde  de  droite. 
Bonne  solution  par  les  coordonnées  langentielles  :  H.  B.  I. 


el  de  p  dans  l'équation  (5  .  qou! 

(x3  -+-  '/     i       a         l' r 
imbe    roulouse). 


d'où     3  =  -^-(a  —  2i). 

aurons  l'équation  du  lieu  du  centre; 


Solution  géométrique.  —  Les  paraboles  inscrites  dans  le  triangle  OAB  sont  inscrites  dans  le  quadrilatère 
formé  par  la  droite  de  l'infini  et  les  (rois  côtés  de  ce  triangle;  elles  mil  pour  triangle  autopolaire  commun  le 
triangle  diagonal  de  ce  quadrilatère,  le  triangle  CCiC»  dont  les  côtés  sont  parallèles  à  ceux  du  triangle  OAB.  La 

polaire  de  C  étanl  oc,,  1,1  polaire  du  point  i>  doit  passer  constamment 
au  poinl  C,  ce  qui  explique  pourquoi  la  corde  des  contacts  de  la  para- 
bole avec  les  axes  passe  au  point  (a,  b). 

On  saii  que  l'enveloppe  des  polaires  d'un  poinl  par  rapport  aux 
coniques  d'un  faisceau  langentiel  esl  une  conique  tangente  aux  trois 
côtés  du  triangle  autopolaire  commun.  L'enveloppe  des  polaires  du 
point  I'  par  rapporl  aux  paraboles  du  faisceau  est  donc  une  conique 
tangente  auN  côtés  du  triangle  00,02.  D'autre  part,  il  \  a  une  parabole 
dont  l.i  corde  des  contacts  avec  le-  axes  passe  an  poinl  I' ;  la  polaire 

du  poinl    I1   [..il-  rapport  a  celte  parabole   est  la  même  que   par   rapport 

au  couple  0  ,  O.v  ;  c'esl  la  droite  t)Q  symétrique  de  (M1  par  rapport 
aux  axes  :  cette  droite  esl  la  seconde  tangente  a  la  conique  issue  du 
poinl  1»  H  \  ,1  aussi  une  parabole  du  faisceau  dont  le  diamètre  passe 
en  I'  el  .m  poinl  île  contact  avec  Oy;  la  polaire  du  point  I'  par  rapporl 
à  cette  parabole  est  la  droite  HQ  parallèle  à  Oy  et  contenanl  le  symé 
trique  de  I'  par  rapporl  a  cet  axe  ;  relie  droite  esl  tangente  a  la 
ionique,  lie.  même,  la  parallèle  à  Ox  qui  contient  le  symétrique  de  I' 
par  rapporl  a  cri  axe.  La  conique  ('  est  doue  inscrite  dans  le  rec- 
tangle   »  l  <  -Il . 

Pour  qui'  la  conique  C)  passe  à  l'origine,  il  faut  que  les  deux  tangentes  issues  Av  ce  point,  OQ  el  OCi, 
coïncident,  C'est-à-dire  que  le  point  P  soit  quelque  part,  en  P,,  sur  la  droite  OC,  symétrique  de  OCi  par  rapport 
aux  axes.  Alors  le  rectangle  CFGH  devient  GDPJE,  l',  étanl  le  symétrique  de  l\  par  rapport  au  point  0.  Le  centre 
de  la  conique  esl   le  point  i ilieu  de    CPJ    el  la  deuxième  condition  imposée  est     u>C  -  const.     Comme 


y 

c. 

E              V, 

H 

c 

\ 

\  P — 

\ 

: 

v    ■ 

7fr, 

'\ 
\i 

\ 

l  \ 
i    \ 

/ 

' 

i 
i 

\      t 

\    i 

\  i 

A     r 

/           « 

t 

p.' 

H 

I 

c. 

GEOMETRIE  ANALYTIQUE  415 


IPi  =PJC  =  2<oC,      le  lieu  du  point  l'i  est  une  conchoïde  de  la  droite  Qxe  ICa.  De  même  Cw  est  constant,  et  le 
lieu  point  u>  est  une  conchoïde  de  la  droite  lixe  GCi.  A.  ('.AUSSI'.,  à  Castres. 

Remarque.  —  Ce  sera  un  exercice  utile  pour  les  lecteurs  de  la  première  partie  de  traiter  cette  question  par 
l'emploi  des  coordonnées  tangentielles. 


491.  —  On  considère  toutes  les  hyperboles  équilatères 

H  =  x'1  -t-  2focy  —  y-  —  in'/.c  =  0. 

1°  Trouver  le  nombre  des  hyperboles  II  qui  sont  tangentes  à  une  droite  donnée. 

2°  Trouver  la  relation  qui  existe  entre  lesdroites  l>  poui  lesquelles  l'un  des  points  de  contact  est  sur  le 
cercle  C  =  x-  -+-  y-  —  2ox  =  0  ; 

combien  y  a-t-il  de  ces  droites  parallèles  à  une  direction  donnée  ou  passant  par  mi  point  donné? 

.'{"  Combien  y  a-t-il  d'hyperboles  II  doublement  tangentes  au  cercle  C?  Lieu  du  pointde  contact  autre 
que  l'origine,  quand  C  varie.  Construire  ce  lieu. 

1°  Soit  u  x  +  vy  4-  iv  —  0  l'équation  de  la  droite  considérée  l>:  formons  l'équation  qui  donne  les 
rayons  allant  de  l'origine  aux.  points  de  rencontre  do  cotte  droite  avec  l'hyperbole  H;  pour  cela  élimi- 
nons la  variable  d'homogénéité,  s,  outre  les  deux  équations;  nous  aurons 

w  1 -  +  23  vy  —  '/-'  ~-  2a)  ;  «a;  -t-  vy)  =  0, 
ou  -la/M  -+-  w)x-  -+-  2X(«a  -I-  w]  cy  —  wy-  =  0. 

Nous  exprimerons  qu'il  y  a  contact  en  écrivanl  que  le  premier  membre  de  cotte  équation  est  un 
carré  parlait,  ce  qui  donne 

(1)  À-  av  +  w  -  -h  2auuA  +  w-  =  0. 

Celte  équation  donne  deux  valeurs  pour  À:  il  y  a  donc  deux  hyperboles  du  faisceau  tangentes  à  la 
droite  D;  ces  hyperboles  sont  réelles  si  on  a 

a-u-iv-  —  iv-(av  +  h')2  >  0, 
ou  (au  +  av  -+-  w)( — au-\-av-hw  <<  0. 

Pour  interpréter  cette  inégalité,  considérons  les  deux  points  (a,  a),  ( — a,  a),  communs  à  toutes  les 
hyperboles  du  faisceau,  et  situés  sur  les  bissectrices  des  axes;  l'inégalité  précédente  exprime  que  ces 
deux  points  sont  de  part  et  d'autre  de  la  droite  D;  si  donc  la  droite  D  passe  entre  ces  deux  points,  les 
deux  hyperboles  tangentes  à  cette  droite  sont  réelles;  si  la  droite  D  laisse  ces  deux  points  d'un  même 
côté,  les  deux  hyperboles  en  question  sont  imaginaires;  si  elle  passe  en  l'un  d'eux,  les  deux  hyperboles 
sont  confondues. 

2°  Revenons  à  l'équation  (2aXw  4-  iv)x'2  -t-  2X'au  -+-  w)xy  —  ivy-  =  0  : 

si  nous  annulons  les  deux  dérivées  partielles  par  rapport  à  x  et  à  y,  nous  aurons  deux  relations  entre 
le  X   de  l'une  des  hyperboles  tangentes  à  la  droite   D   et  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  du 
rayon  qui  va  de  l'origine  au  point  de  contact;  en  éliminant  a;  et  y  entre  elles,  nous  retomberons  sur 
l'équation  (1);  en  éliminant  À,  nous  aurons  l'équation  des  doux  rayons  de  contact 
(av  -h  tv)x2  -+-  lauxy  -+-  (av  -4-  iv  y-  =  0. 

D'autre  part,  l'équation  des  rayons  qui  joignent  l'origine  au  point  de  rencontre  du  cercle  C  et  de  la 
droite  I),  est  2pu  —  w)x2  +  2pvxy  +  wy*  =  0; 

nous  aurons  donc  la  condition  que  doit  vérifier  la  droite  I).  en  exprimant  que  ces  deux  équations  ont 
une  solution  commune;  nous  obtenons  ainsi 

(2)  p2  n:  -t-  c'-'   av  +  w  '  —  -2-.il, n:  pu  —  u-   av  —  w)  ■+■  n'2iï'iv  2pw  -1-  w)  =  0. 

Cette  relation  montre  de  suite  que,  si  p  est  donné,  il  y  a  quatre  droites  I»  passant  par  un  point 
donné,  et  deux  droites  D  parallèles  à  une  direction  donnée.  Si,  au  contraire,  n.  r,  w  sont  donnés,  elle 
détermine  les  distances  à  l'origine  des  deux  points  de  contact  de  la  droite  correspondante  avec  les 
hyperboles  du  faisceau,  et  l'on  peut  vérifier  aisément  que  la  condition  de  réalité  des  valeurs  de  p  est  la 
même  que  celle  obtenue  dans  le  premier  paragraphe  pour  les  valeurs  de  ' 


4ir. 


QUESTIONS  PROPOSÉES 


3  L'hyperbole  II  touche  le  cercle  C  aupoinl  0;  les  rayons  qui  joignent  l'origine  aux  deux  autres 
points  de  rencontre  sonl  fournis  par  l'équation 

(p  —  m  i  -   i   -li pxy  —  (p  -t-  (l>)lf  =  D ; 
le  premier  membre  ib>ii  être  un  carié  parfait,  c'esl  h  dire  que  les  deux  dérivées  partielles  par  rapport  à 
x  el  a  '/  doivenl  être  nulles  en  même  temps  pour  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  du  rayon  de 
contact  et  les  valeurs  de  )   el  de  p  qu'il  faut  associer  pour  que   II  et   C  aient  un  double  contact.  Ou 
aura  donc  le  lieu  du  point  de  contact,  autre  que  l'origine,  en  éliminait!  >■  et  p  entre  les  (mis  équations 

(p—  III    X     ;      l}IJ    —    0, 

'?''  ~    ?         '"    .7   =  o, 

x-  -\-y-  —  2p#  —  0  ; 
pour  faire  cette  élimination,  on  élimine  À  entre  les  deux  premières,  ce  qui  donne 

p(a;s+y»)—  2<%  =  0; 
puis,  p  entre  celle  équation-ci  et  la  dernière;  on  obtient  ainsi  pour  équation  du  lieu 
(3)  '        ,</   a  -    bax*y  =  0. 

Cette  équation  représente  une  quarlique  dépourvue  de  branches  infinies,  symétrique  par  rapport  a 
Ow,  ayant  un  poinl  triple  à  l'origine  et  pour  tangentes  en  ce  point,  une  fois  l'axe  des  x,  deux  fois  l'axe 
des  y. 

Pour  construire  cette  courbe,  passons  aux  coordonnées  polaires  :  nous  aurons 

p  =  .in  coss  w  sin  (o. 

Cette  équation  montre   de  suite  qu'on  aura  toute  la  courbe  en  faisant  varier   <■>   dans  un  intervalle 

d'étendue  totale  égale  à  2-,  par  exemple  de    — -    à    4-*;    en  outre,  que  si  l'on  change  m  en    —  w, 

o  change  simplement  de  signe  et  que,  par  suite,  la  courbe  est  symétrique  par  rapporl  à  Oy;  en  se  bornant 

à  construire  une  moitié  de  cette  courbe,  il  suffira  donc  de  faire  varier 

io  de  O  à  -.  D'autre  part,  le  changement  de  ta  en     -  —  «,     laisse  p 

invariable  ;  on  retrouve  donc  encore  ainsi  la  symétrie  par  rapport  à 

T. 

Oi;    el  il  suffit  linali'inenl  de  l'aire  varier  tu  de  0  à  —  •    La  dérivée  de 

•'  2 


p  esl      4"  COS  to(COS,,! 


sin-  <■>  :     elle  s'annule  pour  «  =  arc  tg-7=-i 

\l*2 


arc  compris  entre   —  et   —  ;   de  0  à  a,  elle  est  positive;  de  ■>  à 

1  6  4  F  2 

elle  esl  négative.  On  a  donc  de  suite  les  variations  de  p  :  de  0  à  »,  p  croîl  depuis  o  jusqu'il       ._  ; 

A\'A 

de  ■'  à   — i   p  décroîl  depuis  7-7^  jusqu'à  0.   Rien  n'est  plus  aisé'  alors  que  de  construire  la  courbe. 
2  A\l  A 

L'équation    3    montre  d'ailleurs  qu'elle  passe  aux  deux  points    [a,  a),  (— a,a)    que  nous  avons  déjà 

introduits  dans  la  solution  actuelle . 

O.  MOULLOT  (collège  Stanislas  . 

Bonne  solution  :  M,  B.  Lacombe    lycée  de  Toul |. 


QUESTIONS  PROPOSEES 

515.  — On  donne  deux  droites  1)  et  D'  perpendiculaires  à  une  troisième  droite  a  également  donnée.  Deux 
cercles  variables  c  et  (','  sont  tangents,  le  premier  aux  droites  l)  et  a,  le  deuxième  aux  droites  D'  et  A  ;  ces 
deux  cercles  sonl  en  outre  tangents  entre  eux.  On  demande  le  lieu  du  peint  de  contact. 

516.  —  bien  des  s sts  des  paraboles  donl  on  donne  une  tangente,  le  point  où  cette  tangente  rencontre 

l'axe  et  un  point  de  la  directrice. 

517.  —  Si  uni' ellipse  circonscrite  à  un  triangle  .1  pour  centre  le  centre  de  gravité  du  triangle,  les  tangentes 
menées  par  les  sommets  du  triangle  sonl  parallèles  aux  côtés  opposés.  [Concours  <;:/i  rat  de  Belgique,  Rhéto- 
rique C,  1894.) 


Le  Uédacteur-Gérani  :  II.   \  I  IBERT. 


BAH-LE-llUC.  —    tut'.    COUTE  jai  .il  i. 


6"  Année.  N°  9.  Juin  1896. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE   PARTIE 


Résolution  algébrique  de  l'équation  binôme    s." — 1  =0     dans  le  cas  où  p 

est  un  nombre  premier. 

Application  à  l'inscription  des  polygones  réguliers  de  p  côtés 

par  M.  H.  Vogt,  Professeur-adjoint  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Nancy. 


1.  L'équation  binôme  x?  —  1  =0,  dont  nous  supposons  le  degré  premier,  a  une  racine  égale  à 
l'unité  ;  les    p  —  1     autres  satisfont  à  l'équation 

(1)  f(x)  =  X   ~     =  x?-1  -+-  x'-*  -+-  . . . .  -+-  x  +  1  =  0 

et  sont  toutes  primitives  ;  elles  sont  égales  à 

w,  to»,  lu3,    ...,  w''-', 

w  désignant  l'une  quelconque  d'entre  elles. 

Nous  allons  montrer  que  la  résolution  de  l'équation  binôme  ou,  ce  qui  revient  au  même,  de 
l'équation  (1),  se  ramène  à  celle  d'équations  binômes  de  degrés  égaux  ou  inférieurs  à  p  —  1,  et  à 
l'extraction  de  radicaux  d'indices  au  plus  égaux  à     p  —  i. 

Nous  nous  appuierons  sur  la  propriété  des  nombres  que  l'on  appelle  racines  primitives  pour  le 
module  p  ;  considérons  un  nombre  g  premier  avec  p  et  la  suite  de  ses  puissances 

g,  f,  g3,  ■■■>  g*-1,  g*-1, 

d'après  le  théorème  de  Fermât,  le  reste  de  la  division  de  g!'~l  par  p  est  égal  à  l'unité  ;  si  gv~^  est  le 
premier  nombre  de  la  suite  précédente  jouissant  de  cette  propriété,  on  dit  que  g  est  une  racine  primi- 
tive pour  le  module  p  ;  nous  admettrons  comme  démontré  qu'il  existe  au  moins  une  telle  racine  pour 
chaque  nombre  premier. 

Désormais  g  sera  choisi  de  celle  façon  ;  les  restes  de  la  division  par  p  des  nombres 

9°,9\  </",  •••,?"-- 
sont  alors  distincts  et  égaux,  dans  un  certain  ordre,  aux    p  —  1     premiers  nombres.  Comme  l'addi- 
tion d'un  multiple  de  p  à  l'exposant  d'une  racine  w''  ne  change  pas  la  valeur  de  cette  racine,  on  peut 
représenter  les    p  —  1     racines  de  l'équation  (i)  par 

(2)  to,    lù»,    oj'i\    ...,   oj'J1"2. 

On  voit  que  chacun  des  nombres  de  cette  suite  est  la  même  fonction  du  précédent,  sa  puissance  d'expo- 
sant ;/,  et  que  l'élévation  du  dernier  à  cette  même  puissance  donne  pour  résultat  le  premier;  l'équa- 
tion (1)  rentre  donc  dans  la  catégorie  des  équations  appelées  abéliennes,  et  l'on  démontre  que  ces 
dernières  sont  résolubles  par  radicaux,  si  l'on  suppose  connues  les  racines  des  équations  binômes  de 
degrés  égaux  ou  inférieurs  à    p  —  1 . 

Nous  nous  servirons  des  méthodes  de  résolution  des  équations  abéliennes  ;  pour  plus  de  clarté, 
nous  les  rappellerons  en  les  appliquant  au  cas  actuel. 

2.  Soit  p  —  1  =  ?«!»!  une  décomposition  de  p  —  1  en  deux  facteurs  quelconques,  le  cas  où 
le  second  est  égal  à  l'unité  n'étant  pas  exclu  ;  prenons  une  racine  primitive  «i  de  l'équation  binôme 


418  RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION    a?'  — 1  =  0    LORSQUE  p  EST  PREMIER 

xmi  —  1=0    et  formons  la  somme 

(3)  i!/,  =*  m  H-  a,w'J  -+-  iî«u»SH h  a{,-2(oS'''_,  ; 

en  réduisant  les  exposants  de  »,  supérieurs  a     /»,       1     a  être  égaux  ou  inférieurs  a  ce  nombre,  on 
peut  écrire  cette  somme  sous  la  forme 

+.  =  Xi  +  »*    '    "ÎXs  +  ■"-+-  «T'^X»!! 

/,,  /,,   ....  /,  „   désignant  les  sommes 

m  2m  (' 

y ,   =  u>  -h  0)»    '  -+-  <o«      '  -t-  -  ■  -  — (—  tov 


(*) 


X> 


I  ,„     =   u>"    '       -f-  w  ■>      '       -(-  lu»      '       -+- 1-  w»  '    '      . 

>,  esl  une  fonction  entière  de  o>  ;  désignons-la  un  instant  par  ty,  &>)  ;  si  on  y  remplace  m  par  u>»,  la  nou- 
velle valeur  qu'elle  prend  se  déduit  de  (3)  en  remplaçant  chacun  des  nombres  de  la  suite  (2)  qu'elle 
renferme  par  le  suivant  et  1»!  dernier  par  le  premier  ;  par  ce  changement,  chacune  des  sommes  i  i  esl 
remplacée  par  la  suivante  et  la  dernière  par  la  première,  de  sorte  que  Ton  ohtient  la  valeur 

$,((o»)  =  u>»  -t-  a.o/  h-  ajo/  H h  af^u  =  X«  +  alXs  +  *ÎX*H •"  ai"'    V.i- 

et  elle  est  égale  à  a,  '^(w). 

On  en  conclut  que  la  puissance  d'exposant  m,  de  la  fonction  COj(«o)  ne  change  pas  de  valeur  lorsque 
l'on  remplace  <■>  par  ufi  et,  en  répétant  cette  opération,  par  l'un  quelconque  des  nombres  de  la  suite  (2)  ; 
on  peut  donc  écrire 

4-,1'uii'"1  =  ■ijw'"'  =  •',  .«''■     -'■■:-■;,"/'  J    '  =  - -[•{/,  -.)/"'  4-<]/,  '■<■'/"'  -t-  •>,  "j,/J    '-+-■-+  ■'-,  ui     "       ; 

Comme  le  dernier  membre  est  une  fonction  symétrique  entière  des  racines  de  l'équation  (I),  il  s'ex- 
prime rationnellement  au  moyen  des  coefficients  de  cette  équation,  par  conséquent  'imi  est  une  fonction 
entière  de  ?,  a  coefficients  rationnels  :  nous  la  désignerons  par  T,   '.  ;  nous  aurons  alors   ty,  —  "['  T,  . 

3.  Considérons  maintenant  les  fonctions  analogues  à  y,,  obtenues  en  y  remplaçant  *,  par  ses 
puissances  successives 

h  =  /i  4-  »?X2  +  *ï/:<  -*■ ■"  *î  '"'•   '  Xm,i 

"l'a  =  /.  ■+-  *?Xs  +  «iXa  -^ 1"  aïl'",_'  /-<,  > 


♦«,    ,  =/,+a™,"'Z2+aF .'■■,    UjCl+..._H«Il«1    »Xmi; 
chacune  d'elles  est,  comme  tyu  la  racine  d'indice  //<,  d'une  fonction  entière  de  a,,  mais  tous  les  radicaux 
ainsi  obtenus  ne  sont  pas  indépendants  et  s'expriment  tous  au  moyen  de    V  T, .  Pour  s'en  convainc)  e, 
il  suffi!  de  répéter  le  raisonnement  que  l'on  a  fait  pour  <]/,  ;  soit  <\h  ou  y,,  ->    une  des  fonctions  précé- 
dentes ;  le  changement  de  <«  en  <o^  lui  donne  la  valeur 

'}/.(<"'')  =  Xs  ■+■  aÎ7.3  +  «?*X*  H h  «i(m <-'  7,  =  *J  "y,,  ui    ; 

■    i  .  tte  fonction  n'est  pas  identiquement  nulle,  car  sinon  y  u   le  serait  ;  en  réduisant  dans  celle  fonction  chaque  expo 
sant  de  w  à  être    Zp-l,    un  aurait  une  égalité  de  la  forme 

i|ii(u]  =  w[l  -i    i}w    i   a-Jw2  -+-...-+-  aju'-"5]  =  0  ; 
l'équation  1 -+-  aj.c -»- aj.c:    >...--    »,.»••'■-■  =  0, 

serait  satisfaite  par  u  et,  d'après  ce  qui  précède,  par  les    ;>  —  1    racines  de  l'équation    1  ,  mais  cela  esl  impossible  puis- 
qu  elle  esl  de  degré    p  —  2    et  que  ses  coefficients  ne  sont  pas  tous  nuls. 

La  fonction    I     esl   une  fond ntière  île  a,  ;  on  peut  ajouter  que  ses  coefficients  sc.nl  de-,  nombres  entiers  ;  la  fonction 

.     ,.        esl  en  elfet  oie'  fonelioii  entière  a  coefficient  entiers  .le  ...  et  .le   j  .  cl  elle  car.le  la  no  oie  valeur  numérique  lorsqu'on 

remplace..,  par  une  quelc |ue  des  autres  racines  de  l'équation    I   ;  elle  s'exprime  alors  en   fonction  entière,  i  coefficients 

entiers,  .m  moyen  .les  coefiici.ni-  ■!•■  ..lie  équation  et  de  ceux  de  v.'w)"'.  (Comparei   l'article  de  M.  Tanner)   inséré  dans  le 
Numéro  du  mois  d  Août  1895  de  cetle  Revue  . 


RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION     x"—  1  =  0     LORSQUE  p  EST  PREMIER 


419 


par  suite  le  produit  ^(to^^io)'"!  *  acquiert  par  ce  changement  la  valeur 

Mm%(m»)«i-»  =  «r"4'A(^)ar(M'-'"<l'i(«)'"1-"  =  ^(«^(w)*»-», 
identique  à  la  première;  c'est  donc,  comme  <]>yi,  une  fonction  qui  reste  invariable  lorsqu'on  remplace  o> 
par  les  autres  racines  de  l'équation  (1),  et  qui  est  dès  lors  une  fonction  entière  de  a„  à  coefficients 
rationnels  ;  nous  la  désignerons  par  T;o  de  sorte  que  l'on  a 

+,.  =  t/Vt;)'— .  =  -£-H/t;)'. 

Ecrivons  les  valeurs  ainsi  obtenues  pour  les  fonctions  <\>,,  ^s, 
racines  de  l'équation  (1);  nous  avons  les  équations 

Xi  +  XH r-Xm,  =  —  4i 

"W  =  /i  +  «iXa  H +  aTl~1lm,  =  '"VTi, 


<Kn,-i  et  ajoutons-y  la  somme  des 


"W  =  y.i  +  a?/.2 


V 


Xi 


«,(» 


y-,  = 


T, 


"VTi) 


dans  la  somme  sont  des 


si  nous  les  ajoutons  membre  à  membre,  les  coefficients  de  y,,  /,,  . . 
sommes  de  puissances  semblables  des  racines 

l,«.,«ï "i"'-1 

de  l'équation  xmi  —  1  =  0  et  sont  nuls,  celui  de  /t  est  égal  à  n^  ;  si  nous  ajoutons  de  même  les 
équations  précédentes  membre  à  membre,  après  les  avoir  multipliées  respectivement  par  1,  a-'1,  aj2k,  ..., 
a7<mi-1'*,  il  ne  reste  au  premier  membre  que  le  terme  n»tX*+i  ;  nous  obtiendrons  de  cette  façon  les 
valeurs  de   y,,  y2,  • .  • ,  Xm,  par  les  égalités 

m,»  =  - 1  -+■  "\%  +  £  f'/Ti)8  +  -■  -4— ^("VïT)1".-', 


(5) 


»»iX*+i  =  —  1  -t- 


*r*mVT14-«rsVVv/T,)2  + 

ii 


I, 


cm 


La  détermination  des  sommes  xd  Xsi  •  •  •  i  Xm,  se  ramène  ainsi  à  la  résolution  de  l'équation  binôme 
x'"i  —  1  =  0  et  à  l'extraction  d'une  racine  d'indice  ni,  ;  on  peut  remarquer  que  la  même  formule,  par 
exemple  celle  qui  donne  ^î»  peut  servir  à  représenter  les  m,  sommes  inconnues,  en  y  donnant  au 
radical    l/T^  toutes  les  déterminations  dont  il  est  susceptible,  et  qui  sont  égales  à 

"VÎT,  «r*"VTï,  «raMVTT,    ...,   ar<™,-<>m(/T;. 

Si  ??i,  =  p  —  1,  l'équation  (1)  se  trouve  résolue,  car  les  quantités  /i,  y2,  . . .,  ■/,,„,  se  réduisent  dans 
ce  cas  aux  racines  elles-mêmes,  et  les  formules  (o)  donnent  leurs  valeurs  ;  il  y  a  cependant  avantage, 
pour  le  calcul  de  ces  racines,  à  supposer  m,  inférieur  à  p  —  1  ;  alors,  si  nt  est  supérieur  à  l'unité,  le 
problème  est  ramené  à  la  recherche  des  nombres  qui  composent  chacune  des  sommes  (4).  Ces  sommes 
sont  les  racines  d'une  équation  de  degré  m,  à  coefficients  entiers,  car  le  polynôme 

<p,(x)  =  (x  —  y,)(.r—  ys)  ...{x—  x»,,) 
a  pour  coefficients  des  fonctions  entières  de  m  restant  invariables  par  le  changement  de  w  en  mfi  et 
ils  sont,  d'après  un  raisonnement  déjà  fait,  des  fonctions  entières  des  coefficients  de  l'équation  (1)  ; 
l'équation  <p,(a?)  =  0  est  une  équation  résolvante  dont  les  racines  sont  fournies  par  les  égalités  (5). 
4.  Nous  allons  maintenant  former  les  m,  équations  de  degré  >h  dont  les  racines  sont  les  quantités 
comprises  dans  chacune  des  lignes  du  tableau 


4>0 


RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION    x'— 1=0    LORSQUE  p  EST  PREMIER 


(6) 


co,    <o»    ',    co»      ', 


1    ,  10»    ■    ,  w»    '    io»  '  '     ; 

Soit  S(w)  une  fonction  symétrique  entière  quelconque  des  racines  comprises  dans  la  première  ligne  ; 
c'est  une  fonction  entière  de   m:    si  on  y  change  u  en    <o»,  <o»  ,  . . .    on   forme  les  fonctimi-    S 
S(w»2),  . . .,  qui  sont  analogues  à  la  première,  et  composées  au  moyen  des  quantités  qui  entrenl  dans  la 
deuxième  ligne,  dan-  la  troisième,  etc.;  formons  alors,  d'après  la  méthode  de  Lagrange,  le  polynôme 
S(io  •-  -  -  x     . 


F(*)  =  Z77 


:  + 


~.  h   •'•—/.    '   ?i  **)(*  —  te)  ■        ■.   x~  U, 

il  est  de  degré  m,  —  1  el  ses  coefficients,  qui  sont  des  fonctions  rationnelles  de  <»,  ne  changent  j>as 
lorsqu'on  remplace  to  par  to»;  ce  sont  donc  des  fonctions  rationnelles  des  coefficients  de  l'équation  (1), 
c'est-à-dire  des  nombres  rationnels  ;  si  l'on  substitue  à  x  l'une  des  racines  de  <pi(ar)  =  0,  le  résultat 
est  égal,  comme  on  le  sait,  à  la  fonction  S  correspondante,  de  sorte  que  l'on  a 

S(<o)  =  Ffo),     S(<o»)  =  Ffo),     . . .,     SK'-')  =  Fi 
Il  est  possible,  d'après  cela,  de  former  l'équation  de  degré  », 

fi[*,Jt   =o 
dont  les  racines  sonl  les  quantités  comprises  dans  la  première  ligne  du  tableau  (6);  ses  coefficients  sont 
des  fonctions  entières  de   y.,    à  coefficients  rationnels  :   les  équations  satisfaites  par  les  quantités  com- 
prises dans  les  autres  lignes  du  tableau  se  déduisent  simplement  de  la  précédente  eu  remplaçant  /,  par 
chacune  des  autres  racines  de  l'équation  résolvante     ot[x)  =  0  ;     ce  sont 

/i(«,  »)  =  0,     /V;.r,  X3)  =  0,     ...,     /".(a-,  •/.„,,)  =  0. 
5.  Considérons  l'une  d'elles,  par  exemple  la  première     /',  x.  yA)  =  0,     dont  les  racines  sonl 

elle  jouit  d'une  propriété  analogue  à  celle  de  l'équation  1),  car  chacune  de  ces  racines  est  la  même 
fonction  entière  de  la  précédente,  sa  puissance  d'exposant  g  .  el  l'élévation  de  la  dernière  àcette  même 
puissance  donne  pour  résultat  la  première  ;  on  lui  appliquera  dès  lors  la  même  méthode  de  résolution. 
Si  l'on  décompose  n,  en  un  produit  de  deux  facteurs  »,  =  m;»,,  et  si  l'on  désigne  par  «,  une 
racine  primitive  de  l'équation    x'"„  —1=0,     on  forme  les  sommes 


■ 


et  les  fonctions 


o2  =  to»  '  -+- 


(o»  '  !4- 


+10»'"'"'     '" 


PmS 


=  ,.rfm.'m>-«>. 


i.,(«m,-l) 


(8) 


Pi  4"  *2?J  ■+-  »2?3  ■ 

pi  -4-  «îps  -+-  «jPs  ■ 


■«ï,>",pms, 
■  «î(m»_,)P«S1 


p,  -+-  a2m2-'  -f-  p,  -f-  a»("'s_,>p3  +  •••-)-  •/, 

Pi.  psi  •••)  ?m,  sont  les  racines  d'une  équation  résolvante 

'  •  Xi)  =  0 

de  degré  m„  don!  les  i fflcients  sont  des  fonctions  entières  de  /.,  avec  des  coefficients  rationnels,  car 

le  polynôme 

o2(x)  =  (x  —  p,)(x  —  p2) . . .  (x  —  ?,„s) 


RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION     a^  — 1=0    LORSQUE  p  EST  PREMIER  m 


a  pour  coefficients  des  fonctions  restant  invariables  lorsqu'on  remplace  u  par  <./"',  ,,/'"',  ...  et  ces  fonc- 
tions, comme  S(»),  s'expriment  sous  forme  entière  au  moyen  de  /,;  les  fonctions  (8)  dont  les  puissances 
d'exposant  m2  s'expriment  aussi  rationnellement  au  moyen  de  -/„  permettent,  comme  les  fonctions 
<K,  ip„  . . . ,  de  déterminer  les  valeurs  de  p„  p2,    . .,  p,,,,  par  des  formules  analogues  à  (5) 

,„,  _       'p         _ 
'«2?i  =  —  1  -+-    'v/T-i  +  -=f  (   v/T/)-'  -+-••-, 


(9) 

i+«r*  ^+*i2t-^(  Yri) 

1 1 


où  T'j,  T's,  . .     sont  des  fonctions  entières  de  y,  à  coefficients  rationnels. 
On  traitera  de  la  même  façon  les  équations 

f\(x,  y,)  =  0,     ft{x,  y,)  =  0,     .  . . ,     /',(.,-,  Xmi)  =  0  ; 
elles  fourniront  chacune  m2  fondions  analogues  à  p,,  et  les  m,ms  quantités  ainsi  formées  sont  les  racines 
de  ?»,  équations  résolvantes  de  degré  vu  analogues  à    o2(x,  y,)  =  0. 

A  l'aide  de  l'une  de  ces  fonctions,  par  exemple  de  p,,  un  formera  une  équation  de  deuré  n2 

/"•(*,  Pi)  =  0, 
dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  entières  de  p,  et  les  racines  sont  les  quantités  ta,  lu»'"1'"*,...  dont  p, 
esl  la  somme,  on  lui  appliquera,  ainsi  qu'aux  autres  équations  analogues,  la  même  méthode  de  résolution 
jusqu'à  ce  qu'on  parvienne  aux  racines  u>,  tu»,  . . ,  elles-mêmes;  l'équation  proposée  se  trouvera  ainsi 
résolue.  Les  résultats  que  nous  venons  d'obtenir  peuvenl  être  énoncés  de  la  manière  suivante  : 

Si  l'on  décompose    p  —  1     en  un  produit  de  plusieurs  facteurs  et  si  l'on  a 

p  —  1  =  m^n^mj.  .   mq, 
on  détermine  les  racines  primitives  de  l'équation  binôme    x1' —  1=0    en  résolvant  successivement 

1°  une  équation    o,(j-)  =  0    de  degré  m,  à  coefficients  rationnels; 

2°  m,  équations  o,(x)  =  0,  <fî{x)  =  0,  . . .  de  degré  m,  dont  les  coefficients  sont  respectivement 
des  fonctions  entières  de  chacune  des  racines  de  la  précédente  ; 

3°  i«,m,  équations  <?3{x)  =  0,  <?'3(x)  =  0,  . . .  de  degré  m3  dont  les  coefficients  s'expriment  d'une 
manière  rationnelle  au  moyen  des  racines  des  précédentes,  et  ainsi  de  suite: 

enfin  4°  niiiu,. . .»<,,_,  équations  yq(x)  =  0,  o'q  x)  =  0,  ...  de  degré  m,  dont  les  coellicients  sont 
aussi  formés  d'une  manière  rationnelle  au  moyen  des  racines  des  équations  précédentes. 

Pour  résoudre  une  de  ces  équations,  telle  que  yh{x)  =  0  de  degré  mh,  il  suffit  de  connaître  une 
racine  primitive  y.k  de  l'équation  binôme  xmh—l  =  0  et  d'extraire  un  radical  d'indice  mh  portant  sur 
une  fonction  entière  de  %  et  des  coefficients  de  l'équation  considérée  ;  les  racines  s'expriment  par  des 
formules  analogues  aux  formules  fS).  De  celte  façon  la  résolution  de  l'équation  binôme  xp  —  1  =  0  se 
ramène  à  celle  d'équations  analogues  de  degrés  m,,  ni,,  . . .,  mq  et  à  l'extraction  de  radicaux  successifs 
d'indices  m,,  ms mq. 

Ordinairement  on  prend  pour  valeurs  de  ces  nombres  mu  m2,  . . . ,  mq  les  facteurs  premiers  égaux 
ou  inégaux  de  p  —  1;  les  degrés  des  équations  binômes  auxiliaires  et  les  indices  des  radicaux  sont 
des  nombres  premiers. 

6.  Remarque.  —  Il  suffit  de  connaître  une  seule  racine  w  de  l'équation  (1)  pour  déterminer  toutes 
les  autres  ;  il  suffit  alors  de  calculer  une  seule  racine  /,  de  epifa;)  =  0,  une  seule  racine  p,  de  l'équa- 
tion correspondante  tp2(a?,  y,)  =  0,  et  ainsi  de  suite  ;  cependant,  si  l'on  forme  l'expression  de  '■>  au 
moyen  des  radicaux  successifs  "l/'l'i,  "'VT,,  ...,  la  formule  qui  la  donne  peut  représenter  les  p  —  1 
racines  de  (1)  lorsqu'on  donne  aux  radicaux  successifs  toutes  les  déterminations  donl  ils  sonl  suscep 
libles;  nous  avons  \u  en  effet,  à  propos  des  formules  (5),  que  la  valeur  de   /,   représente  les  mt  racines 


',2-2  RÉSOLUTION  DE  L'EQUATION     .,'—1=0    LORSQUE  p  EST  PREMIER 

de  -ri  a    lorsqu'on  remplace     VTJ  par  toutes  ses  délerminations  ;  les  »»,  équations 
/-,(*,  y,     =0,     /-,(.«•.  /.,.)  =  0 /i(*.*0  =  ° 

ne  diffèrent  dès  lors  l'une  de  l'autre  que  par  la  valeur  attribuée  à  ce  radical  ;  on  peut  répéter  le  même 
raisonnement  sur  les  valeurs  o,,  p.,,  ...  p,„,    fournies  par  les  formules  (9)  el  continuer  de  proche  en 

l'i'u'lic  jusqu'aux  valeurs  des  racines  elles-ini-no-. 

Il  est  évident  que  si  l'on  se  donne  à  l'avance  la  racine  que  l'on  représente  par  i»,  il  faut  choisir 
d'une  manière  unique  la  détermination  des  radicaux  .successifs;  nous  n'insisterons  pas  sur  ce  point. 

Le  cas  le  plus  important  est  celui  où  les  nombres  mt,  m*,  . . .,  mq  sont  tous  égaux  à  2,  alors  on  a 
p  =  2»+l;  les  racines  at,  a,,  . . .  sont  toutes  égales  à  —  1,  et  les  indices  des  radicaux  sont  égaux 
a  i;  l'équation    u'1  —  1  -    (I    est  abus  résoluble  a  l'aide  de  y  extractions  de  raeines  carrées  successives. 

7.  Je  mentionnerai  deux  cas  particuliers  de  la  décomposition  en  facteurs  du  nombre    p  —  {. 

Le  premier  est  celui  où  l'on  pose  p —  1  =  »/,»,,  avec  m,  =2;  il  n'est  pas  indispensable  pour 
la  suite,  mais  le  résultat  auquel  il  conduit  est  assez  intéressant  pourmériter  d'être  signalé. 

Dans  le  cas  actuel,  on  a     »t  = — 1     et 

+•  =  /'  -  '/> 
avec  /i  =  io  +  i»9  -i- w»  + — h '•< 

■/_,  =  (./'  +  tu»3  -+-  tu»   +  ••    +  tMp''~   ; 
on  sait  que   <J»,    est  une  fonction  entière  des  coefficients  de  f(x);   nous  nous  proposons  de  l'évaluer; 
on  a  <K  =  (xt  —  xs  2  =  (u>  — ui»-i-<u»!  — cu»3  +  ---)9 

=    I  10  10'  -+-  OJ1     ■  •  ■  \W 

+  i  (O»  (O»"  -(-  (o»'    é 

+  ("j'    — U>'    +  cu'    —  ■•■loi' 


nous  avons  l'ait  commencer  le  multiplicande  de  chaque  produit  partiel  par  la  racine  égale  au  multiplica- 
teur correspondant,  etnous  supposons  quedanschaque  multiplicande  les  exposants  de  g  vont  en  croissant 
constamment,  quand  même  ils  deviendraient  supérieurs  à    p  —  2,    ce  qui  ne  change  pas  le  résultat. 

Les  produits  effectués  fournissent  le  tableau  suivant  : 

w2_„)7fl  +„jV--l         

-+-    (u!   ■         u  -:.,„'- 

,„■   ■'         ,,■        ■'  -;    „/■<-!  I)9S ; 

Jj i 

chaque  nombre  de  la  première  ligne  est  racine  primitive,  sauf  celui  qui  a  pour  exposant  g  -  +  1,  car 
ce  dernier  exposant  esi  divisible  par//,  et  jouit  seul  île  celle  propriété  (*);  si  l'on  désigne  pour  un 
inslanl  par  w,  l'un  quelconque  des  autres  nombres  de  cette  ligne,  la  somme  de  ceux  qui  sont  situés 
dans  la  même  colonne  verticale  est  égale  à 

toj-f-aiï-f-iuf    |    ■■■.--„1f'  =— 1; 

au  contraire  les  nombres  de  la  colonne  verticale  qui  renferme  comme  premier  élément     <•■        '    sont 

tous  égaux  a  l'unité,  el  sont  affectés  du  coefficient    ( — 1)  2  ;    on  déduit  de  là,  en  effectuant  la  somme 

j'-i 
des  différentes  colonnes  verticales  du  tableau, que  la  somme  totale  des  éléments  esl  égale  à  1  )  2  p. 

Connaissant  cette  valeur  de     /,  —  x*)2    el  ce^e  ('e  'a  somme    y,  +  x»  =  —  li     oa  déduit  les  deux 
fonctions  y,.  y;  qui  sont  égales  a 


4-[-i±v/(-*)vp]; 


■   u  n'existe  en  effet  qu'un  seul  exposant  h  tel  que    ;/'■  =  mult.p  —  i,    et  l'on  voit,  en  élevant  les  deus  membre 
carré,  que  l'on  doit  avoir    j/8'<  =  mult.  p  ■+■  1 ,    par  conséquent    2/t  :=  p  —  1. 


RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION     X»—  i=0     LORSQUE  p  EST  PREMIER  kïi 

p  —  i 
elles  servent  à  former  les  deux  équations  de  degré     — - —     dont  dépendent  les  racines  de    f(x)  =  0  ; 

elles  conduisent  à  une  propriété  curieuse  du  polynôme  f(x)  dans  le  détail  de  laquelle  nous  n'entrerons 
pas. 

8.  L'autre  cas  est  celui  où,  dans  la  décomposition  de    p  —  1     en  un  produit 
p  —  1  =  m,  m,  ....  m,l_l  m,n 
le  dernier  facteur  m,  est  égal  à  2  ;  je  dis  que  les  équations  résolvantes  de  degrés  mu  m,,  . . . ,  m3_i 

o{{x)  =  0,  <?,(!)  =0,  .  .  .    ,  ?î_,(j;)  =  0, 

ont  toutes  leurs  racines  réelles. 

p  —  ï 
Posons  en  effet     |x  =  m1»i2 ms_,  =  — - —    et  considérons  les  ji  racines   des  équations. de 

degré  mg_, 

o,7-,(x)  =  o,    ?;_,(*)  =  o, 

elles  sont  égales  à  la  somme  de  deux  racines  co  et  ont  pour  valeurs 


,,11—1  „2iJL— 1 

y-' 
comme    g  s    +1     est  divisible  par  /?,  on  a     t»»1''  =  w-1,     tu»1'+l  =  w-j,      . . . .,     <,j»2ll~'  =  to-»11-1,     de 

sorte  que  les  racines  qui  composent  les  sommes  précédentes  sont  respectivement  imaginaires  conjuguées, 
et  leurs  sommes  sont  réelles.  D'autre  part,  les  racines  /,,  y.,,  . . .,  ■/,„  ,  p,,  ....  des  équations  résolvantes 
successives  de  degrés  m,,  »i2l  . . .,  m?_2  sont  constituées  par  des  sommes  de  quantités  au  <r2,  ...,»,,  ; 
elles  sont  donc  également  réelles. 

En  opérant  de  cette  façon  la  décomposition  de    p  —  i,     c'est-à-dire  en  réservant  un  facteur  2 
pour  le  dernier,  on  voit  que  la  résolution  de  l'équation  (1)  se  ramène  à  celle  d'une  suite  d'équations 
résolubles  par  radicaux  dont  les  racines,  ainsi  que  les  coefficients  sont  réels,  et  à  celle  de    ^  ~ 
équations  du  second  degré  à  coefticients  réels  et  à  racines  imaginaires  conjuguées 

,    x2  —  ï,x  -+-1  =  0, 
\    a;2  —  a2x  -h  1  =  0, 


(11) 


■  a^X  -+-  1  =  0. 


9.  Les  quantités  (10)  sont  précisément  les  racines  de  l'équation  dont  dépend    2  cos  —  ;     sup- 
posons en  effet,  pour  fixer  les  idées,  que  l'on  ait  pris  pour  m  la  racine  dont  la  valeur  trigonométrique 

est  =>„  o)„ 

on  a  alors 


(12) 


cos 

P 

sin  ■ 

91  ir 

p 

»i 

=  2  cos 

P 

' 

tj2 

=  2  cos 

2^ 

-- 

3, 

=  2  cos 

w 

"'*. 

.    r  p 

ce  sont  précisément  les  racines  de  l'équation  de  degré    - — - —     à  laquelle  satisfait  2  cos  —  ;    ce  qui 


424  RÉSOLUTION  DE  L'ÉQUATION     -    —1=0     LORSQUE  p  EST  PREMIER 

précède  montre  que  cette  équation  est  abélienne  el  résoluble  par  radicaux  ;  elle  se  ramène  à  'les  équa- 

lions   résolvantes  dont  les  degrés  mt.  nu ni,  ,   sonl  les  facteurs  premiers  de     — - — i    et  dont 

toutes  li"-  racines  sonl  réelles. 

10.  Les  mêmes  sommes    Kl    \  >nt  nous  servir  à  calculer  les  cotés  des  polygones  réguliers 

-  inscrits  dan-  la  circonférence  de  rayon  un  :  ces  côtés,  en  nombre     — : — i    sont  précisément 


Tu  2* 

C],  =  2  sin—  =  V/2  —  2  cos 

C|  =  2  sin  —  =  V    2  —  2  cos  —  • 

/'         N  /' 


■1-  -2lT. 

I      -=  -2  sin  —  =  \    2  —  2  cos  —  : 

/'         N  /' 

les  cosinus  qui  entrent  dans  leurs  expressions  sonl  tous  distincts  el  sont  égaux  à  ceux  qui  entrent  dans 

les  tormules  (12),  par  conséquent  les  côtés  C  .  '- sont,  dans  un  certain  ordre,  représentés  par  les 

expressions 


(«)  v/2^=7„    H  —  *»    ■■■■    /a^v, 

on  en  conclut  ce  résultai  :  Pour  conslrui  5  des  polygones  réguliers  de  p  côtés  inscrits  dans  la 

p  —  1 
ce  de  rayon  un.  on  a  à  construire    — ■ —    lignes  -■,.-. - .  dont  les  valeurs  sonl  n 

et  dépendent  de  l'extraction  de  radicaux  successifs  d'indices  «i,,  m>,  ...,»!,,_,,  puis      - — - —      lignes 
dont  les  vali  ors  sonl  représentées  par  les  expressions    13  , 

On  voit  que  le  problème  de  la  résolution  de  l'équation  binôme  de  degré  p  el  celui  de  l'inscription 
des  polygones  réguliers  de  p  côtés  sonl  liés  inlimemenl  l'un  à  l'autre  el  exigent  l'extraction  d'un  même 
nombre  de  radicaux,  ayant  les  mêmes  indices  :  tandis  que  le  premier  dépend,  après  la  détermination 
de  t,.  -: -,,  de  la  résolution  des  équations    11),  le  sec I  dépend  du  calcul  des  expressions  (13). 

Dans  le  cas  où  les  facteurs  m  sonl  tous  égaux  à  2,  tous  les  radicaux  sont  des  radicaux  carrés,  el 
sont  réels,  on  peul  construire  les  lignes  successives  qui  servenl  à  détermine]  les  polygones  avec  la 
règle  el  le  c pas,  d'où  ce  résultat  important,  donné  par  Gauss  pour  la  première  fois  : 

n,i  peut  inscrire  dans  une  circonférence,  à  l'aide  de  la  règle  et  du  compas,  les  polygones  régulù 
nombre  premier  p  de  côU :\,  lorsque  p  est  de  lu  forme    2   ■+-  I. 

11.  Remarque.  —  La  construction  des  côtés  polygi  aes  réguliers  de  2jo  côtés  esl  plus  simple 
que  celle  des  polygones  de  p  côtés  el  exige  un  radical  de  moins  :  elle  dépend  en  effel  simplement  de  la 
détermination  des  quantités  -,.  -• •;,.  Cela  résulte  de  ce  que  l'on  a 

2-\                      n   -  i  - 
cos  —  =  2  sin  (  — )  =  2  sin  ^—r > 


-  =  2  sin  (  — 


/'  -;         /'  ' 

i- 

P 


fa  {p  —  8;n 

2  cos  —  =  2  sin  — 


P=n*_9mt„  r-%P-i)]r 


/'  -p 

un  raisonnement  simple  montre  que  les  valeurs  absolues  des  seconds  membres  sonl  égales  aux  côtés 
des  polygones  réguliers  de  Zp  côtés  :  ces  derniers  sonl  donc  égaux  aux  valeurs  absolues  de  »i,  at -/• 


ALGÈBRE  425 

l'inscription  des  pentagones  et  des  décagones  réguliers  est  un  exemple  bien  connu  de  ce  cpui  précède. 

On   trouve   dans  l'Algèbre  supérieure  de  Serret  et  dans  les   Leçons  de  Géométrie  élémentaire   de 

M.  Klein,  rédigées  par  M.  Griess,  la  construction  des  polygones  réguliers  de  34  côtés  en  partant  de 

2it 

l'équation  dont  dépend    2  cos  — — ;     dans  mon  livre  sur  la  Résolution  algébrique  des  Equations  on 

douve  le  calcul  des  racines  de  l'équation  binôme  x"  —  1  =  0",  les  remarques  qui  précèdent  per- 
mettent d'en  déduire  immédiatement  les  côtés  des  polygones  réguliers  de  17  et  de  34  cùtés  ;  on  a  a 
construire  des  couples  successifs  de  lignes  dont  on  connaît  la  somme  ou  la  différence,  et  le  produit. 

♦ 

ALGÈBRE 


461.  —  On  considère  un  carré  contenant  n-  cases.  Trouver  combien  il  y  a  de  manières  de  mettre 
n  objets  identiques  dans  n  cases  de  ce  carré,  de  f'aeun  qu'il  n'y  ait  pas  deux  objets  dans  la  même  colonne, 
plusieurs  d'entre  eux  pouvant  être  dans  In  même  ligne.  Etudier  aussi  le  cas  oit  tons  les  objets  sont  différents. 

11  y  a  évidemment  n  laçons  de  placer  l'un  des  objets  dans  la  première  colonne,  puis  n  façons  de 
placer  l'un  des  autres  objets  dans  la  seconde  colonne,  et  ainsi  de  suite.  Il  y  a  donc  en  tout  n"  façons 
de  placer  les  n  objets.  Ce  nombre  est  égal  au  nombre  des  arrangements  complets  de  n  lettres  n  à  n. 
Cela  est  d'ailleurs  facile  à  voir  directement;  écrivons  en  effet  sur  une  ligne  horizontale  n  numéros 
correspondants  aux  objets  placés  dans  les  colonnes  de  rangs  1,  2,  3,  . . .,  n,  et  égaux  aux  indices  des 
lignes  dans  lesquelles  se  trouvent  tous  ces  objets,  nous  obtiendrons  un  arrangement  complet  des 
n  premiers  nombres  entiers  ;  ainsi  à  toute  manière  de  placer  les  n  objets  correspond  un  arrangement 
complet  déterminé  des  n  premiers  nombres  ;  réciproquement  tout  arrangement  complet  de  ce  genre, 
tel  que  112  3  14...,  indique  une  manière  bien  déterminée  de  placer  les  n  objets.  Les  deux  nombres 
sont  donc  bien  égaux. 

Si  les  n  objets  sont  différents,  chacune  des  dispositions  précédentes  donne  naissance  à  n  I  groupes 

distincts  ;  il  y  a  donc  alors  n"n  !  façons  différentes  de  placer  les  n  objets. 

MALPLAT  (pensionnat  de  Saint-Etienne-Valbenoite). 

Bonnes  solutions  :  MM.  A.  Langlois  et  J.  Goujon  (pensionnat  de  Valbenoitc,  à  Saint-Etienne)  ;  K.  Bally  (collège  Stanislas). 
Solutions  satisfaisantes  :  MM.  R.  Delacroix  et  A.  I.aubeaux  (lycée  de  Besançon). 


473.  —  On  considère  l'expression 

i/(.r  +  1  s'"  —  x  1/  -+-  1  ,'"  -+-  x  — ■  y 
xy{x  —  y) 
1"  Montrer  que  le  numérateur  est  divisible  par  le  dénominateur; 

■1"    Truneer  la  limite  du  i/anl ien I  jniar      :r  =  y  =  0; 

3"  Plus  généralement,  trouver  le  polynôme  en  x  qui  représente  ce  quotient  quand  on  fait    y  =  x. 
Le  numérateur  peut  s'écrire,  en  développant, 

y(xm  +  ci„x'"-'  -+-  Q„x'"-2  h h  c;;r2.î2  +  Cît1*  -+-  •;;;;) 

—  xi  y"'  -+-  C^y'"-1  +  Cf„y"--  -+-  •••  +  C;r2;/2  +  Cft-'j/  -+■  C™  -+•  x  —  y, 

xyix'"~'  —  if-'  i  +  <  :;„.r// .,""- 2  —  if"--)  —  — h  <;;:;-  2.n/(x  —  y). 

On  voit  sous  cette  forme  que  ce  polynôme  est  divisible  par  le  dénominateur    xy(x  —  y). 
L'expression  considérée  devient  alors 

rjylll—  1     11"1—  i  «»»1— 2       1|HÎ 2  -7*2     fj'2 

x     -  ''     +  o„ ^_ +  ...  +  c;;r3^ -  +  Ci    . 

x  —  y  a;|—  y  x  —  y 


426  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


Or  pour    y  =  x    le  rapport   —   se  réduit  a    Au-    '  ;    il  en  résulte  que  le  polynôme  en  ar,  qui 


représente  le  quotient  donné  quand  on  fait    )/  —  x,    es) 

,n  —  I  xm  -  +  Ci1(m       i  •  Cl  m  -3)x"'- 

Pour    x  =  0,     ce  polynôme  prend  la  valeur    C"| _s  =  (' 


m(m  —  1) 
2 
BLAZY-LA.COMBE.  lvcée  de  Toulouse. 


OqI  résolu  la  même  question  :  MM.  Ë.  Barré  (lycée  de  Douai):  II.  Bdnnard  (surveillant  général  au  lyrée  de  Bordeaux  :  I  .-J.  Goc- 
ii. \  «I  a.  Langlois  (pensionnat  de  Vaïbenoite,  à  Saint-Etienne)  ;  À.  Laureaux  (lycée  de  Besançon  :  J.  Lhbriaud  lycée  Je  Toulouse)  ; 
G.  A.  Podilliard,  a  Joignj  Yonne);  i'..  Sogot (lycée Saint-Louis  ;  N.  ["randafirescu,  (a  Bucarest,;  Malplai  <-i  i'„  Vercbêbs  (pension- 
nat de  Vaïbenoite,  a  Saint-Etienne). 

♦ 

GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 

471.  —  l.  On  considère,  dans  le  /</"»,  la  droite  (U    définie  par  l'équation 

(1)  u3(x  —  a    +  ;ii/.r  —  2)/  =  0, 

où  a  est  unr  quantité  fixe,  ri  u  un  paramètre  variable. 

Celtedroite,  quandu  varie,  enveloppe  une  courbe  (C  dont  mi  formera  l'équation.  Lu  droite  [Y)  touche 
In  courbe  (C    en  un  point  A  et  la  coupe  on  un  point  B;  <m  calculera  1rs  com-doinrrsilr  ces  /tuinls  ni  fonction 

u 
/!•■  u.  et  Von  montrera  que  les  coordonnées  de  B  se  déduisent  des  coordonnées  de  A  en  y  changeant  n  en  —  —  • 

II.  Parmi  1rs  droites  <  L),  mi  considère  In  droite  particulière  Y  j  dont  on  obtient  l'équation  m  supposant 

u  =  1     dans  l'équation  (1).  Pur  chaque  point  I'  de    V  ,  <m  /imi  mener  deux  tangentes  n  In  courbe   C  . 

autres  que   (V)  :  soient  Q,  Q'  1rs  deux  points  tir  contact;  on   demande,  connaissant  l'abscisse  du  point  I', 

déformer  l'équation  de  In  droite  QQ',  de  déterminer  la  courbe  (E)  enveloppée  pur  cette  droite  quand  le 

point  1"  décrit  lu  droite  (V),  enfin  de  limiter  In  portion  de(E)  qur  touchent  1rs  droites  QQ'  qui  joignent  des 

points  réels  Q,  0'. 

(Bourses  de  licence  1895. 

I.  —  L'enveloppe  de  la  droite  mobile  représentée  par  l'équation  (1),  quand  "  varie,  est  le  lieu  des 
points  (x,  y)  pour  lesquels  l'équation  du  troisième  degré  en  u  a  une  racine  double,  c'est-à-dire  pour 
lesquels  les  équations  obtenues  en  annulant  les  deux  dérivées  partielles  par  rapport  à  u  el  à  la  variable 
d'homogénéité,  ont  une  racine  commune.  Ces  deux  équations  sont 

u2(x  —  a)  -H  x  —  0 
et  »'•  —  y  =  0; 

elles  donnent  de  suite 


1  -+-  «s 

2)  ,  \ 

au3 

11  = 


1  +  u» 

Ce  sont  là  les  coordonnées  du  point  de  contact  de  la  droite  (U)  avec,  son  enveloppe:  ce  sont  aussi, 
quand  m  varie,  les  deux  équations  de  cette  courbe  représentée  algébriquement  à  l'aide  d'un  paramétre 
variable.  L'élimination  de  »  entre  les  équations  (2)  est  immédiate  et  donne  pour  équation  cartésienne 

de  l'enveloppe 

3  ,  ,-'    t-  y']  -  a,f  =  0;       C 

on  reconnaît  la  la  cissoïde  de  Dioclès  rapportée  h  ses  axes  ordinaires. 

Désignons  maintenant  par  /  le  paramètre  du  point  mobile  qui  décrit  la  courbe  (C)  et  cherchons  les 
points  de  rencontre  de  cette  courbe  avec  la  droite  (U)  qui  correspond  a  une  valeur  particulière  u,  c'est- 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


4-27 


à-dire  exprimons  que   x  = 


satisfont  à  l'équation  de  la  droite  0  :  nous  aurons  ainsi 


1  +  t2         J         i  -+-  i 

l'équation  aux  paramètres  des  points  de  rencontre, 

2/s  —  Sut-  -+-  m3  =  0. 

Cette  équation  admet  la  racine  double     t  —  u    et  la  racine  simple     t  = :    la  racine  double 

donne  le  point  de  contact,    A,    la  racine  simple,  le  point  de  rencontre  ordinaire,  B;  les  coordonnées 
du  poinl  B  sont  donc 


w 


.'/  = 


(B) 


■1  u2  -+-  i 

II.  —  L'équation  de  la  droite    (V)      u  =  1)  est 

Ax  —  2y  —  a  =  0; 
en  désignant  par    À  l'abscisse  d'un  point  P  quelconque  de  celte  droite,   l'y   du  point   P   est     — ; 

nous  aurons  alors  les  paramètres  des  tangentes  qui  passent  au  point  P,    en  exprimant  que  la  droite  1 1 

4À  —  a 
passe  par  ce  point,  c'est-à-dire  que  son  équation  est  vérifiée  par    x  =  >.,    y  = ;    nous  obtenons 

ainsi 

(/.  —  a)u3  -i-  3Xm  —  4>.  -+-  a  —  0, 

équation  qui  admet  évidemment  la  racine  i,   puis  les  deux  racines  de  l'équation  du  second  degré 
(5)  {l  —  a)u*  -h  (X  —  a)  u  +  4X  —  a  =  0. 

Cette  équation  donne  les  paramètres  t  et  t'  des  deux  autres  tangentes  qui  passent  au  point  P.  En 
portant  ces  valeurs  t  et  /'  à  la  place  de  u  dans  les  équations  (2),  on  obtient  les  coordonnées  des  deux 
points  de  contact   Q  et  Q'. 

L'équation  de  la  droite  qui  unit  ces  deux  points  est  alors 

x        y  1 

at2      ni3      /2+l     =0; 
al2     al'*      t'2-i-i 

en  développant  cette  équation  et  divisant  le  premier  membre  par    t  —  t',    on  peut  écrire  ainsi  qu'il  suit 
l'équation  de  cette  corde  des  contacts 

77"  -t-   t  ■+-  l'y  —  tf]x  —  t  -+-  l')y  —  aW1  =  0  ; 


il  suffit  d'y  remplacer    t+t    par    —1     et  tl'  par 


pour  avoir  l'équation  de  la  droite   QQ'; 


â  —  a 
on  trouve  ainsi 

(6)  13"/2  —  5rtÀ  -t-  rt-  ./•  -+-  (À  —  afy  —  a(il  —  a)1  =  0. 

Mais  il  vaut  mieux,  après  avoir  remplacé     t -h  i'  par—  1,     garder   tl'   comme  paramètre  variable  ; 
l'équation  de  la  droite  s'écrit  alors 

// '■  x  —  a)  —  tt'x  +  x  -+-  y  =  0, 
et  il   suffit  d'exprimer  que  cette  équation  du  second  degré  en    II'   a  une  racine  double  pour  avoir 
l'enveloppe.  On  trouve  ainsi  la  conique 

(7)  A(x  —  a)'x  -+-  y)  —  x2  —  0: 


428 


PHYSIQUE 


cette  courbe  passe  à  l'origine,  3  admet  pour  tangente 
la  droite  a:-f-y  =  0;  de  plus  elle  admel  pour 
asymptote  la  limite    x  —  ».    pour  centre  le  point  de 


irdonnées 


x  =  a,    y  =  —-â- 


et  pour  autre 
3 


direction   asymplolique   la   direction      7  =  -     -r  x; 

1 

elle  esl  donc  facile  à  construire. 

Il  nous  reste  à  reconnaître  maintenant  quels  sonl 
les  arcs  de  cette  courbe  qui  sonl  touchés  par  dos 
droites  QQ'  joignant  des  points  réels  de  la  courbe  C  . 
Pour  que  les  points  Q  el  Q  soient  réels,  il  faut  que 
l>  -  valeurs  de  I  el  l'  soient  réelles,  ce  qui  conduit  à 
X  —  a)*  —  A  X— a)|  \i  —  »        0, 

ou  (X  —  a)2    I  -  '•  "  >  0, 

i)  —  a 
ou  enfin,  comme =  tt , 


i  —  ili       0. 

(  lr  pour  les  points  de  l'enveloppe  l'équation  du  second  degré  en  il'  a  une  racine  double;  on  a  donc 
pour  chacun  de  ces  points, 

/  x 

~  2;.r—  a)' 
el  la  condition  que  doivenl  vérifier  les  points  cherchés  >ur  l'enveloppe  devienl 

x  —  a   — x  —  a)  >•  0, 
ou  û  11. 

Cette  condition  n'est  remplie  que  pour  les  points  situés  entre  les  deux  parallèles  à  Oj/,    x  —  a  =  0 
el     x       -i       11.    ei  pour  les  points  situés  sur  ces  droites. 

\i  zeram    h  Montpellier  . 

Bo s  solutions  :  MM.    \.    Causse  (à   Castres);  Malplat    pensionoat  de   Valbenolte,  h  Saint-Élienne);   .1.   Lhériauo 

m ^  satisfaisants  :  MM.  II.  Lacohbe    lycée  de  Toulouse  :  G.   Sogot    lycée  Saint-Louis) ;    \.  I  lunEAU.x    lyci  B 


PHYSIQUE  ET  CHIMIE 


350.  Etudier  l'éclairemeni  produit  aune  distance  très  grande  L  par  un  projecteur  formé  d'un 
objectif  infiniment  mince,  de  surface  v  et  de  distance  focale  F,  el  muni  d'une  source  lumineuse  de 
surface  s  et  d'éclat  intrinsèque  uniforme  !•'..  placée  normalement  à  l'axe  tout  près  il»  foyer  Considérer, 
m  particule  < .  /  im  ige  donnée  par  »»  objectif  récepteur,  de  surface  S  et  de  foyei  I  ".  installé  »  I»  distance 
L   en  regard  de  l'objectif  transmelh  ur;  di  fin  l'effet  produitpar  »»  oculaire  servant  »  examiner 

cette  image.  On  négligera  les  j)erte&  de  lumière  par  absorption  et  par  réflexion. 

École  Normale  supérieure,  1894.) 

Suivons,  pour  traiter  la  question,  la  méthode  indiquée  dans  la  solution  de  la  question  386  avril  L893  . 

La  quantité  de  lumière,  </.  que  reçoit  un  élément  de  surface  s,  situé  à  la  distance  L,  est  passée, 
av  inl  de  se  réfractei  dans  l'objectif  transmetteur,  par  l'élémenl  conjugué  <•>  situé  à  une  distance  a  de 
cel  objectif  el  à  une  distance  »  de  la  source  lumineuse.  D'après  les  conditions  énoncées,  celle 
distance  »  esl  nécessairemenl  très  petite,  et  une  partie  seulement,  -r,  de  la  source  lumineuse,  intervienl 


PHYSIQUE  429 

dans  le  phénomène;  il  en  résulte  l'expression 

Etua 

r'=—- 

_  (i)  ffl2  t  a2 

Or  on  a  —  —  —  et  —  = 

t  L2  S  a* 

Remplaçons  tu  et  a  par  leurs  valeurs,  il  vient 

ES 

L'éclairement  est  donc  le  même  que  celui  que  produirai!  l'objectif  s'il  avait  le  même  éclat  que  la 
source,  et  nous  pouvons  substituer  au  système  le  disque  lumineux  d'éclat   E  et  de  surface    S. 
Ce  disque  envoie  sur  le  récepteur  une  quantité  de  lumière 

qui  se  répartit  ensuite  sur  une  image  dont  la  surface  est 

/    f'   y  f'2 

S  I —  1  ou  sensiblement  S  —  ■ 

L'éclairement  de  cette  image  est  représenté  par  le  quotient  de  ces  deux  quantités  qui  est  égal  à 

es; 

Cette  image  étant  sensiblement  au  foyer,  on  peut  dire  que  son  éclairement  est  le  même  que  s'il 
était  produit  par  le  récepteur  S'   supposé  pourvu  de  l'éclat   E. 

La  dernière  partie  du  problème  n'est  autre  que  la  question  de  la  clarté  dans  une  lunette  astro- 

t 

nomique  :  si  on  examine  l'image  avec  un  oculaire  de  puissance  —  >   on  verra  un  disque  de  surface 

S  F'2 
apparente  —  —  dont  l'éclat  paraîtra  égal  ou  inférieur  à  E  suivant  que  la  pupille  de  l'observateur  sera 

L"    / 
plus  petite  ou  plus  grande  que  le  cercle  oculaire  de  la  lunette. 


465. —  Un  piston  sans  frottement  de  poids  u,  de  section  S,:,J,  repose  sur  le  fond  d'un  cylindre  vertical 

ouvert  à  sa  partie  supérieure  dans  l'atmosphère.  Dans  le  fond  se  trouve  une  soupape  qui 

met  le  cylindre  en  relation  avec  une  chaudière  de  capacité   Y  litres  qui  contient  Mks   d'eau 

et  de  vapeur  et  qui  est  maintenue  à  une  température  constante  T  à  laquelle  correspond  une 

pression  de  vapeur  de   Pkg   par  centimètre  carré. 

Le  cylindre  est  chauffé  aune  température   ï\   telle  que  : 

1"  La  pression  P^b  par  centimètre  carré  correspondante  soit  exactement  celle  qui  est 

transmise  par  le  piston  ; 

2"  La  différence  P—  I\  soit  exactement  celle  qui  est  nécessaire  /mur  le  fonctionnement  de  la  soupape. 

On  demande  de  calculer  le  déplacement  du  piston . 

Exercice  numérique  :         V  =  30  litres,  T  =  165",  P  =  7kS,13, 

M  =  lkg,  T,  =  144°,  n  =  1000ks. 

Rayon  dit  piston  :  R  =  31™, 43 

Densité  de  la  vapeur  d'eau  :  d  =  0,622 

Coefficient  de  dilatai  nui  des  gaz  :  a  =  0,00367 

(École  Centrale,  1895,  S' session. 

La  masse  d'eau    M    doit  remplir,  à  l'état  de  vapeur,  le  volume    V    à  la  température    T   et  à  la 
pression  P,    et  le  volume   S.r  à  la  température    l\  et  à  la  pression   P,. 


«0  PHYSIQUE  ET   CHIMIE 


Appelons  P0  la  pression  normale,  que  nous  supposerons  régner  sur  la  face  supérieure  du  piston  ; 
la  pression  transmise  par  celui-ci  sera    P0  -+-  — •    Nous  pouvons  donc  écrire  l'équation 

p    i  p»+-i     t 

M        Vd.  0,001293 Sarrf.  0,001293 


P„  1-4-  xT  P0       1  +  «T, 

Pour  faire  l'application  numérique,  nous  évaluerons  x  en  centimètres,  S  en  centimètres  carrés, 
V  en  centimètres  cubes  el  M  en  grammes;  V  sera  donc  égal  à  30000,  M  à  1000;  les  autres  nombres 
seronl  ceux  de  l'énoncé;  l'„.  évalué  en  kilogrammes  par  centimètre  carré,  esl  égal  à  1,0336. 

On  trouve  ainsi  : 

1"  pour  le  poids  dr  vapeur  contenu  dans  la  chaudière  :  103s-'r,r>r>  ; 

2°  pour  le  déplacemenl  demandé  :  418cm,46. 

11  importe  d'observer  que  ce  déplacemenl  est  un  maximum,  car  il  résulte  de  l'énoncé  qu'il  y  a 
équilibre  pour  toute  position  du  piston  inférieure  à  la  position  calculée  et,  en  particulier  pour  la  position 
initiale. 

De  plus  il  semble,  d'après  l'énoncé,  que  la  pression  l\  dût  être  la  tension  maxima  correspondant  à 
la  température  T4;  or  il  s'en  faul  de  beaucoup  que  les  données  numériques  satisfassent  à  cette 
condition. 


466.  —  On  chauffe  H)-r  de  phosphore  avec  un  excès  de  sulfure  de  baryum  et  d'eau.  Les  gaz  dégagés 
sunl  reçus  dans  une  dissolution  préparée  en  attaquant  1006'  d'argent  /nu-  par  l'acide  azotique,  étendant 
d'eau  et  ajoutant  un  excès  d'ammoniaque .  On  demande  : 
1"  l.n  nature  du  précipité  qui  se  forme; 

2"  Le  poids  d'argent  dissous  restant  dans  la  liqueur  ammoniacale. 
H  =  1,  0  =  16,  S  =  32,  Az  =  14,  P  =  31,  Ag  =  108,  lîa  =  137. 

École  Centrale,  1895,  S'  session. 
On  a  les  réactions  : 

r{8P      3BaS      12II20  =  3(P02H2)aBa  -t-  3H!S-i-  2PH8}, 

3a?JHsS  +  2Az03Ag  =  2AzOsH  +  Ag  S}, 
2a;jPH8  +  ,SAz03Ag  + 411-0  =  8Az03H  -+-  P0*H»  4-8Agj, 
le  coefficient  x  étanl  déterminé  par  le  poids  du  phosphore  : 

8x31Xï=  10. 
Le  précipité  se  compose  donc  de  sulfure  d'argent  contenant  un  poids  d'argent     6xl08x#    et 
d'argent  libre  pesant     16xl08xa\     En  remplaçant  a;  par  sa  valeur,  on  trouve  ainsi  95sr,8  d'argent; 
il  en  reste  donc  4sr,2  dissous  dans  la  liqueur  ammoniacale. 

M.  1-.  Goujon,  pensionnat  de  Saint-Étienne-Valbenolte,  a  résolu  la  question  en  supposant  que  l'hydrogène 
phosphore  produisait  un  dépôt  de  phosphure  d'argent,  comme  l'indiquent,  en  eiïet,  quelques  auteurs.  On  trouve, 
dans  celle  hypothèse, que  le  précipité  total  renferme  52s'',26  d'argent  et  qu'ilen  reste,  par  conséquent  k~*',~A  à  l'état 
dissous. 


505.  —  Les  températures  étant  évaluées  avec  le  thermomètre  à  hydrogène,  le  coefficient  moyen  de 
dilatation  du  mercure  de  ()"  à  /"  est  donné  par  la  formule  empirique 

m  =  a  -i-  bt,  a  =  179x10-*,  b=  2522  X  io  " 

et  le  coefficient  de  dilatation  du  verre  pur  la  formule 

k  =  y.  +  $1,  a  =  26  x  10  fl  p  =  147")  x  10  " . 

On  demande  quelle  est,  à  300"  du  thermomètre  à  hydrogène  : 


QUESTIONS  PROPOSÉES  431 


1°  La  température  f  qui  serait  indiquée  par  un  thermomètre  fondé  sur  la  dilatation  réelle  du  mercure; 

2°  La  température  P  indiquée  par  un  thermomètre  à  mercure  ordinaire. 

Les  différents  volumes  d'un  même  corps  étant  : 

V0    à  la  température  de  la  glace  fondante, 

Vioo  à  la  température  de  l'eau  bouillante. 

V     à  la  température  t  d'une  échelle  thermométrique  quelconque, 
on  sait  que  la  température  0  qu'indique  ce  corps,  choisi  comme  thermométrique,  lorsqu'il  occupe  le 
volume  V,  est,  par  définition, 

(*)  e  =  »oo  v^v; 

1°  Le  corps  thermométrique  est  le  mercure  : 

y  =  MQaH-'°"  =  a08',84. 

a  -+-  100b 

2°  Le  corps  thermométrique  est  le  mercure  dans  le  verre. 

Dans  la  formule  (1),  les  V  désignent  les  volumes  apparents  du  mercure,  définis  par  l'égalité 

1  +  ?»/ 


V  =  V, 


1  -h  Aï 


1  -H  100a  +  100003        a—  a  -t-  300:  b—  Si 

6"  =  300  X ï7, ^X — ; =  302°,  10. 

14-  300a  -+-  900003       a—a-h  100  b—'i) 


R.  DELACROIX. 


CONCOURS  DE  1896 

Concours  généraux  de  mathématiques  spéciales 
Mathématiques  'Paris  et  départements 

518.  —  On  donne  une  ellipse  E  qui,  rapportée  à  ses  axes  de  symétrie,  a  pour  équation 

a2       V  ~    ■ 

\°  On  considère  des  ellipses  S  dont  les  axes  coïncident  en  position  avec  ceux  de  l'ellipse  E  et  ont  2A,  2B 
pour  longueurs. 

Trouver  la  relation  qui  doit  lier  A  et  B  pour  qu'on  puisse  inscrire  dans  E  une  infinité  de  triangles  PQR  cir- 
conscrits à  S  et,  dans  ces  conditions,  le  lieu  des  sommets  des  rectangles  touchant  les  ellipses  S  en  leurs  sommets. 

Montrer  que,  dans  les  mêmes  conditions,  les  normales  à  E  aux  points  P,  Q,  Il  concourent  en  un  point  N. 

2°  Examiner  si  les  ellipses  S  obtenues  au  n°  l  représentent  toutes  les  ellipses  concentriques  à  E  et  telles  qu'on 
puisse  inscrire  dans  E  une  infinité  de  triangles  PQR  circonscrits  à  S,  les  normales  à  E  aux  points  P,  Q,  R  étant 
en  outre  concourantes. 

3°  Montrer  que  parmi  les  ellipses  S  obtenues  au  n"  I  il  y  en  a  pour  lesquelles  les  normales  PN,  QN,  RN  aux 
points  P,  Q,  R  de  l'ellipse  E  passent  respectivement  par  les  pôles  P',  Q',  R',  par  rapport  à  E,  des  cotés  QR,  RP, 
PQ  du  triangle  PQR. 

4°  L'ellipse  S  satisfaisant  aux  conditions  énoncées  au  n°  3,  trouver  le  lieu  des  centres  des  cercles  conjugués 

aux  triangles  P'Q'H',  l'enveloppe  de  ces  cercles  et  le  lieu  des  points  de  concours  N  des  normales  PN,  QN,    RN  à 

l'ellipse  E. 

22  mai,  de  8  h.  l/S  à  4  h.  ljs.) 


QUESTIONS    PROPOSÉES 


519.  —  On  considère  une  ellipse  E  et  une  droite  1  ;  par  un  point  quelconque  M  de  i  on  mène  les  tangentes 
à  E;  soient  P  et  Q  les  deux  points  de  contact.  Les  normales  à  E  en  P  et  Q  se  coupent  en  un  point  N  ;  de 
ce  point  on  peut  mener  deux  autres  normales  dont  les  pieds  sont  désignés  par  P'  et  Q'.  Le  cercle  circonscrit  au 
triangle  MPQ  rencontre  l'ellipse  en  deux  autres  points  P"  et  Q",  et  les  normales  en  ces  points  se  coupent  en 
un  point  N'  d'où  l'on  peut  mener  deux  autres  normales  à  l'ellipse  ayant  pour  pieds  P'"  et  Q'".  Soient  alors  M. 
M",  M'"  les  pôles  respectifs  des  droites  PQ',  P"Q",  P"'Q"'  et  I,  I',  1",  1"'  les  projections  des  points  M,  M',  M  .  M 
sur  les  droites  PQ,  P'Q',  P"Q",  P'"u"'.  On  demande: 


432  GÉOMÉTRH 


1°  Les  lieux  des  peints    M',    M ",    M     ; 

2    Les  enveloppes  des  droites   P'Q',    P"Q",  Ml,  MT,  M'T"; 

3°  Les  lieux  des  points  de  rencontre  de  MT  avec  PQ,  de  MT  avec  Ml,  de  Ml  avec  PQ  et  de  MI  avec  P'Q'. 

Examiner  ce  que  deviennent  ces  lieux  quand  A  varie. 

Trouver  le?  enveloppes  des  lieux  précédents  quand  a  se  déplace  parallèlement  à  elle-même  ou  passe  par  un 
point  fixe.  E.-N.  Barisien. 

520.  —  liant  données  trois  coniqueset  une  droite  D,  si  l'on  joint  un  point  M  aux  points  de  rencontre  de 
ces  coniques  .n  ec  la  droite  on  obtient  trois  nouvelle-  i  ordes.  Montrer  que  le  lieu  des  points  M  pour  lesquels  ces 
trois  cordes  sont  concourantes  est  la  jacobienne  du  roseau  défini  par  les  trois  coniques. 

Enoncer  la  proposition  corrélative. 

Enoncer  et  démontrer  les  propositions  analogues  dans  l'espace. 

\  isnii  u   lycée  de  \  ersailles  . 

521. —  On  donne  deux  axes  rectangulaires  (t.-,  Oy;  (inconsidéré  une  conique  variable  (C)  ayant  ses 
foyers  réels,  l'un  sur  Ox,  l'autre  sur  Oy,  dont  la  longueur  de  l'axe  non  focal  est  constante  et  égale  à  2/*  et  dont  le 
cercle  orthoplique  passe  parmi  point  fixe  A.  On  demande  : 

1  Le  lieu  du  centre  de  la  conique  (C)  ; 

2  L'enveloppe  des  axes  de  la  conique   C  . 

I  Cette  enveloppe  se  compose  de  deux  paraboles  i1  ,  Q),  En  supposant  que  le  point  A  devienne  variable, 
quels  sont  les  lieux  que  doit  décrire  ce  point  pour  que  la  parabole  (P)  ou  la  parabole  Q  ait  un  paramètre  inva- 
riable el  égal  à    p  .' 

4°   Trouver  l'enveloppe  des  directrices  de  laconique  (C)  correspondant  aux  foyers  réels. 
5°  Celte  enveloppe  se  compose  de  deux  paraboles   p,  .    Q,    dont  les  directrices  sont  parallèles.  En  supposant 
que  le  point  A   devienne  variable,  trouver  le  lieu  décrit  par  ce  point  quand  la  dislance  qui  sépare  les  directrices 
des  paraboles  [P,),  (Q,    est  constante  et  égale  à  d.  Examiner  le  ras  particulier  où     il  =  46.  j. 

Auzerah    à  Montpellier  . 
— ♦ — 


DEUXIEME     PARTIE 


GEOMETRIE   ET   GEOMETRIE    ANALYTIQUE 

Solution  géométrique  de  la  question  477.  —  Lieu  du  point  de  concours  des  hauteurs  d'un 
triangle  êquilatéral  de  grandeur  variable  inscrit  dans  un  triangle  rectangle  donné. 

Je  vais  résoudre  la  question  suivante,  évidemment  plus  générale  : 
Une  figure    F  reste  semblableà  elle-même,  et  trois  de  ses  points  décrivent  trois  droites;  trouver  le  lieu 
d'un  quatrième  point. 

Soient  P,  Q,  R  les  trois  points  de  la  ligure  F  qui  décrivent  les  trois  droites  BC,  CA,  AB.  Les  trois 
cercles  circonscrits  aux  triangles  AQR,  Bill',  CPQ  se  coupent,  comme  il  est  très  facile  de  le  démontrer, 
en  un  même  point  .... 

Les  angles  EtwQ,  QcoP,  PuR,  suppléments  respectifs  des  angles  A,  C,  B,  sont  constants  et,  par 
suite,  dans  le  mouvement  de  la  figure  F,  le  poinl  <o  reste  homologue  à  lui-même. 

Des  lors  les  angles  RPw,  QRu,  PQ«i  sonl  des  angles  constants,  puisqu'ils  restenl  homologues  à 
eux-mêmes;  or  l'angle  EtPw,  par  exemple,  es1  égal  à  l'angle  RBto,  comme  inscrits  dans  le  même 
segment.  La  droite  B«)  est  donc  lixe,  et  il  en  est  de  même  do  Aw  et  Ci»,  ce  qui  prouve  que  le  poinl  <■> 

est  lixe. 

Unsi  il  existe  un  poinl  de  la  ligure  mobile  qui  demeure  fixe  dans  le  mouvement. 

Dès  bus  soii  M  un  point  quelconque  de  la  figure  mobile.  Le  rapport       ■   élanl  constant  ainsi  que 

le  MioP,   le  lieu  du  poinl    M  s'obtient  en  prenanl  une  figure  homothétique  du  lieu  de   P,   avec  le 

u)M 
rapport  d  hoiiioiiieiie      -,     ri  faisant  tourner  ce  lieu  d'un  angle  égal  à  MtoP. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  433 


Le  lieu  du  point  M  est  donc  une  droite. 

(La  théorie  des  figures  qui  se  meuvent  en  restant  semblables  à  elles-mêmes  se   trouve  dans 

l'ouvrage  bien  connu  de  Petersen.) 

J.  RICHARD,  Professeur  au  Lycée  de  Tours. 


488.  —  On  dorme  un  point  fixe  A  et  une  droite  fixe  MX  ne  passant  pas  par  ce  point.  Deux  droites 
AR.  AC,  de  coefficients  angulaires  m  et  m\  passant  par  le  point  A  rencontrent  la  droite  MX  aux  points 
B  et  C. 

1»  Ecrire  l'équation  générale  des  cercles  S  passant  par  les  trois  points  A,  B,  C. 

2°  On  suppose  que  AR  et  A.C  tournent  autour  de  A  en  faisant  entre  elles  un  angle  constant  0.  On 
demande  le  lieu  des  centres  des  cercles   S. 

3°  On  mène  des  tangentes  en  A.  li,  C  aux  cercles  S.  L'angle   0    restant  constant,  on  demande  le  lieu 

des  points  de  rencontre  deux  à  deux  de  ces  tangentes  et  on   demande  de  discuter   la   forme  de   ce   lieu 

quand  8  varie  de  0  à  180°. 

[Ecole  des  Mines  de  Saint-Etienne,  i  S95. 

1°  Prenons  deux  axes  rectangulaires  passant  au  point  A,  l'axe  des  >j  étant  parallèle  à  la  droite  MX. 
et  désignons  par  a  l'abscisse  de  celte  droite.  Les  équations  des  droites  AR  et  AC  étant 

y  —  mx  =0,  y  —  m 'x  =  0, 

les  coordonnées  des  points  B  et  C  sont  respectivement  (a,  ma)  et    a,  m'a  . 
L'n  cercle  quelconque  passant  par  l'origine  a  pour  équation 

x-  -+-  y2  -4-  àj:  -t-  \t.y  =  0  : 
en  écrivant  que  cette  équation  est  vérifiée  par  les  coordonnées  des  points  B  et  C,  nous  avons 

a[{  -+-  ?ks)  -4-  X  -t-  ixm  =  0, 
a(l-hwi'2)4-À+  [W  =  0, 
d'où  nous  tirons  sans  dilliculté 

'/.  =z  n  mm'  —  1),  a  =  — a  ni         m     , 

11  en  résulte  que  l'équation  générale  des  cercles  S  esl 

j.'  —  »/-  +  ax  mm'  —  1)  —  ay  m  -i-  m'    =  0.  (S) 

2°  Xous  aurons  le  lieu  demandé  en  éliminant  m  et  m:  entre  les  équations 


X  =  —  ;'I  —  mm    , 

.'/  =  ~    '" 

m  —  m 

1  -h  mm 

o  —  :it: 

« 

a 

(m  -i-  m')2  —  imm'       iif2  - 

-  i"  te  - 

" 

On  en  tire 

(1  -+-  mm  4(a-  —  a  -' 

L'équation  du  lieu  est  donc 

a-2  tg2  0  —  y2  —  2ar(l-Mg-0    -t-  a*(l  +  tg2  6    =  il. 

ou  cs  +  j/a  = (x  —  ay. 

cos2  9 

Elle  représente  une  hyperbole  qui  a  pour  foyer  le  poinl    A.    pour  directrice  correspondante  la 

\ 
droite  MX  et  pour  excentricité  la  valeur  absolue  de 

cose 


434  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


3°  Lo  point  de  rencontre   des  tangentes  aux   points   B   et   C  est  le  pùle  de  la  droite   MX,   les 
coordonnées  de  ce  poinl  vérifient  les  équations 

ii- -\- ni  m  m  —  l        ,i.riiuii  —\  — ".'/'" 


Nous  en  Lirons 


1                                          —  a 

iy  —  a  m  -f- m     =  0. 

2'/                              -'/'"  —  " 
///    =  — —,              nuit    =  — ; ; " 

a                                    ■•  •  ■  -h  a) 

us  la  relation 

(m-+-m')3 —  'mini 

lltlll     —    ly2 

■ii/-      4  ùy'-  —  a(x  —  a 

x- 

a2                a[x  -+-  a)                4  j/!  -t-  ":  (x*  —  o") 

—  ir 

py2  —  a{x  —  a)  |                      4(j/î  +  o!  ! 
|_.      a{x-ha) 

'/- 

+  as 

' 


nous  obtenons         tg!  0  = 

ou  r-  cos-  0  —  '/'-  sina  (|  —  <r  =  0. 

Telle  esl  l'équation  du  lieu  du  point  de  rencontre  des  tangentes  en  B  et  C  au  cercle  S. 
Cette  équation  représente  une  hyperbole  rapportée  à  ses  axes;  on  étudie  aisément  les  variations  de 
cette  courbe,  quand  8  varie  de  0  à  180°. 

Considérons  maintenant  le  point  de  rencontre  des  tangentes  aux  points  A  et  P.:   c'est  le  pôle  de  la 
droite     Al!  y—  mx  =  0),     ses  coordonnées  vérifient  les  équations 
i.r  |  a  mm'  —  1        2>/  —  a{m  -t-  m' 
—  m  1 

■ii  mm'  —  1)  —  «.'/''"  -;-  '»  I  =  0, 
«mi  2(x-^-myi  —  a(m-  -t- 1  j  =  0, 

x{mm'  —  1  )  —  y  (m  -+-  m!)  =  0. 
Le  lieu  du  poinl  de  rencontre  des  tangentes  en  A  et  B  s'obtiendra  en  éliminant  m  el  m   entre  les 

équations   t   et  la  suivante  : 

w  —  m! 

lui  ajoutant  les  équations    l)  membre  à  membre,  nous  avons 

(3)  a  ntm'+l   +  y  '"  —  '"    —  "(»i2  +  4)  =  0. 

t  Ir  de  l'équation  -J  on  tire 

m  —  m!         1  -H  min'  l  -h  nr 

tg  fj  1  ~~  m  tg  0  -+- 1  '   • 

en  tenant  compte  de  ces  relations,  l'équation  (3)  peut  s'écrire 

x  -+-  y  tg  0  —  a  m  tg  8  +  li  =  0. 
Il  nous  est  alors  facile  d'éliminer  m  entre  cette  équation  et   la  première  des  équations  (1  .  Nous 

obtenons  ainsi,  toutes  réductions  faites, 

a?»  —  y-  tg'2  8  —  2œri  1  -+-  tg2  8 1  +  <;'2(1  H-  tgs  B)  =  0, 

ou  x*-hy-  =     .    ,     (x—  a)*. 

sur  i, 

Cette  équation  représente  une  hyperbole  ayant  pour  foyer  le  point   A,    pour  directrice  correspon- 
dante la  droite   mn  et  pour  excentricité  la  valeur  absolue  de 

1  sin  8 

Cette  hyperbole  est  aussi  le  lieu  du  point  de  rencontre  des  tangentes  en  A  et  C  au  cercle  S. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


435 


Solution  géométrique.  —  2J  Soit  0  le  contre  d'un  cercle  S;  abaissons  OD  perpendiculaire  sur  MN  et 
menons  les  droites  ()B  et  OA.  Nous  pouvons  toujours  supposer  que  0  désigne  l'angle  aigu  des  droites  indéfinies 
AB  et  AC  ;  dans  le  triangle  rectangle  OBD,  l'angle  0  est  égal  à  0  et  nous  avons 

OD  =  OB  cos  0, 
OA  _      1 
0,1  OD  _  cos  8' 

cette  égalité  montre  que  le  lieu  du  point   0   est  une  hyperbole  qui  a  pour  foyer  le  point   0    et  pour  directrice 
correspondante  la  droite  MN. 

3°  Considérons  d'abord  le  point  Q  intersection  des  tangentes  en  B  et  A, 
et  abaissons  QE  perpendiculaire  sur  MN.  L'angle  B  du  triangle  rectangle 
QBE  est  égal  à  l'angle  BOD,  comme  ayant  leurs  côtés  perpendiculaires,  donc 
QBE  =  8,     et  par  suite 

QE  =  Qlî  sin  8  =  QA.  sin  8 
QA   _     1 
6  QE  —  sin  8' 

Le  lieu  du  point  Q  est  une  hyperbole  ayant  pour  foyer  le  point  A  et  pour 
directrice  correspondante  la  droite  MN. 

Le  point  B,  intersection  des  tangentes  en  A  et  C,  est  également  situé 
sur  cette  hyperbole. 

Pour  avoir  le  lieu  du  point  P,  abaissons  du  point  A  des  perpendiculaires 
AF,  AG,  AH  respectivement  sur  les  droites  BC,  BP  et  CP.  Un  théorème  bien 
connu  de  géométrie  élémentaire  nous  donne 

AGXAII  =  ÂF  =  a2. 

Si  l'on  mène  par  le  point  A  des  droites  Al  et  A.l,  respectivement  parallèles  aux  droites  BP  et  CP,  les  dis- 
lances du  point  P  à  ces  droites  sont  visiblement  égales  à  AG  et  AH.  Le  produit  de  ces  distances  est  donc  cons- 
tant ;  comme,  d'autre  part,  les  droites  Al  et  A.l  sont  fixes,  puisque  les  tangentes  aux  points  B  et  C  font  un 
angle  constant  avec  la  droite  MN,  on  voit  que  le  lieu  du  point  P  est  une  hyperbole  ayant  pour  asymptotes  les 
droites  Al  et  A.J. 

Louis-Joseph  GOUJON,  pensionnat  de  Valbenolte,  à  Saint-Etienne. 

Ont  résolu  la  môme  question  :  MM.  E.-N.  Barisien;  J.  Blandin,  à  Melay  ;  A.  Guillehinot,  pensionnat  Saint-Louis,  à  Saiut- 
Elienne;  A.  Langlois,  pensionnai  de  Valbenoile,  à  Saint-Etienne;  L.  Mabtaod,  lycée  de  Versailles  ;  Y.  I'kgoiuer.  étudiant  à  Toulouse. 


489.  —  Soient  Or,  0;/  deux  axes  rectangulaires.  Ox  porte  un  segment  fixe  AA'  :  OA  =  OA'  =  a  ; 
Or/  porte  un  segment  variable  BB'  :  OB  x  OB'  =  k2.  On  considère  les  coniques  (C)  passant  par  les  quatre 
points  A,  A',  B,  B'  et  tangentes  à  une  droite  fixe  a  parallèle  à  Ox. 

1°  Montrer  que  les  coniques  (C)  restent  tangentes  à  une  parabole  (P). 

2°  Trouver  le  lieu  des  centres  îles  ci, niques  C  . 

3°  Soient  0  le  centre  d'une  conique  (C)  et  M  lepoint  où  celle  conique  louche  laparabole  [P]  :  trouver 
le  lieu  du  second  point  de  rencontre  de  la  droite  OM  avec  la  conique  (C). 

Désignons  par  l  l'ordonnée  de  la  droite  fixe  parallèle  à  Ox  et  par  X  l'abscisse  du  point  de  contact 

de  cette  droite  avec  la  conique  variable   C).  L'équation  d'une  conique  passant  aux  points  A  et  A'  est 

x2  —  a2  -+-  Zkxy  H-  Bg2  -+-  2Cj/  =  0  ; 

exprimons    qu'elle    coupe     Og    en    deux   points    B   et   B',    tels    que     OB .  OB'  =  k-,     nous    aurons 

a2 
B  =  — ji  ;    enfin  coupons  par  la  droite    g  =  b    et  exprimons  que  1  équation  aux  abscisses  des  points 

de  rencontre  est  identique  à    {x  —  X)2  =  0    ou    x2  —  2Xx-t-X2=0,   nous  aurons  ainsi    Ab  =  —  X     et 
—  a2 —  h-  2Cb  =  À2  ;     d'où,    immédiatement,      A  = -,      iCb  =  À-  -+-  a2  h — —  !     par    consé- 
quent, l'équation  générale  des  coniques  (C  l  est 
«       c,,     xg         <rg2 


1 


X  étant  un  paramètre  arbitraire. 


k2 


X2 


u2lr 


-4 — «2  =  o, 


436  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


i°  Si  nous  regardons  l'équation    1    comme  déterminant  les  >.  des  coniques  (C  qui  passent  au  point 
,  nous  aurons  l'enveloppe  de  ces  coniques  en  exprimant  que  cette  équation  en  >.  a  sus  racines 
égales  :  nous  obtenons  ainsi 

[uation  se  décompose  en  trois  autres  :     y  —  0,    >/ —  b  =  0    el 

la  première  représente  une  enveloppe  exceptionnelle  :  elle  provient  de  ce  que  pour  y  —  0,  l'équa- 
tion '-n  '/.  a  une  racine  double  infinie,  ou,  ce  qui  revienl  au  même,  «le  ce  que  la  conique  impropre  du 
système  \p  0  qui  correspond  à  une  valeur  infinie  de  à  esl  une  courbe  double  du  système.  La 
véritable  enveloppe  se  compose  de  la  droite  y  —  6  =  0,  solution  évidente  a  priori,  et  de  la  parabole 
représentée  par  l'équation  (2  .  Cette  parabole  admet  pour  axe  Oy,  passe  aux  deux  points  .V  el  A'  et  a 
pour  sommet,  sur  Oy,  le  point  qui,  dans  l'involution  OB  .  OB'  =  k*,  correspond  au  pied  sur  Oy  de 
la  droite  A. 

2   Pour  avoir  le  lieu  du  centre,  il  faut  éliminer  X  entre  les  deux  équations  du  centre    I         0 
('.   =  (i  :     ces  équations  son! 

a'b2 


(*  +  *  +  -*) 


'      "T=°  "'  'H/- 

l'élimination  de  /■  esl  immédiate  et  donne  l'équation 

2f('2  ,  </:  irlr  . 

3  Ixhj        _t/_&c*— i-^a*+— j=      il. 

qui  représente  le  lieu.  Ce  lieu  esl  une  cubique  unicursale  ayant  un  poinl  double  isolé  à  l'origine  el 
une  asymptote  parallèle  à  o.r,    y — —  —  0. 

Mais,  pour  construire  cette  courbe,  il  vaut  mieux  déterminer  les  coordonnées  d'un  point  courant 

en  fonction  de    X;   ces  expressions  sont  immédiatement  fournies  par  la  résolution,  relativement  à  a; 

li  s  équations  du  centre  :  on  a  ainsi 


.'/ 

<ï'b- 

// 

/'-  ,      aW\ 

,l-b- 

1       if) 


■l.r 


-</ 


a3b 


L'étude  simultanée  de  ces  deux  fonctions  di  ■  est  très  simple  :  on  voit  d'abord  que,  par  le  chan- 
gement de  >  en  -  i  ■  x  change  simplement  de  signe,  y  ne  change  pas,  la  courbe  est  donc  symé- 
trique par  rapport  à  Oj/,  et,  de  plus,  on  obtiendra  une  moitié  de  cetl urbe  en  faisant  varier  X  de  0 

à    +  «  ;     dans  cet  intervalle,  y  décroit  continuellement  de      —  lb  •■      )     à  —  l    les  variations  de    < 
exigent  l'emploi  de  la  dérivée  ;  or  cette  dérivée  esl  donnée  par 


a!62\2       „/.„ 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


437 


son  numérateur  est  bicarré  en  X  et  ne  s'annule  que  si  k3  >  8b3  ;  si  donc  k3  <  8b2,  x  croît  cons- 
tamment, depuis  0  jusqu'à  +  oc  ;  si  /,'->86a,  x  croît  d'abord  jusqu'à  un  certain  maximum, 
décroit  jusqu'à  un  certain  minimum  et  croît  ensuite  jusqu'à  -+-  oo  ,  toutes  ses  valeurs  étant  d'ailleurs 
positives  dans  l'intervalle  envisagé.  Les  deux  courbes  ainsi  obtenues  sont  représentées  ci-dessous;  dans 
le  cas  où  k2  =  8b2,  la  portion  de  courbe  étudiée  présente  une  inflexion  à  tangente  verticale  ;  nous  ne 
représentons  pas  cette  dernière  courbe. 


y 

Y    ^ 

c 

X 

y 

K 

\ 

0 

x 

k2  <  8ôa  k2  >  8b1 

3°  Le  point  de  contact  de  la  conique  (1)  avec  son  enveloppe  s'obtient  de  suite  en  adjoignant  à 
l'équation  (1)  l'équation  dérivée  par  rapport  à  X  ;  on  a  ainsi 

y{x-X)  =  0; 
la  solution    y  -—  0    fournil  l'enveloppe  exceptionnelle  dont  nous  avons  indiqué  l'origine;  la  solution 
x  =  l    donne  les  deux  points  de  contact  de  la  conique  (1)  avec  sa  véritable  enveloppe  ;  l'un  d'eux  est 
sur  la  droite    y  =  b    et  doit  être  rejeté,  l'autre  est  sur  la  parabole  (2)  et  son  ordonnée  s'obtient  immé- 
diatement. Les  coordonnées  du  point  M  sont  donc 

X  et  —. —  ; 

ii-ii 

les  coordonnées  du  point  0,  milieu  de  MM',  sont  données  par  les  expressions  (4).  Nous  aurons  donc 
les  coordonnées,  x  et  y,  du  point  M'  en  écrivant  que  l'a;  du  point  0  est  la  demi-somme  des  x-  des 
points  M  et  M'  et  que  de  même  l'y  du  point  0  est  la  demi-somme  des  y  des  deux  points  M  et  M  ; 
nous  avons  ainsi  aisément 


a2b2 


(5) 


ii-b 


0-1) 


a2b2 


Ces  équations  représentent  une  courbe  du  4e  ordre  dont  il  serait  aisé  d'obtenir  l'équation  carté- 
sienne ;  mais,  pour  étudier  la  forme  de  cette  courbe,  il  vaut  mieux  garder  les  équations  (5). 

Si  on  y  change  X  en  —  X,  y  ne  change  pas,  x  change  simplement  de  signe,  la  courbe  est  donc 
symétrique  par  rapport  à  l'axe  des  y,  et,  en  tenant  compte  de  cette  symétrie,  il  suffit  de  faire  varier 
X  de  0  à  +  oc;  les  fonctions  x  et  y  ne  sont  jamais  discontinues  ;  nous  aurons  les  sens  de  leurs 
variations  en  étudiant  les  signes  de  leurs  dérivées  ;  ces  nouvelles  fonctions  ont  pour  expressions 


138 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


a- 
~k 

■ 

2A»). 

(, 

+-*) 
Sa**) 

a26 

a26'V 

La  première  nous  montre  que  a;' est  positif  depuis  X  =  0,  jusqu'à  '-:_p-  et  négatif  ensuite. 
Les  signi  -  de  t/  ne  sont  pas  évidents  ;  nous  les  aurons  en  annulant  ?/',  ce  qui  nous  donne,  indépen- 
damment de  la  solution    X  =  0, 

d  OU  t  (  A-  -(-  -TJ-  I  =  " -//, 

et,  par  suite,  si  k  est  plus  grand  que  6, 

si  donc     &  <  f>,      y'  est  toujours  positif;  si     k  >  A.      >/'  est  négatif  jusqu'à  la  valeur  que  qous  venons 
de  trouver  pour  X,  puis  positif,   Comparons  maintenant  les  deux  valeurs  trouvées  pour  X,     —  et 

—  Jbt'k  —  li:  ;    tant  que  k  est  plus  petit  que  26,  le  premier  nombre  est  le  plus  grand  el  y  change  de 

-  -       avant  .»■'  ;  c'est  l'inverse  qui  a  lieu  quand  k  est  plus  grand  que  2I>. 

Il  est  facile  de  donner  maintenant   les  différentes  formes  de  la  courbe  qui  correspondent  aux 
diverses  valeurs  de  k,  eu  supposant  a  et  h  donnés. 
Premier  cas  :     /,•  <  6. 


X 

?/ 

.'/ 

IJ 

croit 

_i_ 

6 

croit 

max. 

décroit 
0 

+ 

Cl  "il 
4-oo 

Second  cas  :     h  <  /.•  <  2/>. 


1 

1 

u 

-t- 

—  yjb{k-b 

ab 

~ir 

II 

-H  » 

X 

\l 

7 

0 

6 

croit 

- 

déci'oil 

0 

min.  >  0 

max. 

4- 

croit 

décroit 

0 

4-oo 

L 


QUESTIONS   PROPOSÉES 


439 


Troisième  cas  :     k  >  26. 


X 

x' 

X 

?/' 

y 

0 

0 

b 

-+- 

cmit 

— 

décroît 

ab 

T 

0 

max. 
décroit 

0 

■fW- 

b) 

min.    <  0 

— 

+ 

croit 

+  x 

0 

-t-  oc 

.'/ 

A 

/a 

0 

aK 

X 

Cas  intermédiaire  :  si  À-  =  2A,  la 
courbe  possède  deux  points  de  rebrousse- 
rnent  et  a  la  forme  ci-contre. 


Solutions  satisfaisantes  :  MM.  A.  Cacssé  (à  Castres  ; 
E.-N.  Barisien  ;  A.  Lacbeaux  (lycée  de  Besançon). 

Solutions  incomplètes  MM.  L.  Mabtaud  (lycée 
Hoche)  ;  J.  Bla.ndi.n  (à  Melay). 


Remarque.  —  Si  l'on  prend  pour  point  M,  dans  la  3°  partie,  le  point  de  contact  de  la  conique  variable 
avec  la  droite  y  =  b,  le  lieu  du  second  point  de  rencontre  de  la  droite  OM  avec  cette  conique  est 
une  conique.  Dans  le  cas  où  l'on  prend  k-  =  a2,  toutes  les  coniques  (I)  sont  des  hyperboles  équi- 
latères  et  le  problème  peut  se  traiter  presque  entièrement  par  la  géométrie. 


QUESTIONS  PROPOSEES 


522.  —  On  considère  un  cercle  décentre  fixe  0,  de  rayon  II  et  un  diamètre  fixe  de  ce  cercle  rencontrant  le 
cercle  en  un  point  A  ;  puis  on  considère  les  coniques  passant  aux  points  0  et  A  et  admettant  pour  directrice  une 
droite  fixe  perpendiculaire  à  OA.  On  demande  : 

1°  Le  lieu  des  foyers  de  ces  coniques  quand  R  est  fixe  ; 

2°  Le  lieu  des  points  de  rencontre  de  l'axe  focal  d'une  hyperbole  équilatère  répondant  à  la  question  avec  le 
cercle,  quand  fi  varie  ; 

3°  Le  lieu  des  sommets  de  ces  hyperboles  équilatères,  dans  les  mêmes  conditions  ; 

4"  Le  lieu  du  point  de  rencontre  de  l'axe  focal  avec  la  tangente  en  0  à  cette  même  hyperbole  équilatère 
.quand  li  varie.   Construire  ces  divers  lieux.  0.  Morulot  collège  Stanislas). 


MO  BIBLiniiiiAlMllI-: 


523.  —  On  considère  une  parabole  variable    P   admettant  F  pour  foyer  et  Fas  pour  axe. 
Par  le  foyer  F  on  mène  une  sécante  qui  coupe  la  parabole   P    en  deux  points  M  et  N  tels 
que  la  corde  MN  ait  une  longueur  constante  et  égale  à  Zd,  On  demande: 
1"  I.e  lieu  du  milieu  delà  corde  MN  ; 
2°  Le  lieu  des  points  M  et  N  ; 

3    L'enveloppe  du  cercle  décrit  sur  MN  comme  diamètre  ; 
i    L'enveloppe  du  diamètre  du  cercle  précédent  qui  est  perpendiculaire  à  MN. 

Ai  n  ium   à  Montpellier). 

524.  —  On  considère  une  ellipse  fixe  V.  rapportée  à  ses  axes,  Oa;  et  Oy,  el  deux  point--  fixes  I)  el  D'  sur  Oy, 
tels  que    OD  =  —  DD'  =  d,    puis  un  point  M  mobile  sur  l'ellipse. 

1">  La  droite  DM  coupe  Ox  en  N  :  trouver  le  lieu  du  point  de  rencontre  R  des  deux  droites  OM  et  D'.N,  et  cons- 
truire la  tangente  T  en  ce  point  au  lieu  indiqué. 

2    trouver  le  lieu  du  poinl  d'intersection  de  T   avec  la  polaire  de  li  par  rapport  à  l'ellipse. 

3»  Trouver  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  la  parallèle  à  0*  menée  par  M   avec  la  parallèle  à   DM  menée 

par  I» 

Construire  ces  lieux  el  traiter  géométriquement  la  question  quand  l'ellipse   L  devient  un  cercle  de  rayai  d 

.1.  Blandin  (à  Melay). 


HIHI.IiH.IIAIMIIK 


/  ,,  ines  questions  de  Géométrie  élémentaire    Possibilité  des  constructions  géométriques  ;  les  poly- 

gones réguliers  :  transcendance  des  nombres  e  et  -\  par  F.  Ixl. FIN,  professeur  à  l'université  de  Gœttingue.  — 
Rédaction  française  autorisée  par  l'auteur  par  .1.  GBIESS,  ancien  élève  de  l'école  normale  supérieure,  professeur 
de  mathématiques  au  lycée  d'Alger.  —  Paris,  Nony  et  C". 

On  sait  qu'on  appelle  nombre  algébrique  toute  racine  réelle  d'une  équation  algébrique  a  coefficients  entiers;  tout  nombre 
réel  qui  n'est  pas  algébrique  est  appelé  transcendant. 

Le  principal  objet  de  cet  intéressant  ouvrage  est  d'établir  l'existence  des  nombres  transcendants  et  de  montrer  que  les 
nombres  e  et  -  sont  des  nombres  de  cette  nature,  et  cela  par  des  méthodes  fort  simples,  a  la  portée  des  élèves  de  mathé 
matiques  spéciales. 

Le  livre  se  divise  en  deux  parties.  Dans  la  première,  l'auteur  s'occupe  des  expressions  que  l'on  peut  construire  à  l'aide 

de  li  règle  et  du  compas,  et  qui,  comm i  le  sait,  ne  doivent  contenu  que  des  radicaux  carrés  :  il  recherche  l'équati le 

moindre  degré  qui  ad i  pour  racine  une  expression  de  ce  genre  et  démontre  que  le  degré  de  cette  équation  est  égal  à  une 

puissance  de  2.  Il  en  résulte  immédiatement  que  les  nombres  transcendants  ne  peuvent  être  construits  au  moyen  de  la  règle 
et  du  compas. 

I  ne  application  extrêmement  intéressante  de  cette  théi générale  e^i  constituée  par  les  chapitres  lit  el  IV  qui  traitent 

des  polyg is  réguliers.  On  se  borne  au  cas  où  le  nombre  p  de  leurs  côtés  est  premier,  et  l'on  démontre,  d'après  Gauss,  que 

les  seuls  polygones  réguliers  que   l'on  puisse  construire   sont   ceux  peur  lesquels  le  n bre  ;i  est  de  la  forme    i:1*  -+-  i. 

Ainsi  pour  ut  =  0,  on  a  le  triangle  équilatéral  ;  pour  n  =  1,  le  pentagone  ;  pour  y.  =  2,  le  polygone  de  17  côtés,  dont 
la  constructi :sl  indiquée  au  chapitre  IV,  en  suivant  la  méthode  générale  de  li.uiss. 

C'est  avec  la  seconde  partie  qu  on  pi  nètre  dans  un  d aine  vraiment  nouveau,  l 'ingénieux  procédé  imaginé  par  M.  Cantor 

m  établir  une  correspondance  univoque  entre  tous  tes  nombres  algébriques  et  les  nombres  positifs,  sa  construction  îles 
nombres  i scendants  sont  absolument  remarquables  par  leur  simplicité  et  leur  forme  purement  arithmétique. 

Apres  une  revue  historique  assez  courte  (chapitre  II),  on  aborde  au  chapitre  suivant  la  transcendance  du  nombre  e.  La 

i  monstrat isl  due  aux  efforts  combinés  de  MM.  Hilbert,  Hurwitz  et  Gordan.  M.  Klein  l'a  présentée  avec  une  remarquable 

clarté;  il  suffit  pour  bien  la  comprendre  de  se  familiariser  avec  les  notations  fort  simples  d'ailleurs  qui  5  seul  utilisées. 
Enfin  dans  le  chapitre  i\  (transcendance  du  nombre  -  on  retrouve  des  idées  analogues  avec  une  forme  légèrement  plus 
compliquée. 

II  e.i  donc  impossible  de  faire  la  quadrature  du  cercle  à  l'aide  de  la  règle  el  du  c pas,  ni  d'aucune  courbe  algébrique. 

Mais  cel  1  n'est  pas  impossible  à  l'aide  d'une  courbe  transcendante  ;  le  chapitre  \  est  consacré  n  la  description  de  l'intégraphe 
qui  trace  de  telles  courbes,  el  permel  de  faire  graphiquement  el  rigoureusement  la  quadrature  du  cercle. 

!..    P. 


Le  Rédacteur-Gérant  :  II.   VI  [BERT 


BAK-LE-DDC.  —    WP.    COMT1     ] 


6e   Année.  N°  10.  Juillet  1896. 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE    PARTIE 


NOTE  SUR  LA  THÉORIE  DES  CONIQUES 

Par  M.  W.  de  Tannenberg,  Mailre  de  conférences  à  la  Faculté  des  Sciences  de  .Nancy. 


On  sait  que  les  coordonnées  cartésiennes  x,  y  d'un  point  d'une  conique  C  peuvent  être  exprimées 
en  fonction  rationnelle  dune  variable  t  de  la  manière  suivante  : 

nt2-h^jt-hc  _  a't-  +  Wt+c' 

X  ~  «'7-'-f-26'7-f  c"  '  ]l  ~~  </7-  — 2A  t^-y  ' 

Cette  propriété  importante  des  coniques  relie  leur  théorie  à  celle  des  courbes  unicursales.  Je  me 
propose  d'esquisser  dans  cette  Note  une  étude  élémentaire  des  coniques,  en  prenant  la  propriété 
précédente  pour  définition. 

I.  —  Équations  réduites. 

1.  Changement  de  la  variable  indépendante.  —  Remarquons  d'abord  que  les  équations  C  de  la 
conique  donnée  conservent  leur  forme  si  l'on  y  effectue  la  transformation  homographique, 

(1)  f  =  ^±^, 

/"  +  7 

0  désignant  une  nouvelle  variable.  On  peut  alors  disposer  des  trois  arbitraires  de  la  transformation  de 
manière  à  réduire  les  équations   C  .  Soient 

_    A62  +  2B8  +  C  _   A'02+2B'e  +  C' 

X  ~  A  F+IËV+C  '  ,  y  ~  Y  0-  -  2B  0  _  c  ' 

les  expressions  uouvelles  de    r  et  </.  La  aature   de  la  courbe   C  dépendant  surtout  des  racines    de 
l'équation 

3  A  H-  4-2B"8  +  C  =0. 

il  est  naturel  d'effectuer  la  réduction,  de  manière  que  les  racines  de  l'équation  (3   soient  aussi  simples 
que  possible,  c'est-à-dire  représentées  par  0  etoo,  ou  bien    ±  i. 
Soit  d'abord 

i  &*2  —  aV>0; 

l'équation 

•j  aT-  +  2b't  +  c  =0 

a  deux  racines  réelles  et  distinctes  lt  et  t.;  posons 

/  —  /, 
alors  l'une  des  racines  de  l'équation  3   est  nulle,  l'antre  infinie  ;  chacune  des  expressions   -2  a  la  forme 

A0-  +  2B9  +  C        .        ,„      C 

=  A9  +  2BH — - 


M2  SUR    LA   THEORIE    DES   CONIQUES 

Soil  au  contraire 

7  "    <0; 

posons  !  =  '/.-+-  [aO, 

el  cherchons  à  déterminer  n  el  )  de  manière  que  les  racines  de  l'équation    .'!    soient    ±  <;    il  suffit 
poui  cela  de  résoudre  le  systi  me 

t-  i'//").  +  c",  "À  H   li'       0, 

ce  qui  esl  toujours  possible  en  vertu  de  l'hypothèse  faite  7).  Chacune  des  expressions   -  prend  alors 

la  forme 

A0--t-2H0-t-C 

1  +6- 
Enfin  soil  ô"2  —  aV  =  0; 

I  équation   ■">   a  alors  une  racine  double  /,,  el  si  nous  effectuons  la  transformation 

1 
'-'•  =  T' 
l'équation   ■'(  aura  une  racine  double  infinie  el  chacune  des  expressions  -  prendra  ta  forme 

An-  +  2B8  +  C. 
En  résumé,  les  équations  de  la  conique   C  peuvent  par  un  changement  simple  de   la  variable 
indépendante,  prendre  l'une  des  formes 

A  aP  +  Sbt  +  c 

\    ■'' '  i  +t-i       '  (     x  =  at*  +  %bl  +  c, 

1  II  III 

[     ■'       ■'  t  {    ■'  1  + 1- 

2.  Centre.  —  Asymptotes.  —  Considérons  d'abord  les  équations    I    et  transportons  l'origine  au 

point     tu  .r„,  i/o  :    les  équations  de  la  conique  deviennent 

A  ,  B 

I  x  =  «M y  =  ht  -t-  — ■ 

Ces  équations  montrent  que  x  et   y  se  transforment  en    — x    et    — y    quand  on  change  '  en 
—  t,    donc  i»  est  centre  de  la  courbe.  On  voit  aisément  que  les  équations 

A  B 

.<■  =  at.  t/  =  ut  et  x  =  — i  v  =  — 

représentenl  les  asymptotes.  La  conique    C    esl  alors  dite  une  hyperbole. 

Passons   maintenanl  aux  équations    II   :  si  nous  transportons  l'origine  en  un  point  indéterminé 
.  ces  équations  de^  iennenl 

_  _  [a  —  xt)P  -+-  26/  -+-  c  —  x0  _  [a'  —  y„)t-  -+■  Ib'l  ■+■  c'  —  y0 

i-m2  i-w2 

choisissons  x„,  </,  de  manière  que 

a  —  x0  =  —  (c  —  a?0),  a'  —  y0  =  —  (  c'  —  y,), 

C  esl  à-dil  e  prenons 

a  -+-  c  a'  -+■  c1 

x«  =  — g-'         .'/u  =  —5—  ; 

les  équations  de  la  conique  C  prennent  la  l'orme 

a  I—  /-  +2///  a'(l  —  t-  -f-26'< 

II  x  =  — '—- 1  1/  =  — i '—■ ; 

1  -t-  /-  J  I 

elles    montrent    que     r    el    y    se   transforment   en    —  x    et     —  y     par  le  changement  de    f    en 
1 

—,     donc  le  point  m  ./-,.  //„    esl  'entre  de  la  courbe.  Remarquons  en  outre  que  si  l'on  pose 

<  =  '*-T' 


SUR    LA    THÉORIE    DES    CONIQUES 


443 


les  équations    II     deviennent 

III  x  =  a  cos  o  -+-  6  sin  <p,  »/  =  d  cos  o  -+-  V  sin  o. 

La  conique  C  est  dans  ce  cas  fermée  ;  c'est  une  ellipsi 

Enfin  les  équations  111  définissent  une  conique  C  n'ayant  qu'une  direction  asymptotique  ; 
l'asymptote  est  rejetée  à  l'infini.  La  courbe  n'a  évidemment  pas  de  centre.  On  l'appelle  parabole.  Les 
formes  de  ces  hyperboles,  ellipses,  paraboles  sont  indiquées  par  les  équations    I  .    II  .    III 

II.  —  Transformation  de  la  conique    C    en  une  parabole. 
Conséquences  diverses. 

i.  Préliminaires.  —  Considérons  les  formules  de  transformation 

aX  —  6Y  —  <■  a  X.  -t-b'Y  -+-  c 


o'X+ô'Y 


y 


a  X  -  b\  -  c    ' 

à  chaque  point  M  X.  Y  d'un  plan  XOY  ces  équations  font  correspondre  dans  un  plan  xoy  un 
deuxième  point  m(a?,  y)  ;  ce  point  est  dit  le  transformé  homographique  du  point  M.  Une  droite  L)  du 
premier  plan  a  pour  transformée  une  droite  d  du  deuxième  plan.  En  particulier,  la  droite    L  , 

(L)  a  X  +  b  Y  +  c*  =  0, 

a  pour  transformée  la  droite  de  l'infini   /   du  deuxième  plan. 

Enfin  rappelons  une  propriété  fondamentale  delà  transformation  1  :  le  rapport  anharmonique  de 
quatre  points  en  ligne  droite  M„  M:.  M  .  Mt  est  égal  au  rapport  anharmonique  des  quatre  points  corres- 
pondants m,,  m.,  m3,  m4. 

2.    Transformée  de   la  coni- 
que    C.    —    En    particulier,    la 
transformée  de  la  parabole    l  , 
X  =  V\  Y  =  2<,    r 

est  précisément  la  conique  C  . 
Deux  points  correspondants  M 
et  m  sur  les  deux  courbes  sont 
ceux  qui  correspondent  à  la 
même  valeur  rfi    t. 

La  propriété  d'invariance 
que  nous  avons  rappelée  permet  d'étendre  à  la  conique  C  la  théorie  des  pôles  et  polaires,  supposée 
établie  pour  la  parabole    r  . 

3.  Centre  de  la  conique  C.  —  Soient  r0l  '/..  les  coordonnées  du  centre  <o;  ce  point  étant  le  pôle  de 
la  droite  de  l'infini  [l)  du  plan  [xoy),  on  a 

\       i>\         /.  a'Xn+6'Yffl  +  c'Z0 


Xq  — 


y» 


a  \        M    +  •  /."  3U        a%  +  *  Yo-r-t  Z 

X„.  Y,„  Z„  étant  un  système  de  coordonnées  homogènes  du  point  Q,  pôle  de  la  droite  L.  On  trouve 
immédiatement  en  identifiant  l'équation  de  la  polaire  de  Q  avec  celle  de    L 

X,  =  —  c ".  Y0  =  26",  Z0  =  —  "  ; 

ac"  +  ca  —  Ibb                         a'c'-h  c'a'  —  26 b 
donc  x0  = ru tt, ■  Vo  — ~ Tir, 

4.  Diamètres  de  la  conique  C.  —  Une  corde  quelconque  ab  de  la  conique  C  est  complètement 
déterminée  par  les  valeurs  réelles  ou  imaginaires  t,  et  t,  de  la  variable  {,  qui  correspondent  aux 
points  (a)  et  (6)  ou  plutôt  par  les  valeurs  toujours  réelles 

■2  p-UU,  q=tl  +  tt, 


144  SUR    LA    THÉORIK    DES   CONHjl  l - 


les  deux  quantités  p  el  g  seront  appelées  les  coordonnées  de  la  corde    ab).  Nous  aurons  beaucoup  à 
utiliser  la  remarque  suivante  : 

Lesquanlités  p  et  g  sont  précisément  les  coordonnées  du  pôle  de  la  corde  Al;  de  la  parabole  r. 

qui  cofresp I  à  la  corde  ab. 

En  effet,  l'équation  de  AI;  est  précisément 

Y  /,  --M     =  2(X+  t,t%  . 
Ceci  posé,  pour  que  ab  soil  un  diamètre  de  la  conique  C,  il  faul  et  il  suffit  que  Al;  passe  par  le 
poinl  '-!,  c'est-à-dire  que  le  pôle  de  Al;  soil  sur  la  droite  L;  l'équation 

3  cfp  -+-  b'q  -t-  c   =  0, 

est  donc  l'équation  qui  définit  les  cordes  diamétrales. 

5.  Diamètres  conjugués.  —  Supposons  que  la  conique  C  ail  un  centre,  c'est-à  dire  que  le  poinl  (J 
ne  soil  pas  sur  la  parabole  r.  Soient  H,  el  I»  deux  droites  passant  par  le  poinl  Q  el  conjuguées  par 
rapport  à  la  parabole  r  el  soient  A,  et  A.  les  points  de  rencontre  avec  la  droite  L.  A  ers  deux 
droites  correspondent  dans  la  conique  C  deux  diamètres  d,  el  ds;  ces  deux  diamètres  s, .ni  dits 
<'..//y'»:/</<:>.  Si  par  un  des  points  A,  ou  A:.  par  exemple  A,,  ou  mené  une  sécante  quelconque  à  la 
parabole  r,  le  conjugué  harmonique  B,  de  A,  pai  rapport  aux  points  d'intersection  se  trouve  sur  D»; 
on  conclut  immédiatement  de  là  :  chacun  de-  diamètres  d,  el  d*  est  le  lieu  des  milieux  des  cordes 
parallèles  à  l'autre. 

Soienl     pt,  v    et    /<-.  q*.    les  es  des  cordes  diamétrales  dirigées  suivant  ces  droites; 

pour  obtenir  la  relation  qui  lie  ces  quantités,  il  suffit  d'écrire  que  Di  et  D2  sont  conjuguées  par  rapport 
à  r,  ce  qui  donne  immédiatement,  en  ayant  égard  à  une  remarque  faite   n    i  . 

•h'h  =  2  /',+;<:  . 

III.     -  Détermination  générale  des  axes  de  la  conique  C. 

Supposons  que  la  conique  C  ait  un  centre  el  proposons-nous  de  déterminer  un  système  de 
diamètres  conjugués  rectangulaires.  Soienl  p„  q,  et  p2,  </_.  les  coordonnées  de  deux  cordes  de  la 
conique  C  ;  pour  qu'elles  soient  diamétrales  el  conjuguées,  il  faut  et   il  suffit,  d'après  ce  qui   précède, 

que  l'on  ait 

ia'p,  —  h  y.   •-  c  =  0, 
afa-4  b'q     -   r    =0, 
'/,'/-'=    2     /',+/';     ■ 

Reste  à  exprimer  qu'elles  sont  rectangulaires  A.  cet  effet,  remarquons  que,  si  x,y  cl  r*,  y  sont 
le-  coordonnées  des  extrémités  d'une  corde  de  coordonnées  p,  q  ,  on  a 

.lJ  ./•  Il'  !/ 

-> — -^ —  , 

//>  -t-  mq  -  n       //'  +  '"  7  •"  " 

/,  m,  n.  I .  >/<  .  n    étanl  des  fonctions  déterminées  de  a,  b,  c b",  c".  11  suffit,  pour  le  voir,  de  former 

les  différences    .<—./'.     y'-    y.     Pour  que  les  cordes    pt,  qt    el    p2,  g     soient  rectangulaires,  il  faul 
donc  el  il  suffit  que  l'on  ait 

3  lp, -+-  mgr,  -+-  n    lpt-i-mq3-t-n    +   l' /)(-+- m'gr, -t- n1    l'pi  bra  0. 

I  es  équations    I    el   •'!   déterminent  les  quatre  quantités    /',.  g,    el    ps,  g3  . 

\\.mt  déterminé  p(,  qt  .  on  obtient  l'axe  correspondant  de  la  manière  suivante  :  La  droite  du 
plan  X.OY,  qui  lui  correspond,  étant  là  polaire  du  poinl  pt,  q,  par  rapport  à  la  parabole  i  '),  apo.ui 
équation 

g,Y:     .'  \      p,   ; 


SUR    LA    THÉORIE    DES    CONIQUES  445 

les  équations  de  l'axe  sont  donc 

_    aX-+- 6Y  +  c  «  X  -+-  bX  +  c' 

~  «  X  +  6*Y  +  c"  '  ■*  ~~   «"X  +  4'Y  +  c'  ' 

où  X,  Y  sont  supposées  liées  par  la  relation   4  . 

Appliquons  ers  formules  aux  équations  réduites  d'une  hyperbole 

A  ,         R 

x  =  ni  -i ,  y  =  bt  H 

t  J  I 

Ici  on  a  a"  =  c"  =  0,  h"  =  —  ; 

/                ''  —  '        ■                         ,               ''  —  ',, 
d  autre  part        2-  —  x  = —  att  — A  .  u —  ii  =  bit  —  l!    ; 

donc  on  peut  prendre 

/  =  a,  m  =  0,  n   =  — A, 

/  =  b,  m'  =  0,  n  =  —  B  ; 

le  système  des  équations    1    et   3  devient  alors 

,h  =0,  q,  =  0,  pi  +  pi  =  0,  apt  —  A    ap,  —  A   —  6p,  —  B    bpt  —  B    =  0  ; 

l'équation  en  //.  qui  détermine  p,  elp*,  est  donc 

/,-  ,,-  =  A-  +  B-, 
et  l'équation  de  l'axe  correspondant  à  une  valeur  de  p  est 

p  bx  —  ay    —    R  ■■  —  A'/ 
Les  axes  sont  donc  les  bissectrices  des  angles  formés  par  les  asymptotes.  Ce  résultat, conséquence 
du  calcul  précédent,  est  évident  a  priori  :  car,  d'après  la  définition  adoptée,  deux  diamètres  conjugués 
sont  conjugués  harmoniques  par  rapport  aux  asymptotes. 

Je  laisse  au  lecteur  le  soin  d'appliquer  les  équations  1  et  3  aux  équations  réduites  i  IL  ou  II  . 
Enfin  on  traitera  aisément  le  cas  où  C  est  une  parabole,  cas  écarté  dans  le  calcul  précédent.  Il  suffit 
alors  de  prendre  les  équations  de  la  conique  C  sous  la  forme  III  et  de  remarquer  que  les  cordes  p,  q 
parallèles  à  une  direction  donnée  satisfont  à  la  relation 

q  =  fj  -+-  U  =  const. 

IV.  —  Détermination  générale  des  foyers  de  la  conique  C. 

1.  Préliminaires.  —  Soit  :  une  variable  complexe  et  soit  f  :  un  polynôme  entier  à  coefficients 
complexes. 

Si  on  met   f(z)   sous  la  l'orme 

(1)  /'  i  =  X-t-Y/, 

on  sait  que  X   et  Y   satisfont  aux  équations 

OX  _  OX  <JX  _  _  <?Y 

dx       t)i/  Oij  dx 

Ces  équations  mettent  en  évidence  ce  résultai  bien  connu  :  les  courbes 
X  =  const.,  Y  =  const. 

se  coupent  orthogonalement  en  chacun  de  leurs  points  commun-.  En  particulier,  soit 

3  /■(-)  =  a  +  26z  +  cs2     -  X.+  Yi, 
alors  X  et  Y  ont  la  forme  générale 

X  =  A  (.i-  —  y')  +  2Bxy  +  21)  <■  +-  2Ey  +  F, 

Y  =  —  B{x-  —  y-  +  -A.;-;/  —  2Ex  4-  2Dj/  +  F,. 
Les  deux  courbes 

4  X  =  0,  Y  =  0 


U6  SUIt    LA   THÉORIE    DES    CONIQUES 

se  coupent  seulemenl  en  deux  points Is  :  les  afux.es  de  ces  points  s'ubtiennent  on  résolvant  l'équation 

a  -+-  2/j;  +  es2  =  0. 
ntité   :i   montre  que  l'équation  en   À  relative  aux  courbes   •'»  admet  comme  racines    -f-  i    et 
—  i.    Pour  avoir  la  racine  À  correspondante  au  couple  de  sécantes  réelles,  il  suffira  donc  de  diviser  le 
premier  membre  de  l'équation  en  )  par    Xs-t-l.     Enfin  faisons  encore  la  remarque  suivante,  quoi- 
qu'elle ne  >"ii  pas  utile  pour  la  >uite  : 
Suit  donnée  l'hyperbole  équilatère 

K  =  0, 
déterminons  F,  de  manière  que  l'équation 

Y  =  0 

représente  deux  droites.  Celte  équation  représente  alors  le  faisceau  des  axes  de  l'hyperbole  équilatère; 
ceci  résulte  immédiatement  de  la  propriété  d'orthogonalité  que  nous  venons  de  rappeler. 

2.  Foyers.  —  Soit    :   l'affixe  d'un  point  quelconque  de  la  conique  C;  on  a   ' 

//-  +  2//I/-4-» 

(5)  ;  =  — — — — — -,  I  =  ii  +  ia,  m  —  b  +  th  .  n  =  c  +  ic  . 

a  l-  +  26  i 

Concevons  que  par  un  point  (F  avant  pour  affixe 

z0  =  ar0  +  i/o», 
on   mène  des  tangentes  à   la  conique  C;  si  rime  de  ces  tangentes  a  pour  coefficient  angulaire  i,  le 
point  F  esl  dit  foyer;  dan-  ce  cas  la  deuxième  tangente  a  pour  coefficient  angulaire    — i.    Pour  obtenir 
l'affixe  :,,  d'un  foyer  F,  il  suffit  donc  d'exprimer  que  la  droite 

z  =  Zo 
esl  tangente  à  la  conique  c.  c'est-à-dire  que  l'équation 

//    t-  2m/  +n 


cfl'  +  ïb't  +  c"        ° 
a  une  racine  double;  :,  esl  donc  racine  de 

6  m  —  li  ;„,'■  —    I  —  n":„    n  —  c%  '  =  0, 

et  il  n'y  a  que  deux  foyers  réels.  En  rapportant  la  conique  C  à  ses  axes,  on  trouve  que  ses  foyers  sont 
situés  sur  un  axe  et  symétriquement  par  rapport  au  centre.  Si  laconique  C  est  une  parabole,  on  a 
/>-  =  a"c°    et  l'un  des  foyers  est  rejeté  à  l'infini. 

Remarque.  —  Il  résulte  de  là  un  moyen  pour  obtenir  le  centre  de  laconique  C,  ainsi  que  le  faisceau 
des  axes.  En  effet,  l'équation 


désignent  les  racines  de  l'équation   6),  définit  le  centre  de  la  conique  C. 
D'autre  part,  mettons  l'équation   ti   sous  la  forme 

\      n        il: 
les  h\  perboles  équilatères 

X  =  0,  Y  =  0 

se  coupent    orthogonalemenl  .  en  deux  points  réels,  qui  sont  les  foyers  réels  F,  et   F». 

Le  couple  de  sécantes  communes  réelles  esl  évidemment  l'ensemble  des  deux  axes  de  la  conique  C. 
L'équation  du  faisceau  de-  axes  esl  donc 

\      XY  =  0, 

)  étant  la  racine  réelle  de  l'équation  en  >    relative  àX  et  Y),  racine  que  nous  avons  appris  à  calculer. 
ce  sujet  une  Note  de  M.  Goursat,  insérée  dans  les  Nouvelles   Innales  ii    Mot'inii'itiiiuin  ;  Aimée  1887,  p.  465). 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  U7 


GEOMETRIE  ANALYTIQUE 

460.  —  On  considère  trois  coniques  ayant  un  foyer  commun  F:  l'une  fixe,  (C)  ;  les  deux  autres 
variables,  (r)  et  (r'),  tangentes  respectivement  à  la  conique  (C)  en  des  points  fixes  \  et  B,  et  tangentes 
entre  elles  ;  et  on  demande  : 

\a  Le  lieu  du  point  de  contact,  I),  des  coniques  (r)  ei  (r')  ; 

2°  L'enveloppe  de  la  tangente  commune  en  D  «  ces  deux  coniques; 

§a  Le  lieu  du  point  de  rencontre  des  directrices  de  ces  deux  coniques  relatives  au  foyer  commun  F; 
montrer  que  ces  directrices  passent  pur  des  points  fixes  et  les  déterminer  ; 

4°  Montrer  aussi  que  la  sécante  commune  aux  deux  coniques  (r)  et  (r'),  qui  ne  passe  pas  nu  point 
où  elles  se  touchent,  passe  aussi  par  un  point  fixe  ; 

5°  Si  l'on  considère  une  droite  passant  par  ce  point,  montrer  qu'il  y  a  deux  roupies  de  coniques  (r),  (r'j 
qui  l'admettent  pour  sécante  commune  ne  passant  pas  au  point  de  contact; 

6°  On  considère  le  triangle  formé  par  cette  droite  et  les  tangentes  aux  deux  roupies  en  hoirs  points  de 
contact  ;  /tais  une  conique  de  foyer  F  inscrite  dans  ce  triangle  et  une  de  foyer  F  circonscrite  à  ce  triangle. 
Trouver  les  enveloppes  des  directrices  de  ces  coniques  qui  correspondent  au  foyer  F,  et  le  lieu  de  leurs 
points  de  rencontre. 

Prenons  pour  triangle  de  référence  le  triangle  formé  par  la  corde   AB  et  les  tangentes  à  la  conique 
fixe  aux  points  A  et   B.  Représentons  par 

C  =  2uv  —  w2  =  0,  P  =  aw-f-  pe  -+-  jw  =  0 

les  équations  tangentielles  de  la  conique  C  et  du  point  F. 

Si  nous  remarquons  que  les  deux  points  F  et  A  forment  un  couple  d'ombilics 
des  coniques  G  et  r,  et  que,  de  même,  les  points  F  et  B  forment  un  couple  d'om- 
bilics des  coniques  C  et  r',  nous  aurons  pour  équations  des  coniques  r  et  r' 
r  =  XC  H-  2Pm  =  0,  r'  =  (iC  -+-  2Po  =  0. 

1"  On  a  de  suite  la  combinaison  linéaire 

ixV  —  '/.r'  =  2P(pui  —  Xw)  =  0  : 
donc  l'ombilic  de  r  et  r'  associé  à  F  est  le  point     \iu  —  lv  —  0;     c'est  le  point  de  contact,  si  les  deux 
coniques  se  louchent,  et  l'on  voit  de  suite  que  ce  point  décrit  la  droite  AB. 

2°  La  tangente  commune  passant  en  ce  point  D  a  évidemment  une  équation  de  la  forme 

IX  -H  JJ.Î/  h-  vz  =  0, 
v  étant  à  déterminer  de  façon  que  cette  droite  soit  tangente  à  la  conique  r  au  point     D(;a,  —X,  0);     il 
suffit  évidemment  pour  cela  d'exprimer  que  cette  droite  touche  la  conique    r   et  qu'elle  est  la  polaire 
d'un  point  de     ;  =  0.     On  obtient  ainsi     r(X,  (*,  v)  =  0     et     r!,.(X,  n,  v)  =  0.     La  dernière  donne 
v  =  y    et  la  première  donne  alors  la  condition  de  contact  des  deux  coniques  r  et  r', 

(1)  Xp  -+-  aX  +  Pu  -+-  -1-  =  0. 

L'équation  tangentielle  de   l'enveloppe  de  la  droite     Xa; -+-  \ty  ■+■  7 z  =  0    s'obtient  en  éliminant  X 

et  u  entre     —  =  =  — —     el  l'équation  (1).  On  trouve  ainsi  la  conique 

»  v  te 

S  =  yG  +  2Pt«  =  0  ; 

cette  conique  admet  pour  foyer  le  point  F  et  est  tangente  aux  deux  droites  CA  et  CR. 

3"  En  tenant  compte  de  la  relation  (1),  on  trouve  pour  équations  ponctuelles  des  coniques   r  et  r  . 

f  =  2(Xx  +  Ky  +  y%  -  0-  +  ?)■■'  =  0, 

/',  =  2i  X.r  -I-  \xy  -+-  -(z)x  —  (jjH-  a  |z2  =  0. 

La  directrice  de  /'  relative  au  foyer  F  a  alors  pour  équation 


lis  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQ1  E 


àf  àf  <)( 

de  <ty  J; 

OU                                                              -              '  /  l  ■  ■,  —  >.v:  =0. 
puis,  en  faisanl  usage  de  la  relation    l  . 

-  ay  —  -•;  —  2(f*  +  »  1/  =  0. 

De  même,  L'équation  de  la  directrice  de  /:  par  rapport  au  foyer  F  est 
Sa:  +  <xy  —  ■•:  —  2  b  =  0. 

On  voit   immédiatement  que  ces  deux  droites  passent  par  les  points  de  rencontre  de  la  droite  Gxe 

?■''+  *.'/—  Yz  =  û    avec  'es  droites  CA  el  CB  :  la  droite  fixe  donl  qous  vouons  de  parler  est  d'ailleurs  la 

directrice  du  foyer  F  par  rapporl  à  la  conique  G.  Pour  avoir  le  lieu  du  poinl  de  rencontre  de  ces  deux 

directrices,  il  faut  éliminer   X+p   et    ;jh-ï.   entre  leurs  équations  et  la  relation  (t),  qui  peut  s'écrire 

-2 
(X-t-  p)(;-i  -1-  a)  =  ap —  =  A2  ;     le  lieu  demandé  est  donc  la  coniqne 

(par  -+-  iy  —  -;;)2  —  U-.11/  =  0  : 

ce  n'est  pas  autre  chose  que  la  conique  S  précédemment  trouvée. 

4°  On  peut  à  l'aide  des  deux  coniques  /'et  f\  former  la  combinaison  linéaire  suivante 

(ï  +  a  ï/"—   X  +  p)/\  =  2(Xa;  +  ?y  +  fz)[i  p  +  «  y  -  1         0, 

et    l'on  voit  de  suite  que  la  sécante  commune  associée  à  la  tangente  commune  passe  au  point  fixe 

x  —  0,     y  =  11.     c'est-à-dire  au  point  C. 

X   '    3  /• 

5"  Si  l'on  pose    —  =  h1,    on  obtient  facilement,  à  l'aide  de  la  relation    I  .     m-a  =  ±  —  , 

lx  ■+-  *  h 

puis    X  +  p  =  ±M.     Il  v  a  donc  deux  couples  de  coniques   r  et  r'  admettant  la  droite    y  —  h2x  =  0 
pour  sécante  commune  :  ce  sont  les  couples  qui  correspondent  aux  valeurs 

X,    -  p  —  /(/,-.  jji,  -+-  a  —  -— , 

// 

et  X,+  p  =  _/,/.-.  ;I>  +  a-_JL. 

/■ 

6"  J.es  tangentes  communes  aux  deux  couples  sont    \x+nty-hyz  =  0.    Xj<r -t- [*sy  +  yz  =  0  ; 

elles  se  coupent  au  point  dont  les  coordonnées  sonl  donnée-  par 

x  y  z 

fi,    ,U»  X;—    X,  X,^   |J,X, 


/(2         S  —  a/r 


Ces  deux  droites  étanl  tangentes  à  la  conique  S,  le  point  que  non-  venons  de  trouver  et  le  foyer  F 
forment  un  couple  d'ombilics  communs  à  la  conique  S  et  à  la  conique  cherchée,  inscrite  dan-  le 
triangle  formé  par  la  sécante  commune  el  les  deux  tangentes;  cette  conique  a  donc  pour  équation 

/           ,  ,          p  —  a/f2     \ 
S  -t-  OP    M  —  /l2l>  -+- w  )  =  0, 


et  nous  aurons  0  en  exprimant  qu'elle  touche  la  droite     y  —  A'a;  =  0,     donl   les  coordonnées  sont 
/(s,    — 1,    0;    nous  obtenons  ainsi    y= — 8(8 — ik%)  ;     cette  relation  donne  0  en  fonction  de  //-  ou 

?    .     t 

,    nous  ru  ucuuisuus      ir  — 

triangle  indiqué  est 

S  =  avG  -H  PQ  =  0, 

en  posant  q  =  ,o«  —  \-  *«,-. 

'•  enveloppe  de  la  directrice  de  cette  conique  relative  au  foyei   F  s'obtient  en  éliminant  0  entre  les 


/r  en  fonction  de  8;  nous  en  déduisons    hi  =  —-\ — — 1     et  l'équation  de  la  conique  inscrite  dans  le 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  449 


équations 

V  V  V' 

ces  équations  se  simplifient  immédiatement  et  s'écrivent 

27u  4-  P8  =  -1 P8 jf-  =  —  2a«)  +  ■ ; 

l'élimination  de  P8  entre  elles  est  évidente  et  fournit  l'équation 

oui  -t-  p«  —  -•»'  =  0, 
qui  montre  que  cette  directrice  passe  par  un  point  fixe     (a,  (J,  —y),     conjugué  harmonique  de    F   par 
rapport  au  point  C  et  au  point  C  où  la  droite  FC  rencontre  AB. 

L'équation  que  nous  venons  de  trouver  peut  s'écrire  P  =  2-;w  et  les  précédentes  donnent 
alors    v -+-  wd  =0;     de  là  on  déduit  les  coordonnées  de  la  directrice,  puis  l'équation  de  celle  droite, 

iO  ~  y  x  —  <*fy  4-  «  =  0. 

Il  faut  former  maintenant  l'équation  de  la  conique  circonscrite  à  ce  même  triangle  et  ayant  pour 
foyer  le  point  F.  Si  l'on  désigne  par  T  =  0  l'équation  quadratique  des  deux  tangentes  menées  du 
point  F  à  la  conique  C,  et  par  R  =  0  l'équation  de  la  directrice  de  la  conique  cherchée,  cette 
conique  aura  pour  équation  ponctuelle    T  -+-  R2  =  0    ou 

2/i2(2j.'i/  —  ;2)  —  (fa  -+-  *y  —  -;z  -  +    ux  +  vy  +  wz  s  =  0, 

u,  v,  w    étant  déterminés  par  les  conditions  que  la  conique  passe  aux  trois  sommets  du  triangle.  Or 
deux  de  ces  sommets  sont  les  points  de  rencontre  des  droites 

>  ,.r  +-  u,)J  -t-  -;Z  —  0,  ~i  ■:■!'  4-  [i»JJ  ■+■  fZ  =  0, 

avec  la  droite     y  —  lt2x  =  0  ;     ils  ont  pour  coordonnées 

x  y  z 

T~  =  IF  ~ 

x  y 

et  il  est  facile  de  voir  que  ces  points  ont  pour  lieu  commun  la  conique  S  dont  l'équation  ponctuelle  est 

(fa  +  xy  —  -;zf  —  4lc*xy  =  0  ; 
donc,  en  portant  les  valeurs  de   r,  y,  z   dans  1  équation  de  la  conique,  cette  partie  s'annule  et  il  reste 

à  annuler 

2/,'2:'-  —   ux  4-  vy  -+-  ivzf. 
Mais  on  déduit  d'ici 

ux  4-  cy  4-  wz  =  zh  kz\/  2  , 
et,  comme  on  peut,  si  l'on  veut,,  changer  tous  les  signes  de  u,  v,  w,  sans  changer  la  conique  cherchée, 
on  peut  se  borner  à  prendre  le  signe    -+-    dans  le  second  membre  pour  l'une  des  relations  ;  le  premier 
point  donne  ainsi  la  condition 

tandis  que  le  second  donne  les  deux  conditions 

M+^  +  (W=FAy?)a/''  +  P  +  a**  =  0; 

bornons-nous  à  considérer  le  cas  où  l'on  prend  le  même  signe  devant  l,\  -2    dans  les  deux  relations. 

Alors,  en  retranchant  ces  deux  égalités  l'une  de  l'autre,  on  obtient    w  —  AV2  —  0,    puis    u  4-  vh*  —  0. 

Reste  à  exprimer  que  le  point  de  concours  des  deux  tangentes  communes,  dont  les  coordonnées 

sont    1,     —  h-, =  i— ^ 1    est  situé  sur  la  conique  ;  comme  on  sait  (pie  ce  point  est  situé  sur 


7.1, 

2+P- 

-2M 

; 

y.  Ir 

+  ?  + 

Ihk 

450 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


la  droite     [te  —  «/  —  7:  =  0,    il  suilil  d'exprimer  que  ses  coordonnées  annulent 

•2k-  Zxy—  :  y--  wz  -'. 

a  ainsi  la  troisième  relation 

*(»-+4-) -(—■*■  t)î=o- 

Cette  relation,  jointe  aux  deux  autres,  montre  qu'il  j  a  deux  coniques  satisfaisant  aux  relations  parti- 
culières qui  onl  été  chois 

\     -   aurons  l'enveloppe  des  directrici  -  coniques,  en   rendant   cette   dernière  équation 

homogène  en  u,  »,  w,  ce  qui  est  immédiat,  puisque    i/.J  =  »•-,    puis  en  remplaçant  h1  par    — —  • 

Nous  obtenons  ainsi  très  aisément 

y(2m»  —  »•-  +  2  ru  —  $v)w  =  0 

ou  yC  +  2Pk,'  =  0; 

c'est  la  conique  S  déjà  rencontrée. 

Cherchons  enfin  le  lieu  du  point  de  concours  di  s  directrices.  Pour  cela  formons  l'équation  de  L'une 
des  dernières  à  l'aide  des  relations 

w  =  /,\  2  .  u-+-  vit-  =  0 


«-.  /  1 


,.,  u  — »A2 —  =  ks  2  \ 

nous  déduisons  de  là  w,  u  el  »  e(  l'équation  cherchée  esl 


■  21,-  : 


i-N 


»r) +*  =  <>, 


— --h 

Ba  \  /r 

le   radical  avant   l'un  ou  l'autre  des  deux  signes    +    ou    — .    D'autre  part  la  directrice  de  la  conique 

inscrite  a  pour  équation 

■/)  -f-Y)x—  ï'i.v  +  as  =  0, 

avec  la  relation    0  = 


ainsi 
el 


—  ■     11  n'v  a  plus  qu'à  éliminer  0  et  li*  entre  ces  trois  équations,  (in  trouve 

;  —  *lt-  j    *■      i 

;  =  0,  v;/  +  Ps  =  0,  ,  r  -+-  «s  =  0, 

;;    h    _ï;/:2_o  ^;  ..    ..(/    « -h  Y.r)  =  0. 

La  première  équation   représente  la  droite    \l!:   c'est  le  vrai  lieu;  les  autres  équations   repré- 

il  des  lieux  exceptionnels  qui  proviennent  de  ce  que  les  deux  directrices  coïncident  dans  quatre 

positions  particulii 

\  \-vMER. 

Solution  géométrique.  —  Transformons  la  figure  par  polaires  réciproques  en  prenant  comme  conique 
directrice  un  cercle  de  centre  F.   Les  coniques  (C),    i   .    i      se  transforment  respectivement  en  des  cercles  (c), 
;  ces  deux  derniers  étant  variables  et  touchant  le  cercle  fixe   c   aux  points  tixes  a  el  6.  Si  nous  désignons 
par  T  le  point  de  rencontre  des  tangentes  en  A  el  1!  à  la  conique  C  ,  les  points   i 
et  b  correspondent  aux  tangentes    \T  et  lîï.    De  plus  les  cercles  el 

:it  en  un  point  d. 
l    Au  point  D  correspond  dans  la  ligure  transformée  la  tangente  commune 
en  d  aux  deux  cercles    y)  et   -/').  Or  cette  tangente  passe  par  le  centre  radi 
des  tn  il  en  résulte  que  le  lieu  du  poinl  H  esl  une  droite 

correspondant  au  poinl  d'intersection  des  tangentes  en  a  et  6  au  cercle  [c  .  c'est- 
à-dire  la  droite  AI'.. 

2"  Le  lieu  du  poinl  d  esl  le  cercle  s  qui  a  pour  centre  le  point  p  el  qui 
passe  par  les  points  et  :  par  conséquent,  l'enveloppe  de  la  tangente  commune 
en   !»  aux  coniques    i  ique    S    ayai  I  pour  foyer  le  poinl  F, 

pour  directrice  la  droite  AI!  qui  correspond  au  poinl  p,  et  qui  est  tangente  aux 
droites  \l  el  BT. 

3  La  droite  qui  joint  les  centres  des  cercles  -,  el  •;  est  tangente  en  d  au 
cercle  (a  ;  on  en  conclut  que  le  point  de  rencontre  des  directrices  des  coniques  t  el  i  esl  situé  sur  la 
coniqm    - 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


451 


D'aulre  part  le  lieu  du  centre  du  cercle  •;  est  la  droite  joignant  le  point  a  au  centre  du  cercle  (c)  ;  donc  la 
directrice  de'Ja.  conique  1")  passe  par  le  point  de  rencontre  de  la  tangente  AT  et  de  la  directrice  de  la  conique  (  !  ; 
résultat  analogue  pour  la  directrice  de  (T'). 

4"  A  la  sécante  commune  de  lënoncé  correspond  le  point  de  rencontre  des  tangentes  communes  autres 
que  pd  aux  cercles  ;••  et  •;').  Ce  point  f  est  sur  la  ligne  des  centres,  et  l'on  sait  que  la  droite  ab  passe  par  ce 
point.  Le  lieu  du  point  f  étant  la  droite  ab,  la  sécante  commune  aux  coniques  (V)  et  iT')  passe  parle  point  T. 

5°  Il  suffit  d'établir  qu'à  un  point  quelconque  f  choisi  arbitrairement  ^ur  ab  correspondent  deux  couples  de 
cercles  (y)  et  (■(')  ou  deux  points  d.  En  effet,  le  point  d  est  situé  à  la  fois  sur  le  cercle 
s  et  sur  le  cercle  •-)  qui  a  pour  diamètre  pf.  Ces  deux  cercles  se  coupent  en  deux 
points  d  et  dt  ;  on  déduit  de  là  les  deux  couples  de  cercles   -    et   ■;'  . 

6°  Au  triangle  considéré  8  correspond  le  triangle  fddt  ;  à  une  conique  de 
foyer  F  inscrite  dans  le  triangle  0  correspond  le  cercle  circonscrit  au  triangle.  fddu 
c'est-à-dire  le  cercle  V.  Or  le  centre  o  de  ce  cercle  est  le  milieu  de  fp,  le  lieu  de  ce 
point  est  une  droite  parallèle  à  ab,  également  distante  de  ab  et  du  point  p.  A  cette 
droite  correspond  dans  la  première  figure  un  point  appartenant  à  la  droite  1T  et 
if  conjugué  harmonique  du  point  F  par  rapport  au  point  T  et  au  point  de  rencontre 
de  FT  avec  AB  ;  c'est  par  ce  point  que  passe  la  directrice  de  la  conique  inscrite  au 
triangle  B. 

Les  coniques  circonscrites  à  ce  triangle  se  transforment  en  cercles  tangents  aux 
trois  côtés  du  triangle  fddt.  Nous  ne  considérerons  que  le  cercle  inscrit  et  le  cercle 
exinscrit  relatif  au  sommet  f  ;  ils  ont  respectivement  leurs  centres  aux  points  i  et  ù 
sur  le  cercle  (si.  Les  directrices  des  coniques  correspondantes  enveloppent  donc,  la 
conique  (S). 
Enfin  aux  points  de  rencontre  des  directrices  correspond  la  droite  pf  qui  passe  par  le  point  fixe  p;    le  lieu 

cherché  est  la  droite  AB. 

GROLLEAIÎ,  répétiteur  général  au  lycée  de  Marseille. 

Très  bonne  solution  :  M.  C.  Contant   lycée  de  Bar-Ie-Duc  . 

Solutions  analogues  par  MM.  Adzeram,  à  Montpellier  ;  Letiebce,  lycée  de  Douai  ;  G.  Scgot,  lycée  Saint-Louis. 


C) 


474.  —  Une  conique  variable  passe  par  deuxpoints  fixes  \  et  l!  et  rencontre  une  conique  fixe  en  deux 
points  fixes  C  et  D  et  deux  points  variables  M  et  N. 

1°  Trouver  l'enveloppe  de  la  droite  MN. 

2°  Par  Ifs  quatre  points  C,  D,  M.  N  et  un  cinquième  point  fixe  E,  on  fait  passer  une  conique  v  :  montrer 
que  cette  conique  passe  encore  par  un  point  fixe  F. 

3°  Trouver  le  lieu  des  pôles  de  CI»  par  rapport  à  la  conique  r. 

4°  Lieu  du  point  F  quand  le  /  oint  E  décrit  une  droite  donnée. 

1°  Je  prends  pour  triangle  de  référence  un  triangle  ayant  pour  sommet  le  point  de  concoure  des 
deux  droites  AC  et  BD  et  pour  cùtés  issus  de  ce  sommet,  deux  droites  OP,  OQ, 
conjuguées  harmoniques  par  rapport  aux  droites  OAC  et  OBD,  le  troisième  côté 
étant  AB.  Je  désigne  par  ax  -+-  by  -f-  cz  =  0  l'équation  de  CD,  par  xx  —  $y  —  •;:  =  0 
celle  de  la  droite  qui  joint  les  deux  autres  points  de  rencontre  de  la  conique  fixe 
avec  le  couple  OA.  OB).  Les  deux  droites  (OA,  OB)  ont  pour  équation  if  —  m-z1  =0, 
et  la  conique  fixe  est  représentée  par 

k^y-  —  m'-z2)  -+-  [ax  —  by  +  cz    xx  -f-  ,-.'/  4-  v:)  =  0. 
D'autre    part,   la  conique  variable  passant  aux   quatre   points   A.  B,  C.  D   a  pour 

équation 

/;'  i/1  —  m-::-)  4-  hc(ax  -+-  by-+-  cz)  =  0; 

la  seconde  sécante  commune  de  cette  conique  et  de  la  conique  fixe  a  <\*n\c  pour  équation 

ax  -+-  'iij  -+-  -;z  —  lx  =  0, 


152 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


cl  l'on  voit  de  suite  qu'elle  passe  par  le  point  (ixe 

.c  =  0,  vx  -    ;-;/  ■+-  v2  =  0, 

situé  sur  le  côté  AI;.  Pn  nons  ce  poinl  pour  le  sommel  Q  du  triangle  de  référence,  nous  aurons    •;  =  0. 
2    route  conique  i '.  passant  aux  quatre  points  C,  D,  M.  N  a  pour  équation 

/, -  )/•  —  m -:J  —  a i      -  by  —  :  i(ax-+-  by  +  cz    atr  +  py  —  Xa;    —  0, 

ou  '/-  —  ///-;-;    ;j-  ■  •■  >  :     wc  +  Py  —  '/.c    =  0, 

en  désignant  par  /  el  n  d'autres  paramètres  variables.  Si  l'on  exprime  que  cette  conique  passe  au  poinl 
Qxe    i  .  y  .  :.,  .  on  obtient  l'équation  générale  des  coniques  r  indiquées  dans  l'énoncé  :  on  a  ainsi 
rsd/'-mV   axo-hbyc  ax-hby-hcz    >a        3  =  0. 

Cette  équation  contient  linéairemenl  le  paramètre  <■  :  les  coniques  r  passent  donc  par  quatre  points 
fixes  ;  trois  d'entre  eux  sonl  C,  D,  E  :  il  y  en  a  donc  un  quatrième,  P.  Pour  obtenir  ce  quatrième  point, 
considérons  les  deux  coniques  de  base  du  faisceau 

?/-  —  6j/o +  cz0    '  •  by-hcz   *j-j-ïi/)  =  0, 

//-  —  m2:'1  mx„ +  l»j0  —  cz„  .r„  —   y]  —  //<-':;    ax  +  by  —  cz  x  =  0, 
el  éliminons  entre  elles    y3  —  m*z-\      nous  obtiendrons  le  système  de  sécantes  communes 

ax  4-  by  ■+-  cz  =  0  ri  —    xxt  —  ï.y,  x  =  0  ; 

la  première  passe  aux  points  C  et  D;  la  seconde,     yx0 —  xy9  =  0,     passe  aux  points  K  el  F.   11  sérail 

alors  facile  d'avoir  les  i données  du  point  F. 

3°  Appelons  x,y,z  les  coordonnées  du  pôle  de  CD;  l'équation  de  cette  droite  par  rapport  à  la 

conique  r  es1 

\i         M         /i  0, 

ou  i[ax0  -+-  by0  H  cz„   œo -1- |tyo  —  Xa>)(Yt/ —  m2Zz)  —  (j/g  —  m**;] 

aX-h&Y-t-cZ)(aa:-+-pty  —  Xa;)  —   y*  —  m!zj    ,\_i\_A    oar  +  by  -+-  cz)  =  0 
11  l'an i  exprimer  que  cette  droite  coïncide  avec  CD;  on  a  ainsi 

P(aX-t-pT  —  XX)  —  H(*r,  Yy  —  mrZz   =  p(aX-héY-f-cZ), 

»./■„  -+-  Jy0  -4-  c;0 


d  par  II   la  constante     -J 


en  désignant  pai   P  la  fonction  linéaire    ax- 

déduit  de  là 

l'a  —  iv        a?, 

Pji  —  11'/  xXq  --  >'/,  —  /.;■„      -  /;?, 
Il///-':  =  cp. 

Il  n'y  a  plus  qu'à  éliminer  X  et  p  entre  ces  trois  équations  ;  mais  il  vaul  mieux  ajouter  l'équation 
X'    el  éliminer  X,  >.'  el  p  entre  les  quatre  équations  ainsi  obtenues.  <  in  trouve  immé- 
diatement 


=  0, 


a 

\'x 

p 

0 

b 

Dfl 

1   P 

II 

H.V 

c 

0 

II 

Hm  ; 

0 

1 

./',. 

1 

a 

-, 

1 

il 

b 

p 

0 

".'/ 

r. 

Il 

i) 

—  II  m-: 

0 

ax„  ■+-  ptjo 

Xo 

P 

PHYSIQUE  453 

Cette  équation  représente  deux  droites,  la  droite     P  =  0,     qui  correspond  à  celle  des  coniques  r  qui 
se  réduit  à  deux  droites  dont  l'une  est  CD,  et  une  autre  droite  qui  est  le  véritable  lieu  du  pôle  de  CD. 
4°  Si  le  point  E(x0,  y0,  z0)  décrit  une  droite     Ax  -+-  By  ■+■  C:  =  0,     on  a  la  relation 

Ax»  -t-  Bi/o  +  C:„  =  0, 
et  l'on  obtient  le  lieu  du  point  F  en  éliminant  a-,,,  y0,  :0  entre  les  trois  équations 
.ri/„  —  yx6  =  0,  kx0  -+■  By0  -t-  Cz0  =  0 

et  (y3  —  m-z-  n.r„  -+-  /»/„—  c:„  ,r„ —  yl — mazjj    ax  -h  by  ■+■  cz)x  =  0. 

A./'  -+-  by 
Les  deux  premières  donnent  des  quantités  proportionnelles  à  a\„  j/0,  z0,  les  nombres  a\  y  et — -  ; 

il  n'y  a  plus  qu'à  remplacer  ces  nombres  par  les  valeurs  ainsi  trouvées  dans  la  dernière  équation.  On  a 

ainsi 

/           ,            A.r-4-By\       U   .          ,  ' Ax  -+-  B7  .-"1 
[y1  —  mV)  (  ax  -+-  by  —  c — -1 —     y-  —  m1- — — —  \{ax  -+-  by  -+-  cz)  =  0, 

avec    x  =  0  ;     et  finalement 

x  =  0,  Ar  -+-  By  -+-  Cz  =  0 

et 

Cc(y2  —  mh'-)  —  m\ax  -+-  by  -+-  cz)\Ax  -+-  By  —  C;)  =  0. 

Cette  dernière  équation  représente  le  véritable  lieu  :  c'est  une  conique  qui  passe  aux  points  C  et  D. 

C.  BABTHE  (lycée  de  Bar-le-Duc). 

Nous  avons  reçu  aussi  de  M.  Barlhe  une  1res  bouue  solution  géométrique. 

Solution  géométrique.  —  Faisons  une  transformation  liomographique  de  manière  que  les  points  C  et  D 
se  projettent  aux  points  cycliques  du  plan  ;  nous  désignerons  par  des  lettres  affectées  d'accents.  A',  B',  M',  etc. 
les  projections  des  points  A,  B,  M,  etc.  de  la  première  figure. 

i°  La  conique  fixe  se  transforme  en  un  cercle  fixe  S,  la  conique  variable  en  un  cercle  variable  j;  passant  par 
deux  points  fixes  A'  et  B',  et  rencontrant  le  cercle  S  aux  points  variables  M'  et  N\  La  droite  M'Y  rencontre  A'B' 
en  un  point  O',  qui  a  même  puissance  par  rapport  au  cercle  S  et  à  tous  les  cercles  passant  par  les  points  A' 
et  B'.  Il  en  résulte  que  le  point  0'  est  fixe  ;  la  droite  MN  passe  donc  par  un  point  fixe  situé  sur  AI!. 

2°  La  conique  V  se  projette  suivant  le  cercle  r  passant  par  les  points  M',  Y,  E'.  La  droite  O'E'  rencontre  ce 
cercle  en  un  deuxième  point  F',  et  l'on  a 

CFË'  .  (VF  =  WW  .  TFS'  =  OT  .  WÏÏ  =  constante, 
ce  qui  montre  que  le  point  F'  est  \i\e. 

3"  Le  pôle  de  CD  par  rapport  à  la  conique  r  se  projette  au  centre  du  cercle  I"  ;  le  lieu  de  ce  centre  est  la 
perpendiculaire  élevée  au  milieu  de  E'F'.  Le  lieu  du  pôle  de  CD  est  donc  une  droite  qu'on  peut  construire  de  la 
manière  suivante  : 

On  prend  le  point  G  conjugué  harmonique  par  rapport  à  E  et  F  du  point  de  rencontre  de  CD  et  FF,  on  tire 
GC  et  GD,  et  on  construit  la  droite  conjuguée  harmonique  de  EF  par  rapport  à  GC  et  CD  ;  cette  droite  est  le  lieu 
demandé. 

4°  Le  produit  frL'.ÎVF'  étant  fixe,  les  points  E'  et  F'  décrivent  des  courbes  inverses.  Comme  le  point  E'  se 

déplace  sur  une  droite,  le  lieu  du  point  F'  est  un  cercle  passant  par  le  point  0'.  Par  suite  le  lieu  du  point  F  est 

une  conique  passant  par  le  point  0. 

1      y  Albert  LEVASSOR  (lycée  Henri  IV). 

Ont  résolu  la   même   question:   MM.  Adzebah,  à   Montpellier;  K.    Babré,  lycée  de  Douai:   A.  Ladrkadx,  lycée  de   Bcsançou  : 
J.  Lhériaud,  lycée  de  Toulouse  ;  L.  Mabtadd,  lycée  de  Versailles  :  G.  Sugot,  lycée  Saint-Louis. 
Bonne  solution,  mais  tout  à  fait  différente,  de  M.  E.  Bally  (collège  Stanislas;. 


PHYSIQUE 

504.  —  Un  pendule  OM,  mobile  uni,, m-  du  point  0,  est  constitué  par  un  /il  fin  de  longueur  I  et  par 
une  petite  boulé   M   déniasse   m.    A  cette  petite  boule  est  attaché  un  autre  fil  flexible  qui  passe  sans  frot- 
tement dans  un  anneau  très  petit,  A.   et  porte  à  son  extrémité  un  corps  de  masse    \l  :   Vanneau   A   est  situé 
sur  la  verticale  du  point    0    et  la  distance   OA   estégaleà     I  r- L.     Calculer  la  durée  d'une  petite  o 
lation  du  pendule . 


154  CONCOURS    DE    1896 


appelons  p  le  poids  de  la  masse   m,   P  celui  de  la  masse  M.    »  el  (-  les  angles  que  font  respecti- 
vement, à  un  moment  donné,  le  pendule  i>M  el  le  til  MA  avec  la  verticale. 
Les  forces  agissant  sur  la  boule  M  <>iit  une  composante  tangentielle 

p  -in  y.      P  sin    ■ 

•  1 1 1  simplement,  puisqu'on  se  borne  aux  petites  oscillations, 

(p-f-P  >      I"-. 
ou  enfin,  en  appelant  .r  la  distance  très  petite  de  la  boule  a  la  verticale  <  (A, 

hh 

Or,  d'une  manière  générale,  une  force  tangentielle  kx  produit  une  oscillation  dont  la  durée  esl 

,  /  »n 


ml 


«=«y  p+p(i+4)- 


Cette  expression  est  générale,  p  el   P  pouvant  représenter  des  forces  d'origine  quelconque  ;  dans 
le  cas  actuel,  on  peul  remplacer  p  par  ma  et  P  par  M</  : 


f  = 
(Solutions  exactes  de  M.  E.  Barré,  i  Yalenciennes,  et  de  M.  A.  Causse,  k  Castres. 


-\  »c4^) 


CONCOURS  DE  1896    Suite  . 


CONCOl  RS  GÉNÉRAUX  DE  MATHÉMATIQUES  SPÉCIALES. 
Physique     Paris  . 

I.  —  Détermination  de  la  densité  des  vapeurs. 

II.  —  526.  1  n  prisme  de  verre  limité  par  deux  bases  normales  aux  arêtes  el  ayant  la  forme  d'un  triangle 
êquilatéral  tourne  d'un  mouvement  très  rapide  autour  d'un  axe  vertical  parallèle  aux  arêtes  et  passant  par  les 
centres  de  gravité  des  bases,  à  l'intérieur  d'une  pièce  avant  la  tonne  d'un  cylindre  dont  l'axe  coïncide  avec  l'axe 
de  rotation  du  prisme.  Le  diamètre  de  cette  pièce  peut  être  considéré  comme  infini  vis-à-vis  des  dimensions  du 
prisme.  I  De  fente  verticale  pratiquée  dan-  la  paroi  de  la  pièce  laisse  passer  un  faisceau  de  rayons  parallèles  el 
horizontaux  juste  as-ez  large  |>our  couvrir  le  prisme  dans  toutes  les  positions. 

On  demande  de  décrire  les  phénomènes  que  verrait  un  observateur  regardant  les  mur-  de  la  pièce. 
Comment  se  servir  de  cette  disposition  pour  mesurer  l'indice  du  prisme  ' 

ï  h.  1\2  à  S  h.  i   8. 

Chimie    Paris  . 

I.  —  Etudier  les  combinaisons  hydrogénées  du  phosphore,  de  l'arsenic  et  du  silicium. 

II.  —  527.  —  Pour  déterminer  les  chaleurs  de  formation  de  l'hydrogène  phosphore  g  tzeux,  de  l'hydrogène 
arsénié  el  de  I  hydrogène  silicié,  on  fait  arriver  les  gaz  lmlle  à  bulle  dan-  un  excès  de  brome.  Le  brome  n  cou- 
vert d'une  épaisse  couche  d'eau  est  placé  dans  un  tube  de  verre  immergé  dans  l'eau  d'un  calorimètre. 


CONCOURS    DE    189G  455 


Les  dégagements  de  chaleur  observés,  évalués  en  grandes  calories,  et  les  augmentations  de  poids  du  tube  à 
brome  sont  respectivement  : 

Pour  l'hydrogène  phosphore,         1^1,432      et       0Kr,194  ; 
arsénié,  1     ,064      —      0    ,390  ; 

silicié,  1     ,688       —      0    ,128. 

Par  quelles  réactions  chimiques  et  par  quels  procédés  d'analyse  pourrait-on  vérifier  les  réactions  produites 
au  sein  du  calorimètre  ? 
Données  numériques  : 

Les  quantités  de  chaleur  dégagées  par  l'oxydation  complète  du  phosphore  ordinaire,  de  l'arsenic,  du  silicium 
cristallisé  en  présence  d'un  excès  d'eau  sont  respectivement 

405cal,4  225,4  211,). 

D'autre  part,  la  réaction     H  -+-  Br  liquide  =  IIBr    dissous  dégage    29cal,5. 
De  même  H-  -+-  0  =  11-0  —  69     . 

P  =  31,  As  =  75,  Si  =  28. 

[ior  juin,  de  8  h.  US  à  S  h.  1/2.) 

ÉCOLE  POLYTECHNIQUE 
Physique  et  Chimie. 

Physique .  —  1.  —  Conditions  de  justesse  et  de  sensibilité  d'une  balance.  (On  ne  décrira  pas  l'instrument.) 
11.  —  Détermination  de  la  densité  d'une  vapeur  à  une  température  très  élevée. 

Chimie.  —  Préparation  de  l'acide  sulfurique  par  le  procédé  des  chambres  de  plomb.  (Théorie  et  pratique.) 

iO  juin,  de  7  h.  à  10  h.) 
Mathématiques. 

528.  —  On  donne  un  cercle  C,  qui  a  pour  équations  en  coordonnées  rectangulaires  :  x  =  a,  et 
y1  -+-  «2  =  a-.  On  considère  :  1°  le  cône  S  qui  a  pour  base  ce  cercle  et  pour  sommet  le  point  de  l'axe  0-  qui 
est  à  la  distance  \a  de  l'origine  ;  2°  la  surface  S!  engendrée  par  des  droites  parallèles  au  plan  des  xy,  et  qui  s'ap- 
puient sur  l'axe  0-  et  sur  le  cercle  donné.  On  demande  : 

I.  —  De  former  les  équations  des  deux  surfaces  S  et  Si  ; 

II.  —  De  trouver  l'expression  du  sinus  de  l'angle  des  plans  tangents  aux  deux  surfaces  en  un  point  du  cercle 
qui  a  pour  cote    z  =  -m,     et  de  calculer  ce  sinus,  avec  trois  décimales  seulement,  pour    X  =  — -    et    \x  =  ±—  ; 

III.  —  De  déterminer  l'intersection  des  deux  surfaces  ;  d'en  consti 
suivre  les  principales  transformations  quand  À  varie  de  zéro  à  l'infini 


111.  —  De  déterminer  l'intersection  des  deux  surfaces  ;  d'en  construire  deux  projections  pour    X  =  — -  ;    d'en 


11  juin,  de  7  II.  a  11  h.) 
Calcul  trigonomélrique. 

On  donne  les  trois  côtés  d'un  triangle  : 

a  =  256i8m  ;  b  =  32907m  ;  c  =  29763m. 

Calculer  les  trois  angles,  la  hauteur  CH,  et  la  surface  du  triangle. 

(il  juin,  de  1  h.  i;-j  à  6  h.) 

Géométrie  descriptive. 

529.  —  On  donne:  1°  un  paraboloïde  de  révolution  à  axe  vertical,  ayant  son  foyer  à  57mm  au-dessous  du 
sommet,  lequel  a  ses  projections  horizontale  et  verticale  à  170mm  et  37omm  au-dessus  du  bord  inférieur  de  la 
feuille,  et  à  220mm  du  bord  gauche  ;  2°  un  cône  de  révolution,  dont  une  section  méridienne  se  compose  de  deux 
lignes  droites  :  l'une  parallèle  aux  deux  plans  de  projection,  et  passant  par  le  sommet  du  paraboloïde  ;  l'autre  ver- 
ticale se  projetant  à  100mm  du  bord  gauche  de  la  feuille.  On  ne  considérera  que  la  nappe  de  ce  cône  qui  se  pro- 
jette verticalement  au-dessous  de  la  première  des  deux  lignes  indiquées  et  à  droite  de  la  seconde. 

La  courbe  d'intersection  de  ce  cône  et  du  paraboloïde  sert  de  directrice  à  un  second  cône  ayant  même  som- 
met  que  le  paraboloïde. 

On  demande  de  représenter  par  ses  projections  le  solide  commun  aux  deux  cônes  supposés  pleins,  et  limités 
intérieurement  par  un  plan  horizontal  II,  situé  à  Si""11  au-dessous  de  leurs  sommets. 


456 


CONCOURS    DE    1896 


On  tracera  en  traits  pleins  noirs  les  lignes  d'intersection  des  deux  cùnes  et  du  plan  H. 

On  indiquera  en  traits  rouges  le  contour  apparent  vertical  du  parabololde,  el  la  construction  :  lu  des  points 
les  plus  hauts  et  les  plus  bas  de  la  courbe  d'intersection  des  deux  cônes  limitée  au  plan  11  ;  2°  d'un  point  de  la 
trace  du  cône  de  révolution  sur  le  plan  11  de  la  tangente  en  ce  point. 

y:'  juin,  de  ?  h.  à  1 1  h. 


ECOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE 

Mathématiques. 

530.  —  1°  On  considère  une  courbe  plane  telle  que  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  quelconque  de 
ses  poinls  s'expriment  au  moyen  du  paramètre  (  par  les  formules 

x  —  al-  +  lit-  +  cl,  y  =  *'-. 

Quels  doivent  être  les  coefficients  a,  b,  c  pour  que  les  cosinus  directeurs  de  la  tangente  en  un  point  quel- 
conque de  la  courbe  soient  des  fonctions  rationnelles  de  '  .'  Démontrer  que  (pûtes  les  courbes  que  l'on  obtient 
ainsi  xint  semblables  et  semblablement  placées. 

2"  Evaluer,  pour  l'une  d'elle,  la  longueur  de  la  boucle  située  au-dessous  du  point  double. 

3"    Considérant,  en  particulier,  la  courbe   C)  que  représentent  les  formules 


3 


y  =  '-', 


on  lui  mène  deux  tangentes  parallèles,  de  coefficient  angulaire  m  :  Déterminer,  en  fonction  de  m,  les  coordonnées 
du  point  où  la  courbe  (C  est  rencontrée  par  la  droite  qui  joint  les  points  de  contact  de  ces  deux  tangentes,  et 
trouver  l'enveloppe  (E)  de  cette  même  droite,  variable  avec  m. 

4°  Former  les  équations  des  tangentes  menées  a  la  courbe  E)  par  un  point  A.,  de  la  combe  (.  ,  correspon- 
dant à  la  valeur  ta  du  paramètre  (.  Quelle  est  celle  de  ces  droites  qui  rencontre  la  courbe  C  .  abstraction  faite 
de  Ao,  en  deux  points  où  les  tangentes  sont  parallèles  ? 

5°  Dans  l'espace,  on  considère  la  courbe  (K)  définie  par  les  équations 

x  =  3  ~  T  '  y  =  -1' 

ainsi  que  les  cylindres  S)  et  (S')  qui  la  projettent  respectivement  sur  les  plans  des  xy  el  des  .,•;.  Ces  deux 
cylindres  se  coupent  suivant  une  autre  courbe  (K').  Former  l'équation  du  cylindre  qui  projette  k  sur  le  plan 
des  y:. 

6"  Trouver  le  lieu  «les  points  d'intersection  des  tangentes  à  la  courbe  K')  en  deux  points  situés  sur  une 
même  génératrice  du  cylindre  (S').  On  figurera  la  projection  de  ce  lieu  sur  le  plan   des  ;/;. 

(  15  juin,  durée  <;  heures.} 


Physique. 

1.  —  Comment  fait-on  une  pesée  au  moyen  d'une  balance  de  précision? 

11. — 531.  —  Soit  un  tétraèdre  formé  comme  il  suit  :  les  deux  arêtes 
opposées  AI!,  CD  sont  perpendiculaires,  en  leurs  milieux  M,  N,  à  une 
môme  droite  MN  et  égales  au  double  de  MN  ;  de  plus,  elles  sont  perpendi- 
culaires entre  elles  ;  il  en  résulte  que  les  dièdres  Ali,  CD  du  tétraèdre  sont 
droits. 

Etudier  comment  se  comporte,  en  tant  que  prisme  à   réflexion  totale,  un 
morceau  de  verre  ayant  la  forme  de  ce  tétraèdre  :  la   lumière  tombe  à  peu 
près  normalement  sur  l'une  des  faces  du  dièdre  AB  et  sort  par  l'autre  face  du 
même  dièdre  après  s'être  réfléchie  à  l'intérieur  du  dièdre  CD. 
Que^ell'et  produit  un  prisme  de  cette  sorte,  disposé  devanl  l'objectif  d'une  lunette  astronomique  '.' 

/(;  juin,  ilui  it  S  heures. 


ECOLE   NAVALE  457 


DEUXIEME     PARTIE 


ECOLE  NAVALE    Concours  de  1896. 


Géométrie  analytique . 

525.  —  Oxtj  étant  deux  axes  rectangulaires,  on  considère  toutes  ïeshyperboles  équilatères  tangentesen  O 
<i  t'axe  des  y  et  dont  un  <!■  s  axi  -  passepar  un  point  fixe  \  de  l'axe  des  x. 

Trouva  le  lieu  il-  s  centres  et  le  lieu  des  foyers  démonstration  géométrique  : 
distinguer  sur  lelieu  des  foyers  les  points  qui  corn  tpondeni  aux  foyers  se  trou- 
vant sur  l'axe  passant  par  A  des  points  qui  correspondent  aux  )  wvant 
sur  l'axe  perpendit  ulaire. 

Trouver  lelieu  des  sommets,  l  en  coordonnées  polaires,  enprenant 

pOU  point    A. 

Par   chaque  point  du  plan  passent  deux  de  ces  hyperboles  :   Distinguer  les 
régions  duplan  qui  correspondent  à  des  hyperboles  réelles. 

On  prendra  comme  paramètre  variable  l'angle  a  que  fait  Vaxe  de  l'hyperbole  passant  par  A  ai- 
des x,   et  on  posera    OA  =  —  a. 

Toutes  les  hyperboles  équilalères  qui  passent  par  l'origine  des  coordonnées  et  sont  tangentes  en 
ee  point  à  l'axe  des  y,  sont  représentées  par  l'équation 

x*  +  2Bxy  —  y2  +  ZDx  =  0. 
L'angle  o  dont  il  faudrait  taire  tourner  les  axes  de  coordonnées  pour  les  rendre  parallèles  aux  axes 

/                    2B    \ 
de  la  courbe  est,  d'apivs  une  formule  connue     I  tg  2a  = 1,     donné  par  1  équation 

l     2o  =  B 

L0    -f    1J. 

Avec  cette  condition  nouvelle,  l'équation  générale  des  hyperboles  devient 

x"-  +  2  cy  tg  2<?  —  >f-  +  2Djs  =  0. 

Le  centre  a  pour  coordonnées  la  solution  du  système 

x  +  '/  tg  2<?  +  D  =  0    )  [    x  =  —  D  cosJ  2<= 

ou  bien  l 

c  tg2a  —  y  =  0     )  (     y  =  —  D  sin  2a  cos  2<j . 

L'un  des  axes  de  l'hyperbole  a  donc  pour  équation 

y  -+-  D  sin  2<j>  cos  2=-  =  (x+  D  cos2  2=    tg 
Pour  que  cet  axe  passe  par  le  point  A  donné,  on  doit  avoir 

D  sin  2o  cos  2=  =  (—  a  +  D  cos-  2<?)  (g  <?. 
Cette  équation  donne  la  valeur  de  D  : 

D  cos  2o  'sin  2o  eos  o  —  cos  2o  sin  o)  =  — a  sin  o, 

a 

c'est-à-dire  D  = —  • 

cos  2o 

En  résumé,  l'équation  d'une  hyperbole  équilatère  remplissant  toutes  les  conditions  de  l'énoncé  est 
(1)  c2  —  y2)  cos  2a  +  tcy  sin  2<=  —  2aa:  =  0. 

Les  coordonnées  du  centre  sont 

x  —  a  cos  t--.  y  =  a  sin  2o. 


458 


ECOLE    NAVALE 


Quand  Ç  varie,  lp  centre  de  l'hyperbole  décrit  donc  le  cercle 

x-  +  y-  —  a-  =  0, 
qui  a  son  centrée  l'origine  el  passe  par  le  point  donné. 

I.ii.i   des  foybrs.  —  Les  équations  des  hyperboles  de  lMiicker 

i  a -<:/■. r.  V)  =  (/?)*_  ,        et       \m*,y)  =  nn 

deviennent  ici 

2  cos  2-f  (a •-'  —  7-   cos  2s  -t-  2.11/  sin  2<p  —  Sa  i  C  cos  2o  -(-  y  sin  2o  —  a)'2  —  (x  sin  2o  —  y  cos  2o;5. 

et       sin  _-    i        '/-)  cos  2a  +  2j</  sin  2-i  —  c2ai-   =  [a;  cos  2o-t-»/  sin  2s  —  o'  '.r  sin  2s  —  y  eus  2s). 
Après  des  réductions  simples,  ers  équations  s'écrivenl 

x2  —  y-  —  _  -  >/  sin  2o  i  —  «'-  =  0, 

et  xy  —  a(x  sin  2s  4-  ;/  cos  2o)  =  0. 

Pour  éliminer  s.  nous  écrivons  ces  équations  tic  la  manière  suivante  : 

a(x  cos  2o  —  >/  sin  2s  i  = — ; —  i 

a  x  sin  2o  -+-  y  cos  2o)  =  xy  . 

jmis  dous  élevons  au  carré  el  nous  ajoutons  membre  à  membre,  ce  qui  donne 

(a?'- -+ y"')-'       2a-(x-  -y-)        a- 
'.  i  4   ' 


a'2(a;2  +  »/2 


OU  bien 


(x2  +  »/-         2a    i J  +  ?/'-' 


4  I  '. 

i  iu  encore  (a'2  -+-  y"-  —  a-  -  —  -\a-x-  =  0, 

c'est-à-dire  (x- -h  y-  —  2ax  —  a-)  x-  +  y-  +  2ax  —  a-)  =  0. 

Le  lieu  îles  foyers  se  compose  donc  de  deux  cercles  symétriques  par  rapport  à  l'axe  îles  y,  ayant 
leurs  centres  sur  l'axe  des  ar,  à  la  distance  a  de  l'origine,  et  un  rayon  égal  à    n\  t. 

Démonstration  géométriqi  e.  —  Considérons  une  hyperbole  équilatère  rapportée  à  ses  axes,  et  soit 
jl  —  y-  —  /■-'  =  0     son  équation.  La  normale  au  point  0  .<■,,  j/0  est  représentée  par 

ïLzfî+LzlL^o,  ou  bien  * +1-2  =  0. 

x,  y,  xl      y, 

Elle  coupe  les  axes  de  l'hyperbole  en  des  points    \   et   A'  situés 

à  des  distances  du  centre  C  respectivement  égales  à  ix>  et  2yf,  île 

sorte  que  la  droite  »:<>  qui  joint  le  centre  au  poinl  d'incidence  0  est 

médiane  du   triangle  rectangle    ACA'.    Si   donc   on   suppose   fixes 

le  point  0  el  l'un  des  points  A  ou  A  ,  le  centre  C,  supposé  mobile, 

décrira  le  cercle  ayant   0  pour  centre  et  OA  pour  rayon. 

De  plus,  l'hypoténuse  du  triangle  rectangle  étant  fixe,  chacun  des 
axes  de  l'hyperbole  variable  passe  par  un  poinl  fixe,  et  ces  deux 
points  s. >nt  symétriques  l'un  de  l'autre  par  rapport  au  poinl  0. 

Enfin,  l'axe  transverse  de  l'hyperbole  est  dirigé  suivant  le  plus 

grand  des  deux  côtés  de  l'angle  droil  du  triangle  rectangle  ACA  ;  car 

l'égalité  x\       y\  ;  /.-    montre  que  |ari|  surpasse  |j/i|. 

FA    I  A 
Pour  trouver  le  heu  des  foyers   F  et  F.  nous  démontrerons  que  les  rapports  —,  —  sonl  cons- 

c.r, 

tants.  Si  l'on  se  rappelle  que  les  rayons  vecteurs   FO  el    PO  ont  pour  valeurs  respectives a 

el      —  -I     fl,       et  que      C  =  Ofâ,       otlVOlt    que 


ÉCOLE    NAVALE 


459 


FA 
FÔ 


2a?t 


■a^  =  fw, 


et  — -  = 


FA 
FO 


=  /2 


Xi<f%  —  a  F'O        xj  I 

Les  points  A  et  0  étant  supposés  fixes,  on  voit  que  les  points  F  et  F'  décrivent  un  même  cercle,  lieu 
géométrique  des  points  tels  que  le  rapport  des  distances  de  chacun  d'eux  au  point  fixe  de  l'axe  trans- 
verse et  au  point  fixe  de  l'hyperbole  est  égal  à  \l±. 

En  appliquant  ces  remarques  au  problème  proposé,  on  voit  que  le  lieu  des  centres  des  hyperboles 

équilalères  données  est  bien  le  cercle  ayant  0  pour 
centre  et  OA  pour  rayon.  Le  second  axe  de  la 
courbe  passe  par  ,V  symétrique  de  A  par  rapporta 
0.  Le  demi-cercle  BA'B'  esl  le  lieu  des  positions 
du  centre  lorsque  l'axe  transverse  passe  par  A. 
Si  c'est  l'axe  non  transverse  qui  passe  en  ce 
point,  le  centre  décrit  le  demi-cercle  BAB'. 

Cherchons  le  lieu  des  foyers,  l'axe  trans- 
verse passant  par  A  ;  nous  savons  que  ce  lieu  se 
confond  avec  le  lieu  des  points  tels  que  le  rap- 
port de  leurs  distances  à  A  cl  0  est  égal  à  fë  ; 
il  est  visible  que  les  poinls    B  cl  B  en  font  partie  ; 

on   les   obtient   quand  o   étant  égal  à    ±  —  ,    le 

centre  C  est  aussi  en  B  ou  B'.  Lorsque  l'angle  tp  est  nul,  le.centre  est  en  A',  le  demi-axe  transverse  de 
l'hyperbole  est  A'O  et  les  foyers  sont  en  D  et  D'  à  une  distance  de  A'  égale  à  a^/ï .  On  vérifie  sans  peine 

DA         D'A 

que  les  rapports   — —  et  — -    valent  tji  ;  le  lieu  des  foyers  esl  donc  le  cercle  qui  a  A'  pour  centre  et 

A'B  pour  rayon.  On  voit  aussi  que  le  demi-cercle  BA'B'  esl  le  lieu  des  milieux  des  cordes  du  cercle  lieu 
des  foyers  lorsque  ces  cordes  tournent  autour  du  point  lixe  A. 

Si  l'axe  transverse  passe  par  le  point  A',   les  foyers  tracent  évidemment  le  cercle  symétrique  par 
rapport  à  Ot/  de  celui  qu'on  vient  de  trouver. 

Lieu  des  sommets.  —  Nous  considérons  seulement  le  cas  où  c'est  l'axe  transverse  qui  passe  par  le 
point  A  donné.  Il  est  clair  que  quand  cet  axe  passe  par  A'  le  lieu  est  symétrique  du  premier  par  rap- 
port à  l'axe  des  ;/. 
L'équation  de  l'axe  transverse  est  alors 

,j  =  (x  +  a)  tg<p, 

-  y'1 


d'où 


On  en  lire 


[x  +  af  +  y* 


et 


-l'x  +  a)y 


(•'•■ 


En  remplaçant  dans  l'équation  (1)  et  chassant  le  dénominateur,  on  a  l'équation  du  lieu  : 

(x'1  —  >/-)[(x  +  a)'  —  y-}  +  4x(x  -+-  a)y-  —  2ax[(x  +  a)1  +  ?/-]  =  0. 
La  courbe  est  du  4e  degré  ;  elle  passe  pour  l'origine  et  a  pour  tangente  en  ce  point  l'axe  des   y. 
Portons  l'origine  au  point  A,   c'est-à-dire  remplaçons  x  par   x  —  a  ;  nous  obtenons 

[(x  —  a)'2  —  )J']{x-  —  y'1)  +  i(i-  —  a)xij-  —  2a(x  —  a)(x-  +  ;/-)  =  0. 
Développons  partiellement  et  simplifions 

(a;2  —  y-  —  2ax  -+■  a-)(x-  —  i/-)  -+-  ix-y'1  —  iaxy'1  —  iiax(x-  4-  y'1)  -+-  2n-(.j;-  +  i/'-j  =  0. 
(x'1  ■+-  y-f  —  kax[x-  +  y-)  +  a'2(3x2  +  T)  =  0. 
L'origine  nouvelle  est  un  point  isolé. 
Posons  x  =  p  cos  io,  y  =  o  sin  w; 


160 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX 


en  ili\is;mi  tous  les  tonnes  par  y.  nous  avons 

p2  —  Aap  cos  10  -+-  a2(2  cos2  t.)  +  1  ) 

d'où 


o, 


p  =  a(2  cos  w  db  v'cos  2 

Nous  voyons  que  l'angle  o)  ne  peut  varier  que  de    — —      à    +— >     la  courbe  est  symétrique  par 
rapport  à  l'axe  polaire  et  les  rayons  vecteurs  de  tous  ses  points  s'obtiennent  en  ajoutanl  el  retranchant 

aux  rayons  vecteurs  des  points  du  cercle     p=  2a  cos  co,     lieu 
des  centres,  la  longueur  variable    a/cos  2<o. 

Delà  résulte  pour  la   courbe  la   forme  indiquée  sur  la 
figure. 

Remarque.  —  On  peul  aussi,   pour  obtenir   le   lieu    des 

si  un  h  ii 'i  s.  remarquer  que  dans  le  triangle  rectangle  CA'F,  on  a 

CF  =  v'^o-  —  4a-  sin-  tu  =  &fà\  cos  l 

En  divisant  cette  longueur  par  s  2,  on  a  la  longueur  qu'il 

faut  ajouter  el  retrancher  à    A»',  pour  avoir   les  sommets   de 

l'hyperbole  donl  l'axe  esl    AC. 

SÉPARATION    DES    RÉGIONS    DU    PLAN    PAR    CHAQUE    P0IN1     DES -    PASSENT    DES    UYPERBOLES    RÉELLES.— 

L'équation     I     dans  laquelle  nous  remplaçons  cos  2<=   et  sin  2o  par  leurs  valeurs  en  fonction  de   tgo 

devient 

x-  —  y-    1  —  tg2  <?)  +  4a:y  tg  o—  2a.r{l  +  tg2  o)  =0 

ou  bien  -  x-  —  2a.r)  tg2  ç  -+-  4a?;/  tg  o  +  x-  —  ?/'-  —  2a.r  =  0. 

Si  l'on  suppose  d< :s  x  el   y,   cette"  équation  détermine   tgo,  et  à  chaque  valeur  réelle  de   tg  c 

correspond    une    hyperbole  réelle.    Or,   la   condition    de  réalité  des 
racines  est 

ix-y-  +    i-  —  //-'  +  2a r   r-  —  y1  —  2aa         0, 
i  esl  à-dire  (x2  -+-  y2)2  —  40***  >  0, 

ou  enfin  x-  +  y-  —  2ax)(a;2  +  i/2  -+-  -lax)  >  0. 

La  ligne  séparatrice  se  compose  donc  de  deux  cercles  symétriques 
par  rapporl  à  Oy,  ayant  pour  centres  les  points  \  et  A',  pourrayonsa. 
Par  tous  les  points  extérieurs  à  ces  cercles  on  peut  faire  passer  deux 
hyperboles  réelles  ;  aucune  d'elles  ne  passe  parles  points  intérieurs 
Ces  cercles  constituenl  ['enveloppe  des  hyperboles  considérées. 

E.    1). 


QUESTIONS   POSEES    AUX    EXAMENS   ORAUX 


ÉCOLE    CENTRALE  (1895) 

Arithmétique    M.  i.omiuhï  . 

222.  —  Trouver  les  nombres  qui,  divisés  séparément  pai  36  et  par  13,  donnent  des  restes  inférieurs  à  3. 

223.  —  Le  nombre  5136  étant  écrit  dans  le  système  de  base  7,  le  transcrire  dans  le  systèi le  base  10. 

224.  —  Divisibilité  pai   13,  par  37. 

225.  —  Dernier  chiffre  du  produit    3714"  x  2528'. 

226.  —  Reste  de  In  division  de  7983"  par  il.  de  39I5!  par  7. 

227.  —  Trouver  20 nbres  i  onsécutifs  tels  qu  aucun  d'eux  ne  soit  prei r 

228.  —  Tout  nombre  premier  supéricui  à  3  esl  de  la  Ibrmi     6»i    I    I.    I iciproque  esl  elle  vraie  ! 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  461 


229.  —  Si  a  et  b  sont  deux  nombres  premiers  entre  eux,  il  existe  deux  nombres  entiers  a  et  3  positifs  on  négatifs,  tels 
que  Ion  ait    «j  +  ft3  —  i,    ,.|  réciproquement. 

230.  —  A,  R,  C  étant  trois  nombres  entiers,  a  le  plus  grand  commun  diviseur  des  produits  de  ces  nombres  deux  à  deux. 
le  plus  petit  commun  multiple  des  trois  nombres  est  — J  •  A  quel  caractère  reconnaît-on  le  plus  petit  commun  multiple  de 
plusieurs  nombres  ? 

231.  —  Quelle  est  la  plus  haute  puissance  de  7  qui  divise  le  produil  Mes  1000  premiers  nombres,  la  plus  haute  puissance 
de  H  qui  divise  le  produit  des  10  000  premiers  nombres? 

232.  —  be  produit  de  p  nombres  entiers  consécutifs  est  divisible  par  le  produit  des  p  premiers  nombres  entiers. 

233.  -  On  considère  le  produit     I>  =  1.2.3. .  .p.    Si    p -M     est  un  nombre  premier,  P  n'est  jamais  divisible  par    p+\. 

234.  -  Condition  pour  qu'une  friction  irréductible  —  soit  égale  à  une  fraction  dont  le  dénominateur  est  une  puis- 
sance de  15. 

233. -  étant  une  fraction  irréductible,  —  est  elle  irréductible  ? 

h  bs 

23G. —     —  étant  deux  fractions  irréductibles,  conditions  pour  que    - — +   a     soit  irréductible 

''        "  bb' 

I            1 
237.  —  a,  h,  c  étiint  trois  nombres  entiers,  conditions  pour  que 1 1-  . 


'<  c  abc 

238.  —  m  étant  la  racine  carrée  à  une  unité  près  par  défaut  du  nombre  N,  on  pose     N  =  n'  -+-  R  ■     limite  supérieure 

de  K. 

230.   —    n   désignant  un  nombre  entier,  montrer  que  n  est  la  racine  carrée  à  une  unité   près   par   défaut   du  produit 

tin  +  2). 

240.  —  Extraire  la  racine  cubique  du  nombre  75012.  Faire  la  théorie  sur  cet  exemple. 

a  a'         a"  

241.  —  On  a  les  égalités    —  =  —-  =  —;     en  déduire    \J  ab  +  y/  a'1'    +  \l  0,'b"   =  y/  a  +  a'  +  a"  .  y/  b  +  b'  -h  b"  . 

n,n        c  ■»     a     ^   "•'     ,   °"  v  .  ii     i-    •  -,  a  +  a'  -+-  a"  , 

242.  —  Soit     — -  <   —7-  <    — -  •      —  faille  quelle,  liiiules  e>|  rumpns  le  laiiiioi  I   .' 

'/  b  h  b  -+-  b'  -+-  b" 

243.  —  Escompte  en  dedans;  escompte  commercial.  Calculer  la  différence  de  deux  escomptes. 

244.  —  On  va  à  la  poste  et  on  demande  un  mandat;  quelle  est  la  somme  portée  sur  le  mandat  sachant  qu'on  a  versé 
321'.  Le  droit  perçu  est  de  1  0/0. 

245.  —   Quelle  somme  retiendra-t-on  sur  un  billet  de  Ar  payable  à  35  jours  si   on  veut  le   toucher  aujourd'hui,  l'es- 
compte commercial  étant  de  i  1/2  o/o? 

24<>.  —  Quelle  est  la  valeur  nominale  d'un  billet  qui  a  été  escompté  à  4  1/2  0/0  sachant  qu'il  avail  à  courir  35  jours  et 
qu'on  a  touché  25361'  ? 

247.  —  Calculer  le  produit  de  11,73  par  132,83  à  0,01   près,  par  la  multiplication  abrégée. 

248.  Calculer  à  0,01  près  les  produits  suivants  : 

3,15Xy/7T,  2,71  X  y/377,  0,48  X  y/4377a6,  4,817x^0^528- 

240.  —  Calculer  le  quotient        '  à      —    près. 

0,i;j  28 

250.  —  Calculer  a  0,0 1  près  les  quotients  : 

y/27738               0,47  X  y/3748               14,17x^83^  3,48  y/.-jJTJ 

3,46                          23                                 3/21  v'STT?  '  y/jf^  ' 

v/TTÏÏÏ  3,821                13 ,3 18  75,13 

v/77ô5  ^2775'           J/273o  '  yVTÔ^S 


Algèbre  (M.  Combette). 

i  1  1 

251.  —  Rendre  rationnels  les  dénominateurs  des  fractions     77= — 77='     77= — 77=  >     ~f= — 77=' 

yn  -  ;/ b      y  s  —  yi       y/r -+-  y  3 

252.  —  Résoudre  par  la  méthode  de  Rezout  un  système  de  trois  équations  du  premier  degré  à  trei^  inconnues. 

253.  —  Résoudre  les  systèmes  d'équations  : 

x  -+-    y -h    3:  =  1,           3,c  —  2y  +    s  =  11,  3»  -+■  2y  —  52z=  11, 

2.c  +  '■>!!  4-    62  =  2,            !i.r  +  3y  —  2;  =    8,  2x  —    y  +  302  =  12, 

iX  +  9y    t-  12;  =  3  ;            S.r  +    y  —    ;  =  10  ;  5.ç   H    ;/  —  22;  =  23. 

254.  —  Résoudre  les  équations    ax  +  bij  +  cz  -h  d  =  0,    a'x  +  Il  ij  +  e'Z  +  d'  =  0. 


162  QUESTIONS   POSÉES    A.UX    EXAMENS   ORAUX 

255.  —  Limites  des  racines  de  l'équation    a*1       bx      <       0,    quand  a  tend  vers  0. 

25»;.    -  Reli n  entre  les  coefficients  de  l'équation     "        bx  ■   c=0     pour  que  te  cube  d'une  racine  soit  égal  au 

carré  de  l'autre  ;— pour  que  les  deux  racines  ■vérifient  la  relation    m   ■  pa  i-  gp  =  0. 

257.  Étant  données  les  deux  équations    ax        bi       c       B,    n'a        Vx       c'  =  0, 

condil s  poui  qu'une  raci le  la  première  soil  double  .l'une  racine  de  la  seconde  ;  pour  que  i  étant  racine  de  la  prem 

j    soil  racini  de  la  seconde  ;  —  pour  que  i  et  (3  étanl  les  racines  de  la  première,     *   •    -'.     ,-       î    s ni  les  racines 

de  la  seconde. 

258.  --  Démontrer  qu'on  peul  toujours  décompose!  un  trinôme  bicarré  en  un  produil  de  facteurs  réels  du  second  degré. 
Indiquer  un  procédé  pratique. 

259.  Résoudre  les  équations    x*  —  i  =  0,    x"  -    i       0.    Si  x,  ;.  son!  deux  racines  d'une  pareille  équation,  «'3'  est 
aussi  racine  de  cette  équation. 

260.  —  Résoudre  le  système  x  ■  .</  =  a,         .r'-,  if  —  air-. 

261. -Résoudre  les  inég Ss  -^ _ -j—l—- <  __,  _^ _ __i__  < _L_, 

I  ■'      I 
262.  —  Résoudre  leséquations 


l    •    .  ,r  —  y-  =  b,  X  -4-  v  lti  —  ./'•'  =  7,  Xr  —  1  =  v'.;:  —  5,  x  —  1  =  2/a:  -4-  3,  J2x  +1  +  Jx  -4-  1  =  1 . 

263.  —  Résoudre  les  inégalités         3  v  —  2  >  VV  -  i,  Sx  4-  i  >  v'2.c4-l,  /7s  —  i  >  x  —  2. 

264- —  Démontrer  les  formules  C         C     i      I  I         Ci    .  t -2C '. '.■  l-CEi. 

265.  —  Calculer  la  somme  CS,  hC  C5  Cj , 

266.  —  Permutations  avec  répétition. 

267.  —  Calculer  la  s le  S  =  1  -t-  2q  +  3q-  -t-  . . .  -t  nq 

1  l  1  1 

268.  —  Démontrer  que  la  série  —  +  „ _^  t+  „  ,  „  +  •••  +  ~  est   divergente    comparer  n  la 

série  harmonique). 


n       «4-10-4-2  a-t-n 


Il                   i                                il 
269.  —  Etudier  les  séries  M h- 1   ...  ■   ...,  t —  ■+-— ...±- 


2'         3* 


270.  —  Etudier  les  séries 


271.  —  Étudier  les  séries 


272.  —  Développemenl  de  e    en  série. 

273.  —  Limite  de    (I       e       pour    £  =  0    sachant  que  lim.    xy  =  a. 

274.  —  Limite  de    1 1  +  r  nom-  x  infini. 

\        :"    ' 

6 

275.  —  Résoudre  le  système 


14- 

1 

X 

-4 

o 

./■'-' 

4-  ■■ 

i  — 

T 

4- 

1.2 

i  4- 

./■ 

4- 

.r" 
_> 

4-  •• 

.c 

X' 

i 

t- 

ÉCOLE    DES    MINES    DE  SAINT-ËTIENNE   (1895) 
Algèbre. 

78.  —  Etudier  les  séries 


Un  =  tg(a  f  n),  u„  —  tg — >  «„  = 


4rt34-l    ' 


poui  cette  dernière,  trouver  une  limite  de  l'erreur  en  s'arrêtanl  au  terme  de  rang  i> 

a      ./• 

!        u.r 


79.  —  On  donne    y  =  arc  tg  '■ — i     calculer  la  dérivée  de  x  par  rapport  a  cos  y. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAL'X  463 


80.  —  Ou  donne    p  =  sin  e'"-1;    dérivée  de  u  par  rapport  à  p. 

81.  —  On  donne    y*-  —  Ly  —  sin  x  =  0,     calculer  y  t. 

82.  —  Discuter  les  fonctions 


>J  =   ;• 

1    -    ■ 


83.  —  Vraie  valeur  de     : pour    x  =  0 


84.  —  Vraie  valeur  de    r^= rr=    pour    x  =  3. 

v/.r  -  ^3 

.!•—  I 

85.  —  Résoudre  l'inégalité    -= >  ir  —  3. 

86.  —  Séparer  les  racines  dos  équations 

X?  +x-h  3  =  0,  3.r6  +  .i'3  —  »-H 1  =0, 

87.  —  Résoudre  l'équation    x'  +  3  =  0. 

Géométrie  analytique. 

88. —  Construire  les  courbes 

j-  —  !/J  J  —  a?  x?  -■-  >h  —  0  ;  .r5  +  if  —  .r3  -t-  y'-  =  0  ; 

«=ïr!rr      y=^rr+"i;        p:  =  ls:l  -  =  ?' - 3? -  i  :        P  =  sh1M-Nr 

cos  u  .  u  sin  u    . 

o-  :=  sec  — -  i 


3  '        cos  2u 

89. —  Etant  donnée  la  courlie    ;/"  =  ■'"  +  '  +■ pi   trouver  un  point  tel  que  la  normale  en  ce  |  ainl  soit  tangente  à  la 

courbe  en  un  autre  point. 

OO.  —  On  donne  un  angle  el  on  considère  un  cercle  variable  inscrit  dans  l'angle.  D'un  point  extérieur  1>  on  mène  des 
tangentes  au  cercle.  Trouver  le  lieu  des  points  de  contact.  Voir  sans  calcul  si  le  lieu  a  des  points  à  l'infini. 

91.  —Équation  générale  des  hyperboles  ayant  une  droitedonnée  pour  directrice  el  passant  par  un  poiul  donné. 

92.  —On  donne  une  parabole  lixe  P  et  nue  tangente  variable.  On  considère  la  parabole  bomofocale  a  la  parabole  P  et 
ayant  pour  directrice  la  tangente.  Lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  parallèles  à  une  direction  donnée;  lieu  des 
sommets.  On  mène  une  tangente  commune  aux  deux  paraboles,  lieu  des  points  de  contact  avec  la  paiali.de  mobile. 

93.  —  Équation  générale  des  coniques  bitangentes  b  un  cercle  cl  passant  par  deux  points.  Lieu  des  foyers. 

94.  —  On  donne  une  parabole  et  une  corde  variable  Al!  passant  par  le  foyer.  On  construit  le  cercle  de  diamètre  VI!  et 
l'on  demande  le  lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  au  cercle  parallèles  à  la  directrice  de  la  parabole.  Prévoir  la  nature 
du  lieu.  Lieu  du  centre  du  cercle.  Le  lieu  a-t-il  des  branches  infinies? 

95.  —  Une  droite  rencontre  une  conique  au  point  A  et  une  autre  conique  au  point  lî.  Lieu  du  milieu  de  AI!  quand  la 
droite  se  déplace  parallèlement  a  elle-même. 

96.  —  On  considère  les  hyperboles  équilatères  tangentes  à  une  droite  lixe  en  un  point  donné  el  passant  par  un  autre 
point  donné.  Lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  issues  d'un  point  pris  sur  la  droite  donnée.  Lieu  des  centres.  Construire 
l'hyperbole  équilatère  considérée  connaissant  le  point  où  l'une  des  asymptotes  rencontre  la  droite  donnée. 

97.  —  On  donne  deux  axes  rectangulaires,  et  l'on  considère  les  coniques  ayant  l'origine  pour  foyer  et  passant  par  un 
point  sur  O.r  et  un  point  sur  0y.  Lieu  du  deuxième  foyer. 

98.  —  Étant  données  deux  coniques  concentriques,  trouver  un  système  de  diamètres  conjugués  communs. 

99.  —  Par  le  centre  d'une  hyperbole  on  mène  deux  droites  faisant  un  angle  constant  et  rencontrant  la  courbe  en  A  el  B. 
Lieu  du  milieu  de  Ali. 

100.  —  Connaissant  trois  points  d'intersection  d'une  conique  el  d'un  cercle,  trouver  le  quatrième.  Quel  esl  le 
théorème  sur  lequel  on  s'appuie? 

101 .  —  Lieu  d'un  point  tel  que  les  tangentes  issues  de  ce  point  à  une  parabole  soient  parallèles  a  deux  diamètres  conju- 
gués d'une  conique  donnée. 

102.  —  Lieu  des  foyers  des  coniques  circonscrites  a  un  parallélogramme. 

103.  —  Dans  un  trièdre  les  plans  menés  par  chaque  arête  perpendiculairement  à  la  l'ace  opposée  passent  par  une  même 
droite. 

ÉCOLE    NAVALE    ' 
532.  —  On  donne  un  cercle  ayant  pour  centre  l'origine  el  un  point  A  sur  Ox.  Par  les  points  0  el  A.  on  l'ail  passer  un 
second  cercle   auquel  on  mène  la  tangente  eu  A.  Lieu  du  point  de  rencontre  de    celle  tangente  avec  l'axe    radical  des  deux 

cercles.  

(*)  Les  solutions  de  cos  15  questious  sct'oul  publiées  succinctement  daus  la  Revue  ;  nos  lecteurs  peuvent  nous  les  envoyer. 


•401  BIBLIOf.RU'HIF. 


.".:}:$.  —  Lieu  des  centres  des  hyperboles  équilatères  tangentes  à  l'origine  à  Oa  el  dont  1  ixe  transe   rsi    i  poui  longueur  2a. 
534      -  Lieu  des  soi ts  des  hyperboles  équilatères  qui  ont  ]  ,        ni  par  un  poinl  \  di   Ox. 

535.  --  Les  parallèles  aux  asymptotes  menées  par  deux  points  \  el  B  d'une  hyperbole  se  coupent  sur  le  diamètre 
conjugué  des  cordes  parallèles  à  Al:. 

536.  —  Construire  une  hyperbole  équilatère  connaissant  deux  tangenti  -  el  les  points  de  contai  t. 

r>:i7.   -  On  donne  deux  points  A.  \ .  sm  l'axe  des  x,  à  égale  distance  de  l'origi i  un  point  i;  sur  l'axe  'les  y.  Equa- 

t î ■  > 1 1  d'une  parabole  p  issanl  pai  les  points  \  el  V  et  tangente  à  la  parallèle  a  l'axe  des  x  menée  par  le  poinl  B.  Lieu  du  point 
de  rencontre  :  1  '  des  i  ingentes,  2°  des  normales  à  la  parabole  en  A  el  A'. 

538.  -  On  considère  un  angle  de  grandeur  constante  ayanl  son  sommel  en  un  poinl  d'une  parabole  donnée.  Lieu  du 
poinl  de  rencontre  des  tangentes  à  la  courbe  en  ses  points  d'intersection  avec  les  deux  côtés  de  l'angle. 

r>3!>.  -  On  donne  la  parabole  ;/■  —  2px  el  un  poinl  P.  Lieu  du  poinl  de  rencontre  des  normales  a  la  parabole  en  ses 
points  de  rencontre  avec  1 1  pol  lire  'lu  poinl  I'.  lorsque  le  paramètre  p  varie. 

540.  —  Lieu  des  foyers  des  paraboles  tangentes  ei t  di   par: :  donné  p. 

541        Formel  l'équation  générale  des  paraboles  de  ]  ngentes  h  l'axe  des  x  et  dont  la  directrice  pnssi   pai 

ne.  Constn le  foyei  el  le  sommel  pour  une  position  donnée  de  la  directrice.  Lieu  du  foyer  el  du  sommet. 

542.  Formel  l'équation  générale  des  paraboles  ayanl  pour  sommet  l'origine  et  passant  par  un  poinl  \  donné  sui  Ox. 
le  foyei  d'une  pareille  parabole  poui  une  dire:  tii  n  d ûe  de  l'axe.  Lieu  du  foyer.  Lieu  du  poinl  de  rencontre  de 

de  la  n laie  en  A  à  la  parabole. 

543.  —  Former  l'équation  générale  des  paraboles  circonscrites  a  un   triangle  rectangle  OAB  :  1  »  Combien  de  ci  -  para 

boles  passenl  p: poinl  donni  'In  plan  ;  quel   lieu  doil  décrire  ce  poinl   pour  que  les  axes  des  deux  paraboles  correspon 

dantes  soienl  rectangulaires  '  21   Par  un  point  donné  du  plan  |  i  ies  de  ces  paraboles  :  quel  lieu  doil  décrire  ce 

poinl   pour  que  deux  des  axes  soient  rectangulaires  ?  Construire  les  trois  axes  qui  passenl  par  un  point  pris  sur  ce  lieu. 
;    i  |{  n  des  projeclions  de  l'origim  i»  sui  les  axes  de  ces  paraboli  s. 

544.  —  Former  l'équation  générale  des  hyperboles  ayanl  l'origine  pour  sommel  el  la  droite  x  =  a  poui  asymptote  : 
lo  Combien  de  ces  hyperboles  passenl  par  un  poinl  donné  M  du  plan  !  Construire  la  seconde   asymptote  pour   une  position 

donnée  du  | il  H.  2°  Lieu  du    second  sommet.  3°  Lieux  des   projecl -  des  deux   sommets  sur  la   seconde  asymptote. 

I    i  i,  n  des  foyers. 

545.  -    "n  considère  l'hyperbole  équilatère  passant  par  deux  points   \  el  B  donnés  sur  Ox  el  admettant  | ■  asymptote 

li  droite    y  =  mx.    Lieux  du  centre  et  des  sommets  quand  m  varie. 

546.  On  considère  les  hyperboles  ayanl  un  foyer  à  l'origine,  passant  par  un  poinl  donné  M  el  admettant  une  asymp- 
tote parallèle  à  Oy.  Déterminei  géométriquement  les  hyperboles  qui  correspondent  à  une  direction  donni  e  de  l'axe  ti  ins 
verse.  Construire  la  directrice  nui  correspond  au  foyer  0  el  les  sommets  situés  sur  l'axe  transverse.  Lieux  du  ci  ntn  cl  des 
sommets,  quand  on  fail  tourner  l'axe  autour  du  point  0.  Construire  ces  deux  lieux  en  supposant  le  poinl  M  situé  sur  Ox. 


BIBLIOGRAPHIE 

Leçons  sur  lu  résolution  algébrique  des  équations,  par  II.  Vogt,  professeur  adjoint  à  la  faculté  des  sciences  de  Nancy. 

Paris,  Nony  et  < 

Voi bon  livre,  courl  et  très  clair.  Ceux   qui   voud I   s'initiei  aux  belles  théories  de  la   résolution  des  équations 

algébriques,  sans  craindre  di   s'égai   le  trop  longues  cl  trop  difficiles  lectures,  1  étudieronl  avec  fruit.  M.  Vogl  pi  sente 

l'abord  les  points  essentiels  de  la  théorie  des  substitutions,  donne  la  uni  ion  de  groupes,  de  s.  ai-  groupes,  de  groupes  simples 

ri  composés.  Il  i Ire  qu'à   chaque  fonction  rationnelle  corres] I  un   groupe  c posé  de  toutes  les   substitutions   qui 

laissent  la  fond invariable  .  réciproquement  êtani  donné  un  _ pe,  on  peut  former  des  fonctions  rationnelles  appartenant 

roupe.  Les  i îtions  rationnelles  des  mêmes  variables  se  distinguent   en  genres,  les  fonctions  d'un  même  ge étant 

exprimables  rationnellement  en  fonction  de  l'une   qui  d'entre  elles  appartenant  au  même  groupe     \|>n-  une  étude 

détaillée  des  r :tions  cycliques  el  métacycliques,  l'auteui  aborde  la  question  de  la  réductibilité  des  fonctions  entières  dans 

un  domaine  de  rationalité  donné  ;  une  fonction  irréductible  dans  un  domaine  peut  devenii  réductible  dans  un  autre  dom: 

obte i  adjoignant  au  prei r  certaines  i stions  algébriques.  Vient  ensuite  la  no lu  groupe  d'une  équati lonnée, 

la  manière   pratique  de   la   former.  Suit  une  étude  détaillée  des  équal s  du    2»,   3°   el    i"   degré,    el  des  recherches  de 

Lagrange.    Iprès    l'auteui  al le  la  question  delà  résolution  algébrique  des  équations,  montre  que   l'équal générale  de 

degn    supérieur  à  i  n'est    pas  résoluble   étudie  la  nal les  équations  spéciales  résolubles.  Les  équations   abéliennes,  et, 

ime  cas    particulier,  les  équations  binômes  l'occupent  ensuite    Puis  il  cherche  quelles  sont  les  équations  luctibles 

résolubles,  de  degrés   premiers,  el   montre  que  leurs  racines  s<mi  exprimables  raiinnneliemeui  m  innrimn  •  !•-  item  clVntrr 
i  Iles   équ  liions  de  Galois  .  Suivent  des  considérations  sur  le  groupe  d  une  i  quation. 

il Mni    le  pi -i  simple.  Le  livre  est  attraj  ml  el  tri  -  instructif. 

i;.  1 1.  \  n  \-  1 1  ».  Profi  sseur  nu  Lycée  de  Toulouse 


/,    Rédacteur  Gérant  :  11.  VUIBERT. 


BAH-LE-DCC.  —    1MP.    <"Mll-. 


6e  Année.  N°  11.  Août  1896 

REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 

PREMIÈRE   PARTIE 


SUR   L'ÉQUATION   BINOME 
Une  fonction  symétrique 

(1)  I.r'/'urp  ...  x 

des  n  variables  xu  x2,  ....  v„,  dans  laquelle  les  exposants  mu  m..  ...,m„  sont  entiers  (positifs,  nuls  ou 
négatifs),  s'annule  quanti  on  y  remplace  les  variables  par  les  n  racines  de  l'équation  binôme 

■  r'  -1=0, 

toutes  les  fois  que  son  degré  M  n'est  pas  divisible  par  n. 

1°  Si  d'abord  aucun  des  exposants  mu  m2,  . . .,  mn  n'esl  négatif,  la  fonction  (t)  est  entière,  et  on 
sait  qu'en  appelant  —  pu  p,,  —p3,  ...,(—  l)np„  la  somme  des  variables,  celles  de  leurs  produits 
deux  à  deux,  trois  à  trois,  .  . .,  leur  produit,  elle  peut  se  mettre  sous  la  forme  d'un  polynôme  entier 
en  pu P%,  ..-,pn, 

SANw>s.Pï'>^! /';  ■ 

clans  chaque  terme  effectif  duquel  on  a 

l.fii  +  2.  (i2H h»;^„  =  M. 

Si  M  n'est  pas  divisible  par  n,  dans  aucun  terme  de  ce  polynôme  les  exposants  [*,,  \i2,  . . .,  rJt,J_i  ne 
sont  tous  nuls;  car  autrement,  M  se  réduirait  à  m;j.„,  contrairement  à  l'hypothèse.  Chaque  terme  de  ce 
polynôme  contient  donc  comme  facteur  une  au  moins  des  quantités  p„  p2,  . .  .,  pn_,,  qui  se  réduisent 
toutes  à  zéro  quand  xu  x2...,xn  représentent  les  n  racines  de  l'équation  binôme. 

2°  Si  le  plus  petit  des  exposants  m,,  nu,  .  .,m„  est  un  nombre  négatif  —m,  en  multipliant  la 
fonction  (1)  par  (xiX2. .  .x,,)'",  on  en  obtient  une  autre 

(2)  S.TÏ1i+m;E2,»+m.  .  .XI".,  •  "\ 

dans  laquelle  aucun  exposant  n'est  négatif.  Or,  lorsqu'on  remplace  les  variables  par  les  racines  de 
l'équation  binôme,  le  produit  (xiX,. .  .x„)m  se  réduisant  à  (— 1)'"",  les  deux  fonctions  (1)  et  (2) 
sont  en  même  temps  nulles  ou  non  nulles  ;  de  plus,  leurs  degrés,  M  et     M  +  nm     sont  aussi  en  même 

temps  divisibles  ou  non  par  n.  E 

«• 

LEÇON    DE    CINÉMATIQUE 

Sur  le  mouvement  des  planètes;  application  au  rayon  de  courbure  de  l'ellipse, 

par  M.  J.  Richard,  Professeur  au  lycée  de  Tours. 


Kepler  a  démontré  les  trois  lois  suivantes  : 

1°  Les  planètes  décrivent  des  ellipses  /tant  le  soleil  occupe  un  figer  F; 

2°  L'aire  décrite  par  /-■  rayon  vecteur  MF  est  proportionnelle  au  temps; 

3°  Les  carrés  des  temps  des  révolutions  de  deux  planètes  sont  proportion- 
nels aux  cubes  des  demi-grands  axes  il''  leurs  orbites. 

On  propose  de  calculer  l'accélération  de  la  planète  placée  en  M. 

Soient  M'  une  position  voisine  occupée  par  la  planète  à  l'époque  l-hh; 
f"  l'autre  foyer  de  l'ellipse,  FI',  FI'  des  perpendiculaires  sur  MM',  a  M  b 
les  demi-axes.  On  a 

Surface     MFM'  =  M  M  '  x  —  , 
2 


IGfi 


LEÇON    DE   CINÉMATIQUE 


el  par  conséquent 


surf.  Ml'M        ,        ,    MM  FP 

limite    : =  lim        : X  — r~ 

h  \      Il  -2 


MM 


Le  premier  membre  est  constant,  d'après  la  2°  loi,  donc  le  second  l'est  aussi  :  or  — —  a  pour  limite 

la  vitesse  r.  cl  FP  a  pour  limite  la  distance  de  F  à  la  tangente. 
Donc  dans  la  2"  figure  le  produit  FPx»  est  constant.  Soit  r  I' la 
perpendiculaire  abaissée  du  deuxième  foyer  mit  cette  tangente;  ona 

lr 


F'PxFP  =  b\ 


lr 


donc  — —  est  cimslanl. 


d'où 


Irr 


FP  = 


I  p 


Soil     wXFP  =  2K     un  aura         '    =  2K, 
2KF*P  . 


-      b*.     ■ 

I  P   esl  donc  proportionnel  à  v.  d'ailleurs  il  es!  perpendiculaire  à  la  direction  de  la  vitesse.  Pour  avoir 

^Kl   I' 
la  vitesse  en  grandeur  et  en  direction,  il  faul  prendre  F  11  perpendiculaire  à  F  P   el  égal  a    — — —  • 

Supposons  qu'au  temps  /  +  //,  M  vienne  en  M,,  que  P  et  P'  viennent  en  P,  el  l\.  et  II 
en  H  ! .  1111,  sera  perpendiculaire  à  PI',  :  l'accélération,  qui  est  en  grandeur  et  direction  la  limite  de 
— -,  sera  perpendiculaire  à  la  limite  de  l'I',.  c'est-à-dire  à  la  tangente  au  lieu  du  point  P.  Comme  ce 
lieu  esl  un  cercle  de  centre  0,  l'accélération  sera  parallèle  au  rayon  P'n.  c'est-à-dire  à  MF.  Klle  est 
donc  dirigée  vers  le  point  F. 


La  grandeur  de  l'accélération  esl  la  limite  di 


.   2K    i>p; 

,n  de  -r:  •  — —  i  puisque 


H  11, 
P'P, 


Fil     _         v 

fp'      ~W 


lr  h 

•2\i 

IF" 


Si  on  prend  les  symétriques  de    F'   par  rapport  aux  deux  tangentes,  on  a,  en  appelant  G  el  Gf  ces 

deux  points  : 

P'P'=_î,     (.(    arcGGi  =  FGx«>    *  étant  l'angle  Ml'M,:   l'accélération  esl  donc  la  limite  de 

K      ^L 

IF  '    h 
et,  comme     lii  =  2a,     l'accélération  est  la  limite  de 


,  K        a  x  FG 

■Ude  ^X-Y- 


K         i 

IF  '  T 


dans  le  triangle  infiniment  petil  MM, F  on  a 


aire  MM, F  = 


MFxMI  ,  sin  ■ 


il ■ 


aire  M  M,  F       MF  -   MF,  sin  * 


h 


2/j 


MF        .. 
lv  =  -=-X  lim 


et,  en  passant  a  la  limite,  on  a 

—  ;  donc  limite  - 

A 


J2K 


ce  qui  donne  finalement  pour  l'expression  de  l'accélération 

_  -lak       >K   _    AK-a 

"  ~  IF  ' 


Ml 


lr  M  F 


LEÇON    DE    CINÉMATIQUE 


•ili? 


Calculons  K.  L'aire  de  l'ellipse  est  -<il>.  Soit  T  la  durée  de  la  révolution  ;  on  a 

T 


par  suite 


4-2o3 


T2  X  MF 

L'accélération  est  donc  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance.  La  .1    loi  de  Kepler  montre  que 
—  est  constant  ;  la  constante  d'attraction  est  donc  la  même  pour  toutes  les  planètes. 

Nous  allons  appliquer  ce  qui  précède  à  la  recherche  du  rayon  de  courbure  de  l'ellipse. 

Soient  Mr  l'accélération,  a  l'angle  de  MF  avec  la  normale;  la  projection 

Mr  cos  a  de  l'accélération  sur  la  normale  est  égale  à  —  '.  on  a  donc 

11 

r-  'l~a:  COS  3t 

TT  ~  ~Tr   MF-  ' 


2K  -l-.ah 

u  autre  part  on  a  trouve     »  =  —  = 


1-zab 


FP       TxFP       Tx  MF  cos  a 

en  portant  cette  valeur  de  o  dans  l'égalité  précédente,  on  a,  toutes  réductions 

faites, 

/,- 
R  = 


a  cos3  a 

Je  dis  que  l'on  obtient  R  par  la  construction  suivante  : 

Au  point   N  où  la  normale  MN  coupe  le  grand  axe,  menons  NNi  perpendicu- 
laire à  la  normale.  Au  point  N,  où  NX,  coupe  MF    menons  N,C  perpendiculaire 
^y  \         sur  MF'.  C  est  le  centre  de  courbure. 

Pour  vérifier,  calculons  MC;  nous  avons 

MN  MC  =    MN;_  =     \l\ 

cos  i  cos  -j.        COSa  '■ 


MN, 


la  formule  qui  donne  la  longueur  d'une  bissectrice 

ibcp  p  —  a)~ 


T  ,  _  Abcpjp  —  «)~| 

l         [à+cy   J 


donne  ici 


— T2_  tMF.MF'(a  +  c  [a  —  c   _  62MF.MF 


d'autre  part  la  formule  de  trigonométrie 


donne 

de  sorte  que 

et  par  suite 


A        p(p  —  a) 

cos-  —  =  '-^— 

2  Oc 

b- 


MN 


MC 


MF.  MF 

b2 
a  cos  a 

h- 


=  H. 


C.  Q.  I  .  Il 


468 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


475. —  JJne  tangente  quelconque  à  une  hypocycloïde  à  trois  rebroussements  rencontre  la  courbe  en 
deux  points  autres  que  le  point  de  contact.  Démontrer  que  les  tangentes  à  I"  courbe  en  ces  deux  points  sont 
mgulaires. 

Soient:  A,  B  el  C  les  points  cuspidaux, 

Il  le  rayon  du  cercle  générateur  K. 
3R  le  rayon  du  cercle  fixe, 
a  =  AOD. 
En  prenant     arc  DL  =  arc  DA,     L   esl  un  point  de  l'hypocycloïde  el 
IL   est  la  tangente  en  ce  point.  Cela  posé,  nous  allons  établir  le  théorème 
suivant  : 

Théorème.  —  Si  on  jirrud     l.M        I.N       2R,     l<:i  jwints    M    et    N    sont 
les  intersections  de  la  tangente  11.  avec  l'hypocycloïde 

Menons  le  diamètre  l'.STIl  parallèle  à  IL  etprenons    OP  =  OQ  =  2R  ; 


nous  aurons  d'abord     AOll  = 


puis  les  figures   OIMP,    OINQ    étant 


des  parallélogrammes,  nous  aurons  aussi     l'M  =  QN  =  R;     il  en  résulte  que  les  cercles  décrits  sur 
3      i  sur  TH  comme  diamètres  passenl  le  premier  par  M  et  le  second  par  N. 

Pour  montrer  que    M    el    N    sont  deux  points  de  l'hypocycloïde,  il  suffit  donc  de  prouver  que 
arc  EM  =  arc  EB    et  que     arc  UN  =  arc  HA,     ou,  ce  qui  est  la  même  chose,  que 

ÊPM  =  3ÉOB  fîÏÏN  =  3HÔA. 


Or 


EPM  =  EOI  =  iz  — 


3> 


EOB  =  tt  — —  =  - 

2  3  3 


MON  =  HOI 


3a 


HOA  =  — -  • 


La  proposition  est  donc  établie.  On  peut  l'en :er  comme  il  suit  : 

Lu  portion  de  tangente  à  l'hypocycloïde  comprise  dans  la  courbe  est  constante  et  égale  à  quatre  fois  le 
rayon  du  cercle  générateur. 

La  proposition  de  M.  Goulard  est  dès  lors  évidente  : 

EM,  normale  en    M,  et   HN,   normale  en  n.  passent  par  I):  elles  sonl  parsuite  rectangulaires  el 

il  in  esl  de  même  des  tangentes  MS.  NT. 

La  proposition  sur  laquelle  nous  nous  appuyons  est  peut-être  connue;  notre  excuse  d'en  donner 

une  démonstration  esl  de  ne  l'avoir  rencontrée  nulle  part. 

Enrique  VALDÈS. 

lutn    solution  :  M.  II.  MALLARD,  collège  Stanislas. 


Seconde  solution.  —   Les  coordonnées  d'un  point  de  l'hypocycloïde  rapportée  à  des  a\e-  convenablement 
choisis  sont  données  par 

a:  =  —  R  sin  2a  cos-  a, 
y  =  —  R  eus  2a  sinJ  x, 
le  coefficient  angulaire  de  la  tangente  au  point  (a;,  y   étant  tg  x.  (  V.  Tisserand,  Recueil  d'Exercices,  p.  "4.) 
Cela  posé,  soit  tg  0  le  coefficient  angulaire  d'une  t. ingénie  :  l'équation  de  celte  tangente  esl 

(œ -h  R  sin  26  cos*  6)  tg  0  —  (y  +  R  cos  20  sin   0    =0. 
Les  valeurs  de  a  correspondant  aux  points  de  rencontre  île  celte  tangente  avec  la  courbe  sonl   données  pai 
l'équation 

(—  sin  2a  cos2  a-t-sin  20  cos'-  Oj  tg  0  —  (—  cos  2a  sin-  a -t- cos  20  sins  0)  =  0. 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE  469 


Après  avoir  tout  exprimé  en  fonction  de  tg  a  et  tg  8,  et  supprimé  le  facteur     1  +  lg2  0,    cette  équation 

devient 

tg4  a  —  (3  tg2  0  +  1)  tg2  a  +  2  tg  0(1  +  tg2  0)  tga  —  tg2  0  =  0. 

Elle  admet  la  racine  double  tgO,  et  les  deux  autres  racines  vérifient  la  relation 

tg20.tga'.lga"  =  —  tg-  0  ; 
d'où  tga'. tga"  =  —  i  . 

Cette  relation  montre  que -les  tangentes  aux  points  d'intersection  de  la  courbe  avec  une  tangente  quelconque 
sont  rectangulaires. 

Note.  —  On  a  aussi 

2  tg  6  +  tg  a  -+-  tg  a"  =  0. 

Donc  l'équation  du  second  degré  qui  donne  tg  a'  et  tg  a"  est 

tg2a  +  2tg0tga  —  1=0. 
On  en  déduit 

±  1  —  sin  6 

tg  a  =      cose     ' 

et  les  valeurs  de  x  et  de  y  deviennent  alors 

i  =  -(+l-  sin  6)  cos  8, 

!/  =  -(+  1  +  sin  8)  sin  0. 

Ces  expressions  peuvent  encore  représenter  la  courbe  ;  mais  alors  tg  9  est  le  coefficient  angulaire  de  la  tangente  menée 
du  point  {x,  y). 

A.  GOULARD. 
Solution  analogue  :  M.  Barré. 

Autre  solution.  —  L'équation  tangentielle  de  l'hypocycloïde  peut  se  ramener  à  la  forme  simple 

w(u2  —  3y2)  +  a(w2  +  t>2)  =0. 

En  posant =  t,    on  trouve 

1  +  /2  1  +  t- 

u  =  —  a  -t. t  et 


t2  —  3  t[t-  —  3) 

Les  coordonnées  du  point  de  contact  sont  données  par  les  équations 

x  y  1 


3(ms  —  v-)  -+-  2au       — 6wv  -\-2av       a{u2  -f-  v2) 
ou,  en  remplaçant  u  et  v  par  leurs  valeurs, 

x  _    y   _  i 

«*+6<2  — 3  ~  W>~  a(t2->r  l)2' 
A  chaque  valeur  de  t  correspond  un  point  de  la  courbe,  et  le  coefficient  angulaire  de  la  tangente  en  ce  point 
est  égal  à  (. 

Cela  posé,  soit  %x  +  ^y  +  i  =0  l'équation  d'une  droite  quelconque.  Les  coefficients  angulaires  des  tan- 
gentes aux  points  d'intersection  de  cette  droite  avec  la  courbe  sont  donnés  par  l'équation  du  quatrième  degré. 

«(«4-  +  6i2  —  3)  -+■  8^3  -I-  a{t2  +  1  )2  =  0 . 
Si  la  droite  est  tangente  à  la  courbe,  cette  équation  admet  une  racine  double    0,    et  l'on  a,  en  désignant  les 
deux  autres  racines  par  ('  et  t", 

„.  ,  „       a  —  3a 

0-t't"  = 

a  -+-  a 

...  1  -+-  02  .  a  —  3a  ., 

Mais  a  =  —  a  — >  donc  ; —  =  —  0-  ; 

')J  —  3  a  +  a 

par  suite  t't"  =  —  l  ; 

ceci  montre  que  les  tangentes  aux  points  d'intersection  d'une  tangente  avec  la  courbe  sont  rectangulaires. 

(A.  GOULAHD,  professeur  au  lycée  de  Marseille.) 

Solutions  analogues  :  MM.  G.  Sugot  ;  Auzeram  (Montpellier)  ;  Vasnier  ;  ,1.  L.  (a  Paris). 

Remarque.  —  L'hypocycloïde  à  trois  rebroussements  est  une  courbe  de  troisième  classe  doublement 
tangente  à  la  droite  de  l'infini  aux  points  cycliques.  Si  donc  on  rapporte  celte  courbe  à  deux  axes  rectangulaires 
quelconques,  elle  aura  pour  équation  tangentielle 

Aw8  -t-  Bm2i>  4-  Ct«>2  -+-  Du3  +  wj(ms   l    < -'    =0; 
un  simple  déplacement  d'origine  permet  de  faire  disparaître  le  terme  en   h'   et  le  terme  en   r3    et  de  ramener 


470  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


['équation  à  la  forme 

uv  au  +  bv  +  "■  »?  4-  *■'-)  —  0; 

l'axe  des  el  l'axe  des  y  sonl  alors  deux  tangentes  rectangulaires  quelconques  à  l'hypocyclolde;  le  point  de 
contael  de  Ox  avec  la  courbe  a  pour  coordonnées  !>,  0,  i  ;  le  [>oinl  de  contact  de  Oi/  avec  la  courbe  a  pour 
coordonnées  0,  a,  l;  par  conséquent  la  corde  des  contacts  a  pour  équation  aa  r  '»/  —  a&  =  0,  el  il  est  visible 
qu'elle  satisfait  ù  l'équation  tangentiellc  de  l'hypocyclolde. 

Nous  avons  reçu  de  MM.  Lui  biaud  lycée  de  Toulouse  cl  Hcgon  Nîmes  <l  intéressantes  solutions  géométi  iques  ;  celle  de 
M.  Lhériaud  repose  sur  1rs  propriétés  des  droites  de  Simson  ;  celle  de  M.  Hugon  sur  une  transformation  par  polaires 
réciproques  ;  une  solution  de  ce  genre  encore,  mais  achevée  par  le  calcul,  nous  a  été  envoyée  par  M.  Blazi  Lacojide  lycée 
de  foulouse).  Enfin,  d'après  M.  Lhériaud,  le  théorème  établi  par  M.  Enrique  Valdès  se  trouve  déjà  dans  le  Journal  de 
Mathématiques  spéciales  de  M.  G.  de  Loncbamps  année  I88i  . 


479.  —  Soii  o  un  point  pris  sur  l'intersection  de  deux  plans    P   et    P  :    étudier  le  complexe  des 
droites  a  qui  percent  respectivement  les  plans  P  et  P'  endespoints  A  et  A'  tels  que    OA  =  OA'. 

l'ioniiiis  1rs  di'ux  plans  I*  cl  P'  pour  plans  des  xz  cl  des  yz  et  pour  plan  des  xy,  un  plan  perpen- 
diculaire mené  par  le  point  O. 

Les  équations  de  la  droite  mobile  sont 

7:  -  ''.'/  =  p\ 

,  avec 

rx—pz  =  a,  .         ,  . 

py  —  qx  =  r', 

/■'  p' 

Les  coordonnées  < i u  point    A    sont     .;•  = ,    y  =  0,     z  =  ■£—  ;     celles  du  point    \    sont 

7  '/ 

,/•  =  0,     '/  =  —  •     :  = —  ;     et,  connue  dans  chacun  des  plans   arOz,   yOz,    les  coordonnées  sonl 

V  P 

rectangulaires,  la  relation    OA   =  OA'      se  traduil  par 

p  '   i-  /•'-        »■'-  +  q  - 


r            p'1 

(p« 

—  <i'y- +)>'-]>"-  —  '/■'/''  =  °; 

PI'2 

v 'v  '       PP      ri    rr      ri 

ou  /'■'/'"'  —  7"7'  =  "-  'r  T/'  "     77    ^ 

par  conséquent  la  relation  se  décompose  en 

I  /•'  =  O  et  /r  —  if-  ;•'  —  r[pp'  —  qq')  =  II. 

La  première  équation    /•'  =  0    exprime  que  la  droite  a  rencontre  l'axe  des  :  ;  la  se< de  représente 

un  complexe  du  troisième  ordre.  La  première  solution  est  évidente  a  priori,  car  pour  toute  droite 

rencontranl   Oz,   les  deux    | ts   \  el  A'  coïncident  el   on  a     OA  =  OA';     le  complexe  total  devait 

donc  renfermer  un  complexe  linéaire  spécial  ayant  pour  axe  Oz. 

Nous  aurons  le  cône  du  complexe  qui  reste  à  étudier,  en  exprimant  «pie  la  droite  a  passe  par  un  point 
lixe  .r,,.  </,,,  :(l,  et  en  calculant  les  coordonnées  de  celle  droite,  y,  q,  r,  p',  q',  /,  en  foncti les  coor- 
données de  ce  point  el  de  celles  d'un  poinl  courant  de  la  du  nie  ;  nous  trouvons  ainsi  immédiatement  que 
les  six  coordonnées  de  la  droite  sont  proportionnelles  aux  nombres  a;  —  xa,  y  —  y«,  :  —  z,„  yzn  —  :;/„, 
zxa  —  /:,,,  xy0  '/.'„,  el  nous  n'avons  plus  qu'à  porter  ces  expressions  dans  l'équation  du  complexe 
pour  obtenir  le  ce ihei  ché 

1  /'/„  —  //•'■■.      '         I  V        </i    '  '        :>       r       '"    i/2o       :'l"        :?/  —  ;/„    ;.r„  —  .;:„     =0. 

On  peut  voir  géométriquemenl  que  le  cône  du  complexe  doil  être  du  troisième  degré.  En  effet, 


GEOMETRIE    ANALYTIQUE 


471 


soient  S  le  point  choisi  et  SAA  une  des  droites  du  complexe  passant  en 

^s  ce  point;  abaissons  du  point  0,     OM  perpendiculaire    sur    SAA';    la 

droite  OM  tombe  au  milieu  de  A\  ,  et,  par  suite,  les  milieux  M   des 

droites  du  complexe  qui  passent  en  S  sent  situées  sur  la  sphère  ayant  OS 

pour  diamètre  ;  ils  sont  aussi  sur  le  lieu  des  milieux  des  cordes  issues 

x  de  S  et  limitées  aux  deux  plans;  ce  lieu  est  un  cylindre  hyperbolique 

ayant  pour  plans  de  directions  asymploliques  les  deux  plans   donnés, 

contenant  l'axe  des  ;  el  ayanl  pour  axe  une  parallèle  à  0:  menée  par 

le  milieu  de  OS;  une  des  génératrices  de   ce  cylindre  passe  par  le 

point  S.  Le  lieu  des  milieux  des  droites  du  complexe  qui  passent  en  S 

est  donc  la  quartique  d'intersection   de  ces  deux  surfaces;  par  suite,  le  cône  qui   a  pour  sommet 

le  point   S  est  le  cône  qui   projette  cette  quartique  du  point  S;  ce  cône  est  du  troisième  ordre  en 

général,  puisque  le  point  S  est  sur  la  quartique. 

Pour  que  le  cône  se  décompose,  il  faut  ou  bien  que  le  cylindre  hyperbolique  se  décompose,  ou  bien 
que  le  point  S  d'où  l'on  projette  la  quartique  soit  un  point  double  de  celte  quartique,  c'est-à-dire  que 
la  sphère  et  le  cylindre  soient  tangents  en  S. 

Le  cylindre  ne  se  décompose  que  quand  le  point  S  est  situé  dans  l'un  des  plans  P  ou  P'.  Suppo- 
sons, par  exemple,  le  point  S  dans  le  plan  iO;  ou  P  ;  alors  les  droites  du  plan  des  xz  passant  en  S 
appartiennent  au  complexe,  puisque  chacune  coupe  le  plan  P'  en  un  point  A'  unique  et  le  plan  P  en 
tous  ses  points  ;  les  autres  droites  du  complexe  qui  passent  en  S  s'obtiennent  en  coupant  le  plan  P' 
par  une  sphère  de  centre  0  et  de  rayon  OS  et  en  joignant  le  point  S  aux  points  du  cercle  ainsi  obtenu 
dans  le  plan  P'.  On  voit  donc  que  dans  ce  cas  le  cône  du  complexe  se  décompose  en  un  cône  oblique  à 
base  circulaire  et  le  plan  P. 

Pour  que  la  sphère  et  le  cylindre  aient  même  plan  tangent  en  S,  il  faut  et  il  suffit  que  OS  soit 
l'axe  d'une  section  droite  du  cylindre,  c'est-à-dire  que  OS  soit  dans  le  plan  des  xy  et  y  soit  une  bissec- 
trice de  l'angle  des  axes,  Oa;  et  Oy.  Pour  un  point  quelconque  des  deux  bissectrices  de  cet  angle,  le 
cylindre  et  la  sphère  sont  doublement  tangents  en  0  et  S,  aux  extrémités  du  diamètre  OS  de  la  sphère  ; 
ils  se  coupent  donc  suivant  deux  courbes  planes  imaginaires  passant  par  OS  et.  par  suite,  le  cône  qui 
projette  la  quartique  se  réduit  ici  à  deux  plans  imaginaires  conjugués  passant  par  OS.  L'autre  partie  du 
cône  total  est  le  plan  tangent  commun  en  S,  c'est-à-dire  le  plan  parallèle  au  second  plan  bissecteur 
du  dièdre  (P,  P)  Il  est  d'ailleurs  évident  géométriquement  a  priori  que  ce  plan  doit  faire  partie  du 
cône  total  du  complexe. 

On  peut  aisément  retrouver  tous  ces  résultats  par  le  calcul.  En  effet,  portons  les  axes  parallèle- 
ment à  eux-mêmes  au  point    /•„,  y0)  z0)  ;  nous  aurons,  pour  équation  nouvelle  du  cône  du  complexe, 

(a?î/0  —  J/#o)(-ï'~  —  y2)  —  s  (ZxijZu  —  xz//,,  —  yzru |  =  0  ; 

la  section  de  ce  cône  par  le  plan     :  =  1     a  pour  équation 

xya       yx0)  x-  —  i/2)  —  2xy:0  +  xy„  -+-  yx„  —  0 

et  nous  avons  à  exprimer  qu'elle  se  décompose  en  une  droite  et  une  conique,  c'est-à-dire  que  le  premier 
membre  contient  en  facteur  le  premier  membre.de  l'équation  d'une  parallèle  à  une  direction  asymp- 
lotique. 

Faisons  d'abord  le  calcul  pour  une  parallèle  à  une  des  deux  bissectrices  de  l'angle  des  axes, 
x  —  y  =  0,  par  exemple  ;  nous  aurons  à  déterminer  A.  lî,  C  el  X  de  façon  que  l'on  ait  identi- 
quement 


(*  —  y  +  >0  k'/o 

ceci  nous  donne 


yx^x  -+-  y  -h  \x  -t-  Hy  -+-  C]  —  xy0  —  '/  ' ■„    '        v 


>.n/vt-"/,       yx9; 


172 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


(3) 


Xi/0  -+-  A  =  0, 

AX  -r-  C  =   I/o, 

Supposons  d'abord     C  =  <>  ; 
donnent   de  suite       \ 


Bo  +  B  =  0,  )  i/o  -  ffo  —  H  —  A  =  —  -2:, . 

B)  -  C  XC  =  0. 

alors      -'      0,  el  la  quatrième  el   la   cinquième  équation   nous 

B       — "•       les  deux  premières   deviennent       i/0  À-  -+■  1)  =  0      et 

x  )-  —  1)=0:    puis,  la  troisième  se  réduit  à 

'/-  j/o  —  x0)  +  2Xz0  -4-  x0  —  y„  =  0. 

Nous  voyons  de  suite  que  ces  trois  équations  ne  peuvent  <  tre  c palibles  que  si    x0  =  j/0  =  z0  =  0  ; 

pour  l'origine  en  effet   le  cône  du  complexe  est  identiquement  nul,  et,  par  suite,  improprement  divi- 
sible par    a      !/-■-'''■     maisc'esl  là  une  solution  singulière,  exceptionnelle. 

Il  faut  donc  supposer  1  0;  alors  A  el  B  sent  nuls  el  l'on  a  s0  =  0,  puis  C  =  y0  =  — x0, 
c'est-à-dire  ./■„;-;/„  —  <!.  On  trouve  ici  tous  les  points  de  la  seconde  bissectrice  des  axes  Ox  et  Oj/; 
pour  chacun  d'eux  le  cône  se  compose  du  plan  x —  y  —  0  el  du  couple  de  plans  imaginaires  conju- 
gués     x+  y  -  +  ■:■'  --.  (i      Ce  sont  les  résultats  aperçus  à  l'aide  de  considérations  géométriques. 

Passons  maintenant  à  la  troisième  direction  asymptotique    xye  —  xy0  =  0. 

Nous  devons  avoir  ici  l'identité 

-h\)(xi—y-  +  kx-hBy-hC   :z   xy„  —  yxe    r2  —  i/2)  —  2xyz„  -hxya-+-yx0, 
ce  qui  nous  donne 


w 


,       \ ;;„  =  0,  X4-Bx0  =  0,  Bj/0  —  Ax0  -+-  2z0  =  0, 

\X-+-Cj/o  =  î/o,  BX  —  Cx0  =  x0,  CX  =  0. 

En  supposant     C  =  0,     on  est   encore  conduit   à   une  solution  particulière  déjà  trouvée,  l'origine 
des  coordonnées.  Il  faut  donc  prendre    >  =0;    le  système    i   devient  alors 

Aj/o  =  0,  Bx0  =  0,  Bj/o  —  Ax0  +  2z0  =  0, 

C       1  i/o  =  0,  C  +  I,r,  =  0, 

2;0 
cl  oblige  a  prendre  ou    x0  =  0    ou    j/0  =  0,    par  exemple     j/0  =  0  ;     on  a  alors     B  =  0,    A  = —  - 

■<'o 

C  =  —  1. 

On  retrouve  donc  ainsi  les  points  des  deux  plans    P  el   P    et,  pour  chacun  d'eux,  la  décomposition 

qui  a  été  aperçue  géométriquement. 

Il  nous  reste  à  parler  maintenant  de  la  courbe  du  complexe. 

Il  est  évident  d'abord  que  cette  courbe  est  de  3e  classe  ;  car  suit  II  r,*/,  un  plan  quelconque  donné; 
les  droites  du  complexe  situées  dans  ce  plan  rencontrent  les  deux  droites 
du  plan  qui  sont  situées  dans  les  plans  P  el  P  en  des  points  \  el  \, 
tels  que  OA  =  OA  ;  on  voit  donc  que  si  A  esl  donné,  deux  points  \ 
lui  correspondent,  les   points  de  rencontre  de    11//»    avec  un  cercle  de 

rayon      OA'       <»\:      de  même  deux  points    A  correspondent  à  un  ] tl 

A'  donné.  La  correspondance  entre  les  séries  \  ''i  A  est  donc  (2,  2  ; 
pai  suite,  quatre  droites  AA  passenl  par  un  poinl  quelconque  du  plan 
donné  ;  mais  le  poinl    11    sur  les  deux  droites    11»,  el   II  spond 

évidemment  à  lui-même,  de  sorte  que  l'enveloppe  des  droites  AA',  qui 
est  de  i'  classe,  se  compose  du  point  II  el  d'une  courbe  de  3  classe. 
Cette  courbe  de  3   classe  esl  tangente  aux  deux  droites  de  support   Hx,  el 

Ilj/,;  elle  est  aussi  tangente  deux  fois  à  la  droite  de  l'infini  du  plan    II. /y/,,   car  la  droite   AA    s'éloigne 

a  l'infini  dans  deux  directions  parall  les  aux  bissectrices  de  l'angle   X|Ht/|.    Cette  courbe  est  donc  une 

projection  obliq l'hj  pocycloïde  à  trois  rebrousserai 

Pour  qu tte  courbe  se  décompose,  il  faul  que  l'une  des  séries  de  droites   \  \    passe  par  un  point 

fixe  du  plan  donné,    s  ;  il  faut  donc  qu'il  y  ail   dans  ce  plan  un  poinl  S.  pour  lequel  le  cône  du  com- 


CONCOURS    DE    1896  473 


plexe  contienne  le  plan  lui-même.  Les  points  de  ce  plan  qui  peuvent  jouer  le  rôle  du  point  S  sont  donc 
ceux  de  Ha?,,  Hy,  et  les  points  de  rencontre  avec  les  deux  bissectrices  des  axes  Ox  et  Oy,  puis  aussi 
les  points  à  l'infini  ;  il  est  vrai  que  nous  n'avons  pas  rencontré  ces  points,  mais  notre  méthode,  basée 
sur  un  transport  d'axes  au  point  S,  ne  s'applique  pas  aux  points  à  l'infini  et  il  faut  voir  directement  ce 
qu'il  advient  du  cùne  du  complexe  pour  un  point  du  plan  de  l'infini  ;  or  pour  un  pareil  point  (x0,  >/,„  z,„  0  , 
le  cône  du  complexe  se  compose  du  plan  de  l'infini  compté  deux  fois  et  du  plan 
(xy0  —  yx0)(xl  —  tjl)  +  ZoÇZzXoijo  —  xz0y0  —  j/z0x0)  =  0. 

Ce  plan  n'est  indéterminé  que  pour  les  points  à  l'infini  sur  0:  et  sur  les  bissectrices  de  l'angle  des 
axes  Ox  et  Oy  ;  pour  tout  autre  point  à  l'infini,  il  contient  l'origine  et  la  direction  dans  laquelle  est  le 
pointa  l'infini,  de  plus  cette  direction  est  une  bisseclrice  de  l'angle  suivant  lequel  ce  plan  est  coupé 
par  les  plans  P  et  1''. 

Il  résulte  de  ce  que  nous  venons  de  dire  que,  pour  tout  plan  passant  à  l'origine,  la  courbe  du  com- 
plexe se  décompose  en  trois  points  :  l'origine  et  deux  points  à  l'infini  sur  les  bissectrices  de  l'angle  des 
droites  d'intersection  avec  les  plans  P  et  P'  ; 

Pour  tout  plan  parallèle  à  0:  ou  à  l'une  des  deux  bissectrices  de  l'angle  a-0//,  il  y  a  aussi  décompo- 
sition. Chacune  de  ces  décompositions  donne  une  conique  et  le  point  à  l'infini  sur  0;  ou  sur  la  bissec- 
trice considérée.  Quand  le  plan  est  perpendiculaire  à  l'une  des  deux  bissectrices  de  l'angle  xOy,  la 
conique  elle-même  se  décompose  en  deux  points,  dont  l'un  à  l'infini,  et  l'autre  sur  la  bissectrice  envi- 
sagée. Enfin  quand  la  décomposition  donne  une  conique,  cette  conique  estime  parabole,  puisque  la 
droite  de  l'infini  est  tangente  double  de  la  courbe  totale. 

Tous  ces  résultats  se  vérifient  d'ailleurs  par  des  considérations  géométriques  plus  élémentaires  que 
celles  employées  précédemment.  C'est  un  exercice  utile  que  nous  recommandons  à  nos  lecteurs. 

On  peut  aussi  les  vérifier  aisément  par  le  calcul.  Si  on  exprime,  en  effet,  que  la  droite  est  dans  un 
plan  donné  m0,  v0,  w0,  s0  et  dans  le  plan  courant  de  l'espace  a,  v,  w,  s,  on  trouve  que  les  coordon- 
nées de  la  droite  sont  proportionnelles  à  (vw0),  (wu0),  (uv0),  (us0),  [vsq),  (ivs0),  chacune  des  abréviations 
telles  que  (vw0)  représentant  le  déterminant  correspondant  uw0  —  woB  ;  l'équation  tangentielle  de  la 
courbe  du  complexe  est  donc 

(ws0)[(vtvoy-  —  (wu„Y]  —  {uv0)[(vw0)(us0)  —  [ivu0)(vs0)]  =  0. 

Si  on  fait  dans  cette  équation  «'  =  (>,  on  a  la  projection  de  la  courbe  sur  le  plan  de  xy  ;  on 
voil  île  suite  que  s  n'y  entre  qu'au  premier  degré  ;  la  courbe  est  donc  doublement  tangente  à  la  droite 
de  l'infini  ;  celle  de  l'espace  est  donc  doublement  tangente  au  plan  de  l'infini  (évident  d'ailleurs  direc- 
tement pour  une  raison  toute  semblable). 

Si  on  y  fait  s0  =  0,  on  obtient  d'abord  s  =  0,  qui  représente  l'origine  des  coordonnées,  puis 
une  équation  du  second  degré  homogène  en  u,  v,  w,  qui  représente  deux  points  à  l'infini.  Cette  véri- 
fication s'achève  aisément  et  celles  qui  restent  à  faire  sont  tout  aussi  simples. 

li.  LACOMBE  (Lycée  de  Toulouse). 
♦ 


CONCOURS  DE  1890    Suite  . 


Agrégation  des  sciences  mathématiques. 

Mathématiques  élémentaires. 

On  considère  une  sphère  variable  ï  orthogonale  à  une  sphère  fixe  S  et  tangente  à  une  autre  sphère 
fixe    Si. 

1°  Lorsque  la  sphère  ï  est  assujettie  à  la  condition  d'avoir  son  centre  dans  un  plan  I',  le  lieu  du  point  de 
contact  de    ï    et  de    Si    est  un  cercle. 


VIA  CONCOUIl<    DE    L896 


Démontrer  que,  si  le  plan  I'  es(  langent  à  la  sphère  S.  le  lieu  <lu  centre  de  la  sphère  S  est  une  section 
conique  a\,mt  pour  foyer  le  point  de  contact  de   S  et  de    P. 

Examiner  le  cas  où  le  plan  P  esl  langent  à  la  sphère  s  en  un  point  du  cercle  d'intersection  de  S  et  de  S,. 

2    On  peu!  déterminer  sur  la  ligne  des  centres  de  S  et  de  S,   un  point  /'  tel  que  la  sphère  So  concentrique 
à  S  el  passant  par  f  reste  toujours,  quand  ï  varie,  tangente  à  une  sphère  fixe  I)  ayant  pour  centre  le  point  /",, 
■  le   Si. 

3°  Soient  m  le  centre  de  2o  et  m'  le  point  de  contact  de  So  et  de  D.  Lorsque  le  point  m'  décrit  un 
cercle  de  D,  le  poinl  m  reste  dans  un  plan  el  décrit,  dans  ce  plan,  une  ellipse,  une  hyperbole  ou  une 
parabole. 

Discuter,  en  supposant  que  le  plan  du  cercle  considéré  sur    D   se  déplace  parallèlement  à  lui-même. 

4  Soit  T  le  plan  perpendiculaire  au  milieu  du  segment  qui  joint  le  poinl  /'  à  un  point  m'  pris  sur  la  sphère 
I);  lorsque  le  plan   T   passe  par  un  poinl  Qxe   q,   le  lieu  <lu  poinl    m'   esl  tin  cercle  ■(,,. 

Si  le  point  q  vient  à  se  déplacer  dans  un  plan  fixe,  le  cercle  yq  reste  orthogonal  à  un  cercle  Qxe  de  la 
sphère    D.    Examiner  le  cas  où  le  poinl    q   décrit  une  droite  fixe. 

5°  Soit  c  le  milieu  de  /'/'i,  prouver  que  les  droites  cm  el  fnï  se  coupenl  en  un  point  qui  demeure  dans  un 
plan  fixe  lorsqu'on  l'ait  varier  la  sphère     I 

f/i  {,  di   7  h.  à  S  ii .' 
Mathématiques  spéciales. 

547.  —  Etant  donnés,  en  coordonnées  rectangulaires,  l'ellipsoïde 

!j  +  jJ  +  i!-i=o, 

a-  fi- 

el la  sphère  concentrique 

x--h>f-  +  z-  —  11-  =  0, 

on  prend  les  plans  polaires  d'un   même  point    M    par  rapport  à  ces  deux  surfaces.  Ces  plans  se  coupent  suivant 
une  droite  A. 

1°  On  demande  quel  lieu  S  engendre  la  droite  A  quand  le  poinl  \l  décrit  une  droite  quelconque  D  de 
l'espace. 

2°  Quel  lieu  doil  décrire  le  point  M  pour  que  la  droite  a  passe  par  un  poinl  fixe  I'.'  Quel  est  le  degré  du 
cône  décrit  par  la  droite   a  ? 

I  On  demande  quelle  relation  géométrique  doil  exister  entre  deux  points  M,  M1  pour  que  les  droites 
correspondantes    a,  a'     se  coupent. 

4°  Quel  lieu    r    doit  décrire  le  point    M    pour  que  la  droite    a    demeure  dans  un  plan  fixe    n, 

ux  ■+■  vy  +  ir;.  -f-  p  =  0. 

Les  coordonnées  du  point    M    s'expriment  alors  rationnellement  en  fonction  d'un  paramètre. 

Trouver  l'enveloppe    E    de  la  droite   a    dans  le  plan    II. 

5°  Quel  est  le  lieu  de  celle  enveloppe  quand  le  plan   n    se  meut  parallèlement  à  lui-même? 

0°  D'après  la  4°  partie,  à  toul  plan  II  se  trouve  attachée  une  ligne  r,  qui  est  le  lieu  des  points  pour  lesquels 
la  droite  a  correspondante  se  trouve  dans  le  plan  il  el,  dans  ce  plan,  ces  droites  a  enveloppent  une  certaine 
courbe  E.  On  suppose  maintenant  qu'un  point  M  décrive  le  plan  II  :  montrer  que  la  droite  a  correspondante 
s'appuie  constamment  en  deux  points  sur  la  ligne  r  el  que  réciproquement,  toute  corde  de  r  correspond  à  un 
point   M   du  [dan    II. 

7°  Quel  lieu  décrit  a  quand  le  point  M  se  déplace  sur  une  tangente  de  la  ligne  K,  ou  bien  quand  le 
point   .M    se  meut  sur  la  ligne  E   elle-même? 

.V  juillet,  de  7  ft.  à  S  It.  i 

Composition  sur  Vanalyse  et  ses  applications  géométriques. 

On  considère  la  c 'be  définie  en  coordonnées  cartésiennes  rectangulaires  par  l'équation 

(x-  -+-  //-)-       ;  '  2#  —  a  -t-  3  =  0, 

où  a  désigne  une  constante. 

1.  — La  constante    a    étanl  supposée  quelconque  : 

I"  Déterminer  le  genre  de  la  courbe; 

!  l  rue  à  l'aide  du  théorème  d'Abel,  les  conditions  nécessaires  el  suffisantes  pour  que  quatre  point-;  de  la 
courbe  soient  en  ligne  droite; 

3°  Ecrire,  à  l'aide  du  même  théorème,  la  condition  nécessaire  el  suffisante  pour  que  quatre  points  delà 
coui  be  soienl  sur  un  cercle  ; 

i    Conclure   de   cette  dernière  condition   le  i i lue  des  sommets  de  la  courbe,  un  sommet   étant,  par 

définition,  un  point  où  le  cercle  osculateur  a  un  contai  I  du  troisièm 'dre  avec  la  courbe; 


CONCOURS  DE   IS'.M,  475 


5°  Conclure  de  la  même  condition  le  nombre  des  systèmes  de  cercles  bitangents  à  la  courbe; 

6°  Déterminer  le  nombre  des  cercles  oscillateurs  qu'on  peut  mener  à  la  courbe  par  un  point  pris  sur  la 
courbe  et  étudier  la  disposition  des  points  de  contact  de  ces  cercles; 

7°  On  mène  en  un  point    M,    le  cercle  osculateur  à  la  courbe  :  ce  cercle  coupe  la  courbe  en  un  point    M2; 

en   M2  on  mène  le  cercle  osculateur  qui  coupe  la  courbe  en  un  point  M et  ainsi  de  suite;  en  Un  on  mène 

lecercle  oscillateur  qui  coupe  la  courbe  en    M„+1;    de  combien   de  manières  peut-on  choisir  la  position  du 
point    Mi    de  telle  façon  que    Mn+i    coïncide  avec    M,;    application  à    n  =  1,     n  —  2,     n  =  3     et     n  =  6. 

11.  —  On  donne  à  a  la  valeur  1 .  Démontrer  que  le  genre  s'abaisse  et  reprendre  pour  ce  cas  les  questions 
précédentes,  en  exprimant  les  coordonnées  d'un  point  de  la  courbe  en  fonctions  rationnelles  d'un  paramètre. 
Déterminer,  dans  ce  cas  particulier,  les  paramètres  des  points  de  contact  des  tangentes  douilles. 

(  l  juillet,  de  7  h-  à  i'  h.) 
Mécanique  rationnelle. 

Dans  un  plan  vertical  est  lixé  un  disque  circulaire  A   dont  la  circonférence  est  dépolie. 

I.  —  Un  point  pesant  P  est  placé  sans  vitesse  initiale  sur  la  circonférence  du  disque  A,  dans  le  voisinage  du 
point  le  plus  haut  du  disque    A. 

1°  On  demande  de  déterminer  l'angle  minimum  a  que  doit  faire  le  rayon  qui  passe  par  le  point  P  avec  la 
verticale  dirigée  vers  le  haut  pour  que  le  point  P  cesse  d'être  en  équilibre;  2°  si  le  point  P  est  placé  sur  le 
disque  sans  vitesse  initiale  de  manière  que  le  rayon  qui  passe  par  le  point  P  fasse  avec  la  verticale  un  angle 
un  peu  plus  grand  que  a,  le  point  P  glisse  d'abord  sur  le  disque,  puis  quitte  le  disque  On  demande  de 
former  l'équation  qui  donne  l'angle  de  la  verticale  avec  le  rayon  qui  passe  par  P,  lorsque  ce  point  P  se 
détache  du  disque  pour  tomber  librement. 

II.  —  Sur  le  disque  circulaire  A,  dans  le  plan  de  ce  disque,  on  place  un  deuxième  disque  circulaire 
pesant  B  qui  est  homogène  et  dont  le  rayon  est  égal  à  la  moitié  du  rayon  du  disque  A.  La  circonférence 
de  B  est  dépolie,  en  sorte  que  les  deux  disques  frottent  l'un  sur  l'autre  ;  on  néglige  la  résistance  au  rou- 
lement. 

A  l'origine  le  disque  B  est  sans  vitesse  et  le  rayon  du  disque  A  aboutissant  au  point  de  contact  des 
deux  disques  fait  avec  la  verticale  ascendante  un  angle  aigu    p. 

Entre  quelles  limites  doit  être  compris  [J  pour  que  le  disque  B  roule  d'abord  sans  glisser  sur  le  disque  A? 

En  admettant  que  le  disque  B  commence  par  rouler,  étudier  son  mouvement  et  former  les  équations 
qui  donnent:  1°  l'angle  que  fait  avec  la  verticale  ascendante  le  rayon  de  A  qui  passe  par  le  centre  de  B  à 
l'instant  où  cesse  le  roulement  simple  sans  glissement;  2°  l'angle  analogue  à  l'instant  où  le  disque  B  se 
détache  de  A. 

Dans  les  deux  questions,  on  désignera  par  f  le  coefficient  du  frottement  de  glissement. 

(6  juillet,  de  7  h  .  a  2  h.) 

ÉCOLE  NORMALE  SUPÉRIEURE 
Epure. 

On  prendra  comme  origine  le  centre  de  la  feuille,  comme  axe  des  x  ou  ligne  de  terre  le  petit  axe  de  la 
feuille,  comme  axe  des  y  une  ligne  de  bout,  l'axe  des  z  étant  vertical.  On  donne  : 

1°  Un  hyperboloïde  de  révolution  S  à  axe  vertical  o  (x  =  0,  y  =  10™)  ayant  pour  génératrice  principale 
la  droite  AA'  passant  par  a,  a!     (x  =  0,    y  =  14,     z  =  10)    et  par  -j.,  a'    (x  =  —  10,    y  =  14,     z  =  01  ; 

2"  In  hyperboloïde  S,  ayant  pour  directrices  :  1°  AA';  2°  BB'  qui  passe  par  o,  o'  (x  =  0,  y  =10,  -  =  10) 
et  par  (3,  P'  "  (x  =  10,    y  =  10,     ;  =  0)  ;     3°  la  ligne  de  bout  CC    [x  =  —  2,     ;  =  6). 

Représenter  la  surface  opaque  de  l'hyperboloïde  de  révolution  S  contenue  dans  l'hyperboloïde  Si. 

On  vérifiera  numériquement  les  directions  des  asymptotes  de  l'intersection,  en  calculant  les  angles  de  leurs 

projections  horizontales  avec  la  ligne  de  terre. 

(23  juillet,  de  7  h.  à  11  h.) 

BOURSES  D'ENSEIGNEMENT  SUPÉRIEUR 
Bourses  de  licence  es  sciences  mathématiques. 

548.  —  On  considère  les  deux  paraboles  (P),  (Q)  qui  ont  respectivement  pour  équations 
y-  —  1x  =  0,  x2  —  2y  -f-  m  =  0; 

combien  ont-elles  de  points  d'intersection  réels? 


',7c,  QUESTIONS    PROPOSÈI  - 


En  un  point  d'intersection  A,  on  mène  la  tangente  à  la  parabole  P  ;  cette  tangente  rencontre  la  para- 
bole   Q   en  un  poinl  A   distinct  du  point  A  ;  trouver  le  lieu  du  point  A'  quand  m  varie. 

Les  deux   paraboles   P),  (Q]  ont  trois  tangente*  c unes;   on   formera  l'équation  qui   a  pour  racines  les 

abscisses  des  points  de  contact  sur  la  parabole    Q)  el   l'on  montrera  comment,  en  supposant  connues  les  racines 

de  cette  équation,  on   peut  déterminer  les  coordonnées  des  points  de  contact  des  tangentes  c munes  sur  les 

deux  paraboles,  ainsi  (pie  les  sommets  du  triangle  circonsciil  aux  deux  paraboles. 

Trouver,  eu  supposant  que  m   varie,   le    lieu  du  point  de   contact  avec  la  parabole  (Q)  d'une  tangente   com- 
mune aux  deux  paraboles  P  ,  (Q    el  le  lieu  du  point  d'intersection  de  deux  tangentes  communes  à  ces  deux 
paraboles 
Quelle  relation  doit-il  exister  entre  les  abscisses  de  deux  points  de  la  parabole  [R   dont  l'équation  est 

pour  que  la  droite  qui  joint  ces  deux  points  soit  tangente  à  la  parabole   P  '.'  Démontrer  qu'il  y  a  une  infinité  de 

triangles  circonscrits  à  la  parabole  (P)  et  inscrits  dans  la  parabole    l;  . 

30  juin,  de  8  h.  à  midi 

Bourses  de  licence  es  sciences  physiques. 
Pkysiqui 

I.  —  Mesure  de  l'altitude  au  moyen  du  baromètre. 

Établir  la  formule  de  Laplace  et  donner  la  valeur  du  coefficient  numérique,  en  ayant  soin  d'indiquer  les 
unités  employées . 

II.  —  549.  —  Un  pendule  est  formé  de  deux  sphères  homogènes  de  même  rayon  r  et  de  mémo  nature, 
réunies  par  une  tige  rigide  qui  passe  par  leurs  centres.  L'axe  de  suspension  horizontal  est  perpendiculaire  à  la 
lige.  La  masse  de  cette  tige  et  celle  de  l'axe  de  suspension  sont  négligeables  vis-à-vis  des  masses  des  sphères. 
I  ne  de  ces  sphères  a  son  centre  à  une  distance  invariable  b  de  l'axe  de  suspension,  l'autre  à  une  dislance 
\anable  ..-  an -dessous  ou  au-dessus  de  cet  axe. 

Quelle  doit  être  la  valeur  de  x  pour  que  les  oscillations  simples  infiniment  petites  de  ce  pendule  se  fa--enl 
en  un  temps  (  '.' 

Faire  une  application  numérique  en  prenant  pour  la  durée  d'oscillation  3  secondes,  pour  la  dislance  à  l'axe 
de  suspension  du  centre  de  la  sphère  fixe  i  mètre  et  pour  rayon  des  sphères  I  décimètre,  l'intensité  de  la 
pesanteur  valant  981  C.G.S. 

l 'himie. 

I.  —  Azote. 

II.  —  550.  —  Dans  une  dissolution  de  chlorure  ferreux  additionnée  d'un  excès  d'acide  chlorhydrique,  on  intro- 
duit 0Br,.ï  d'un  mélange  salin  que  l'on  sait  ne  renfermer  que  de  l'azotate  et  du  chlorure  de  potassium.  I  n  gaz 
se  dégage  qui,  mesuré  sec  et  dans  les  conditions  normales  de  température  et  dépression,  occupe  un  volume 
de  100  centimètres  cubes. 

Calculer  en  centièmes  la  composition  du  mélange  d'azotate  et  de  chlorure. 

Quel  est  le  poids  minimum  de  fer  qu'il  faudrait  dissoudre  dans  un  excès  d'acide  chlorhydrique  pour  réaliser 

la  réaction? 

Az  =  14,  Iv  =  30,  Cl  =  35,5,  r"e  =  56. 

[30  juin,  de  .s'  h.  à  midi 


(jrKSTloXS  PROPOSÉES 


551.  —  On  donne  deux  axes  rectangulaires  Ox,  (iy,  et  ou  considère  les  paraboles  P  tangentes  en  0  à  ()..-. 

I»  Déterminer  la  relation  qui  doit  exister  entre  les  deux  paramètres  restant  dans  l'équation  de  P,  île  telle 
façon,  qu'à  chaque  instant,  les  axes  des  paraboles  P  touchent  leur  enveloppe  au  foyer  correspondant.  Cette 
relalion  dépend  d'une  constante  arbitraire  qu'on  fixera  pour  la  suite  de  la  question. 

2°  Lieu  commun  qui  constitue  le  lieu  des  foyers  et  l'enveloppe  des  axes  des  paraboles  P. 

3°  Lieu  des  projections  de  0  sur  les  axes  des  paraboles  P. 

■1  Lieu  des  sommets  et  enveloppe  des  tangentes  aux  sommets  des  paraboles  P.  Déterminer  les  points 
d'inflexion  du  premier  de  ces  lieux. 

i    Enveloppe  des  directrices  des  paraboles  P.  G.  Làpoihte. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  ',77 


552.  —  On  considère  l'hyperbole  équilatère  (II)  xy  -  h2  —  0,  une  droite  (ixe  (U)  x  —  d  =  0  et  une 
droite  mobile  (D,)     y  —  x  -f-  p  =  0. 

I"  Équation  générale  de  la  famille  des  coniques  (C)  qui  passent  par  l'origine,  par  les  points  communs  à  (H)  et 
à  (Di)  et  dont  l'une  des  asymptotes  est  la  droite  fixe  (D). 

2°  Déterminer  les  coniques  singulières  de  la  famille. 

3°  Déterminer  et  construire  l'enveloppe  des  coniques  (C).  Le  degré  de  l'enveloppe  peut-il  s'abaisser? 

4°  Déterminer  et  construire  l'enveloppe  de  la  seconde  asymptote   à). 

a°  Par  un  point  M  du  plan  passent  deux  coniques  (C)  et  (C),  de  centres  w  et  u>',  auxquelles  correspondent 
deux  asymptotes  (A)  et  (A')  se  coupant  en  en  point  ;j..  Connaissant  les  coordonnées  de  M,  trouver  celles  de  p..  et 
réciproquement  ;  définir  géométriquement  la  correspondance  entre  p.  et  M. 

6°  Lieu  des  points  p.  tels  que  le  quadrilatère  fxocW  soit  inscriptible  dans  une  circonférence. 

7°  Dans  celte  hypothèse,  construire  le  lieu  du  point  M. 

II  en  et. 

553.  —  On  considère  trois  points  0,  A,  B  et  une  droite  A. 

I»  Trouver  sur  cette  droite  les  deux  points  M  et  M'  tels  que  la  parabole  tangente  aux  deux  couples  de 
droites  MA,  MB  et  M'A,  M'B  ait  pour  foyer  le  point  0. 

2°  Quand  on  suppose  iixe  l'un  des  points  M  ou  M'  et  que  l'on  fixe  en  outre  l'un  des  points  A  ou  B,  l'autre 
décrit  une  droite  ;  cette  droile  est  la  polaire  de  l'autre  point  par  rapport  à  une  certaine  conique  (S). 

3°  Trouver,  quand  le  point  fixé  sur  la  droite  A  décrit  cette  droite,  les  lieux  des  sommets  et  des  foyers  de  la 
conique  (S). 

E.  Berthelot. 
♦ 

DEUXIEME     PARTIE 


GEOMETRIE  ANALYTIQUE 


506.  —  On  donne  un  cercle  de  rentre  0,  un  diamètre  /tir  ,/<■  ce  cercle  et  mi  point  P  fixe  sur  ce 
diamètre  ;  par  le  point  P  on  mène  une  sécante  quelconque  PMM',  cl  un  demande  l'équation  générale -des 
hyperboles  équilatères  qui  passent  nu  point  P  et   qui  admettent  /mur  diamètres  conjugués  les  droites  qui 

joignent  le  centre  du  révèle  aux  points  île  rencontre  de  ce  cercle  avec  la  sécurité  mobile  :  un  demande  eu 
outre  le  lieu  des  sommets  et  le  lieu  des  foyers  de  ces  hyperboles. 

Toute  hyperbole  équilatère  qui  a  pour  diamètres  conjugués  les  droites  OM,  OM'  admet  pour 
asymptotes  les  bissectrices  de  l'angle  MO  M'  ;  quand  la  sécante  PMM'  tourne  autour  du  point  P,  les 
directions  des  asymptotes  varient,  et  l'on  voit  que  les  hyperboles  considérées  sont  simplement  assu- 
jetties à  avoir  leur  centre  au  point  0  et  à  passer  au  point  P. 

En  prenant  le  point  O  pour  origine,   OP  pour  axe  des  x,    et  une  perpendiculaire  pour  axe  des  y, 

l'équation  générale  des  hyperboles  est 

x2  -+-  2)..ri/  —  y2  —  a'2  =  0, 
a  étant  l'abscisse  du  point  P. 

L'ensemble  des  axes  a  pour  équation 

\(y*  —  x3)  -t-Zxy  =  0  ; 
en  éliminant   X  entre  ces  deux  équations,  on  obtient  l'équation  du  lieu  des  sommets. 
Le  résultat  de  l'élimination  est 

(a;2 -ht/2)2 — a2(a:2  — y2)  =  0  ; 
cette  équation  représente  une  lemniscate  de  Bernoulli 

En  désignant  par  S  et  F  un  sommet  et  un  foyer  situés  d'un  même  côlé  du  centre,  on  a     —       /2   ; 

il  en  résulte  que  le  lieu  des  foyers  est  une  courbe  homothétique  du  lieu  des  sommets,   le  rapport 
d'homolhétie  étant  d~2,   et  le  centre  d'homolhétie  étant  l'origine. 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


Remarque.  —  <)n  pi  ut  d'ailleurs  obtenir  ce  dernier  lieu  par  des  considérations  géométriques. 
Soienl  F  el  F  les  foyers  d'une  des  hyperboles,  et  P   le  point  diamétralement  opposé  au  point  P.  On  a 

i  i 
I!'—  Il'  '  =  — 
-> 

ou,  puisque     M'       P  I  . 

Pi        l'I         2PF.P']   =    20Î 
d'autre  pari,  dans  le  triangle  l'I  T.  on  ;i 

PPS -+-  FF  =  âôT  +  2ÔP2. 
<iu  déduil  immédiatement  de  ces  deux  relations 

PFxP'F  =  ÔP*; 

il  en  résulte  que  le  lieu  du  point   F  est  la  Iemniscate  qui  a  pour  foyers  les  points  P  el  !' . 

AUZERAM. 

MM.  Klazt-Lacohbb,   lycée   de  Toulouse;    I.  Blandln,  à  Melay  ;  E.  de  Bonneville,  a  Saint-Etienne  ;  I..-J. 
.    Villagnier,  \  nu  iim.i  .  élèves  :m  pensionnai  de  Valbenotteà  St-Etieni 


507.   -    On  considère  le  faisceau  de  coniques  ayant  pour  foyer  un  point  donné  F  et  passant  par  deux 
points  donnés  A  et  B,  et  on  demande  : 

I"  L'enveloppe  des  directrices  qui  correspondent  <"<  foyer  I   . 

2°  Le  lieu  du  centre  de  cette  conique  variable  : 

.'J"  Le  lieu  du  second  foyer  ; 

4"  D'indiquer  la  construction  de  la  conique  particulière  >lu  faisceau  qui  ■<  une  excentricité  donnée. 

Prenons  pour  axe  des  x  la  droite   AB,   el  pour  axe   des  y  une  perpendiculaire  à    AB    en  son 
milieu;  désignons  par  a  l'abscisse  du  point  A  et  par  x„,  yt   les  coordonnées  du  point  F. 

Une  conique  de  foyer  F  a  pour  équation 

i    -  t„  -  -4- (y  —  i/„  -  =  /.  ux  +  vy  +  w  -  : 
pour  que  cette  conique  passe  par  les  points  A  et   B,   il  faut  qu'en  faisant    ;/ =  0    dans  son  équation; 
on  obtienne  une  équation  du  second  degré  en  x  qui  ait  pour  racines    -{-a    et     — a.     On  a  ainsi  les 
conditions  x0  +  \uw=  0, 

a-  -+-  .ri  -t-  j/5  —  \(u3a?  -+-  w2)  ==  0. 

1   Eliminons  À  entre  ces  deux  équations,  nous  avons 

«■  -t-  w2)  -i-  uw'n-  4-  j-2  -+-  y3)  =  0. 

"' 

Posons =  n  ;     cett iiiation  devienl 

u  ^ 

(1)  P2xu  —  pia2  +  jj  +  ijl)  -+-  a-.i\,  =  0  : 

or  /)  est  l'abscisse  ilu  point  de  rencontre  de  la  directrice  ux  +  vy -+•  w  =  0  et  de  l'axe  des  r.  II  en 
résulte  que  la  directrice  d'une  conique  quelconque  du  faisceau  passe  par  l'un  ou  l'autre  des  points  fixes 
de  Ox  dont  les  abscisses  sont  racines  de  l'équation  (1).  Ces  racines  sonl  réelles  el  séparées  par  x0  ; 
leur  produit  est  égal  à  a-,  par  conséquent  les  points  correspondants  divisent  harmoniquement  le 
segment   AB. 

L'enveloppe  des  directrices  se  compose  d ■  de  deux  points. 

2°  En  faisant    w  =  —up    dans  la  relation     i       \uw  =  0.    on  a    X  = — -,    et   l'équation  gêne- 
ur 
raie  des  coniques  devient 

(x  —  x0)-  -\-(y  —  ;/<>  '  =  -Y"  ("*  +  U.V  —  "/'    • 
ou  {x  —  x0)2  ■+■  (y  —  ?/o)2  =  —  {x  ■+■  py  —  p    . 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


479 


jj.  désignant  un  paramètre  variable,  et  p  étant  racine  de  l'équation  (1). 
Le  centre  est  déterminé  par  les  équations 


x-0      , 

.r0  = [x-h^y- 


-Ph 


y  —  y»  =  —  ^x  -+-  w — p)  ; 

en  éliminant  u  entre  ces  deux  équations,  nous  aurons  l'équation  du  lieu 

y  —  yo 


On  a  immédiatement     \i  = 
équations  du  centre,  on  a 


./■„ 


.)•  —  ./',.  =r 


et  en  remplaçant 

x*  r_ ,  y(y— 


par  cette  valeur  dans  la  première  des 


- 


.»•„  —  p  x:  x  —  xu)  +  x„y(y  —  y„)  =  0. 
Cette  équation  représente  une  conique  circonscrite  au  rectangle  formé  par  les  axes  de  coordonnées 
et  par  les  parallèles  à  ces  axes  menées  par  le  point   F.    Le  centre  de  cette  conique  est  alors  le  point  C, 
milieu  de   OF,   et  en  transportant  l'origine  en  ce  point,  l'équation  de  la  courbe  devient 

-p)- 


(xa  —  p)x"2  +  xty  J  — 


''v.y- 


=  o. 


Par  rapport  a  ce  nouveau  système  d'axes,  les  coordonnées  des  foyers  de  cette  conique  sont 

!/'  =  0, 
n  _  x{xl  +  yl  -  px„)  [      I  l_~\  _  p{xl  -+-  y*  - 


^r_» L"|  = 


4  .r„  —  p 


comme  /;  est  racine  de  l'équation   I  ,  on  a 


yî 


et  par  suite  les  coordonnées  des  foyers  sont 


et  par  rapport  au  premier  système  d'axes 


'A- 


On  en  conclut  que  les  foyers  de  cette  conique  sont  les  points  A'  et  B'  milieux  de  FA  et  FB. 

Comme  p  a  deux  valeurs,  racines  de  l'équation  (1),  on  voit  que  le  lieu  se  compose  de  deux  coniques 

homofocales  qui  passent  au  point  F  et  ont  pour 
foyers  les  points  A'  et   B';  l'une  de  ces  coniques 
estune  ellipse,  l'autre   une  hyperbole,  comme  le 
montre   d'ailleurs  l'équation  (2),    puisque 
compris  entre  les  racines  de  l'équation  (1). 

3°  Le  lieu  du  second  foyer  est  homothétique  du 
lieu  des  centres,  le  centre  d'homothétie  étant  le 
poinl  I  el  le  rapporl  d'homothétie  étant  égal  à  2  ; 
par  conséquent  le  lieu  du  deuxième  foyer  se  com- 
pose d'une  ellipse  et  d'une  hyperbole  homofocales 
passant  au  point  F  et  ayant  pour  foyers  les  points 
A  et  B. 

Nous  traiterons  la  quatrième  partie  à  la  suite  de  la  solution  géométrique. 


480 


GËOM1  ii;ii:  VNAL1  HQ1  r 


Solution  géométrique.  —  1«  Soient  P'  et  P*  les  points  de  rencontre  de  la  droite  AB  avec  les  bissectrices  de 

l'angle  AIT..  *m  sait  que  la  directrice  d'une  conique  passant  aux 
points  A  et  B  et  ayant  pour  foyer  le  point  F  passe  par  l'un 
des  points  P'  ou  P"  ;  l'ensemble  de  ces  deux  points  constitue 
IVm  eloppe  demandée. 

2    el   3    Nous   allons  déterminer  d'abord  le  lieu  du  deuxième 
foyer  I'"'. 

I.  Supposons  que  la  conique  variable  soil  une  ellipse  ;  on  a 
\l        \1         i:l    i-BF', 
ou  AF  —  BF'  =  BF  —  AF  =  constante. 

Cette  égalité  montre  que  le  point  F'   appartient  à  l'hyperbole  11  qui  ad t  pourfoyërs  les  points  A  et  1'.  et 

qui  passeparle  point  F.   De  plus  le  point  T   est  situé  sur  la  branche  de  cette  hyperbole  qui  ne  contient  pas  le 
point    F. 

II.  Supposons  maintenanl  que  la  conique  variai. le  soil  une  hyperbole  ;  on  a.  soil 

AF  —  AF  =  BF-BF,  (a) 

suit  AF—  AI-   =  BF-BF, 

selon  que  les  points   \  el  B  sonl  sur  la  même  brandie  ou  sur  de-  branches  différentes. 

La  première  égalité    a    peul  s'éci  ire  : 

*  \l        BF  =  AF-BF; 

elle  montre  que  le  point  F'  est  situe  sur  la  branche  de  l'hyperbole  11  qui  contient  le  point  F. 

L'égalité  'Bl  donne  d'autre  part 

AF'  +  BF  =  AF  -+-  BF  ; 
le  lieu  du  point  F'  est  dans  ce  cas  l'ellipse  F,  qui  a  po"ur  loyers  les  points  A  el  11  el  qui  passe  par  le  point    F. 

En  résumé,  le  lieu  du  deuxième  loyer  des  coniques  ayanl  pour  foyer  le  point  F  el  passant  par  les  points  A  el 
B  se  compose  des  coniques   II  el  F. 

Les  points  de  l'ellipse  I.  sonl  loyers  des  hyperboles  pour  lesquelles  les  points  a  et  I!  appartiennent  à  des 
branches  différentes.  La  branche  de  11  qui  passe  au  point  F  contient  les  foyers  des  hj  perboles  pour  lesquelles  les 
points  A  et  I!  appartiennent  a  la  même  branche.  Enfin  la  branche  de  II  qui  ne  passe  pas  au  poinl  F  est  le  lieu 
des  foyers  des  ellipses  du  faisceau. 

Le  lieu  des  centres  des  coniques  du  faisceau  esl  homothétique  du  lieu  des  deuxièmes  foyers   I  ,  le  centre 

d'h ibelie  êtanl  le  poinl  F  et  le  rapport  d'homothélie  étant  égal  à   —  • 

4"  Soil  >■  l'excentricité  donnée  ;  la  directrice  relative  au  loyer  F  de  la  conique  cherchée  doit  passer  par  l'un 

\l 
des  points  P'  ou  P"  et  être  tangente  à  un  cercle  de  centre  A  et  de  rayon  — -, 

On  a  aussi  quatre  solutions  obtenues  en  menanl  à  ce  cercle  les  tangentes  des  points   P    el    P". 
En  supposant    AF  >  BF,     on  a 


\l' 


Pour  que  les  tangentes  issues  du  point  1''  soient   réi 


\l' 


AF.AI! 


AF—  BF 
s,  il  faul  qu'on  ail 


AF 


< 


AF.AI! 


AF 

e>  — 


BF 


AF  +  BF'  Ai; 

Pour  que  les  tangentes  issues  du  poinl    P"  soienl   réelles,  il  faul  qu'on  ail 


En  conséquence, 


AF        AFxAIS  AF— BF 

i     <AF-BK'  ""  AB 

-i  l'on  a  le  problè admel 

0  solution  ; 

i  solutions  ; 

e  >  —     ',  '  "  ■  i  solutions. 

AB 

Edmond  LACOMBE,  lycée  Louis-le- Grand. 

l; ■  .  i      itriques  :  MM.    Idzeium  ;   I..   I;  \ ;.    \  Corriol,  pei   iounal   Sainl  La 

..  s;iiut  Ëlieunc  :  M.  M  ai.  h.  st.  peusionual  île  Valbenoile  i  Sainl  Elic i;  Ver ie,   ■  Saint-Etienne. 


AI'  -BF 

AB 
AF  +  BF 

AB 
AF  +  BF 

AB      ' 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  481 


508.  —  On  donne  un  cercle  (C)  et  une  droite  (D),  et  Von  considère  un  cercle  variable  (r)  orthogonal 
au  cercle  (C)  et  tangent  à  la  droite  (D). 

1°  Trouver  le  lieu  du  centre  du  cercle  (r). 

2°  Trouver  l'enveloppe  du  cercle  i  r)  et  montrer  qu'elle  se  décompose  en  deux  -parties  que  chaque  cercle 
touche  simultanément  ;  indiquer,  en  outre,  la  correspondance  qui  existe  entre  les  deux  points  de  contact  du 

cercle    Y    arec  son  rnrrluppr. 

3°  Trouer  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  /anormale  à  l'une  des  parties  de  l'enveloppe  en  l'un  des 
points  de  contact,  avec  la  tangente  à  l'autre  partie  en  Vautre  point  de  contact.  Construire  ce  lieu. 

Prenons  pour  axes  de  coordonnées  deux  diamètres  rectangulaires  du  cercle  (C),  l'un  d'eux,  Oy, 
étant  parallèle  à  la  droite  (D);  l'équation  du  cercle  (C)  est  x-  +  y-  —  R2  =  0,  celle  de  la  droite  (D), 
x  -  a  =  0. 

Soit  alors  x2  -+-  y'-  —  2w  —  2|3j/  -\-~;  =  0  l'équation  du  cercle  variable  (r);  en  exprimant  que  ce 
cercle  est  orthogonal  au  cercle  (G)  on  obtient  de  suite  ■;  =  R'2.  Coupons  alors  ce  cercle  par  la  droite 
x  =  a    et  exprimons  que  l'équation  aux  ordonnées  a  une  racine  double  ;  nous  obtenons  une  nouvelle 

condition    «  = >     et  l'équation  du  cercle  (r)  est  définitivement 

2a 

a;2  +  ,,2 Z L-x  —  23y  +  R2  =  0. 

1°  Le  lieu  du  centre  du  cercle  (r)  est  fourni  par  la  condition  précédente  ;  son  équation  s'obtient  en  y 
remplaçant  a  par  x  et  p  par  y  ;  on  a  ainsi 

(  I  )  y-  -+-  ^ax  —  a-  —  R-  =  0. 

Cette  équation  représente  une  parabole  ayant  Ox  pour  axe,  dont  le  paramètre  est  —  a,  doublement 
tangente  au  cercle  (C)  aux  deux  points  où  la  droite  (D)  le  rencontre  et  dont  le  foyer  est  le  point  de  Ox 

d'abscisse  égale  à  * 

2a 

2°  L'enveloppe  du  cercle  (r)  s'obtient  en  cherchant  le  lieu  des  points  du  plan  par  où  il  passe  deux 

cercles  du  système  confondus,  c'est-à-dire  en  exprimant  que  l'équation  du  second  degré  en  p  a  une 

racine  double.  On  trouve  ainsi 

a2  +  R2  2\ 

x-  -+-  y- a;  -t-  R     —  y-  =  0, 

■'a  j 

équation  qui  se  décompose  en  deux, 

ii  —  a  =0, 
x-  +  y- x  =  0. 
a 

La  première  représente  la  droite  (D),  solution  évidente  a  priori;  la  seconde  représente  un  cercle 
qui  a  son  centre  au  foyer  de  la  parabole  précédente  et  qui  passe  à  l'origine  des  coordonnées. 

Appelons  M  le  point  de  contact  du  cercle  mobile  avec  la  droite  (D)  et  M'  son  point  de  contact  avec 

le  cercle  (2);  la  droite  qui  joint  ces  points  s'obtient  immédiatement  en  prenant  la  dérivée  du  premier 

S.r 
membre  du  cercle  (r)  par  rapport  à  fi;  on  trouve  ainsi y  =  0;     les  deux  points  de  contact  sont 

donc  déjà  en  ligne  droite  avec  le  point   0.    D'autre  part,  les  coordonnées  du  point    M    sont    x  =  a, 
y  =  S;     celles  du  point   M'   se  déduisent  immédiatement  de  l'équation  du  cercle  (2)  et  de  celle  de  la 

droite  des  contacts   et   ont  pour   expressions    x  =  ■ — ,      u  =  — — —  •     On   voit  de    suite   que 

F  a2  +  p2        J        a2-i-p2 

OM" .  0M'~  =  R1,     et,  comme  les  abscisses  des  points  M  et  M'  ont  le  même  signe,     OM.OM'  =  R2.     Le 

lieu  de   M'  est  donc  la  figure  inverse   du  lieu  de  M  par  rapport  au  point  0,   RJ  étant  la  puissance 

d'inversion. 


'tH-2 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


3  Si  ['on  prend  la  tangente  à  la  première  partie  de  l'enveloppe,  c'esl  la  droite  l>  elle-même  et, 
pai  suite,  le  lieu  demandé  esl  cette  droite.  Prenons  la  tangente  à  la  seconde  partie;  c'esl  évidemment 
l'axe  radical  des  cercles   2   e(    r  ;  cette  droite  a  donc  pour  équation 


rempla- 


-\V  =  0  ; 

d'ailleurs  la  normale  à  la  droite    D    au  poinl  M  est    y  —  3.     Le  lieu  s'oblienl  donc  de  suiti 
çanl    •-  par  r/  dans  l'équation  précédente.  On  trouve  ainsi 

3  a2  —  ys  b   ■-  2aj/!  -  „K-  =  0. 

Cetl [uation  représente  une  courbe  du  troisième  degré  symétrique  par  rapp  >rl  à  •>/■,   et  donl  1rs 

asj  mptotes  sonl  parallèles  aux  axes.  Pour  construire  cette  courbe,  il  suilii  d'étudier  la  fonction  x  de  y 
lorsque  y  varie  de  0  à     +  x  . 

R2— 2y2 

x  =  a ^~ 

a-  -  r 

lui   nous   plaçant  dans  le   cas    où     R2  <  2as,     nous    voyons   de 
suite  que  cette    fonction  est    continuellement   décroissante,    qu'elle 

décroît  de  -  à  — x,  quand  «/croit  de  0  à  ".  el  de  +  x  à  2a, 
quand  </  croit  de  a  à  -h  ».  La  forme  de  la  courbe  résulte  immé- 
diatement de  ce  que  nous  venons  de  dire. 

G.  Laederk  h. 

Bonnes  solutions   :    MM.  I'.  Ollagoier   (pensionnat   de   Valbenoite,  à  Saint-Etienne)  ;  J .  Blandin     à  Helay)  ;  E.  Lacomub    Louis- 

le    r.i'iiinl   . 

Ont  résolu  la  question:   MM.  Malplat  (pensionnat  di  a  Saint-Etienne  ;  Vbrcjièhe   a  Saint-Etienne)  ; 

Solutions  imparfaites  :  MM.  E.  Ac/.khxm  ^Montpellier)  ;  C.-A.  Pooilliart   Auxerrc). 


Solution  géométrique. 


poinl 


Tous  les  cercles  T    étant  orthogonaux  au  cercle    C)  ont  même  puissance 

par  rapport  au  point  0,  le  nombre 
lt-\  L'axe  radical  de  deux  d'entre  eux 
passe  donc  en  ce  point;  il  en  est 
ainsi  en  particulier  de  l'axe  radical 
de  deux  cercles  infiniment  voisins, 
et,  par  suite,  la  droite  qui  porte  les 
deux  points  de  contact  de  l'un  des 
cercles  (r)  avec  son  enveloppe  passe 
au  point  0;  d'ailleurs  on  a 

OM.OM'  =  R2. 
La  première  partie  de  l'enveloppe 
étanl  donc  sûrement  la  droite  D  . 
la  seconde  est  la  figure  inverse  de 
cette  droite  par  rapport  au  point  0, 
ru  prenant  R  pour  puissance  d'in- 
version. On  obtient  ainsi  un  cercle 
ayant  son  centre  sur  la  perpendicu- 
laire 1 1  <  ;  1 1  > .  i  i  ——."-.  ■  di'  (  l  sur  l.i  (h  in  le 
il)    et  passant  au  point  0. 

Soit  1  le  centre  de  ce  cercle;  si 
l'on  porte  à  partir  du  point  M. 
»C  —  Ml,  le  lieu  du  point  C  est 
une  droite  BC  parallèle  à  la  dn  ile 
I)  ;  par  suite  le  heu  du  point  u>  est 
le  lieu  des  points  équidistants  du 
et  de  la  droite    BC;   c'esl  donc  une  parabole  ayant  pour  loyer  le  point  1  el  pour  directrice  la  droite  BC. 


(ry^~ 

y 

M  \y 

C 

~\^ 

\JG 

1 

Î\ 

0 

A 

IV 

B           rrV. 

/|G' 

(Q^ 

— ^E 

-"(n) 

!..       \ 

TRIGONOMÉTRIE  483 


Le  dernier  lieu  est  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  la  normale  en  M  à  la  droite  (D)  avec  la  tangente  au 
cercle  (1)  en  M'.  Sur  chaque  parallèle  à  Ox  il  n'y  a  évidemment  qu'un  point  de  ce  lieu,  P,  à  distance  finie.  Mais 
quand  le  point  u  vient  en  l'un  des  deux  points  G  ou  G'  où  la  perpendiculaire  à  Ox  en  1  rencontre  la  parabole, 
la  tangente  au  cercle  (1)  est  perpendiculaire  à  la  droite  D  et  le  point  P  est  à  l'infini  sur  Ox;  l'asymptote 
correspondante  est  la  parallèle  à  Oas  menée  par  le  point  G  ou  G',  et  le  point  à  l'infini  sur  Ox  est  un  point 
double.  Le  lieu  du  point  P  est  donc  une  cubique  ayant  deux  asymptotes  parallèles  à  Ox.  D'autre  part,  quand  le 
point  m  s'éloigne  à  l'infini  sur  la  parabole,  le  cercle  (r)  tend  vers  Oy,  le  point  M  s'éloigne  à  l'infini  sur  la 
droite  (D)  et  le  point  P  est  rejeté  à  l'infini  sur  0;/  ;  il  y  a  donc  une  nouvelle  asymptote  parallèle  à  Oy.  Enfin 
quand  le  point  tu  vient  en  E  ou  E',  le  cercle  (r)  devient  nul  et  le  point  P  coïncide  avec  le  point  E  ou  E';  quand 
le  point  eu  vient  en  S,  le  point  P  vient  en  F.  Cette  courbe  est  à  présent  suffisamment  connue. 

Remarquons  encore,  pour  terminer,  qu'il  est  facile  de  démontrer  que  cette  courbe  est  du  3e  ordre,  en 
s'appuyant  sur  le  principe  de  correspondance  de  Chasles.  E.  AUZERAM. 


TRIGONOMETRIE 


468.  —  Résoudre  le  triangle  ABC  dans  lequel  on  donne  1rs  côtés  //,  c  ainsi  que  l'aire  S'  du  triangle 
qui  a  pour  côtés  les  longueurs  des  médianes  du  triangle  ABC. 

On  choisira,  parmi  1rs  solutions  qui  répondent  aux  données  numériques,  celle  pour  laquelle  lu  hauteur 
issue  du  sommet  A  a  la  moindre  valeur. 

S' =  94317(50"",  6  =  49728m,7,  c  =  G7917m,8. 

On  prouvera  que  S'  est  égal  aux  —  de  la  surface  S  du  triangle  ABC. 

(Ecole  Centrale,  1895,  S"  session.) 
1°  Le  triangle  PNM  ayant  pour  sommets  les  pierls  des  médianes  du  triangle  ABC,  a  une  surface 
égale  à   — i    car  elle  est  la  moitié  de  celle  de  chacun  des  parallélogrammes 

équivalents  ANMP,  PNCM  et   MNPB.    Si  l'on  construit,  en  PCP',  le  triangle 

ayant  pour  côtés  les  médianes  de    ABC,    on  voit  aisément  que   PCP'    est 

formé  de  trois   triangles  :   PMC,  CMP'  et  P'MP  qui  ont  même  surface  que 

3S 
PNM.  On  en  déduit     S'  =  ---  • 
4 

bc  sin  A         4S' 
2°  Calcul  de  A.  —  Des  formules  S  = —  =  -y-  >  on  tire 

Si  l'on  a  8S'  <  3l>e ,  on  trouvera  pour  sin  A  une  valeur  positive,  et  pour  A  deux  valeurs,  A,  et 
A,  telles  que     A,  >  90°,     A2  <  90". 

Il  faut  choisir  entre  ces  deux  valeurs  celle  qui  correspond  à  la  plus  petite  hauteur  issue  du  sommet 
A,  c'est-à-dire  à  la  plus  grande  valeur  du  côté  a  ou  encore  de  l'angle  opposé  A.  On  prendra  donc 
l'angle  ohtus  A,. 

On  est  ramené  à  résoudre  un  triangle  connaissant  A,  h  et  c. 

Calcul  numérique. 

S  =  12b75680<"<* 
I     S' =  9431700—  \     A  =  131°52'05",64 

Données.  \     h  =  49728'", 7  Résultats.        B  =    20° 06' 5 7", 30 

,.  =67917»,8  /     C=    28»  0'57",00 

ï  =  107G7(i'",l. 


184 


TRIGONOMÉTRIE 


S  = 


4S' 


-in  A  = 


8S' 

36c 


Formuh  s  <•  >  mployer. 


-b  A 

T6C0t?T' 


c  Sin  A 
sin  C 


Calculs  auxiliaires. 

c  +  b  =  117646,5 
c  —  b  =    18189,1 

Calculs  définitifs. 

iS"  =  37  727  040!>res 

S  =  ^f-  =  12575680ares 

Calcul  de  log  S'. 

94317             9745900 
6                     27,6 

Calcul  de  A. 

log  8  =  0,9030900 

log  S'  =  8,9743927 

colog  3  =  1,5228787 

log  S'  =  8,9745927 

Calcul  de  log  b. 

colog  b  =  5,3033929 
colog  c  =  5,1680164 

49728             6966010 
7                     60,9 

log  sin  A  =  1,8719707' 
48°07'50"                        625 

log  b  =  4,6966071 

82 

Calcul  de  log  c. 

67917             8319785 
8                     51,2 

4                            <5,2 

6,8 
0",3                        5,64 
0",06                       1,16 

log  c  =  4,8319836 

Ao  =    48°0T54",30 
A,  =  131°52'05",64 

Calcul  de    log  (c-H  b). 

11764               0705550 
6                     221,4 
5                     18,45 
log  {c  +  b)  =  5,0705790 

Calcul  de  B  et  C. 

log  {c—b)  =  4,2598112 

log  cotg  4"  =  1,6499257 
colog  (c-t-6)  =  6,9294210 

Calcul  de     log  (c  —  b). 

18189            2598088 

log  tg  Ç-=—  =  2,8391579 
3°56'50"                      8856S 

1                     23,9 
log  [e  —  b)  =  4,2598112 

3011 

HL°  =  9,82 
3065 

Calcul  de    log  colg  —  • 

65°o6'l0"             I,ii49885l 

—  7"                        396,2 

—  0",1                         5,66 

—  0",08                       4,528 

C       V 

—    3°56'59",82 

2 

£±i?  =  24fl03'57",18 

C  =  28°00'57",00 
B  =  20°06'57",36 

log  cotg  —  =  Ï,64!i92:;: 

Calcul  de  a. 

loge  =  4,8319836 

log  sin  A  =  '(",8719707 

colog  sin  C  =  0,3281651 

log  a  =  5,0321194 

10707                 0947 

Calcul  de  log  sin  C. 

28°00'o0"        1,6718072 
7"                    277  2 

log  sin  C  =  1,6718349 

247 

217 

—  0,61 

403 

a  =  107676-M 

CONCOURS  DE  1896  48Ê 


CONCOURS   DE   1896    (Suite). 


ÉCOLE     CENTRALE 
Première  session. 
Géométrie  analytique. 
554.   —  Soient  S  l'ellipse      -5  +  j-  —  1  =  0,     rapportée  à  ses  axes,  et  S'  le  cercle  de  centre    I  (a,  (D)     et 

de  rayon  R  : 

1°  Trouver  le  nombre  des  points  M  réels  ayant  même  polaire  par  rapport  aux  coniques  S  et  S'. 

2°  Construire  le  lieu  géométrique  V  des  points  M  quand  R  varie,  le  point  1  restant  fixe.  Reconnaître,  et 
démontrer  a  priori,  une  propriété  remarquable  des  points  communs  aux  lignes   S  et  V. 

3°  Trouver  le  lieu  géométrique  U  des  centres  1  des  cercles  S'  de  rayon  R  donné,  quand  la  droite  qui  joint 
deux  des  quatre  points  communs  à  S  et  à  S'  est  perpendiculaire  sur  la  droite  qui  joint  les  deux  autres.  Discuter 
suivant  les  valeurs  de  R. 

4°  Deux  cordes  (d'un  même  couple)  communes  aux  coniques  S  et  S'  étant  rectangulaires  et  le  rayon  R 
étant  variable,  on  assujettit  le  centre  1  à  parcourir  S  ;  construire  le  lieu  W  de  l'intersection  P  de  ces  deux 
cordes  ;  indiquer  la  correspondance  graphique  des  points  1  et  P. 

5°  Suivant  les  positions  occupées  sur  S  par  le  centre  1  de  S',  discuter  le  nombre  des  points  réels  communs 
à    S  et    à    S'  lorsque  deux  cordes  d'un  même  couple  sont  rectangulaires. 

(1"  juillet,  de  7  h.  à  1 1  h.) 

Physique   et   Chimie. 

I.  —555.  —  Chercher  la  température  x  à  laquelle  il  faut  porter  de  l'air  sec  à  la  pression  il  pour  qu'il  prenne 
la  densité  de  l'air  humide  sous  la  même  pression  à  température  t  et  à  l'état  hygrométrique  e. 

o 

H  =  ":i"",2  e—  ~-,  t  =  I9°,4. 

Tension  maxima  F;  de  la  vapeur  d'eau,  trm,68. 
Coefficient  de  dilatation  des  gaz,    a  =  0,00367. 

5 
Densité  de  la  vapeur  d'eau,  — • 

II.  —  556.  —  Quelle  position  et  quelle  hauteur  minimum  doit  avoir  un  miroir  plan  vertical  pour  qu'une 
personne  placée  debout  à  distance  d  puisse  s'y  voir  de  la  tète  aux  pieds  ? 

III.  —  Acide  borique. 

IV.  —  557.  —  Dans  un  ballon,  on  chauffe  1284»r  d'iodate  de  potassium.  Un  recueille  le  gaz  qui  se  dégage,  et 
on  arrête  l'expérience  quand  le  volume  mesuré  est  )67ut,25  dans  les  conditions  normales.  Après  refroidissement 
du  ballon,  on  dissout  dans  l'eau  le  résidu  qu'il  contient,  et  on  ajoute  un  excès  d'acide  sulfurique  étendu.  11  se 
forme  un  précipité. 

On  demande  : 

1°  Le  poids  et  la  nature  du  gaz  recueilli  dans  la  première  phase  de  l'expérience  ; 

2°  Le  poids  et  la  nature  du  précipité  obtenu  dans  la  seconde.  On  le  supposera  d'ailleurs  complètement  inso- 
luble dans  la  liqueur  où  se  fait  la  réaction. 

8  =  0,0695;  11  =  1,  0=16,  K=30,  1  =  127. 

(ior  juillet,  de  S  h.  u  5  h.) 

Epure. 

INTERSECTION    d'un    BYPERBOLOÏDE    DE    RÉVOLUTION    Kl'    D*UN    CÔNE. 

558.  —  Un  considère  :  t°  Un  hyperboloide  de  révolution  à  axe  vertical  (oz,  o'z')  dont  le  cercle  de  gorge 
situé  dans  le  plan  horizontal  de  cote  100mm  a  90mm  de  diamètre.  Les  génératrices  de  cet  hyperboloide  font  avec 
le  plan  horizontal  un  angle  de  45°.  L'axe  de  la  surface  est  à  U0mm  en  avant  du  plan  vertical. 


186 


QUESTIONS    POSÉES    \l A    EXAMENS    ORAUX 


I  ncône  k  base  horizontale  circulaire  défini  de  la  manière  ~uiv.mli'  :  Le  sommel  ss'  du  cône  est  situé  dans 
le  plan  de  Iront  de  l'axe  oz,  o'z'  de  l'hyperboloïde.  La  cote  de  ce  point  est 
lixée  à  200mm.  L'une  des  génératrices  de  Iront  du  cône  est  la  verticale 
(sa,  s'a'  qui  passe  par  l'extrémité  de  gauche  du  rayon  du  cercle  de  gorge, 
l'autre  génératrice  de  Iront  esl  la  droite  'SB,  sV  inclinée  à  4o°  sur  le 
plan  horizontal. 

Cela  posé,  on  demande  : 

1°  De  tracer  les  projections  de  l'intersection  du  cône  et  de  l'hyperbo- 
loïde, en  ayant  soin  de  déterminer  les  points  et  tangentes  remarquables 
des  courbes  ainsi  obtenues  ; 

2°  De  définir  la  direction  des  plans  donnant  de^  secliun-  anti-paral- 
lèles à  la  base  du  cône  ; 

3°  De  représenter  complètemenl  le  solide  formé  par  le  cône  et  l'hyper- 
boloïde, les  deux  surfaces  étanl  limitées  de  la  manière  suivante  : 

(n    au  plan  horizontal  de  projection  ; 

(6)  au  plan  horizontal  passant  par  le  sommet  du  cône  ; 

r    au  plan  langent  au  cône  suivant  la  génératrice    SB,  su'   ; 

■'   au  plan   de  section  anti-parallèle  à  la  base,  passant   par  le    i I 

\,  \'i  trace  horizontale  de  la  génératrice  verticale  du  cône. 

Titre  extérieur  :  GÉOMÉTRIE  DESCRIPTIVE. 

Titre  intérieur  :  hyperboloïde  et  cône. 

Cadre  rie  n.27  su:-  n.4.:>.  Ligne  de  lerre  parallèle  su  petit  côté  du  cadre  et  au  milieu  de  la  feuille. 
La  droite  o'z'  csl  ;i  U0mm  <lu  côté  de  gauche  du  cadre. 

3  juillet,  de  7  h.  à  il  h. 

Calcul  trigonomèlrique. 

559.  —  liésoudre  un  triangle  connaissant  un  angle  A,   le  périmètre  2p  et  la  somme  s  des  sinus  des  angles. 
On  donnera  les  conditions  de  possibilité  de  ce  triangle. 

A  =  62"  1 1'  17",  2p  —  793m,075,  s  =  2,422. 

g  juillet,  de  S  h.   H2  à  1  h .  112. 


QUESTIONS    POSEES   AUX    EXAMENS   ORAUX 


ECOLE    CENTRALE  (1895)    Suite 


—  Dérivées  d'^  fonctions  suivantes 

y  =  \fi.r-  -h  I, 


y  =  arc  sin  2xJ  I  —  x', 

fl  =  vos'   X         '■'■'.  'I  =  5  COS     -il  I 

y  =  CXr-  H    1  ''   ',        y  =  (o.r*  -  3.r  |    I 
m    i  .  y  =  (tg.r)r»ls*, 


L  arc  II 


y  =  y  tg3(.r2  —  1 1, 

.'/  =    sin  a 

y  =  (eus  x)ls*  ' , 


277 
278 
27!) 
280. 

281 

cette  foni 


y  —  [arc  tg  x)   * 

Dérivée  n°  de  la  I :tion    y  =  sin  x. 

Dérivée  par  rapport  à  x  de  la  fonction  !/ définie  par  l'équation 
-  Maximum  du  produit    [x  —  2)(.r  -t-  3)(3  —  2x). 

-Maxi m  du  produit    i  '.</  :     sachant  que    x  ■  y   ■   z  =  a. 

i 


y  =  sin3  (x-h 1), 

y  =  (x'  -  -       ' 
//  =  (sin  3a      -    , 
y  —  [L(ar-+-2)]r-<, 


—  Variations  de  la  fonction     //  =     , 

il  .r1        b  i 

tion  soil  indépendante  de  x. 

—  Etudier  les  variai s  'les  i itions  suivantes  : 


Calcul  ilu  maximum  >i   lu  minimum.   Conditions  pour  que 


X*  —  4 

[x  —  i)(x  -t-  4)' 
x'  —  9 

ï  —  (x—  i){x  —  3)' 

V-(x-2)(x-5)' 

QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  487 


(X  -  2)(x  -+-  3) 

(x-l)(x-hl) 

(a;  —  l)[x  -+-  2)' 

x2  -+-  3x  —  3 

(x  -  2)(.r  +  6)' 
xs  —  x  —  1 

x"  —  2x  —  1  ' 

'     _  X2  -t-  «  -1-  1 

C»  rc  rb 

283.  -  Démontrer  que  |    f(x)dx  =   I   f{x)dx  -+-  I    f(x)dx. 

284.  —  Trouver  les  fonctions  primitives  des  fonctions  suivantes  : 

,  _        3  ,  _       x3  .  _ 


■'■—  i; 

285.  —  Calculer  les  intégrales 

/  sin  xcosxdx,  I  sin3  x  cos  x dx,  I  sin  2xcos  -■•  <lr 

I  tgxdx,  /   ^-^— >  /  x'Lxilx. 

J  /   sin  x  _  / 

286.  —  Trouver  le  quotient  de     :<x{  —  ::.r-   ■•    1     par    x  -+-  2    sans  effectuer  la  division. 

287.—  Diviser   le  polynôme        x3  —  3abx  -4-  a3  -+- 6»        par        x+(a-)-6).        En   déduire    les   racines  de   l'équation 
.r1  —  3abx  ■+■  a3  +  b3  =  0. 

288.  —  Condition  pour  que  l'équation    x3  +  px2  +  q  =  0    ait  une  racine  double. 

289.  —  Sachant  que  l'équation    x3  -+-  px1  +  qx  -Hr  —  0    admet  une  racine  triple,  trouver  cette  racine. 

290.  —  Résoudre  l'équation    a;3  -(-  px2  H-  g.r  -t-  r  =  0    connaissant  :  1°  la  somme  ;  2"  le  produit  de  deux  racines. 

291.  —  Trouver  la  relation  qui  doit  exister  entre  les  coefficients  de  l'équation      x'  -h  px3  -+-  qx*  -+-  rx  -+-  s  =  0      pour 
que  le  produit  de  deux  racines  soit  égal  à  un  nombre  donné  /.'. 

292.  —  Résoudre  l'équation    x3-^px  +  q  =  0    en  faisant  disparaître  le  ternie  du  premier  degré  au  moyen  d'une  trans- 
formation homographique. 

293.  —  Abaissement  des  équations  réciproques.  Appliquer  à  l'équation    .<•'  —  Sx3  -t-  2x2  —  3x  -+- 1  =  0. 

294.  —  Discuter  les  racines  de  l'équation    mx'  —  (2m  -+■  l)x2  -+-  m  —  !  =0. 

295.  —  Même  question  pour  l'équation    x'  +  [m  —  3).r2  -+-  m  —  3  =  0.     Calculer  la  somme  des  puissances  cinquièmes 
des  racines  de  cette  équation. 

296.  —  Somme  des  puissances  quatrièmes  des  racines  de  l'équation    3a;3  +  9x  —  7  =  0. 

297.  —  Somme  des  puissances  cinquièmes  des  racines  de  l'équation    x3-hpx'-+-  qx  -+-  r  =  0. 

298.  —  Somme  des  puissances  piimes  des  racines  de  l'équation    xm.  —  1=0.     Montrer  que     S,,  =  0,     si   p  n'est  p;is  un 
multiple  de  m. 

299.  —  Etant  donnée  l'équation     x*  +px3-hq  =  0,    calculer  la  fonction  symétrique  des  racines  -n-h. 

300.  —  Appliquer  le  théorème  de  Descartes  aux  équations    4x'  —  2.ç  -+-  1  =  0,  x-  —  2.c'  +  x'-  —  i  =  0. 

301.  —  Condition  de  réalité  des  racines  de  l'équation    x3+pxi  +  q  =  0.    Vérifier  le  résultat  au  moyen  de  l'équation 
aux  inverses. 

302.  —  Trouver  le  nombre  des  racines  réelles  des  équations 

.-r3  +  x-  —  1  =  0,  ox'  —  4a;3  -+- 1  =  0,  bx1  —  3x'  —  1  =0, 

5x'  —  2x  +1=0.  'ix-  —  ix'  +  1  =  0,  a?  —  x3  —  1  =  0, 

xs  —  x1  -+-  1  =  0,  .x*  —  x3  -+-  1  =  0,  x1  —  2x'  +  x  —  I  =  0. 

303.  —  Trouver  le  nombre  des  racines  réelles  de  l'équation      x'  +  3.r3  -+-  5,r2  -*-  .r  —  2  =  o.      Déterminer  les  racines 
commensurables. 

304.  —  Calculer,  par  approximation,  la  racine  positive  de  l'équation    a?  —  2x  —  1=0.    Même  question  pour  l'équation 
3a;3  —  5.»  —1  =  0. 

305.  —  Formule  de  Moivre.  Application  à  la  résolution  des  équations  binômes    x6 —  1  =  0,  .r  —  1  =  0. 

306.  —  Décomposer  en  éléments  simples  les  fractions  rationnelles  suivantes  : 


{X-i){X  +  i) 

\ 

(x  —  2)(x  —  4) 
2a-2  —  1 

x2  -+-  Sx  ' 

x2  +  1 

X!  +  ix 
i 

a;2  +  ix  —  3 
a;  —  l 

x(x  — 2)(.r  —  3, 
X-2 

xx  —  \yx  —  3) 
1 

(x»+3x  — l)(x+l)  ' 
a;— 1 

x2|,x  —  3) 
1 

X'(X  —  2) 
1 

x[x  —  l)2 

1 

x3[x  +  1  ) 
1 

x3[x  —  2)  ' 

&(x—  1)* 

(x  —  2)(a?-t-x-M) 

x2(x2  +  X+  1) 

(x2-+- l)(x2-t-4j 

En  déduire  les  fonctions  primitives. 


488  QUESTIONS    PROPOSÉES 


Trigonométrie    M.  Gouilly  . 

307.  —  Résoudre  les  équations 

tg   <i  -  te     cotg  (c      ix)  =  I,  tg  ix) .  tg (i       ix   =  1.  tg*         >éi     t  =  1, 

i  i_    ■  -+- te)  —  tg  (c      dx  =  1. 

308.  —  Démontrer  que  l'on  a    sin  a  .  sin  [b  —  c]  -■   sin  6  sin  (c— o)  +  sin  i  -m   a      6  =  0. 
300.  —  Trouver  la  relation  qui  existe  entre   a,  b,  c   sachant  que  l'on  a 

tga-t-  tg  h  -+-  tg  c  =  tga  tgft  tg  c, 
cos!  a  +  cos*  6  -t-  cos1  c  ±  2  cos  a  cos  b  cos  c  =  1 , 
sin"  a  -f-  sin-  b  +  sin*  c  ±  2  sin  «  sin  /i  sin  c  =  1 . 

310.  —  Rendre  calculables  par  logarithmes  les  expressions  suivantes  : 

Sin  a   -  sin  b  ±  sin   a  n  sin  a  +  fe  cos  x 

cos&±sin   "  asina-f-cosa' 

1  ±  cos  a±  sin  a, 

tgo-tgft'  N   B~*       N   a  +  6 

31 1.  —  Limite  du  rapport  d'un  arc  de  cercle  de  longueur  donnéi   à  sa  cordi   quand  le  rayon  du  cercle  augmente  indéfi- 
niment. 

3 12.  —  Résoudre  les  systèmes  suivants  : 

(    sin x  ±  sin  y  =  a,  (  tga;±tgy  =  a,  (    sin  a:  f-cosj/  =  a,  i    tga;  H  tg;/  =  «, 

(    sin  .r.sin  (/  =  b.  \  x±y  =  b.  (    x  —  y  =  b.  \    sin x      sinj 

313.  —  Déduire  des  relations     a  =  b  cos  C  +  c  cos  A,  . . .      qu'un  triangle  n'est  pas  déterminé  dès  qu'on  donne  ses 
dois  angles.  Même  question  en  se  servant  des  relations    o-  =  b-  +  c-  —  ïbc  cos  A,  . . . 

ABC 

314.  —  Etablir  la  formule     S  =  p-  tg  —  tg  — -  tg  — ■ 

3-15.—  Résoudre   un    triangle   rectangle  c aissanl  li    rayon  du  cercle  inscrit  et  :   1°  le  périmètre  [ou  la  surface] , 

2"   l 'lijpotcnuse  ;  ,'i"  un  c.'il.'  de  l'angle  droit. 

310.  —  Résoudre  un  triangle   rectangle  connaissant  la  hauteur  et   :    1    un  angle  aigu;  2°  un  côté  de  l'angle  droil  : 
3    1  hypoténuse    ou  la  surface  . 

317.  —  Résoudre  un  triangle  connaissant  :  1°  la  surface  et  les  angles  ;  2   le  rayon  du  cercle  circonscrit,  une 
angle  adjacenl  ;  3'   la  surface,  un  côté  et  un  angle   deux  cas  :    1°  les  tmis  hauteurs;  5°  le  périmètre    el   les  angles;  6°  le 
périmètre.,  un  côté  et  un  angle   deux  cas)  :  7°  le  rayon  du  rende  inscrit  et  les  angles  ;  S"  le  uimi  du  cercle  inscrit,  un  angle 
el  le  périmètre    ou  la  surface  ;  9°  le  rayon  du  cercle  inscrit,  un  côté  el  le  périmètre  (ou  la  surface  ;  lu    la  surface  el  les 
rayons   rr    du  cercle  inscrit  et  d'un  cercle  ex-inscrit. 


QUESTIONS     l'Iidl'OSÉES 


560.  —  On  donne  deux  cercles  <»  et  0',  le  cercle  o  ayant  son  centre  sur  le  cercle  0',  et  on  mène  d'un 
point  M  du  cercle  0' les  tangentes  MA,  MB  au  cercle  0,  qui  rencontrent  à  nouveau  le  cercle  0'  en  C  et  l>. 
Montrer  que,  lorsque  M  décrit  le  cercle  n'  : 

)°  La  droite  CD  conserve  une  direction  fixe  ; 
2°  Le  point  d'intersection  des  droites  AB,  CD  décrit  une  droile  ; 

3"  Le  point  d'intersection  des  deux  autres  tangentes  au  cercle  0  menées  de  C  et  D  décril  le  cercle  n'. 

Vasnier. 

561.  —  Soit  M  un  point  variable  sur  une  droite  fixe  D  et  soient  en  outre  A  et  15  les  points  de  contact  des 
tangentes  menées  de  M  à  une  parabole  fixe  P,  située  dans  un  plan  contenant  la  droite  D.  On  demande  de 
trouver,  quand  le  point  M  se  meut  sur  la  droite    D  : 

l    Le  lieu  du  centre  de  gravité  du  triangle  MAI!  ; 

2°  Le  lieu  du  point  de  concours  des  hauteurs  de  ce  même  triangle. 

E.-N.  Barisii  x. 

562.  —  Soienl  M  un  point  du  plan  d'une  parabole  P  el  AI!  la  corde  polaire  de  M  par  rapporl  à  P. 

1°  Le  lieu  des  points  M  tels  que  l'orthocentre  du  triangle  MAI!  soit  su:-  la  parabole  I'  se  compose  d'une 
cubique  el  d'une  ligne  droite  ; 

2°  Dans  les  mêmes  conditions,  le  lieu  du  centre  de  gravité  du  triangle  MAI:  se  compose  d'une  quartique 
el  d'une  parabole  ; 

3°  Le  lieu  du  centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  MAI!  se  compose  d'une  quartique  el  d'une  parabole  ; 
4°  Trouver  aussi  le  lieu  du  centre  du  cercle  des  neuf  points  du  triangle  MAI!. 

E.-N.  Barisien. 
— ♦- 


BAR-LE-DEC.  —    IMP.    COMTE- JAOjCET. 


Le  Rédacteur-Gérant  :  11.  YIIBEHT. 


6"  Année.  N°  12.  Septembre  1896 


REVUE   DE   MATHÉMATIQUES   SPÉCIALES 


PREMIERE   PARTIE 


SUR  UN  PROBLÈME  DE  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 

Par    M.    Girod,     professeur    de    la    ci;issr    de    Centrale    au    lycée    île    Lyon. 


11  existe  une  catégorie  île  problèmes  de  géométrie  analytique  qui  présentent  une  application  inté- 
ressante de  la  théorie  des  équations  algébriques.  Un  premier  cas,  assez  fréquemment  proposé  dans  les 
concours  est  le  suivant  : 

Supposons  que  l'équation  générale  /'  r.  y,  m)  =  0  d'un  faisceau  C  de  courbes  dépendant  d'un 
paramètre  m  contienne  ce  paramètre  m  an  second  degré.  Imaginons  qu'une  autre  courbe  C,  déduite 
de  la  courbe  C  d'après  une  loi  déterminée,  soit  représentée  par  une  équation  rationnelle  o(x,  y,  m)  =  0, 
où  le  même  paramètre  m  figure  aussi  au  second  degré.  Par  tout  point  P,  .;■„,  y0  du  plan  passent  deux 
courbes  du  faisceau  C,  puisque  l'équation  f(xa,  y0,  m)  =  0    a  deux  racines,  m'  el  m". 

Il  s'agit  de  trouver  le  lieu  des  points  de  rencontre  des  deux  courbes  correspondantes  du  fais- 
ceau G' 

v[x,  y,  m')  =  0,  o(a;,  y,  m")  =  0, 

lorsque  le  point  P(x0,  y0)  décrit  une  courbe  donnée  ^(x,  y)  =  0. 

On  voit  que  si  x  et  y  sont  les  coordonnées  d'un  point  M  commun  à  ces  deux  dernières,  l'équa- 
tion du  second  degré  <s[x,  y,  m)  —  0  a  les  mêmes  racines  que  l'équation  f(xv,  ya,  m)  —  0.  On 
exprimera  donc  que  ces  deux  équations  ordonnées  par  rapport  à  m  ont  leurs  coefficients  propor- 
tionnels, et  on  éliminera  x0,  y0  entre  les  deux  relations  obtenues  et  la  condition     i  x0,  y0)  =  0. 

Deux  exemples  de  ce  genre  se  rencontrent  dans  les  problèmes  proposés  au  concours  de  l'école 
Centrale,  sessions  d'octobre  1893  et  juillet  1895.  Un  autre  exemple  esl  dans  la  dernière  partie  du 
problème  de  l'École  polytechnique,  année  1889. 

Voici  un  deuxième  cas  général,  qui,  à  ma  connaissance,  ne  s'est  pas  encore  produit  dans  les 
concours. 

On  suppose  que  l'équation  générale  f(x,  y, m)  =  0  des  courbes  d'un  faisceau  C  contienne  le 
paramètre  m  au  troisième  degré  et  qu'à  chaque  courbe  du  faisceau  C  on  en  fasse  correspondre  une 
autre,  <a[x,  y,  m)  —  0,  où  ce  paramètre  m  figure  au  second  degré.  Considérant  les  deux  courbes  du 
faisceau  G  qui  correspondent  aux  deux  courbes  du  deuxième  faisceau  assujetties  a  passer  par  un 
point  P(x0,  ;/„),  on  demande  le  lieu  de  leurs  points  de  rencontre  busqué  le  point  p  .r„,  y0  décrit  une 
courbe  donnée     fy(x,  y)  =  0. 

Comme  précédemment,  si  .r,  ;/  sont  les  coordonnées  d'un  point  de  rencontre  de  deux  courbes  du 
faisceau  C,  deux  des  trois  racines  de  l'équation  du  troisième  degré  /'  x,  y,  m)  =  0  son!  racines  de 
l'équation  du  second  degré  o  p0,  //„,  m  =  0.  On  divisera  donc  le  polynôme  /'  c  y,  m  ,  ordonné  par 
rapport  à  m,  par  le  polynôme  o  r„.  y0,  m),  on  écrira  que  le  reste  du  premier  degré  en  m  est  nul  iden- 
tiquement, et  entre  les  deux  relations  obtenues  el  la  condition    ^(-^oi  ?/o)  =  0,     on  éliminera  x0  el   y... 


190  SUR  UN  PROBLÈME  DE  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 

Comme  exemple,  on  peut  signaler  le  lieu  des  points  de  rencontn       -        -  des  deux  paraboles 

at  par  quatre  points,  lorsque,   trois  de  ces  points  riant  liv-,  on  fail  décrire  au  quatrième  une 

courbe  déterminée.  Car  l'équation  de  l'axe  d'une  parabole   circonscrite  à  un   triangle   contient   au 

troisième  degré  le  coefficienl  angulaire  m  des  diamètres,  et  ce  coefficienl  figure  au  second  degré  <lans 

l'équation  générale  des  parab 

Mais  le  problème  peut  être  retourné  d'un.1  manière  intéressante  lors  |ue  l'équation    ?  x,  y,  m    =  0 
Ile  d'une  droite.  Alors  si  on  considère  les  trois  courbes  du  faisceau  <!  qui  passent  par  un  point  P, 
correspond  un  triangle  qui  a  |  •  les  trois  droites  associées.  Il  - 

alors  de   trouver  le  lieu  des  sommets  de  ce  triangle  lorsque  le  poinl   P  décrit  une   courbe 

<in  exprime  que  le  polynôme  du  troisième  d  -  est  divisible  par  le  polyn 

du  -  .  et  on  élimine  xB,  ;/„  entre  les  deux  conditions  obtenues  et  la  relation 

donnée,  =  0. 

Voici  un  exemple  simple  : 

Etant  donnés  deux  axes  rectangulaires,  on  const  aboies  tangentes  à  OY  <      (i  'maies  à 

lu  droite    x—  a  =  0    en  un  ,  l  trois  ji<ir<i!"ih'-;  ,lu  faisceau  dont  les  axes  /'■'"•■ni  par 

int  I'  (/"  ///"/(.  Trouver  !'■  lieu  des  sommets  du  triangle  formé  par  les  trois  directrices,  lorsque  ce  point 

I  '  x  —  a  ==  0. 

Si  mi  prend  pour  paramètre  variable  le  coe  gulaire  m  des  diamètres,  "ii  trouve  pour 

équation  générale  des  paraboles 

(y  —  mx)-  —  iam^x  =  0. 

Si  l'on  ordonne  par  rapport  à  m  l'équation    mf'x  —  f'v  =  0    de  l'axe,  on  obtient 

-  m'y  —  mx-i-  y  =  (t. 

un  peut  remarquer  en  passant  que  la  somme  des  angles  que  fail  l'axe  OX  avec  les  trois  axes  issus 
d'un  même  point  esl  égale  a  -  . 

L'équation  de  la  directrice  esl 

-  my  -4-J-  =  0. 

Remplaçons  dans  l'équation  de  l'axe  ./■  par  ".  <■!  y  par  une  indéterminée  y  .  h  divisons  le  poly- 
nôme ainsi  obtenu 

am3  -+-  i/(,m~  —  am  -+-  »/0, 
par  mu-  -+■  jjm  -+-  x. 

On  peut  multiplier  le  dividende  par  "  et  l'opération  -  ainsi 


'i-//r'  -+-  cn/uiii-  —  a-iii 
—  aym-  —  axm 


>.!'■ 


i/o  —  V 


11  '/o  —  y  "'2  —  (a!-\-ax  iii-r-ai/,, 

'  ■■■■  —  y'."1'2  —  y'.'.u  —y 

/»  +  </</ 

(  in  a  donc  les  deux  conditions 

a  x-\-  =  0, 

=  0. 
Éliminanl  y  .  on  obtient  pour  équation  du  lieu  : 

—  y"-  — a-  =  II. 

Au  lieu  de  se  donner  la  courbe     -  <.  y    =  0,     que  doil  décrire  le  poinl  P  <  .   ,    .  on  peut,  dans  le 
1  le  paramètre  m  est  un  coefficient  angulaire,  déterminer  cette  courbe  de  manière  que  les  trois 
directions  définies  pai  ni  à  une  certaine  relation,  par  exemple  que  l'une 

Iricc  de  l'angle  des  deux  autres. 


ALGEBRE  491 

Celte  relation  se  traduit  d'une  manière  particulièrement  simple  à  l'aide  des  coeflicients  (*).  Le 
triangle  des  trois  droites  associées,  dont  les  côtés  ont  pour  équation  générale  o(x,  y,  m)  =  0,  est  alors 
isocèle,  si,  comme  dans  le  problème  précédent,  m  est  le  coefficient  angulaire  d'une  perpendiculaire 
ou  d'une  parallèle  à  l'une  d'elles. 

Si  on  voulait  que  les  trois  directions  définies  par  f(x0,  ;/,„  m)  —  0  soient  parallèles  aux  côtés 
d'un  triangle  équilatéral,  et  par  conséquent  que  le  triangle  des  trois  droites  associées  soit  aussi  équila- 
léral,  le  point  P(xa,  y0)  ne  décrirait  pas  en  général  une  courbe  i/[x,  y)  =  0.  Car  il  faudrait  écrire  que 
l'équation    f(x0,  y0,  m)  =  0    est  équivalente  à  l'équation  du  troisième  degré  qui  lie  la  tangente  du  tiers 

„  ,    .  ,  .  .  ,        3m  —  m3 

cl  un  angle  a  la  tangente  de  cet  angle,  et  qui  est  A  = — - -,  en  désignant  par  X  la  tangente  arbi- 
traire de  l'angle.  Si  on  élimine  X  entre  les  trois  égalités  qui  expriment  la  proportionnalité  des  coeffi- 
cients, on  obtient  en  général  deux  relations  entre  x0  et  y». 


ALGEBRE 


480.  —  Dans  le  développement  du  carré  de    1  -+-  x  +  2a,a  -f-  3a;3  +  ...+ px1',     le  coefficient  de  a-', 

o3  +  lla 

pour     <j  <~  p,     rsl  rijal  à ; -■ 

Si  nous  écrivons  tous  les  termes  du  polynôme  donné,  jusqu'à  q.v'i  inclusivement,   d'abord    dans 
l'ordre  donné,  puis  dans  l'ordre  inverse,  sur  deux  lignes  parallèles, 

1 ,  X,  2x2,       .  .  .  ,  (;.(■'', 

qx\     (q-l)xi-',      ...,     2a;2,     x,     1, 
la  somme  des  doubles  produits  des  termes  placés  dans  la  même  colonne  nous  donnera  le  double  du 
terme  en  x'i.  En  désignant  par  N  le  coefficient  de  ce  terme,  nous  aurons  donc 

2N  =  27  +  2(7  —  11  +  4(7  —  2i+.  ..  +2(7  —  2X7  -7  +  21+2  7—  I    7  — 7  +  I) +  27; 
le  premier  et  le  dernier  terme  sont  irréguliers,  les  autres  sont  tous  compris  dans  la  forme     lk{q  —  I,    ; 
nous  pouvons  donc  écrire 

k=q— 1 

2N  =  47+  _^j  2%  —  /.'), 

A  =  l 
k=q-l 


N  =  2?  +  JJ  %  -  *  - 


(*)  En  efl'et,  soient  nu.  ni:  et   u    les  trois  racines  de    Ato'  +  Bjr*  -h  Ci»  -f-  D  =  0,    et  supposons  que  u.  soit  le  coefficient 

angulaire  de   celle  des  trois  directions   qui  est  bissectrice  de   l'angle   des   deux  autres.  On  a  : 

2ti           (»i,  -t-m»  +  u.)  —  11                                                   1!,  1» 

OU  . ;  = °l",       »Ji -t- Hls -H  II  = —  ~T->       et      WiMlali  = r-- 

1  —  [i2                      m,mS|i                                                          A  A 


2ul 


l! 

T  -V- 


1-u-  l>  A;H-D 

1  +  A^ 
Si  on  suppose     ;i  ^z  0,    pour  rester  dans  le  cas  général,  on  a  : 

2                 Am-IS 
= !- .  ou  Aii3  +  Bii2  —  3Aii  —  (2D  +  B)  =  0. 

1  -  a-  A|i  -4-  U 

Mais  on  a  aussi,  par  hypothèse,     A|is  4-B(i!+ C|i  +  D  =  0,     d'où  résulte,  par  soustraction      (3A    hC)j».-t-3D+ B  =  0. 
11  suffit  d'exprimer  que  la  racine  de  cette  équation  vérifie  l'équation  du  troisième  degré. 


492  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


ou  enfin,  en  décomposanl  celte  somme  en  deux  autres, 

N  =  -27  +  q  2J  A  -  2) 
/.=  i 
A  l'aide  de  formules  très  connues  relatives  à  la  somme  'les  n  premiers  nombres  et  de  leurs  carrés, 
nous  pouvons  écrire  de  suite 

Il  sullii  de  réduire  le  second  membre  pour  obtenir  l'expression  demandée. 

Solutions  analogues:  MM.  ).  Goojon  cl  A.  Langlois    pensionnat  de  ValbcDoite,  a  Saiot-EUcnne  ;  Auzkram    lycée  de  Mont- 


pellier . 


481.  —    Le  nombre  des  manières  dont  on  peut  amener  le  point  n  avec  /<  dés  à  jouer  est  le  coefficient 

lans  le  développement  de      .r  -+-  .r-  —  x3  :-  .    ,+a;6)''. 
En  effet,  désignons  par  «,,  ij,  i3,  24,  is  et  ïs  les  exposants  affectés  aux  termes  x,  x1,  x3,  a;',  .c   el  c' 
dans  un  tenue  du  dévelo|  peuienl  supposé  de  degré   n  ;    nous  aurons 

a,  -+-  2*2  +  3xj  -+-  'i'.  -+-  •">*.,  —  6a6  =  n 

el  "i-r-a  :-  *«  =  p  ; 

si  on  prend  dans  x(  dés  la  l'ace  qui  contient  un  point,  dansa.,  dés  la  face  qui  contient  deux  points,  etc., 
on  obtient  justement  avec  p  dés  le  point  n  ;  or  en  supposant  chaque  dé  affecté  d'un  numéro  d'ordre 
pris,  par  exemple,  dans  la  suite  1,  2.   ..,  p,  et  tous  les  numéros  d'ordre  distincts,  on  voit  qu'à  chaque 

façon  d'obtenir  le  terme  de  degré  n  avec  les  exposants  partiels  *t1  *> *«,  correspond  une  manière 

unique  de  retourner  les  des  comme  nous  l'avons  indiqué  et.  par  suite,  d'avoir  le  point  n  ;  réciproque- 
ment, d'ailleurs,  à  toute  manière  d'avoir  le  point  n  comme  nous  l'avons  dit  correspond  une  manière 
unique  d'avoir  le  terme  en  .rV"2Y~"' '  "\  ..11  x".  On  voit,  par  le  même  raisonnement,  que  rien  de 
particulier  n'a  été  supposé  concernant  les  exposants  partiels  *!,«»,.  .,*«,  sauf  qu'ils  doivent  vérifier 
les  deux  égalités  écrites  au  début.  Il  y  a  donc  exactemenl  le  même  nombre  de  manières  d'avoir  le 
terme  en  x  que  de  manières  d'amener  le  point  n  avec  p  dés  différents  les  uns  des  autres  el  dont  les 
différences  permeltenl  déclasser  les  points  donnés  par  les  laces  retournées  dans  un  ordre  déterminé  à 

Chaque  fois. 

E.  BALLY,  Collège  Stanislas. 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


434.  —  On  considère  une  ellipse  ï  F  et  I"  el  un  point   M   mobile   sur  celte  ellipse;   la 

tangente  à  l'ellipse  au  point  M  rencontre  les  directrices  relatives  aux  foyers  F  et  F   respectivement  en  T  el  I  "; 
parcespoints  <<»  s  tangentes  'IN  et    I  N.  et  on  considère  les  paraboles  inscrites  dans  les 

angles  MTN  et  MTN    et  ayant  respectivement  pour  foyers  V  elF.  On  demande  alors  : 

1  De  démontrer  qu'une  des  deux  autres  tangentes   communes  aux  deux  j  araboles  est  fixe   el  que   la 
seconde  est  I"  normale  à  l'ellipse  en  M  : 

2  />  démontrer  que  les  tangentes  aux  sommets  des  deux  paraboles  sont  respectivement  parallèles  à  MF 
et  .Ml-"  et  passent  par  un  point  fixe,  et  de  >•  !  ;  le  lieu  du  point  de  rencontre  des  direclri 

:;    f)    ,/.  montrer  que  les  axes  des  deux  p  iraholcs  se  coupent  sur  la  parallèle  au  petit  axe  passant  par  le 
p,,ini  M      '  rfi   I  ouver  le  lieu  de  leurpoinl  dcrenconlre; 

\     li  lieux  des  points  de  contact  de  chacune  des  paraboles  avec  les  tangentes  communes  aux 

paraboles  et  variables. 
Nous  allons  donner  de  ce  problème  une  solution  mi-partie  analytique,  mi-partie  géométrique. 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


493 


La  parabole  qui  a  son  foyer  au  point  F  esl  inscrite, 
ainsi  que  l'ellipse,  dans  le  quadrilatère  formé  par  les 
droites  isotropes  issues  du  point  1"  et  par  les  tangentes 
TM,  TN  (fig.  1);  son  équation  tangentielle  est  donc  une 
combinaison  linéaire  de  celle  de  l'ellipse  et  do  celle  du 
couple  de  points  1"  et  T.  Désignons  alors  par  tp  l'ano- 
malie excentrique  du  point  M  ;  ses  coordonnées  sont 
a  eus  tp,  b  sin  tp,  et  l'équation  de  la  tangente  en  M  est 
x  cos  o        >/  sin  o 


1  =  0; 


celle  de  la  directrice  (D)  du  foyer  F  est     cas  —  a-  —  0; 

par  conséquent  le  point  T  a  pour  coordonnées 

il-                          Il  C  —  a  cos  o) 
X  =  — ,  y  =  — : -, 


o, 


et,  par  suite,  a  pour  équation  tangentielle 

ahi  sin  tp  H-  bv(c  —  a  cos  r-p)  -+-  cw  sin  o  =  0; 
l'équation  tangentielle  du  point  F'  est  eu  —  w 
celle  de  l'ellipse, 

a-u-  -+-  b'Jv-  —  m»2  =  0; 
donc  l'équation  tangentielle  de  la  parabole  envisagée  est 

l(a-u-  -t-  b'-v-  —  ir-,  -t-  (eu  —  w)[a2u  sin  o  -t-  bv(c  —  a  cos  <p)  +  cw  sin  o]  =  0, 

pour  une  certaine  valeur  de  X;  on  aura  d'ailleurs  cette  valeur  de  X  en  exprimant  que  le  coefficient  de 
/!•■'  est  nul,  ce  qui  donne  À  =  — c  sin  tp.  11  ne  reste  plus  qu'à  remplacer  X  par  —  c  sin  o  dans 
l'équation  précédente  et  à  réduire  pour  avoir  l'équation  tangentielle  de  la  parabole  (F');  en  changeant 
ensuite  c  en     —  c,     on  aura  celle  de  la  parabole  (F);  on  trouve  ainsi 

(F')  e(c  -  a  cos  <p)wt>  —  bc  sin  o.v2  —  b  sin  o.ww  —  (c  —  a  cos  çjmc  =  0, 

(F)  c(c  -+-  a  cos  o)uv  -+-  bc  sin  o.v*  —  6  sin  o.um  -t-  (c  -t-  a  cos  tp)î>w  =  0. 

1°  Les  coordonnées  des  tangentes  communes  s'obtiennent  en  cherchant  les  solutions  communes  aux 
deux  équations  (F)  et  (F');  en  combinant  ces  deux  équations  par  addition  et  soustraction,  et  les 
divisant  par  -2  et  par  2c,  on  obtient  les  deux  équations  plus  simples 

c'uv  —  b  sin  o.uw  -t-  a  cos  o.vw  =  0, 
a  cos  a.uv  -+-  b  sin  o  u2  -+-  vw  —  0. 
La  seconde  se  décompose  en 

v  =  (I  et  a  cos  tp  «  -t-  /'  sin  o .  y  -+-  «'  =  0; 

si  on  prend  d'abord  v  =  0,  on  a,  d'après  la  première,  u  —  0  ou  î«  =  0,  c'est-à-dire  les  deux 
solutions  (0,  0,  1)  et  (1,  0,  0);  si  on  prend  la  deuxième  équation  fournie  par  la  décomposition, 
on  trouve  aisément,  en  portant     w  =  —  (a  cos  o.u  ■+-  b  sin  o.t»)    dans  la  première  équation,  les  deux 

calcul  de  "',  les  dei  x 


équations 


et 


d'un  l'on  déduit,  par 


b  cos  9       a  sin  tp     "    <z  sin  ?       —  b  cos  o' 
solutions 

(b  cos  tp.  a  sin  tp,  —  ab)  et  (a  sin  o,  —  b  cos  tp,  —  c2  sin  o  cos  o 

La  première  solution  (0,  0, 1)  représente  la  droite  de  l'infini;  la  seconde,  (1,  0,  0),  donne  l'axe  des 
y,  ce  qui  nous  montre  de  suite  que  les  deux  paraboles  ont  une  tangente  commune  lixe,  l'axe  îles  y, 
c'est-à-dire  le  petit  axe  de  l'ellipse;  la  troisième  solution  représente  la  tangente  à  l'ellipse  au  point  M; 
et  la  quatrième,  la  normale  au  même  point. 

Des  considérations  géométriques  très  simples  permettent  d'apercevoir  ces  résultats.  En  effet,  la 
polaire  du  point    T   par  rapport  à  l'ellipse  passe  au  point    F;  les  deux  droites    FM  et  F.N    coïncident 


494 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


donc  entre  elles;  d'ailleurs  elles  passent  aux  symétriques  »  el  •-  de  F  par  rapport  aux  deux  tangentes  ; 
la  droite  M.\  est  donc  la  directrice  de  la  parabole,  et,  par  suite,  la  droite  AH  qui  joint  les  projections 
du  foyer  sur  les  deux  tangentes,  passe  au  poinl  0,  milieu  de  F  l  :  en  outre,  c'esl  ëvidemmenl  la 
nte  au  sommet.  Il  résulte  de  là  que  la  perpendiculaire  a  la  taiiui'iilr  en  \l  est  une  tangente  à  la 
parabole,  et  qu'il  en  est  de  même  de  la  perpendiculaire  à  l'o,  en  0.  I>e  même  la  seconde  parabole  a 
pour  directrice  F.M  et,  pour  tangente  au  sommet,  une  parallèle  à  FM  menée  par  le  point  0 ;  elle  est 
donc  tangente  aussi  à  la  normale  en  M  à  l'ellipse  et  à  l'axe  <»N. 

■l"  La  seconde  partie  est  maintenant  complètement  évidente. 

3e  I  ''s  axes  des  paraboles  sont  les  deux  bailleurs  du  triangle  MIT'  relatives  aux  sommets  F  et  F  ; 
elles  se  coupent  donc  sur  la  troisième  hauteur,  c'est-à-dire  sur  la  parallèle  au  petit  axe  menée  par  le  point 
M.  Le  lieu  du  point  de  rencontre  des  axes  s'obtiendra  donc  en  cherchant  le  lieu  du  point  de  rencontre  de 


la  droite    x  =  a  cos  »    avec  la  perpendiculaire  abaissée  du  point  F'  sur  MF,     y  =  - : -(x- 


c'est-à-dire  eh  éliminant  »  entre  ces  deux  équations;  on  trouve  ainsi  la  quartique 

(1)  /,y  (.(-'  —  ,/'     h  a2  (a  '  —  c-)-  =  0; 
on  trouve  tout  aussi  aisément  les  deux  équations 

(2)  a:  =  h  eus  o,  y 


/i  sin 


'   • 


ir  sin2*  —  42 


b  sin  ip 
qui  représentent  la  courbe  à  l'aide  d'un  paramétre  variable  ^. 

Les  fonctions   a;  et  y  ayant  pour  période  commune  •_!-.  il  suffit  de  faire  varier  -  dans  un  intervalle 
total  d'étendue  égale  à  :>-.  parexemple.de  — r.    à    +-;    d'autre  part,  si  on  change    o  en  — »,    x  ne 

change  pas,  y  change  simplement  de  signe,  la  cour] si  symétrique  par  rapport  à  Ox,  et,  en  tenant 

c pte  de  cette  symétrie,  il  suffit  de  faire  varier  ode  Uà-;  si,  en  second  lieu,  on  change  »  en    -  —  », 

x  change  simplement  de  signe,  y  ne  change  pas,  la  courbe  est  donc  aussi  symétrique  par  rapport  à  <></• 
ci.  eu  tenant  compte  de  cette  nouvelle  symétrie,  il  suffit  de  faire  varier  o  de  0  à  —  .  Or  dans  cet 
intervalle,  le  cosinus  décroit  constamment  de   1  à  0,  x  décroît  depuis  a  jusqu'à  (»;   y,   que  l'on  peut 


U  =  rsin  ?  -, 


pour  celle  valeur     cos  »  =  —, 


croit  depuis      — ao      jusqu'à       -(-■ 


et    s'annule     pour     s 


in  o  =  -, 


el   x  —  c.    Il  est  abus  facile  de  tracer  la  courbe  et  de  la  placer  à  l'aide 
des  données  de  l'ellipse    fig.  2). 

4"  Les  points  de  contact  de  la  parabole     I      avec  la  tangente 

et  la  normale  en  M  à  l'ellipse  sont  sur  la  polaire  du  point  M  par 
rapport  à  la  parabole,  c'est-à-dire  sur  la  perpendiculaire  au  rayon 
1  M  menée  par  le  point  F';  on  sait  que  cette  droite  rencontre  la 
tangente  en  M  sur  la  directrice,  au  poinl  I";  par  conséquent  le 
point  de  contact  de  la  parabole  avec  la  tangente  a  l'ellipse  décrit  la 
directrice  du  foyer  F.  Pour  obtenir  ce  lieu  par  le  calcul, appliquons 
l'équation 

,)[  ,)f  ,)f 

Oit  Or  OU) 

qui  donne  le  poinl  de  contact  de  la  tangente   ",..  <\>.  «■„    avec  la 
conique     /  u.  r,  w)  =  l),     et  prenons  pour  u„,  r„,  tr„  les  nombres    b  cos  »,    a  sin  »,    —  u/>,    qui   sont 

les  coordonnées  de  la  tangente  à  l'ellipse  au  p i  M  :  nous  obtiendrons  l'équation 

a-  ^in  ou    !    Ii  ii  COS  ;    h  c)v  ■+■  c  sin  »mj  =  0. 
i  etle  équation  nous  montre  immédiatement  que  le  point  de  contact  décrit  la  diode    x  —  — 


GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE 


i'.i:: 


Quant  au  second  lieu,  nous  l'obtiendrons  soit  en  procédant  de  la  même  façon  avec  les  coordonnées 
de  la  normale,  soit  en  cherchant  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  la  normale  en  M  avec  la  perpendicu- 
laire en  F'  au  rayon  vecteur  F'M.  Le  premier  procédé  vaut  mieux  et  donne  immédiatement  l'équation 
tangentielle  du  point  de  contact  et,  par  suite,  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  du  lieu  en  fonction 
du  paramètre  tp.  Nous  trouvons  ainsi,  après  avoir  supprimé  le  facteur  a  —  c  eus  tp,  qui  se  trouvait 
déjà  dans  l'équation  tangentielle  du  premier  point  de  contact, 

bc  cos2  ou  -+-  c  sin  cp(c  -+-  a  cos  o)v  —  bw  —  0  ; 
le  lieu  du  point  P  a  donc  pour  équations 


(3) 


y 


sin  aie  -ha  cos  o\ 


c  cos  cp  ;     en  effet  la  valeur  de    cos  •-•    qui 


Il  est  facile  d'expliquer  l'origine  de  ce  facteur, 
annule  ce  facteur  est  —  .  le  sinus  est  ±— —  *  par  conséquent  les  points  M  de  l'ellipse  qui  corres- 
pondent à  cette  solution  particulière  ont  pour  coordonnées  x  —  — i  y  =  ±  —  ;  ce  sont  les 
points  de  rencontre  de  l'ellipse  avec  la  directrice  du  foyer  F  et,  par  suite,  les  deux  points  en  lesquels 
la  tangente  MT  devient  isotrope  sans  coïncider  avec  les  tangentes  isotropes  issues  du  point  I •";  la  nor- 
male en  l'un  de  ces  points  coïncide  avec  la  tangente.  Si  donc  on  prend,  par  exemple,  le  point  qui  donne 
la  tangente  parallèle  à  y  —  ix,  la  parabole  (F'),  pour  ce  point,  devient  un  couple  de  points,  l'un, 
à  l'infini  sur  la  direction  isotrope,  l'autre,  sur  Oy  au  second  foyer  imaginaire  (0,  —  ci);  par  suite, 
pour  les  coordonnées  de  la  droite  y  —  i(x  —  c)  =  0,  qui  est  une  tangente  double  de  celle  parabole, 
l'équation  du  point,  de  contact  doit  être  indéterminée  ;  c'est  bien  ce  qui  arrive,  puisqu'elle  contient  le 
facteur    a—  c  cos  o,    qui  s'annule  dans  ces  conditions. 

Construisons  rapidement  la  courbe  représentée  par  les  équations  (3).  Nous  voyons  de  suite  qu'il 
suffit  de  faire  varier  o  dans  un  inlervalle  d'étendue  totale  égale  à  1k,  par  exemple,  de  — tt  à  -t-Ti; 
le  changement  de    a   en    —  tp    montre  une  symétrie  par  rapport  à   Qx  ;    il  suffit  donc  de  faire  varier  s 

de  0  à  t.  Los  variations  de  x  sont  évidentes  ;  celles 
de  y  ne  s'aperçoivent  qu'après  l'étude  de  la  dérivée 
de  y  par  rapport  à  o;  or  celle-ci  est 


X 

II 

—  c 

croit 

0 

0  Max. 

-1- 

déc. 

1) 

-c 

y 


o 

déc. 
min.  <  0 

croil 


0 

croit 

Max.  >  0 

déc. 

0 


y 


(2a  cosJ  o  +  c  cos  a  —  a) 


ce  trinôme  en  cos  tp  a 
deux  racines  ht  et  — /(2, 
comprises  entre  0  el  1 
et  —  1  et  0;  appelons 
o,  l'arc  moindre  que 
-^-  et  tel  que  cos'p^/i,, 
ep2  l'arc  compris  entre 
—  et  -  et  tel  que 
cos  tp,  =  —  fta  ; 

appelons    en    outre    r 

l'arc  qui    annule    y 


et 


tel  que  coscp'= ; 

nous  voyons  de  suite  que   cos  'J   est  compris  entre  es  tp2  el  0;  par  conséquent  — ■  <  ç'<?2,    e1  le 


196  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


tableau  qui  contient  les  variations  de  x  et  de  y  se  construit  des  lors  sans  peine.  La  branche  de  courbe 
que  nous  avions  à  construire  s'ensuit,  et,  en  traçant  sa  symétrique  par  rapport  à  <>'/,  nous  avons  le 
lieu  total   fig.  3  . 

Si  "H  envisage  maintenant  la  seconde  parabole  (F  ,  les  lieux  obtenus  sont  la  directrice  du  foyer  F 
et  le  symétrique  par  rapport  à  Oy  de  celui  que  nous  venons  de  construire. 

Bonnes  solutions  :  MM.  K.-.Y  Babisien  :  I  itoi    collège  Stanislas  ;  J.  Lhèriauo  (lycée  de  Toulouse  :  G.  Sounmoi  -    lycée  de  Tou- 

i     B  '.mie.  a  Douai  :  E.  Ualli  Sis  islas). 

rfaites  :  MM.  Ar/.iami    lycée  de  Montp  u   dans  une  courbe  ;  !..  Martaud    lycée    Hoche    :  A.  Ladrbaui 
lyi  i     de  B  isançon). 

485.  —  On  considère  une  conique  variable  homofocale  à  une  ellipse  fixe  et  une  droite  fixe.  On 
demande  : 

1"  /.<■  Heu  du  point  de  rencontre  des  normales  à  celle  conique  aux  points  où  elle  est  coupée  par  la  droite 
fixe; 

2°  L'enveloppe  de  la  corde  qui  joint  les  /unis  des  deux  autres  normales  concourantes  avec  les  premières, 

1    Soient  — - — r  +  , ,;/    ,  —  1=0 

a*  +*      b1  ■+■  X 

el  \r  +  By  —  1=0 

les  équations  de  la  conique  variable  el  de  la  droite  Qxe.  Le  pôle  tangentiel  de  la  droite  a  pour  coordon- 
nées A"'      /    el  !;//•  +  '   ;  on  en  conclut  que  les  coordonnées  du  pôle  normal  sont 

(a2  -  6«)A(«2  +  X)[BS(62  4-  X)2  -  (/,2  +  X)] 


\  "-+).)-+  (a2  4-  X)B2(624-X)S 
{ll--  —  /,-  !;■/,- +  >  .\^,„-  h->.)2  —  (»-  -l-  X)] 
(b-  -+-  XjA-(>-  4-  X)2  -h  (a2  4-  X)B2(ô2  4-  X)2 

—  <'-2\[U%//'  4-  X)  —  I 

As(a2  4-  X)  -+-  Bs(62  4-  >T  ' 

c2B[A2(o2  4- X)  —  1] 


<■'  élanl  égal  à     "'  —  !>-. 

On  aura  l'équation  du  lieu  demandé  en  éliminant  X  entre  ces  deux  équations.  On  voit  d'ailleurs 
immédiatement  que  ce  lieu  esl  une  droite,  puisque  les  termes  des  fractions  qui  figurent  dans  les 
seconds  membres  sont  du  premier  degré  par  rapport  à  X,  et  que  le  dénominateur  esl  le  même. 

2"  Le  pôle   tangentiel  de  la  corde  qui  joinl   1rs  pieds  des  deux  autres  normales  a  pour  coordonnées 

a24-X                      //24-X                         1  1 

—  .     .,  ,  , ,    et    — — — — —  ,     ou  -    et     —  ;     1  équation  de  cette  corde  est  donc 

A  a  4-  a.)  B  /(-4-X)  A  lî  ' 

.X  II 

rr  +  1  =  0. 


\  „•  u,.       B  é24-X) 

ou  X2AB4-X[Ba;4-A?/4-AB(a24-62         B62aM    \a2y  4-  ABa262  =  0. 

En  écrivant  que  cette  équation  en  /   a  une  racine  double,  nous  aurons  l'équation  de  l'enveloppe 
cherchée 

.Non-  obtenons 

Ba        iy       \B(a2 -r- 62)]2  —  4AB(B62x  4- Aaay  4- AB<z2è2)  =  0; 

cciir  équation  représente  une  parabole  qui  touche  les  axes  de  coordonnées  aux  points  qui  ont,  l'un 

pour  abscisse   \.c*,  l'autre  pour  ordonnée    -    Bca. 

.1.  BADARD,  élève  de  l'École  des  Mines  de  Saint-Etienne. 

li  qui   lion     MM.  E.  N.  Bamsien  ;  E.  Bamik,  à  Douai  :   \r/i  i\am,  h  Montpi  Hier  .  la  izi  l  u  ombb   lycée  de  Toulouse); 
V.  Caii  3é,  i  Castres;  i    J.  Goujon,  pensionnai  de  Valbenotte,  à  Saint-Etienne;  L.  M  un  un  (lycée  de  Versailles). 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  497 


486.  —  h'tant  données  une  ellipse  fixe  et  une  ellipse  de  grandeur  constante  qui  tourne  autour  de  son 
centre,  trouver  le  lieu  du  point  de  rencontre  de  deux  tangentes  communes  à  ces  ellipses. 

Nous  supposons  les  centres  confondus.  Prenons  pour  axes  de  coordonnées  les  axes  de  l'ellipse  fixe; 
désignons  par  a,  b  les  demi-longueurs  d'axes  de  cette  ellipse  et  par  «,  (3  celles  de  l'ellipse  mobile.  Les 
équations  langcnlielles  de  ces  courbes  sont  alors 

aru-  -h  b2v2  —  iv2  =  0, 
ot2(i/  cos  oj  -+-  v  sin  o>)a  -t-  $2(u  sin  <■>  —  v  cos  w)-  —  w2  =  0. 

Les  directions  des  tangentes  menées  d'un  point  (x,  y)  à  chacune  de  ces  coniques  sont  déterminées 
par  les  équations 

a2u2  -+-  b2v2  —  [ux  -+-  vyf  =  0, 
«2(m  cos  oj  -+-  «  sin  o>)2  -+-  p(u  sin  (u  —  v  cos  u>)2  —  [ux  -+-  vy)-  =  0  ; 
le  point  {x,  y)  appartiendra  au  lieu  considéré  si  ces  deux  équations  homogènes  en  u  et  v  ont  leurs 
coefficients  proportionnels,  c'est-à-dire  si  l'on  a 

a-  cos2  w  -+-  p  sin2  <o  —  x-       a2  sin2  io  -t-  p  cos2  tu  —  y-       (a8  —  (32)  cos  tu  sin  w  —  xy 
a-  —  x'2  b2  —  y2  —  xy 

Nous  aurons  l'équation  du  lieu  en  éliminant  <o  entre  ces  équations.  On  peut  les  écrire 

a2  cos2  «u  +  p2  sin2  w  —  a2 a2  sin3  m  -+-  p2  cos2  w  —  b2       (ï2  —  p2)  sin  io  cos  a>       y--  4-  p2  —  a8  —  b2 

a2  —  a;2  b-  —  y2  —  xy  a'2  -+-  b2  —  x'2  ■ —  y'2 

le  dernier  rapport  étant  obtenu  en  ajoutant  les  deux  premiers  terme  à  terme. 

On  obtient  alors 

.  2a;?/(a2  +  p2  —  a2  —  b-, 

sin  2to  =  — — - —  -, 

(a2  —  P){x'2  -h  y2  —  a2  —  b2) 

1  -+-  cos  2w 
puis,    en    remplaçant    dans    les    deux    premiers    rapports    cos2  w    par et    sin2  oj    par 

1  ■ —  cos  2w 

i    on  a 

2 

[a2(l  +  cos  2oj)  +  p2(l  —  cos  2<u)  —  2a2](/;2  —  y2)  =  [a2(l  —.cos  2oj)  +  P2(l  +  cos  2oj)  —  268](a2  —  x1), 

d'où 

_  x2(oc2  +  p8  —  268)  —  y2(*'2  +  p2  —  2a2)  +  (g2  -+-  p2)(62  —  a?) 

C0S    '°  ~~  (a2  -  p2)(;r2  -t-  y2  -  a2  —  i2) 

Portons  maintenant  ces  valeurs  de  sin  2oj  et  cos  2oj  dans  l'égalité 

sin2  2oj  -+-  cos2  2oj  =  1  ; 
nous  avons  pour  équation  du  lieu 

4x2</2(a2  +  P2  —  a2  —  b2)2  -t-  [*2(a8  +  p2  —  2b2)  —  y2(o<2  -+-  p2  —  2«2)  H-  (a2  -+-  p2)(6J  —  a2)]2 

=  (a2  —  p)2{x2  -+-  if  —  «2  —  b2Y . 

Elle  représente  une  courbe  du  quatrième  degré,  symétrique  par  rapport  aux  deux  a\es.  Un  pourrait 
la  discuter  en  ordonnant  le  premier  membre  de  l'équation  par  rapport  à  y1. 

On  peut  aussi  opérer  de  la  façon  suivante  : 

Eaisons  passer  dans  le  second  membre  le  deuxième  terme  du  premier  membre  ;  le  second  membre 
est  alors  une  différence  de  deux  carrés  qu'on  peut  remplacer  par  un  produit  de  deux  facteurs  ;  on  a 
a,Y(a2  +  ^_aï— à»)2  =  -[x2{*2  —  b2)  —  y\P—  a2)  -(a2*2  —  by)][x*$2— b1)  — y%a2— a2)  H-  6V— a'?3  . 

d'où 

a2(a2  _,_  p2  _  a-2  _  /}2)  x2(p2  —  b2)  —  y'(a'—  a8)  +  62*2  —  a3?'  _ 


a;2(a2  _  62)  —  y8(p»  —  a2)  —  (aV  —  A2p2)  —  y3(a2  -+-  P2  —  a2  — /,-' 

on  obtient  ainsi  deux  équations  du  premier  degré  permettanl  de  calculer   <-'  et  y2  rationnellement  en 

fonction  de  t,  mais  la  discussion  est  fort  pénible. 

E.  BALLY,  Collège  Stanislas. 
Autre  solution  par  M.  E.  N.  Bamsien. 


198  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE 


493.  —  Etant  donné  une  série  de  paraboles  admettant  l'ax>  des  ./  comme  axe  ell'axe 
des  y  comme  directrice,  on  demande: 

i"  de  déterminer  l'enveloppe  de  <  •  s  courbes  : 

former  l'équation  différentielle  de  leurs  trajectoires  orthogonales  : 
;t"  d'intégrer  cette  équation. 

École  des  l'unis  et  Chaussées,  cours  spéciaux,  i894- 

Si  nous  supposons  d'aï lia  parabole  rapportée  à  ses  axes  ordinaires,  elle  aura   pour  équation 

y'  —  2px  —  0;     pour  avoir  son  équation  par  rapport  à  son  axe,  n.r.  el  à  -a  directrice,  0</.  il  suffit  de 

P 
changer  x  en    x ;     l'équation  générale  des  paraboles  considérées  est  donc    ;/2  —  2px  -t-p2  =  0, 

p  étant  un  paramètre  arbitraire. 

1°  L'enveloppe  de  ces  paraboles  s'obtient  en  exprimant  que  l'équation  considérée  comme  étant  du 
second  degré  en  p  a  une  racine  double  ;  on  obtient  ainsi  x-  —  y*  —  0,  équation  qui  représente  les 
deux  bissectrices  de  l'angle  des  axes.  Ce  résultat  était  évident  a  priori,  car  de  tout  point  de  la  directrice 
d'une  parabole  on  peut  lui  mener  deux  tangentes  rectangulaires. 

2°  Soient  x  et  y  les  coordonnées  du  point  de  rencontre  de  la  parabole  (p)  avec  l'une  des  trajec- 
toires orthogonales.  Le  coetlicient  angulaire  de  la  tangente  à  la  parabole  en  ce  point  est    —  - —  =  —  : 

fy      y 

au 

celui  de  la  tangente  à  la  trajectoire  envisagée  est     y'  =  -j-i     en  appelant  y  la  fonction  de  x  que  définit 

l'équation  de  cette  trajectoire,   et  en  prenant  la  valeur  de   ;/'  au  point  [x,  y'.   On   doit  donc  avoir 

pu'  y 

—  =  —  1,     et  l'on  aura  l'équation  différentielle  demandée  en  remplaçant  p  par -,    dans  l'équation 

de  la  parabole.  On  trouve  ainsi  sans  peine 

(1)  >/)/  -  —  <2xy'  ~  y  =  0. 

3°  Pour  intégrer  cette  équation,  je  pose  y  =  xz,  d'où  :  y'  =  z  -t-  xz'  ;  en  portant  cette  valeur 
dans  l'équation  (1)  et  tenant  compte  de     y  =  xz,  je  trouve,  après  suppression  du  facteur  x, 

xHz  2  -t-  2x5'(z!  -t-  i    -+-  -J  +  3z  =  0. 

La  solution  x  =  0  donne  la  solution  évidente  a  priori  y  =  0.  Pour  intégrer  l'équation  qui 
reste,  je  regarde  cette  équation  comme  étant  du  second  degré  en  xz',  je  la  résous  et  j'en  déduis 

,       /t=P-(l  +  zs) 


::  I 

OU  ,  =  —  • 

^l—zi  —  {\-hz2)         x 

Les  variables  sont  alors  séparées  el  nous  sommes  ramenés  aux  quadratures.  Posons     1  —  ;'-  —  u", 
nous  aurons    ;;'  =  —  uu'     et  l'équation  deviendra 

uii  1 

—  (««*-+- h  — 2)  =  ~x  ' 
le   premier  membre   se  décompose  immédiatement  en  fractions  simples  et  nous  sommes  de  suite 
conduits  à  l'intégration  évidente  de  l'équation 

du  2ou  (/.i- 


u  —  1       u 

Nous  obtenons  ainsi 

L(„ _!)(„  + 2)*  =  lJ  ■ 

C  désignant  une  constante  arbitraire.  L'équation  générale  des  trajectoires  orthogonales  aux  paraboles 
-•es  est  donc 

,u  —  1    u  -t-  2)2x3  =  C, 


PHYSIQUE  ET  CHIMIE  499 


ou,  en  remontant  à  la  fonction  y, 

(2)  (y/ar2  —  ?/2  -  -  as)  (A-2  —  y2  +  2.ï)s  =  C. 

Solution  incomplète  :  M.  Pégorier,  étudiant  à  la  faculliî  des  sciences  de  Toulouse. 

Solutions  imparfaites  :  MM.  Malplat  (pensionnât  de  Valbenoite,  à  Saint-Etienne)  ;  E.  IUnnÉ,  à  Douai. 


PHYSIQUE  ET  CHIMIE 


228.  —  La  combustion  de  Isr  d'un  carbure  d'hydrogène  solide  dans  un  calorimètre  fins  en  présence  d'un 
excès  d'oxygène,  a  dégagé  9cal,688.  Les  produits  delà  combustion  sont:  CO2,  3gr,4375;  H20,  0SP,o625. 
Sachant  que  la  densité  de  vapeur  du  carbure  est  4,-432;  que  la  chaleur  de  combustion  de  12Bl'  de  charbon 
diamant  est  94cal,3  et  que  la  chaleur  de  formation  de  18e"  d'eau  liquide  est  GO1"1»1  ;  on  demande:  1"  la  ému- 
position  centésimale  du  carbure;  2°  sa  formule;  3"  la  chaleur  de  combustion  d'u»e  molécule ;4°  la  chaleur 

de  formation  à  partir  des  éléments. 

{Bourses  de  licence,  iS9S.) 

Les  poids  de  carbone  et  d'hydrogène  correspondant  aux  poids  donnés  d'anhydride  carbonique  et 

d'eau  sont  respectivement 

12  9 

3,4373  X  —  et  0,5623  x  -75  • 

4  4  \  8 

Le  poids  d'hydrogène  correspondant  à  12  de  carbone  est  donc 

2  44  4 

0,5625  X  —  X  r-7^;  =  -  ; 
18        3,43/o        5 

par  conséquent  la  formule  la  plus  simple  qui  soit  compatible  avec  la  composition  de  la  substance  est 
C5H\  qui  représente  un  poids  égal  à  64.  Or  le  poids  moléculaire  résultant  de  la  densité  est 

4,432  X  28,8  =  127,64, 
nombre  sensiblement  double  de  64  ;  le  poids  moléculaire  exact  est  donc  128  et  la  formule  C'°H8  (naph- 
taline). 

La  chaleur  de  combustion  d'une  molécule  est  égale  à    9,688  X  128  =  12  40. 

Ecrivons  que  cette  chaleur  est  égale  à  la  chaleur  de  décomposition  du  carbure  augmentée  de  la 
chaleur  de  combustion  de  ses  éléments,  c'est-à-dire  de  10  atomes  de  carbone  et  de  8  atomes  ou  4  molé- 
cules d'hydrogène  : 

1240  =  —  a;  +  94,3  X  10  -h  69  x  4, 

d'où  x  =  —  21 Ml. 

Remarque.  —  On  aurait  pu  trouver  la  formule  en  calculant  d'abord  le  poids  moléculaire  d'après  la 
densité  et  cherchant  ensuite,  d'après  l'analyse,  combien  ce  poids  moléculaire  renfermait  d'atomes  de 
carbone  et  d'atomes  d'hydrogène.  Cette  marche  eût  été  moins  correcte  que  celle  qui  a  été  indiquée  : 
les  mesures  de  densité  de  vapeur  sont  en  effet  moins  précises,  en  général,  que  les  analyses;  de  plus, 
les  densités  de  vapeur  sont  variables  et  les  conditions  dans  lesquelles  on  les  détermine  peuvent  être 
fort  éloignées  de  celles  qui  correspondent  aux  densités  dites  théoriques;  pour  ces  raisons,  le  poids 
moléculaire  résultant  de  la  densité  expérimentale  peut  n'être  que  grossièrement  approché  et  ne  doit 
servir  qu'à  déterminer,  parmi  les  multiples  de  la  formule  la  plus  simple  compatible  avec  la  composition 
en  poids,  celui  qui  représente  le  poids  moléculaire  exact. 


346.  —  On  admet  comme  démontré  : 

1"  Que  le  coefficient  de  dilatai  ion  cubique  est  le  triple  du  coefficient  de  dilatation  linéaire; 
2"  Que  la  dilatation  d'une  enveloppe  est  exactement  celle  qu'elle  subirait  si  elle  faisait  partir  d'une  masse 
Aide  et  continue  de  la  même  substance. 


500  PHYSIQUE  ET  CHIMIE 


(  'eci  posé,  on  détermine  />•  coefficient  <!■■  dilatation  absolue  du  mercure  /■",•  lu  méthode  suivante  : 

Deux  tubes  de  même  verre,  </<■  1  mètre  de  longueur  <■/  </,•  20  millimètres  </•■  diamètre  environ,  m-///  placés 
eût,-  h  côte  dans  uni  1  qu'on  peut  porter  u  diverses  lempéi  alures. 

L'un  est  <■»  communication  avec  un  manomètre  et  constitue  une  espèce  de  thermomètre  à  âir.  On  connaît 
le  volume  Y  </»  réservoir  à  0°  et  le  volume  très  petit  0  du  tube  de  jonction  jusqu'au  repère  a  du  la  petite 
branche  du  tube  manométrique.  Ce  tubeporte  vers  ses  extrémités  deux  traits  dont  on  a  mesuré  la  distance  /„ 
n  0".  Unappareil  micrométrique  extérieur  permet  de  relever  la  variation  de  distance  </■■  ces  deux  traits  aux 
diverses  (empératuri  ». 

L'autre  tube,  dont  le  volume  a  0"  est  Y  ,  est  rempli  de  mercure  ei  constitue  un  thermomètre  à  poids. 

I  ne  expérience  consiste,  les  tubes  riant  à  une  température  T ,  dans  les  opérations  suivantes 

1°  Relever  la  variation  de  distance  des  deux  traits; 

-2"  Mesurer  /"  pression  II   donnée  par  le  manomètre; 

3°  Peser  le  mercure  sorti  </<■  l'appareil. 

Application  numérique  : 

V  =  Y'  =  300  centimètres  cubes,     u  =  1  centimètre  cube. 

Température  extérieure  :     t  =  0°. 

/  —  /  1 

— - — 5—  Poids  du  mercure  sorti  :    p  =  91sr,936. 

lo  I  *  I 

—  =  1,5407  'Il  étant  la  pression  à0°). 

Densité  du  mercure  a  0°  :     D„  —  13,596. 

1 

Coefficient  de  dilatation  de  l'air  :      %  =  - —   • 

2  /  ti 

Concours  Général,  1894.) 
En  appelant  m  le  coefficienl  de  dilatation  cherché,  /.:  celui  du  verre  et  confondant  le  poids  spéci 
fique  «lu  mercure  avec  sa  densité,  on  a  pour  équation  du  thermomètre  à  poids  : 

(1)  (  V'-J)(l-r««ï)  =  V'(H-AT). 
La  température  T  est  donnée  par  l'équation  du  thermomètre  à  air: 

(2)  (y  +  _L_)h  =  ÏMi  -h  AT)  +  v J-^1-^  • 

1  -+-  y-l  I  L  H-aiJl  +  aT 

Enfin  la  dilatation  /.T  du  verre  se  déduit  de  la  variation  de  distance  des  deux  traits  : 

(3)  kT  =  3lJZJl. 

'0 
l.a  résolution  de  [2)  et    .'!    avec  les  valeurs  numériques  donne 

T  =  150°. 
De  l'équation  M)  on  lire 

ml   =  0,027025 
el,  par  suite.  111  remplaçant  T  par  sa  valeur, 

m  =  0,00018017  = • 

5550 

Remarque.  —  Ce  problème,  qui  n'offre  aucune  difficulté,  présente  néanmoins  cet  intérêt  de  rap- 
peler les  méthodes  qui  permettent  de  tenir  compte  d'une  manière  rigoureuse  de  la  dilatation  de 
l'enveloppe  d'un  thermomètre  à  air.  Celle  dilatation,  en  effet,  que  l'on  suppose  souvent  proportionnelle 
à  la  variation  de  température,  ne  L'est  pas  exactement.  Les  résultats  obtenus  par  Ilegnault  dans  l'élude 
de  divei  ses  sortes  de  verres  el  les  formules  empiriques  qui  les  résument  permettraient  aujourd'hui  de 
représenter  avec  une  précision  suffisante  /.T  en  fonction  de  T;  mais  s'il  s'agissait  de  verres  nouveaux 
ou  d'autres  substances,  on  serait  obligé  de  combiner  la  lecture  du  Hier mètre  à  air  avec  celle  du 


QUESTIONS    PROPOSÉES  501 


thermomètre  à  poids,  c'est-à-dire  de  résoudre  les  équations  (1)  et  (2),  m  étant  connu,  ou  bien  de  re- 
courir à  la  mesure  directe  indiquée  dans  l'énoncé,  c'est-à-dire  de  résoudre  (2)  et  (3).  C'est  cette  dernière 
méthode  qui  a  été  appliquée  à  la  lecture  du  thermomètre  normal  installé  au  bureau  international  des 
poids  et  mesures  ;  c'est  aussi  la  seule  qui  serait  applicable  aux  températures  élevées. 


QUESTIONS    PROPOSÉES 


563.—  On  donne  comme  indices  aux  deux  lettres  a;  et  X  les  n  premiers  nombres  successifs  :  I,  2,  3,  ...,  n 
et  l'on  forme  ainsi  les  2«  quantités  : 

Xix-iX3  .  .  .  x„_i  .;/„, 

XiX2Xa   .   X„_iX„. 
A  l'aide  de  ces  2«  quantités,  on  forme  les  N  expressions  algébriques  suivantes  classées  en  n  groupes  : 
Ier    groupe   constitué   à   l'aide   de   l'indice    (1)     l    x, 
et  renfermant  2  expressions   algébriques  :  )     X, 

i      j\  -f-  J-j 

2mc  groupe  constitué  à  l'aide  des  indices  (1  et  2)     1    x\  +  Xj 

et  comprenant  4  expressions  algébriques  :  I    Xi+-c2 

(  x1+x2 

'1  -H  Xi  -+-  x3 
i  +  x,  4-Xa 
-,  +X*+X, 

3mc  groupe  constitué  à  l'aide   des  indices  (1,2     I    X,  -t-  X2  +  X:, 
et  3)  et  renfermant  8  expressions  algébriques  :  \     Xi  +X>+xj 

I      X  l    +  x-,  -+-  X.i 

'     X,  +x-,  +\, 
;     ^i  +  Xo  +  xt 
et  ainsi  de  suite  jusqu'au  n'ne  groupe  inclus  et  toujours  suivant  la  même  loi  de  formation  ;  c'est-à-dire  qu'un 
groupe  quelconque  d'ordre  L  comprend  toutes  les  sommes  algébriques  obtenues  en  combinant  entre  elles  les 
2L  premières  quantités  : 

X\X--2    . .  xL, 

X1X2...X1.,  prises  L  à  L, 
en  ne  conservant  expressément  que  les  combinaisons  dans  lesquelles  les  indices  représentent  la  suite  naturelle 
des  L  premiers  nombres. 
On  demande  : 
1°  De  démontrer  que  le  nombre  N  des  expressions  ainsi  formées  a  pour  valeur 

N  =  2»-4-22-|-23H h  2"  ; 

2°  De  déterminer  les  valeurs  numériques,  entières  et  positives,  que  devront  recevoir  les  2w  quantités 

XiX-i.     .x„, 

x1.\,...x„, 

pour  que  les  N  expressions  soient  représentées  par  des  nombres  entiers,  aussi  petits  que  possible  et  tous  différents 
les  uns  des  autres.  On  admettra  que  les  sommes  numériques  ainsi  obtenues,  rangées  en  série  croissante,  ont  pour 
premier  terme     xt  =  I .  Hyvert. 

564.  —  On  donne  une  quadrique  O  et  deux  points  A  et  A'  diamétralement  opposés  sur  Q,  et  on  considère 
les  deux  cônes  de  sommets  A  et  A'  et  ayant  pour  directrice  commune  la  section  de  Q  par  un  plan  variable  P, 
passant  par  une  droite  donnée  A.  Ces  deux  cônes  admettent  une  deuxième  courbe  plane  située  dans  un  plan  P'. 
Trouver  : 

t°Le  lieu  de  la  droite  d'intersection  des  plans  P  et  P'  ; 

2°  Le  lieu  du  centre  de  la  section  contenue  dans  le  plan  P'  ; 

3°  Le  lieu  des  foyers  de  celte  même  section  plane.  Vasmer. 


502  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


565    —  On  donne  les  deux  quadriques  ayant  pour  équations 

y:  —  ax  =  0  et  zx-{-a(y  —  s)  =  0. 

I"  Démontrer  qu'elles  se  coupent  suivant  une  cubique  gauche  et  former  l'équation  générale  des  quadriques 
passant  par  cette  cubique, 

2°  Trouver  le  lieu  des  sommets  des  paraboloïdes  passant  par  celte  cubique. 

3°  Trouver  l'équation  générale  des  cônes  passant  par  la  cubique  et  l'enveloppe  de  leurs  traces  sur  le  plan 
o  =  0. 

4°  Trouver  le  lieu  des  diamètres  de  ces  cônes  qui  sont  conjugués  des  sections  faites  parallèlement  au  plan 
;  =  0.  Ch.  Bioche. 

566.  —  D'un  point  P  on  peut  mener  cinq  normales  à  la  cubique  dont  l'équation,  en  coordonnées  rectangu- 
laires, est 

a8//  =  x3. 

On  considère  la  conique  (C  inscrite  dans  le  pentagone  formé  par  les  tangentes  à  la  cubique  aux  pieds  des 
cinq  normales.  En  supposant  que  a-  varie  : 

i"  Trouver  le  lieu  des  pieds  des  normales. 

2°  Démontrer  que  la  conique  C  est  inscrite  dans  un  rectangle  tixe,  et  trouver  le  lieu  de  ses  foyers. 

3°  La  conique  (C)  et  la  cubique  ont,  en  outre  des  côtés  du  pentagone,  une  tangente  commune  ;  démontrer 
qu'elle  passe  par  un  point  fixe.  I'.  Puig,  professeur  au  lycée  d'Agen. 

567.  —  Un  ballon,  complètement  gonflé  au  départ,  s'élève  dans  de  l'air  sec.  Son  poids  est  q,  sans  compter 
le  poids  du  gaz  qui  le  remplit.  Au  départ,  la  pression  est  p,,  la  température  <i  et  la  force  ascensionnelle  F.  A 
quelle  hauteur  le  ballon  montera-t-il  ? 

i  Mi  supposera  la  variation  de  température  de  l'air  proportionnelle  à  la  variation  d'altitude  et  d'un  degré  centi- 
grade pour  une  variation  d'altitude  b.  On  négligera  la  différence  entre  le  volume  intérieur  elle  volume  extérieur 
du  ballon,  ainsi  que  la  variation  de  la  gravité. 
Application  numérique  : 

q  =  32k*,  F  =  106^-,  u  =  14°,  b  =  182™, 

densité  par  rapport  à  l'eau  de  l'air  normal  :     <?„  =  0,001293, 
»        »  »       »     »      du  mercure  normal  :     m„  =  13,6, 

I 


coefficient  de  dilatation  des  gaz  :     a 


273 


DEUXIEME    PARTIE 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


509.  —  Oi>  donne  une  circonférence  et  deux  tangentes  fixes  à  cette  cour&e;  mi  considère  deux  autres 
tangentes  variables  se  coupant  sous  un  angle  donné.  Démontrer  que  le  point  <!<■  concours  des  diagonales  du 
quadrilatère  ainsi  formé  décrit  une  ligne  droite.  Traiter  lu  question  par  le  calcul. 

En  prenant  pour  axes  1rs  deux  tangentes  fixes,  L'équati le  la  circonférence  peul  s'écrire 

a;2 -+- 2./'/  cos  8  i-  j/s  —  2ax  —  2ay  -t-  «2  =  0, 

"U  >    I    )/  —  a)'-  —  4xy  sin2  —  =  0, 

ce  qui  permel  de  considérer  colto  courbe  comme  l'enveloppe  de  la  droite 

0  0 

m1. r  sin  —  -+-  m(.r  +  y  —  a)  -+-  y  sin  —  =  0, 

m  désignant  un  paramètre  variable 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


503 


En  donnant  à  m  deux  valeurs  X  et  n,  nous  aurons  les  équations  de  deux  tangentes  variables 

-,      •      9  0 

>■- x  sin  -  +  A(ï  +  t/-a)  +  y  sin  —  =  0,       j 


0  ,  0 


o. 


:d 


Pour  exprimer  que  ces  deux  droites  font  un  angle  constant,  nous  écrirons  que  leur  point  de  ren- 
contre C  est  situé  sur  un  cercle  tixe  concentrique  au  cercle  donné  et 
ayant  pour  équation 


{x  H-  y  —  af—Axy  sin2  —  —  k2 


(2) 


En  considérant  les  équations  (1)  comme  des  équations  homogènes 


par  rapport  à    x  sin 


■y—  a,     y  sin  —  ,      on  en  déduit 


x  -f-  y  —  a 


.      0 
y  sin  — 


X- 


1 


y  sin  — 
x  -\-  y  —  a       J  2 

—  (X  -t-  n)  —       X.jt 


1  +(X  +  ji)  sin  —  -+-  \p 


le  dernier  rapport  étant  obtenu  en  multipliant  le  deuxième  haut  et  bas  par     —  sin  — ,     et  en  ajoutant 
ensuite  les  trois  rapports  termes  à  termes. 
De  ces  égalités  on  tire 


1  -+-  (X  -h  (x)  sin  —  -+-  X|j. 

aX|ji 
1  -+-  (X  -+-  jji)  sin  —  -+-  Xjji 
0 


•a(X-t-  h)  sin  — - 


x  -+■  y  —  a 


1  -H  (X  -h  p)  sin  —  -+-  Xjjt 
et  en  portant  ces  valeurs  dans  l'équation  (2)  on  a 

0  8  r  9  ~|a 

a2(X  +  n)2  sin'2  — 4a2Xp  sin2  — k2\  1  — i—  (X  — f—  jjl)  sin  — — h  X,u  I    =  0, 

Or  0  ~12 

ou  a2(X  —  jjl)2  sin2  — A;2 1  1  +  (1+  n)  sin  — -  -+-  Xf*      =  0 . 

Cette  équation  se  décompose  en  deux  ;  l'une  d'elles  s'écrit 

or  o,T 

a(X  _  |jt)  sin  —  -+-  /.    1  -+-  (X  -t-  n)  sin  —  -+-  X,u     =  0, 

l'autre  s'en  déduit  en  changeant  k  en  —  /.'. 

Gela  posé,  l'équation  de  la  diagonale  OC  est 

1L  =  U; 


(3) 


' 


504  GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


d'autre  part  le  point    I)   où  la  tangente  (X)  rencontre   Ox  a  pour  abscisse    ,     le  point  E 

*  sin  — -  -+-  1 
2 

tri 

où  la  tangente  (,u)  rencontre  ();/  a  pour  ordonnée  —  ;       par   conséquent  l'équation   de   la 

droite  DE  est 


0 

a^Xsin  —  -t-i) 

»( 

K  +  sinA) 

(5)  '-  +  ^ --1  =  0. 

a  ni 

En  éliminant  X  et  p  entre  les  équations  (3),  (4)  et  (5),  nous  aurons  l'équation  du  lieu. 
I. 'équation    Si  s'écrit 


pxh.  sin  —  -M  \  +  y( fi  +  sin  —  j  —  pa  =  0  ; 


2y  sin 

0 
~2~ 

x  +  y- 
a;  -+-  y  - 

-  a 

—  a 

2a  -m 

'i 

en  y  remplaçant  Xfi  par  —  i    on  en  déduit 


et  par  suite  >  =  — 

il  ne  reste  plus  alors  qu'à  porter  ces  valeurs  de  X  et  de  n  dans  l'équation  (3)  ;  on  obtient  ainsi,  toutes 

réductions  faites, 

a(x2  -t-  2xy  cos  0  -t-  y2  —  2ax  —  2a  y  -+-  a2)  —  k(x-  -+-  2xy  cos  0  -+-  y-  —  as)  =  0.  (C) 

Cette  équation  représente  un  cercle  (C)  qui  passe,  quel  que  soit  k,  par  l'intersection  du  cercle 
donné  et  du  cercle  qui  a  pour  centre  le  point  O  et  pour  rayon  OA. 

Par  conséquent  le  cercle  (C)  passe,  quel  que  soil  A\  par  les  points  A  et  H.  On  obtient  un  deuxième 
i    cercle  (C)  en  remplaçant  k  par  —  k  ;  on  voit  ainsi  (pie  le  lieu  se  compose  de  deux  cercles  et  non  d'une 
droite  connue  l'indique  l'énoncé. 

Ce  résultat  peut  s'obtenir  géométriquement  de  la  manière  suivante.  Les  droites  qui  joignent  les 
points  de  contact  des  côtés  du  quadrilatère  circonscrit  se  coupent  au  point  M;  les  arcs  AB  et  A'B'  ont 
une  grandeur  constante,  par  conséquent  l'angle  AMB  est  constant  et  le  lieu  du  point  M  est  un  cercle 
passant  par  les  points  A  et  B.  On  trouve  le  deuxième  cercle  en  considérant  la  troisième  diagonale  du 
quadrilatère  ODCE,  qui  rencontre  OC  en  un  point  M'  tel  que  l'angle  AM'B  est  aussi  constant. 

Ce  sont  les  deux  diagonales  autres  que  celles  qui  passent  au  point  O  qui  se  coupent  sur  une  droite 
fixe,  et  cela  quel  que  soit  l'angle  que  forment  les  deux  tangentes  mobiles.  Cette  droite  est  la  polaire  du 
point  O  par  rapport  au  cercle. 

AUZERAM. 

517.  -  Si  une  ellipse  circonscrite  à  un  triangle  a  pour  centre  le  centre  d<-  gravité  du  triangle,  les  tan- 
gentes menées  par  les  sommets  du  triangle  sont  parallèles  aux  côtés  opposés. 

x*         >r 
Soit     — -r-h-j-2 1  =  0    1  équation  de  1  ellipse  et   A(xf,  y,),    B(a?s,  y»)i   C(x3,  y3)   les  sommets  du 

triangle  inscrit  ;  le  centre  de  gravité  du  triangle  étant  au  centre  de  l'ellipse,  on  a 
x,  +  x24-x3  =  0,  y,  -t-  y2  -+-  y3  =  0. 

D'autre  pari,  en  retranchant  membre  à  membre  les  égalités 

;/*  = -5- («'-*?)' 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


505 


ou 


yl  =  —fia'  —  xl), 
Va  —  yl  =  -^r  (*i  — ar*)i 

(y«  —  .'/<)(?/^  +  y»)  =  — -r  (*«  —  x*)(x*  +  ^î» 


ou  encore,  en  remplaçant     j/2  -+-  j/3     par    — y,    et     a-,-1-./-,     par    — a;,, 

,'/i  —  .Va  _  b-x, 

x,- — x3  a-y, 

ce  qui  montre  que  le  coté  RC  est  parallèle  à  la  tangente  au  point  A. 

E.-N.  BARISIEN.' 

Solution  géométrique.  —  Comme  la  médiane  issue  du  point  A  par  exemple  passe  par  le 
centre  de  la  courbe  et  par  le  milieu  de  RC,  cette  médiane  est  le  diamètre  conjugué  de  la  direction  RC. 
Par  conséquent  la  tangente  au  point  A  est  parallèle  à  RC. 

JORGE  F.  d'AVILLEZ  et  L.-J.  GOUJON,  pensionnat  de  Valbenoîte,  à  Saint-Etienne. 
Autres  solutions  par  MM.  Auzeuam  et  G.-A.  I'ouiluart. 


516-  —  Lieu  des  sommets  des  paraboles  dont  on  donne  une  tangente,  le  point  où  cette  tangente  rencontre 
l'axe  et  un  point  de  la  directrice. 

Prenons  pour  axe  des  x  la  tangente  donnée,  pour  origine  le  point  où  cette  tangente  rencontré  l'axe 
et  pour  axe  des  y  une  perpendiculaire  à  Ox  ;  désignons  par  a  et  b  les 
coordonnées  du  point  fixe  A  par  lequel  passe  la  directrice. 

Soit     y  =  mx    l'équation  de  l'axe  OL  d'une  des  paraboles  considérées; 
abaissons  du  point  A  une  perpendiculaire  sur  cet  axe, 

ii  —  b  = f.r  —  a), 

cette  droite  est  la  directrice  de  la  parabole  ;  elle  rencontre  l'axe  en  un  point  R 
dont  les  coordonnées  sont 


bm  -t-  a 


y  = 


iiiilnn  +  a) 
1  +  m2     ' 


Cherchons  les  coordonnées  x'  et  y1  du  foyer  F  ;  ce  point  est  situé  sur  l'axe,  donc  y'~  mx1. 
D'autre  part,  le  symétrique  du  foyer  par  rapport  à  la  tangente  0.r  doit  être  situé  sur  la  directrice  AD, 
ce  qui  donne 


?/'  -+-  b  =  —  {x'  —  a); 


on  déduit  de  là 


m  nib  -f-  a) 


1  —  wis  1  —  m* 

Le  sommet  S  étant  le  milieu  de  RF,  l'abscisse  de  ce  point  est 

1    Vmb  -t-  a      mb  -+•  a' 


1    Tmi 


il 


mb  -+-  a 


1  —  ?n* 

en  éliminant  m  entre  cette  équation  et  la  relation    y  =  mx,     on  aura  l'équation  du  lieu. 

On  obtient  ainsi 

xi  —  y*  —  x2(ax  -t-  by)  =  0  ; 


506 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


cette  équation  représente  une  courbe  unicursale  du  quatrième  degré  qui  a  un  poinl  triple  à  l'origine. 

Pour  la  construire  nous  nous  servirons  des  formules 

b  m  -+-  a 

x  = ■  ,  y  =  mx 

1  —  m- 

qui  donnent  les  coordonnées  d'un  poinl  de  la  courbe  en  Fonction  du  paramètre  »/. 

On  peul  toujours  choisir  les  directions  positives  des  axes 
de  coordonnées  en  sorte  que  a  el  b  soient  positifs. 

En  supposant  "  <  b,  le  signe  de  x  correspondant  aux 
diverses  valeurs  de  m  esl  indiqué  par  le  tableau  suivant  : 


i 


0 


+  X 


x  |   0     -f-     -l-oo   |  —oo        -     0     +     a    ■+■     4-x    |  —x 
La  courbe  admel  deux  a  -\  mptotes 


y- 


,i  —  h 


la  position  de  la  courbe  par  rapport  à  la  première  dépend  iln 
signe  de     3a  —  b  :     nous  avons  construit  la  courbe  dans  le  cas  où  l'on  a     'An  —  b  >  0. 

nui  résolu  celle  question  :  MM.  E.-N.  Bamsien  ;  Malplat,  pensionnat  de  Valbcnoîte,  a  Saint-Etienne  :  C.-A.  Pouilliaut. 


522.  —  On  considère  un  cercle  de  centre  fixe  0,  de  rayon  II  et  un  diamètre  fixe  de  ce  cercle  rencon- 
trant le  cercle  en  un  point  A;  puis  on  considère  les  coniques  passant  aux  points  0  et  A  et  admettant  pour 
directrice  une  droite  fixe  perpendiculaire  à  OA.  On  demande  : 

I"  Le  lieu  des  foyers  de  ces  coniques  quand  II  est  fixe  : 

~2°  /.r  lieu  despoints  de  rencontre  de  l'axe  focal  d'une  hyperbole  équilatère répondant  à  la  questionavec 
le  cercle,  quand  li  varie  : 

,'{"  /..'  lieu  des  sommets  de  ces  hypt  rboles  équilatères,  dans  les  mêmes  conditions  ; 

4°  Le  lieu  du  point  tir  rencontre  de  l'axe  focal  avec  la  tangente  en  0  à  cette  même  hyperbole  équilatère 
quand  II   varie.  Construire  ces  divers  lieux. 

Prenons  pour  origine  le  poinl  0,  pour  axe  des  x  le  diamètre  OA  et  pour  axe  des  y  une  perpendi- 
culaire à  OA.  Désignons  par  a  l'abscisse  de  la  directrice,  par  K  le  rayon  du  cercle.  L'équation  de  la 
conique  esl 

(x  —  «)2  -h  (»/  —  ir  —  V  —  fl)2  =  0, 

oc  et  p  désignant  les  coord tées  du  foyer  el  À  un  paramètre  variable  ;  on  a  en  outre  les  relations 

a2  -+-  p3  —  Xa»  =  0 
el  R  —  2a  =  X(R  — 2a), 

qui  exprimenl  que  la  conique  passe  à  l'origine  el  au  poinl  A. 

1    On  o  h  i  ici  il  le  lieu  des  foyers  en  éliminant  )  entre  les  deux  relations  ;  on  a  ainsi  le  cercle 

H  —  9x 

(i)  xi+y2-aiR=ra  =  0> 

qui  a  s,, h  centre  sur  Ox.  C'esl  le  lieu  «lu  foyer  relatif  à  la  directrice  donnée,    x  —  a  =  0. 

On  obtiendrai!  le  lieu  de  l'autre  foyer  en  exprimant  que  le  centre  de  laconique  esl  le  milieu  du 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


507 


segment  formé  par  les  deux  foyers.  On  trouve  ainsi 

a  —  la 


x  -f-  a  = 


et 


?/-P  =  0; 


1  —  X 

ces  deux  équations,  jointes  aux  deux  relations  trouvées  antérieurement,  permettent  d'éliminer  /,  [3  et  X. 

On  trouve  d'abord 

R  —  X(R  -  2a) 


et,  comme     f!  =  ;/,     on  obtient  de  suite 


2 

(1-+-X)[R 

-X(R 

■i 

»)]- 

4Xa 

2(1  — 

*) 

4Xa2  — 

[R-x 

R- 

-2a)] 

on  éliminerait  facilement  X  entre  ces  deux  équations  qui  sont  du  second  degré  en  X  ;  mais  il  vaut  mieux 

garder  ces  deux  équations  qui  définissent  le  lieu  en  fonction  d'un  paramètre  X  et  permettent  de  l'étudier. 

Elles  montrent  de  suite,  en  particulier,  que  le  lieu  est  du  quatrième  ordre  et  symétrique  par    rapporl 

à  l'axe  des  x  ;  nous  ne  l'étudierons  pas  davantage. 

2"  Dans  le  cas  de  l'hyperbole  équilatère,  on  a    X  =  2,     et  les  deux  conditions  trouvées  au  début 

deviennent 

a2  -+-  P2  —  2a2  =  0  et  2a  4-  R  —  4a  =  0  ; 

nous  aurons  le   lieu   demandé  en  éliminant    a,    p  et  R  entre  ces   deux   relations  et   les  équations 
a;2  -+•  y-  —  R8  =  0     et     y  —  'p  =  0.     Nous  trouvons  ainsi  très  aisément 
(2)  (x1  —  5y2)2  -+-  16a9(y2  —  3a;2)  +  64a*  =  0. 

Cette  équation  représente  une  quartique  symétrique  par  rapport  aux  deux  axes  et  fermée.  Ordonnée 
par  rapporl  aux  puissances  décroissantes  de  y,  elle  s'écrit 

2Sy*-H(10ar24-  16a2)7/2-+-a;*  —  48a2a:2-H  64a4  =  0; 
la  somme  des  racines  de  cette  équation  du  second  degré  en  x2  est  toujours  négative  ;  les  valeurs  de   y 
ne  sont  donc  réelles  que  si  le  produit  est  négatif,  et  alors  deux  seulement  sont  réelles,  égales  et  de 
signes  contraires.  Il  est  facile  de  voir  en  résolvant  l'équation    xi  —  48a2a:2  -i-64a*  =  0,     que  ceci  a  lieu 

seulement  entre  

—  av/24-Ms/32  et  —  a\/u  —  4JM , 

puis  entre  a\/tA  —  4/32  et  av/24  +  4/32. 

Cette  même  ('quai ion,  ordonnée  par  rapport  aux  puissances  décroissantes  de  x,  s'écrit 
*4  -+-  (  lUf/2  —  48a2)a;2  -+-  2%4  +  l(i«'2;/2  -+-  64a4  =  0  ; 

y 


le  produit  des  racines  de  l'équation  en  x2  est  toujours  positif  ;  donc  il  faut  former  la  condition  de  réalité 
et  exprimer  en  outre  que  la  somme  est  positive.  La  condition  de  réalité  montre  que  y  doil  être  compris 
entre  — a/T  et  a/T,  et,  dans  cet  intervalle,  la  somme  est  positive  et,  par  suite,  les  quatre  valeurs  de  x 
sont  réelles.  La  courbe  est  dès  lors  facile  à  construire.  On  peut  d'ailleurs,  pour  s'aider,  chercher  les 


508 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


valeurs  de  x  qui  répondent  à    y  =  ±af%     et  chercher  les  tangentes  menées  de  l'origine  à  la  courbe  ; 
on  trouve  que  ce  sont  les  droites    >i  —  ±  —=• 
3°  L'équation  de  l'hyperbole  équilatère  est 

_  x-  -+-  j/s  —  2.r(*  —  2a)  —  2ft/  =  0. 
celle  de  l'axe  réel  esl 

y  =  P  ; 

en  outre  »,  p,  I;  vérifienl  les  deux  relations 

xî  +  ps  _  2«s  =  o, 

2a-+-R  — 4o  =0. 

Nous  aurons  l'équation  du  lieu  en  éliminant  »,  p,  K  entre  ces  quatre  équations.  Les  deux  premières 
donnent  a  et  p,  en  portant  les  valeurs  obtenues  dans  la  troisième,  on  obtient  une  équation  indépen- 
dante de  R  qui  représente  le  lieu. 

C'est  l'équation 


(.a.-3  -+-  )/-  —  -iax) 
4x2 


+y* 


qu'on  peut  écrire 

(1)  (a?-  -H  ?/'-  —  4aar)2  =  4ars(2a!  —  j/  '  . 
et  en  ordonnant  par  rapport  à  »/, 

i/5  -t-  %2.ri3.f  —  'ni)  +  .r'-(./-  —  8a.r  -+-  8a2)  =  0. 
La  quantité  sous  le  radical  est 

x\3x  —  'm,-  —  x-,x2  —  8ax  -+-  S"'  i  ou  8a!  x  —  a)1  ; 

cette  quantité  étant  carré  parfait,  l'équation  du  lieuse  décompose.  On  a  en  effel  en  résolvant  par  rapport 
à  ?r 

(2)  if  =  —  x(3x  —  4a)  ±  2x(x  —  a)s!  2  , 

ce  qui  donne  les  deux  équations 

y"-  +  x'(3  —  2/2")  -  2ax{2  —  /¥)  =  0, 

j/s  -+-  .t2(3 -H  2/2")  —  2ax(2  4-  /¥  )  =  0. 

Ces  équations  représentent  deux  ellipses  tangentes  a  i  \y  au 

point  O  et  admettant  pour  axe  l'axe  des  x.  Les  longueurs 

d'axes  OA  et  O.V  sont  respectivement  égales  à   2a(2  -t-  /2  ) 

et    2a(2  — /2"). 

En   se   reportant   a   l'équation    (1),   on  voit  que    ces 
ellipses  sont  tangentes  aux  droites     y3  — 2a2  =  0,     et  que 
les  points  de  contact  sont  situés  sur  le  cercle    x-  h-  y-  —  iax  =  0.     On  obtient  ainsi  les  seconds  a\e> 
de  ces  ellipses. 

Enfin  l'équation  (2)  montre  que  les  deux  ellipses  onl  deux  points  communs  ayant  pour  coordonnées 

a;  =  a,  y  —  ±  a . 

4"  L'équation  du  lieu  s'obtient  comme  précédemment  en  éliminant  x  et   p  entre  les  équations 

a?(a  —  2a)  -+-  $y  =  0, 

y  =  P. 

a-  -+-  p2  —  2aa  =  0, 


ce  qui  donne 

(«) 
ou 


(2aas  —y-)''  =  a;!(2a'  —  y    . 

j/4  +  xy-ix  —  4a)  -t-  2a2x-  =  0. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  o(W 

Pour  que  les  valeurs  de  y-  soient  réelles  il  faut  qu'on  ait 

x'2(x  —  âa'f  —  Ha^x1  >  0, 
ou  x^x1  —  Hax  -+  8a2 ,  >  0, 

ce  qui  exige  que  x  soit  extérieur  à  l'intervalle      2a(2  —  \  2  |,      2a  -2  -h  /¥ )]. 

Le  produit  des  racines  étant  positif,  on  ne  peut  avoir  de  valeurs  positives  pour  y-  que  si  la  somme 
est  positive,  c'est-à-dire  si  l'on  a 

x  x  —  -ia)  <C  0. 

Il  en  résulte  que  x  doit  être  compris  entre  0  et    2a(2  —  /Y),  et  à  chaque  valeur 
de  x  correspondent  quatre  valeurs  de  y  deux  à  deux  égales  et  de  signes  contraires. 

En  se  reportant  à  l'équation  (1)  on  voit  que  la  courbe  est  tangente  aux  droites 
y-  =  2a2,     les  points  de  contact  ayant  pour  abscisse  a. 

0.  MORILLOT,  Collège  Stanislas. 


y 

a-1 

0 

fi 

h     ' 

QUESTIONS   POSEES   AUX   EXAMENS   ORAUX 


ÉCOLE   CENTRALE    1895)    Suite 
Géométrie    analytique    M.  Gounxv  . 

318.  —  Que  représente  l'équation    -  c  sin  j   -  y  eos  i  -  -1-  [x  cos  x  —  y  sin  i)s  =  o2? 

319.  —  Construire  les  coniques    xy  -+-  2x  +  y  =  0  ;    y=x±\'i  —  x';    y  =  x-t-2±  ^3x  —  5. 

320.  —  Directions  asymptotiques  et  asymptotes  des  coniques    x'  —  2xy  —  Sx  —  :>ij  =  n  ;    ix'-  +  xy      2x  — Sy  -+-  S  =  0. 
Mettre  le  premier  membre  sous  la  forme  d'une  somme  de  carrés. 

321.  —  Rapporter   la  parabole      x*  —  2.ry  +  ;/2  —  2x  —  ~y  =  0      à    son   axe    et    à    sa  tangente    au   somme!.   Même 
question  pour  la  parabole    3x-  —  f>xy  +  3;/2  ■+■  x  -t-  y  =  0. 

322.  —  Que  représente  l'équation    P!-+-Q'  =  a        I'    et   Q      étant    deux    polynômes   du   premier    degré  en     .r,  7. 
Centre  de  cette  courbe  ;  équation  de  la  tangente  en  un  point.  Appliquer  à  l'équation    [ax  -t-  by  -+-c)'  +  (bx  —  ay  -+-  c'  f  =  <<-. 

323.  —  Aire  de  l'ellipse    2x2  -t-  4.rj/  -+-  3ï'-  —  5  =  0,    les  axes  des  coordonnées  étant  supposés  rectangulaires. 

324.  —  Rapporter    l'hyperbole       — j jr  —  1  =  0      à  ses  asymptotes.  —  Equation  de  la  tangente  en  un  point.  — 

L'équation  étant  mise  sous  la  forme    xy  =  k'!.    exprimer    k'     en  fonction  du  demi-axe  transverse   a    et  de  l'angle  H  des 
asymptotes. 

325.  —  Surface  d'un  segment  de  parabole.  Surface  comprise  entre  un  arc  de  parabole  et  sa  corde. 

326.  —  Construire  une  parabole  connaissant  deux  tangentes  et  leurs  points  de  contact. 

327.  —  Quelle  est  la  courbe  dans  laquelle  la  sous-normale  est  constante? 

328.  —  Quelle  est  la  courbe  dont  toutes  les  normales  passent  par  un  point  fixe  ' 

329.  —  On  donne  une  circonférence  tangente  aux  axes  de   coordonnées;   variations  de  la  surface  du  triangle  formé  par 
une  tangente  avec  les  axes. 

330.  —  On  donne  une  ellipse  rapportée  à  deux  diamètres  conjugués  ;  variations  de  la  surface  du  triangle  formé  par  une 
tangente  avec  ces  deux  diamètres. 

331.  —  On  projette  ortliogonalement  un  point    M  en    P   et  Q  sur  deux  axes  obliques;  lieu  du  point   M    sachant  que  la 
longueur    l'Q    est  constante. 

332.  —  Lieu  du  centre  de  gravité  du  triangle    OAB    déterminé  par  deux  droites  fixes  et  une  sécante  .VI!   qui  se  déplace 
de  façon  que  l'aire  du  triangle  reste  constante. 

333.  —  Coordonnées  du  pôle  d'une  droite  par  rapport   à  une  conique.   Appliquer   n    l'ellipse        — j  h — tt  —  1=0 
et  à  la  droite     UX  —  vy  +  w  =  0.     La  droite  tournant  autour  d'un  point  fixe     '2.  y-,    quel  est  le  lieu  du  pôle? 

334.  —  Etant  données  deux  circonférences  ayant  leurs  centres  l'une  à  l'origine,  l'antre  en  un  point  de  l'axe  de    x.    lieu 
des  pôles  des  1  ingentes  à  la  première  par  rapport  à  la  seconde. 

335.  —  Équation  générale  des  coniques  qui  admettent  pour  centre  le  point  de  rencontre  de  deux  droites  données. 

336.  —  Equation  générale  des  coniques  qui  admettent  une  tangente   donnée  et   pour  diamètre  conjugué  une  droite 
donnée.  Cas  particulier  de  la  parabole. 


510  QUESTIONS    POSÉES    M  \    EXAMENS   ORAUX 

337.  —   Equal générale  des  coniques   pour   lesquelles    les    deux   droites     [x   -af-\  X(j/  — 6)*  =  fl     forment    un 

systèi le  deux  diam  ugués?  Combien  donne-t le  conditions  en   donnant   les   directions  de  deux  diamètres 

conjugu  ■ 

338.  —  Equation  générale  des  coniques  inscrites  dans  un  parallélogramme.  Centre  de  ces  coniques. 
33!>.  —  Equation  générale  des  coniques  admettanl  i directrices  deux  droites  données. 

340.  —  Equation  générale  des  coniques  :  circonscrites  à  un  quadrilatère;  —  tangentes  ;i  deux  droites  données;  — 
admettanl  deux  droites  données  pour  asymptotes.  Déterminer  >.  de  façon  que  l'équation  l'Q  •  XR*  =  0  réprésente 
une  parabole. 

341.  Que  représente  l'équation    Ax'      2Bxy      Cj/        ,. ,  </  —  m.r  —  q)  =  o  ? 

342.  —  Condition  pour  que  l'équation  y-  tnx  q)'  .r '/..*•  •  u  =0  représente  une  parabole.  Par  un  point 
quelc [ue  du  plan  passent  trois  axes  des  paraboles  obtenues  en  faisant  varier  m. 

343.  —   Equation   générale  des  coniques   passant  par  trois  | ts,  déduite   de  celle   des  coniques  circonscrites  à  un 

quadrilatère.  Tangi  nte  en  l'un  de  ces  | ils. 

344.  —  Hyperbole  équilatère  circonscrite  il  un  triangle.  Cas  particulier  où  le  triangle  est  rectangle. 

345.  —  On  donne  un  cercle  et  une  droite  passant  par  un  point  tï v.-  ;  équation  générale  des  paraboles  bitangentes  au 
cercle,  la  droite  donnée  étant  la  corde  des  contacts.  Lieu  des  sommets  de  ces  paraboles  lorsque  la  droite  tourne  autour  du 
point  fixe.  —  Même  question  en  remplaçant  I»  paraboles  par  des  hyperboles  équilatères. 

346.  —  Equation  générale  des  coniques  tangentes  en  un  point  M   à  un  cercle  <  1  •  > 1 1  r  le  centre  est  à  l'origine. 

-  ■'' 

ex  -+-  d 
inférieur  à  celui  de  ty{x).  Appliquer  à  la  courbe     y  =  —  —  ;     condition  pour  qu'elle  se  décompose  en  une 

,    r    _  i     ,.  g\ 

droite  et  une  parabole.  Construire  la  courbe    y  =  — — • 

x  —  2 

3'is.  —  Concavité  el  convexité.  Appliquer  à  la  courbe  représentée  par  l'équation    y  =  a  '. 
3'»!).  —  Construire  les  courbes  représentées  par  1rs  équations 

a  . .  /o=~x 

y  =  x'  +  v/a'  -  *•,  [y*  _  ,,}=  =aP>  y=  x  y  ^  . 

y  =  x'±y/x>-a<,  {lf_  .rV  =  xli  .     .,--,< 


•J 

X3 

[X- 

-if 

II 

— 

X  — 

i  ' 

II 

= 

a 

s   X 

II 

= 

x  + 

l  ' 

\,', 

v 

y  =  •'•2  *  V  ~x^J  '  y  =  x^x*  -  '> 


y=x\  :,- 


y  =  .r\ 


,/  =  ,-  +  1±y/TA_,  y=x>  +  yi*.  y=«x>-llx-3).  y=^l+i_Y. 


350.  —  Construire  les  courbe*  représentées  par  les  équations 

1  1 


h  cos  '-■>■  p  =  a  mu  au, 


-m-  u  .    „   M  '  ■  ,.,_  1  ■         (w  — il .w  — 2) 

sin!  — 


351.  —  Condition   pour  que  les  deux  équations    ax  ■  by  i  c  =  0,    a'x  :  V;  I  c'  =  0    représentent   les  traces  d'un 
même  plan  sur  les  plans  des   xy    el  des   xz.         Trouver  l'équation  de  la  trace  de  ce  plan  sur  le  plan  îles    ys. 

352.  —  Mener  par  le  point       x  =  1,    y  =  2,    z  =  3       un  plan  parallèle  aux  deux  droites 

)/  =  2.r       S  u  =    x  —  3, 

z  =Zx      2.  a  =  2./-       l. 

353.  Etanl  donné  le  plan    kx      By      l '■:      D  -  0,    déterminer   une   ligne  de  plus  grande  pente    de  ce    plan,    par 
i  appoi  i  an  plan  des  xy. 

354.  —  Distance  de  l'origine  h  la  droite     :  =  h,     x  ■  y  =  a. 

355.  —  Perpendiculaire  commune  el  pins  courte  distance  pour  les  deux  droites 

x  =  a:      /..  c       "';  H-p', 

i/  =  bz   I  </■  .'/  =  Ifa  +  '/'• 

356.  —  Equation  d'un  cône  ayant  pour  sommet  l'origine  et  pour  directrice    l'ellipse        -         — i  — u     dans  le 

plan    z  -  li. 

357.  —  Equation  d'un  cône  ayant  poui  sommel  l'origine  et  circonscrit  a  la  sphère 

,      a         y      6  -c)'      R»  =  0. 

358.  Sphère  i  irconscrite  el  sphère  inscrite  au  tétraèdre  formé  par  les  plans  de  ci lonnées  et  le  plan 

\.r  +  By  •  Cz  -+-  D  =  0. 


QUESTIONS    POSÉES    AUX    EXAMENS    ORAUX  511 

359.  —  On    donne    les    deux  équations      xy=Z,      2x-r5y=  i;.      —   Que     représente    l'ensemble     de    ces    deux 

équations?  —  Projection  de  l'intersection  sur  le  plan  des   ./;/. 

300.  —  Tangente  en  un  poinl  à  la  courbe      z  =  a  cos  x,     x-  -+-  »/!  =  IV. 

361.  —  On  considère  le  plan  tangent  en  un  point  à  un  ellipsoïde.—  La  trace  de  ce  plan  sur  un  plan  diamétral  esl  la 
polaire  de  la  projection  du  point  de  contact  sur  ce  plan  diamétral  par  rapport  à  l'ellipse  qu'il  détermine  dans  la  surface. 

Géométrie  (M.   Li.vi  . 

362.  —  La  somme  des  perpendiculaires  abaissées  d'un  point  pris  à  l'intérieur  d'un  triangle  équilatéral  sur  les  trois  côtés 
est  constante. 

363.  —  Lieu  des  points  dont  la  somme  des  distances  à  deux  droites  fixes  situées  duos  un  plan  est  constante. 

364.  —  Somme  des  carrés  .1rs  côtés  d'un  quadrilatère.  Cas  particulier  du  parallélogramme. 

365.  —  Construire  sur  une  base  donnée  un  triangle  équivalent  à  un  polygone  donné . 

366.  —  Lieu  du  milieu  d'une  horizontale  qui  s'appuie  sur  deux  droites  lixes.  Etant  donnés  un  plan  et  deux  droites  non 
situées  dans  un  même  plan,  lieu  du  point  i[ui  partage  dans  un  rapport  donné  le  segment  déterminé  par  ces  deux  droites  sur 
une  droite  parallèle  au  plan  el  s'appuyanl  sur  les  deux  droites  données.  Quelle  est  la  surface  engendrée  par  la  droite  mobile  '.' 

367.  —  Si  trois  droites  sont  parallèles  à  un  même  plan,  toutes  les  droites  qui  les  rencontrent  sont  parallèles  à  un 
deuxième  plan. 

368.  —  Lieu  du  milieu  d'une  droite  de  longueur  donnée  dont  les  extrémités  décrivent  deux  droites  rectangulaires. 

369.  —  Rapport  anharmonique  de  quatre  [dans  menés  par  une  même  droite.  Le  rapport  anharmonique  des  quatre  i-hiu-. 
est  égal  au  rapport  anharmonique  des  quatre  points  déterminés  par  ces  plans  sur  une  sécante  quelconque. 

370.  —  Lieu  du  point  de  concours  des  médianes  du  triangle  déterminé  dans  un  angle  trièdre  par  un  plan  qui  se  déplace 
parallèlement  à  lui-même. 

371.  —  Si  par  le  sommet  d'un  angle  trièdre  on  mène  dans  chaque  face  la  perpendiculaire  a  l'arête  opposée,  les  trois 
droites  obtenues  sont  dans  un  même  plan. 

372.  —  Propriété  des  projections  sur  un  plan  sécant  des  arêtes  d'un  trièdre  trirectangle. 

373.  —  Lieu  des  points  d'un  plan  d'où  on  voit  une  droite  donnée  de  l'espace  sous  un  angle  droit. 

374.  —  Construire  un  triangle  connaissant  un  côté,  la  hauteur  correspondante  et  la  somme  des  deux  autres  cotés  (ou 
le  périmètre). 

375.  —  Lieu  des  sommets  des  angles  droits  circonscrits  à  une  ellipse. 

376.  —  Démontrer  les  théorèmes  d'Apollonius  en  considérant  l'ellipse  comme  projection  d'un  cercle. 

377.  —  La  portion  PP'  d'une  tangente  à  l'ellipse  comprise  entre  les  tangentes  aux  extrémités  A.V  du  grand  axe  esl 
vue  des  foyers  sous  un  angle  droit.  Le  produit   AP.AP'   est  constant. 

378.  —  Construire  une  conique  connaissant  trois  tangentes  et  un  foyer. 

379.  —  Construire  une  parabole  connaissant: 
1°  Deux  points  et  la  directrice  ; 

2°  Le  foyer,  une  tangente  et  un  point. 

380.  —  Lieu  du  foyer  d'une  parabole  dont  on  donne  la  directrice  et  une  tangente.  Construire  une  parabole  connaissant 
la  directrice,  un  point  et  une  tangente. 

381.  —  Construire  une  parabole  connaissant  la  tangente  au  sommet  et  deux  autres  tangentes.  Déterminer  les  points  de 
contact  de  ces  deux  tangentes. 

382.  —  Lieu  des  foyers  des  paraboles  tangentes  à  trois  droites.  Construire  une  parabole  connaissant  quatre  tangentes. 

Géométrie  descriptive    M.  Lévi  . 

383.  —  Mener  une  droite  parallèle  à  la  ligne  de  terre  et  s'appuyant  sur  deux  droites  données. 

384.  —  Mener  une  droite  parallèle  a  une  direction  donnée  et  s'appuyant  sur  deux  droites  données  (géométrie  cotée). 

385.  —  Intersection  de  deux  plans  donnés  par  leurs  lignes  de  plus  grande  pente,  parallèles  en  projection. 

386.  —  Distance  d'un  point  à  une  droite  (deux  méthodes).  Distance  d'un  point  à  une  droite  de  front. 

387.  _  On  donne  un  plan  par  son  échelle  de  pente  et  une  droite  dans  ce  plan  ;  mener  dans  le  plan  donné  la  perpendi 
culaire  à  cette  droite  :  1°  par  un  point  pris  sur  la  droite  ;  2U  par  un  point  quelconque  du  plan. 

388.  _  On  donne  un  plan  défini  par  la  ligne  de  terre  et  un  point  ;  mener  par  une  droite  passant  par  ce  point  le  plan 
perpendiculaire  au  plan  donné. 

389.  _  On  donne   un  plan   par  son  échelle  de  pente  et  une  droite  dans  ce  plan  ;   mener  par  cette   dr ■  le  plan 

perpendiculaire  au  plan  donné. 

390.  —  Plus  courte  distam  e  de  deux  droites,  l'une  du  plan  horizontal,  l'autre  du  plan  vertical. 

39i.  _  pu,,  coui  te  distance  de  deux  droites  de  profil.  Plus  courte  distance  d'u Iro le  profil  :  1°  à  une  droite  du 

plan  horizontal:  2"  a  une  droite  quelconque. 

392.  —  Plus  courte  distance  entre  deux  an  tes  Opposées  d'un  tétraèdre  régulier  dont  la  hase  esl  dans  le  plan  horizontal. 


r;i:>  QUESTIONS  PROPOS1  I  - 


393.  —  Angle  de  deux  droites  qui  ne  se  rencontrent  pas,  données  par  leurs  projections  c  l 

:$!('«.  —  On  donne  un  plan  par  son  échelle  de  pente  et  une'  droite  dan-  ce  plan  ;  mener  car  cette  droite  on  plan  qui 
fasse  avec  le  plan  horizontal  un  angle  donné. 

395   —  Angle  de  deux  plans  donnés  par  leurs  traces  horizontales  el  la  projection  et  la  cote  d'un  point  de  leur  intersection. 

:{!((?.  —  Angle  de  deui  plans  déterminés  par  une  droite    \P   el  deux  points  C  el  I*  pris  dans  un  même  plan  horizontal. 

:{!>7.  —  Angle  de  deux  plan-  donnés  :  !  par  leurs  traces  horizontales  et  leurs  angles  avec  le  plan  horizontal  :  2°  pai 
leurs  traces  verticales  el  leurs  angles  avec  le  plan  vertical. 

:$!>8.  —  On  donne  deu\  droites  dan-  un  même  plan  de  front  :  angle  de  deux  plans  passant  par  ces  droites  et  faisant  des 
angles  donnés  avec  le  plan  vertical. 

:$99.  —  Plan  bissecteur  de  l'angle  dièdre  formé  par  deux  plans  donnés  par  leurs  ' 

400.  —  Par  une  droite  d'un  plan,  mener  un  plan  faisant  un  angle  de  15   avec  le  premier. 

401.  —  Un  plan  est  défini  par  un  axe  vertical  et  un  poinl  ;  on  donne  l<  -  projecl s  d'un  point  invariablement  lié  à  ce 

plan.  Construii  e  les  nouvelles  projections  de  ce  poinl  quand  on  a  fail  tourner  le  plan  d'un  angle  i  autour  de  l'axe. 

402.  —  Etant  données  deux  droites  invariablement  liées,  les  amener  à  être  parallèles  :  I    en  projection  horizontale  :  -   en 

103.  -  Etant  donnés  un  plan  el  une  droite,  amener  par  une  rotation  le  plan  à  être  parallèle  a  cette  droite.  Cas  où  le 
plan  esl  donné  par  trois  points. 

■'«04.  —  Amener  par  une  rotation  une  droite  quelconque  a  avoir  sa  projection  verticale  confondue  avec  une  droite  du 
plan  vertical,  trac  d'un  plan  de  hout. 

405.  —  Amener  :  1°  à  être  verticaux  :  2°  à  être  .le  bout,  deux  plans  invariablement  liés  définis  par  leurs  traces. 

406.  —  Amener  deux  droites  invariablement  liées  de  l'espace  à  être  simultanément  horizontales  ou  de  front. 

407.  —  \menei  un  plan  quelconque  a  être  de  front.  —  I  n  plan  esl  défini  par  une  droite  de   front   el  un  point  donné  : 

on  considère  un  deuxième  i it  invariablement  lié  a  ce  plan.  Construire  les  nouvelles  projections  de  ce  point  quand  on  a 

amené  le  plan  à  être  di   front. 

408.  —  l  ii  plan  est  défini  par  uni-  horizontale  II  et  un  poinl  A  :  étanl  donné  un  poinl  P  donl  la  projection  horizontale  ;i 
fond  avec  celle  di     \    i  mstri les  telles   projections  du  point  P  quand   on  a  fait   tourner  le  plan  d'un  angle 

de  45°  autour  de  son  horizontale  II 

409.  —  Un  plan  est  défini  par  une  horizontale  H  el  un  point  A:  trouver  un  point  qui  soit  i  une  distance  donnée  de 
l'horizontale  II  el  qui  se  projette  sur  le  plan  au  point  A. 

410.  —  Etanl  donnés  1 1 . . i  —  points  nu,  i^  .  ce",  mener  au  cercle  passant  par  ces  trois  points  une  tangente  par  un 
point  pp'  donné  dan-  leur  plan. 


n[/ESÏÏO.\S  PROPOSÉES 


568.  —  Par  un  point  quelconque   M,   d'une  demi-circonférence  on  mène  une  tangente  MT  qui  coupe  le 

diamètre  en  T. 

["rouver  le  lieu  du  point  de  rencontre!'  du  raxon  OM  avec  la  perpendiculaire  au  diamèlre  élevée  en  T. 

Construire  la  courbe  représentant  les  variations  de        ,'  .,',  ...i    vol.  PAT  désignant  le  volume  engendré  par 
'  vol.  .MA  I  r 

le  triangle  PAT  tournant  autour  du  diamèlre  t'A  el  A   l'extrémité  du  diamèlre. 

569.  —  On  considère  une  parabole  et  une  corde  dont  la  projection  sur  l'axe  soit  éL'.ile  à  une  longueui  cons- 
tante donnée. 

I    Trouver  le  lieu  de  l'intersection  des  normales  menées  aux  deux  extrémités  île  celte  corde. 
l     Mener  par  un  point  quelconque  du  lieu  trois  normales  à  la  parabole. 
i  nie  dire  du  cas  OÙ  la   projection  de  celte  corde  tend  vers  0  ? 

570.  —  On  donne  deux  cercles  C  et  C  ;  trouver  le  lieu  des  centres  de-  cercles  orthogonaux  a  l'un  cl  tangents 
à  l'autre. 

571.  —  On  considère  une  parabole  el  un  poinl  fixe  de  l'axe  de  celle  parabole.  Par  ce  poinl,  on  mène  une 
sécante  variable  PQ.  On  décrit  un  cercle  passant  aux  points  I'  ci  Q  el  au  sommet. 

1  I  rouver  le  lieu  du  centre  de  ce  cercle. 

2  Trouver  le  lieu  du  point  de  concours  des  sécante-  communes  au  cercle  cl  a  la  parabole. 

3°    troll  \  er  le  lieu  do  la  prOJCCli lu  q  liai  lie  me  point  sur  la  corde    PQ. 

572.  —  l  ne  parabole  mobile  a  -..n  axe  perpendiculaire  a  celui  d'une  parabole  R\e  :  elle  p  isse  par  le  sommet 
de  cotte  dernière. 

Distinguer  le-   régions  du  plan  où  se  trouve  le  sommet  de  lu  parabole  mobile  suivant  qu'elle  a  deux  ou 
quatre  points  communs  avec  la  parabi  le 

— ♦ — 

/.e  lièdacteur-Géranl  :  II.   VUIBERT. 

BAR-LE-DIC.  —    l«r.    COMTE  JA< 


TABLE   DES   MATIÈRES 


ANNÉES    1894-95    ET    1895-96 


ALGÈBRE 

J"  des 
questions  Pages 

480  Dansle  développement  de  (i+x~i-2x':+--+pxi')2 

le  coefficient  de    x'i(q  <  p)    est- — ; — -.     491 

481  Le  nombre  de  manières  dont  on  peut  ame- 

ner le  point  n  avec  p  dés  à  jouer  est  égal  au 

coefficient  de  xn  dans  (x  +  x2~{ ha;6)''.     492 

461  Problème  de  combinaisons 425 

436  Démontrer  l'inégalité     (—  )    <  n  !  <  (  —  j 

si     a  <  e 331 

473  Etude  d'une  fraction  algébrique 425 

453  Variations  d'une  fonction 387 

380  Démontrer  l'identité 

^jfLf.rtpl.jF)  =ev^.   ...       82 

ax" \        dx"+i        I 

391  Le  plus  grand  en  lier  contenu  dans  l-t--H h  — 

r  2  n 

est  égal  ou  supérieur  de  une  unité  au  plus 
grand  entier  contenu  dans    L(n-t-l)  ...      117 

408  Démontrer  qu'une  équation  a  ses  racines  en 

progression  arithmétique 219 

409  Exercice  sur  un  polynôme  du  troisième  degré.     196 

410  Exercice  sur  un  polynôme  du  quatrième  degré.     197 

GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  A    DEUX   DIMENSIONS 

366  Exercices  sur  les  tangentes  communes  à  deux 

cercles 50 

509  Lieu  du  point  de    concours  des   diagonales 

d'un  quadrilatère  circonscrit  à  un  cercle.   .     502 
383  Par  un  point  P   on  mène  une  sécante    PCD 
dans  un  cercle,  on  joint   AC,  BD,    A  et  B 
étant  deux  points  fixes  du  cercle,  lieu   du 

point  de  rencontre 107 

395  Enveloppe  de  l'axe  radical  de  deux  cercles.    .     148 

402  Exercices  sur  un  cercle 173 

414         (ld.)     (Lieu  de  l'orthocentre  d'un  triangle).     222 

419  Exercices  sur  un  rectangle 223 

420  Lieu  du  sommet  d'un  rectangle  variable.  .    .     245 

451  Exercice  sur  un  triangle 340 

469  (ld.) 385 

454  Mener  une  tangente  à  un  cercle  formant  avec 

deux  droites  fixes  un  triangle  maximum.   .     366 
483  Exercices  sur  un  triangle  isocèle  variable  dont 
le  sommet  décrit  un  cercle  et  dont  la  base 
est  tangente  à  ce  cercle 409 


queslions  Pages 

508  Lieu  du  centre  et  enveloppe  d'un  cercle  ortho- 
gonal   à  un  cercle   fixe  et  tangent  à  une 

droite 481 

397  Exercices  divers  sur  une  ellipse 149 

359  (ld.) 262 

517  (ld.) 504 

332  Enveloppe  des   paraboles   tangentes  à   deux 
droites  rectangulaires  et  dont  le  foyer  dé- 
crit un  cercle  tangent  à  ces  droites  ....         1 
373  Triangle    inscrit   dans    une    parabole,    deux 

côtés  étant  normaux  ;  exercices 47 

367  Coniques  tangentes  à  deux  droites  et  passant 

par  un  point 51 

372  Un  angle  droit  tourne  autour  d'un  point  P, 
ses  côtés  rencontrent  deux  droites  fixes  en 
des  points  A  et  B.  Enveloppe  de  AB  .   .    .       68 

378  Equation  générale  des  coniques  tangentes  à 
une  droite  D  en  un  point  A,  à  une  droite  D' 
parallèle  à  D  et  à  une  droite  A  perpendi- 
culaire à    D   et   D'.  Lieu  des  foyers,  etc.   .       76 

381  Condition    pour  qu'il  existe   un    quadrilatère 

inscrit  à  une  conique  et  circonscrit  à  une 
autre  conique 80 

382  Points  conjugués  par  rapport  aune  hyperbole 

équilatère.  Exercices 92 

353  Coniques  variables  :  lieux  géométriques.    .    .  97 

387  Lieu  du  sommet  d'un  triangle  rectangle.    .   .  109 

388  Lieu  des  points  de  rencontre  des  normales  à 

une  parabole  aux  points  où  elle  est  coupée 

par  les  tangentes  à  un  cercle 110 

389  Coniques  osculatrices  à  un  cercle  et  dont  le 

foyer  est  sur  le  cercle.  Exercices    ....".     137 

352  Triangle  circonscrit  à  une  ellipse  tel  que  les 
normales  aux  points  de  contact  se  coupent 
sur  l'ellipse 141 

396  Propriétés  de  deux  ellipses 147 

338  Triangle  inscrit  dans  une  ellipse  et  circons- 
crit à  un  cercle  concentrique 185 

401  Une  ellipse  tourne  autour  de  son  centre.  Lieu 
du  point  de  rencontre  des  tangentes  aux 
points  où  deux  droites  perpendiculaires  pas- 
sant par  le  centre  les  rencontrent 219 

407  Hyperboles  équilalères  passant  par  trois  des 

sommets  d'un  rectangle.  Lieux  géométriques    221 

399  Propriétés  des  points  communs  à  un  cercle 

et  à  une  hyperbole  équilatère 233 

405  Coniques  circonscrites  à  un  parallélogramme 

et  tangentes  à  une  droite.  Exercices.      .   .    2:i0 

411   Exercices  sur  une  parabole 237 


514 


TABLE  DES  MATIEKLS 


qo^iioni  Pages 

431  Exercices  sur  une  parabole 336 

412  ld.  348 

400  Paraboles  circonscrites  à  un  triangle  rec- 
tangle      L'-l 

UT  Mener  entre  deux  droites  données  un  segment 
parallèle  à  une  droite  donnée  et  nui  soit  vu 
d'un  point  donné  sous  un  angle  donné    .    .     266 

4li  Exercice  sur  un  cercle  et  une  hyperbole  équi- 

latère 307 

448  Coniques  bitangentes  à  une  ellipse,  tangentes 
à.  une  droite  et  vues  d'un  point  P  sous  un 
angle  droit.  Exercices 331 

432  Enveloppe  de  la  polaire  d'une  droite   et  lieu 

du    pôle    d'un    point    par    rapport    à    une 
conique  qui  tourne  autour  de  son  centre.   .     338 
416  Lieu   du    milieu    d'une   corde    de    longueur 

constante  inscrite  dans  une  parabole  .  .  .  33!» 
447  l'n  cercle  roule  sur  un  cercle  égal.  Exercices.  340 
452  Lieu  du  sommet  d'une  parabole  variable    .   .     342 

434  Exercices  sur  une  hyperbole  équilatère    .    .   .     349 

435  Coniques  circonscrites  à   un   triangle  et  tan- 

gentes à  une  droite.  Exercices 3."j  1 

442  Hyperbole^  ayant  une  directrice  et  une  asymp- 
tote données.  Lieux  géométriques.  ....     362 
450  Coniques  ayant  un  foyer  donné  et  tangentes 

à  deux  droites 364 

470  Coniques  ayant  des  directions  asymptotiques 

données  et  un  foyer  donné.    . 386 

436  Etudier  un  réseau  de  coniques 401 

490  Paraboles  inscrites  dans  un  angle 412 

489  Coniques  passant  par  quatre  points  et  tan- 
gentes à  une  droite.  Lieux  géométriques.    .     43.1 

460  Exercices  relatifs  à  trois  coniques  ayant  un 

foyer  commun,  tangentes  deux  à  deux   .         417 

474  Coniques    passant   par  deux    points  fixes  et 

rencontrant  une  conique  fixe  en  deux  points 
fixes  et  en  deux  points  variables 451 

506  Lieu  des  sommets   et  des  foyers  des  hyper- 

boles équilatéres  ayant  un  centre  donné  et 
passant  par  un  point 477 

507  Exercices  sur  des  coniques  passant  par  deux 

points  et  ayant  un  foyer  donné 478 

1  s i  Exercices  sur  une  ellipse  et  deux  paraboles.   .  492 

485  Exercices  sur  des  coniques  homofocales  .    .    .  496 

486  Lieu   du    point   de    concours  des    tangentes 

communes  à  deux  ellipses 497 

516  Lieu   du    s met    d'une    parabole   dont    ou 

donne  une  tangente,  le  point  où  elle  ren- 
contre  l'axe  el  un  point  de  la  directrice  .    .     505 
522  On  donne  un  cercle  île  rayon    OA.    Coniques 
passant   par   les   points    O    el    A  et    ayant 
une  directrice  perpendiculaire  à  OA.   ."  .    .     500 

475  Propriété  de  l'hypocycloïde  à  trois  rebrousse- 

ments 468 

413  Exercices  sur  la  courbe  y*  —  #'•  -\-2ox2y  =  0.  242 

lu;  Etude  d'une  transformation 311 

385  Exercices  sur  le  folium  de  Descartes 103 

404  Exercices  sur  une  courbe  d'ordre  n 1,87 


GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE  A  TROIS    DIMENSIONS 


340  Calcul  d'un  rayon  de  courbure 4 

374  Exercices  sur  la  cubique  gauche 83 

375  (ld.) 86 

389  Exercices  sur  des  quadriques  homofocales.    .  3 

343          (ld.) 10 

342  Lieu  des  foyers  des  sections  d'un  parabololde 

par  des  plans  passant  par  une  droite  paral- 
lèle à  l'axe 9 

379  Normales   à   l'ellipsoïde    en    tous    les   points 

d'une  section  plane 100 

390  Normales  à  une  quadrique  en  tous  les  points 

d'une  section  circulaire 116 

384  Normales  issues  d'un  point  à  un  ellipsoïde.   .  113 

398  Normales  au  pàraboloïde 103 

103  Exercices  sur  les  normales  à  une  surface  du 

troisième  ordre 239 

443  Propriétés  de  la  surface 

-^  =  arecot  —  +  <r-;a,-*  +  i/*)    .    .    .  356 
2k2                .      x 

4  i  i  Propriétés  de  la  surface 

-^  =  arc  cot  -|-  -+-  <l>(x2  +  y*)    .   .    .  357 

449  Exercices  sur  l'ellipsoïde 375 

479  Etude  d'un  complexe 470 

DIVERS 

.'i.;  Exercice  de  cinématique 73 

503  Solide  commun  à  deux  cônes 400 

386  On  donne  un  disque  et  une  lentille,  calculer 

un  éclairement 105 

406  Evaluer  la  pression  au  centre  du  globe  ter- 
restre   145 

463  Etudier  la  distribution  des  pressions  dans  une 

masse  liquide 335 

504  Calculer  la  durée  d'oscillation  d'un  pendule.  453 

NOTES   ET  MÉMOIRES 

Sur  un  théorème  d'Algèbre 67 

Sur  les  fonctions  hyperboliques 183 

Noie  sur  l'intégrale  définie 219 

Note  sur  les  fonctions  croissantes 276 

Note  sur  les  fonctions  implicites 321 

Invariant  de  la  forme  cubique  (leçon  d'agrégation).  370 

Sur  l'équation  binôme 418 

(ld.) 465 

Sur  les  fonctions  symétriques 177 

Sur  le  résultant  de  deux  équations  entières  ...  201 
Sur  la  résolution  trigonométrique  de  l'équation  du 

troisième  degré 300 

lîésumé  des  propriétés  des  faisceaux  de  coniques.  49 

Sur  le  principe  des  signes  appliqué  aux  aires.   .    .  65 

Quadrature  de  la  cycloïde 82 

Etude  d'une  courbe  autour  d'un  de  ses  points  .    .  130 

Sur  les  courbes  unicursales 153 


TABLE  DES  MATIÈRES 


515 


Pages 
Enveloppe  d'un  cercle  orthogonal  à  un  cercle  fixe 

et  dont  le  centre  décrit  une  conique 158 

Leçon  sur  les  enveloppes 202 

Sur  la  construction  de  certaines  courbes  en  coor- 
données polaires 343 

(Id.) 393 

Sur  l'hyperbole  d'Apollonius 397 

Note  sur  l'intersection  de  deux  coniques 17 

Note  sur  la  théorie  des  coniques 441 

Sur  un  problème  de  géométrie  analytique  ....  489 

Sur  le  cylindroïde 129 

(Id.) 181 

Points  d'inflexion  dans   le  développement  d'une 

section  plane  d'un  cône 180 

Intersection  de  deux  quadriques  dont  les  axes  se 

rencontrent 273 

Intersection  d'une  droite  et   d'une   quadrique  ad- 
mettant des  sections  elliptiques 297 

Sur  le  complexe  des  droites  de  moment  nul  par 

rapport  à  un  système  de  forces 225 

Sur  le  mouvement  des  planètes 405 

Sur  les  formules  générales  des  lentilles 190 

Nécrologie 3G9 

BIBLIOGRAPHIE 

Leçons  d'arithmétique  (.1.  Tannery) 96 

Leçons  de  cinématique  {G.  Kœnigs) 96 

Abrégé    de   la    théorie    des   fonctions   elliptiques 

(Ch.  Henry) 152 

Essai  d'une  théorie  élémentaire  des  surfaces  du 

troisième  ordre  (F.  Dumont) 176 

La  géométrie  réglée  et  ses  applications  (G.  Kœ- 
nigs)    296 

Questions  de  mécanique  (Laisant  et  Antomari).    .  320 

Questions  d'algèbre  (G.  Maupin) 320 

Leçons  sur  certaines  questions  de  géométrie  élé- 
mentaire (F.  Klein)  traduit  par  .1.  Griess.   .   .    .  440 
Leçons  sur  la  résolution  algébrique  des  équations 
(IL  Vogt) 464 


EXAMENS  ET  CONCOURS 

Agrégation  des  sciences  mathématiques  : 

Année  1894 40. 

—  1895 192,  324,  358. 

—  1896 473. 

Agrégation  de  l'enseignement  secondaire 

spécial  : 

Année  1893 124. 

Concours  général  : 
(Classe   de    Mathématiques  spéciales.) 
Année  1891.  —  Physique.   .    .    .     144. 

—  1894.  —  Mathématiques.     12. 

—  1894.  —  Physique.   .    .   .     500. 

—  1895.  —  Mathématiques.     165,  277. 


Année 

1895. 

— 

1896. 

— 

1896. 

Année 

1892. 

— 

1894. 

— 

1894 

Année 

1895. 

— 

1893. 

— 

1896. 

— 

1896. 

—  Physique.   .    .    .     166,  360. 

—  Mathématiques.     431. 

—  Physique.  .    .    .     454. 

Bourses  de  Licences  : 

—  Physique.   .    .    .  499. 

—  Mathématiques.  19. 

—  Physique.  ...  55. 

—  Mathématiques.  284,  426. 

—  Physique.   .    .    .  284,  3S2. 

—  Mathématiques.  475. 

—  Physique.  .    .    .  476. 

ÉCOLES 

Ecole  Normale  supérieure  : 
Année  1891 281. 

—  1893 71. 

—  1894 33,  428. 

—  1895 168,  214,  260,  302 

—  1896 456,  475. 

Ecole  Polytechnique    : 
Année  1895 167,  210,  380. 

—  1896 455. 

Ecole  centrale  des  Arts  et  Manufactures  : 

Année  1894.  —  1'°  session 

—  1894.   —  2"       — 

—  1893.  —  lro  session 

—  1895.  —  2»       — 

—  1896.  —  1™  session 

Ecole  des  Mines  de  Saint-Etienne 

Année  1894 79,  119,  121 

_       1895 343,  433. 

Ecole  des  Ponts  et  Chaussées  : 


14,  88,  194. 

199,  283,  286,  291. 

268,  314,  429,  483. 


Année  1892.  —  Elèves  externes. 

—  1894.  —  Cours  préparatoires 

—  1894.  —  Cours  spéciaux . 

—  1893.  —  Cours  préparatoires 

—  1895.  —  Cours  spéciaux.    . 

Ecole  Navale 

Année  1894 

1895 

—  1896   


189. 

32,  60,  61. 

361,  498. 

295,  388,  408,  432. 

260,  397, 


29. 

168. 

457. 


QUESTIONS  POSÉES  AUX  EXAMENS  ORAUX 

Ecole  Normale  supérieure  :  1895     .  383. 

Ecole  Polytechnique  :  1894  ....  72,  118,  115,  217. 

Ecole  Centrale  :  1894 270,275,367,389. 

Ecole  Centrale  :  1895 460,486,509. 

Ecole  des  Mines  de  St-Etienne  :  I S94  247 . 

Ecole  des  Mines  de  St-Etienne  :  1895  402. 

Ecole  Navale  :  1895 403. 


ri  16 


TABLK  DES  MATIÈRES 


NOMS     D'AUTEURS 


ALPHA,  367. 

VNDOYER  [H.),  130,  213,  345. 

ANTOMARI    Y  ,  23,  fc7,  67,  80,  106, 

147,  lso,  242,  313,  320. 
APPELL  (P.),  129,  390. 
AUD1BERT,  10. 
AI  ZERAM,  343,  344,  362,  366,   428, 

432,  440,  478,  483,  504. 
BADARD    .1.  ,  190. 
BA1LLY    L.  ,  112. 
BALLY   E.),  497. 
BAR1SIEN  (E.-N.  ,  2,  8o,  108,  187, 

204,  310,  343,   351,  386,  432,  488, 

505. 
BARRÉ  (E.),  262. 
BARTHE  (C.),  453. 
BERTHELOT  (E.),  16,  224,  272,  285, 

368,  477. 
BERTRAND  (Victor),  51,  110,  338. 
BIOCHE  (CI).),  48,  80,  285,  502. 
BLANDIN  (.1.),  386,  440. 
BLAZY-LACOMBE,   341,    401,   426, 

473,  480. 
BONNARD  (IL),  219. 
BOl  RGUKJNON  (P.),  359. 

C.  Y),  59. 

GARRUS   M.-V.),  165. 
CAUSSE   A.),  389,  409,  415. 
CELS,  321. 

CHAMBON   .1.),  336. 
CHAMPION  (B.),  221. 
CH  iSSIOT   S.),  224. 
CHEVALLIER  (Joseph),  96. 
CLA1RIN  (.1.),  53,  100. 
CLA1  ZEL(L.),  55. 
COLLARD,  88. 
COMBETTE,  460,  40 1. 

D.  (E.),  31,  173,  460. 
DAVID  (J.),  183. 


DELACROIX  il;.  ,  l?l. 

1)1  CLOS    P.  ,  196. 

DUMONT(F.),  176. 

DURAND    \.  ,  2:';;. 

ESCOT  i,U.  ,  4,  s:i,  s:.  103 

ESPINAT   Louis),  128. 

FÉNET,  2li. 

FÉREY  (II. i,  121. 

FÉVRE  (M.),  112. 

G1ROD,  300,  489. 

GOU1LLY,    295,   367,  389,  488,  509. 

GOUJON  (L.-J.),  320,  337,  392,  435, 

505. 
COLLARD  (A.),  73,  285,  291,  469. 
GRAT1EN  (H.),  16. 
GRIESS  (J.),  440. 
GROLLEAU,  450. 
GUESDE  (Mario),  303. 
II.  (L.!,  19,  32,  39,  46,  90,  119,  152, 

176,  209,  262,  277,   320,  344,  309, 

374,  392,  397. 
HAIS  (James),  170,  339. 
HÉNET,  119,   147,  314,  344,  477. 
HENRY  (Ch.),  152. 
HIOUX  (V.),  297. 
HUBLOT  (IL),  277. 
HUGON,  9,  158,  194,  242. 
HY\  ERT,  501. 
JAMET  (V.),  117. 
JORGE  F.  d'AVILLEZ,  505. 
KLEIN  (Félix),  440. 
KOEN1GS  (G.),  96,  290. 
L.  (A.),  307. 
L.  (J.),  12,  118,  263. 
L.  (P.),  294. 

LAISANT  (C.-A.),  65,  320. 
LAPOINTE  (G.),  476. 
LAUREAUX  (A.  ,  189,  197,  222,  205, 

383. 


LEBOl  KG  (A.),  116. 

LEFÈVRE  (L.),  273.  393. 

LEVASSOR  (Albert),  453. 

LIAI.  511. 

LHÉR1A1  D   J.),  406). 

LGEDER1CH  (G.  ,  182. 

MALPLAT,  425. 

MAUP1N    G.  .  81,  107,  145,  320. 

MERLIN   L.  ,  340. 

MESSENT  (L.),  224,  382,  408. 

MORl  I.    \.  .  112.  152,  200. 

MOR1LLOT  (<>.),  416,  439,  509. 

OUDIN  (E.),  248. 

P.  (G.),  440. 

PAGES  (A.),  14,  39. 

PÉGORIER  (F.),  175. 

PHILIPPE  (V.),  272. 

POUILLIART  (C.-A. ),  368,  392. 

PI  IC    P.),  56,  219,  502. 

IL  (C),  72,  191,  217,  282,  284. 

RAFFY  (L.),  153. 

RICHARD  (J.  ,  249,  405. 

ROUBAUDI  (C),  181,  394. 

SABOT  (Pierre),  110. 

SUEUR  (Lucien),  109,  268.  310. 

T.    A.  ,  92,  369. 

DE  TANNENBERG  (\V.  ,  441. 

TANNERY  (J.),  96,  177. 

THÉVENOT   F.),  4. 

TZITZE1CA,  so,  in. 

VALDÊS  (Enrique  ,  468. 

LE  VAVASSEI  li    IL),  464. 

VASNIER,   48,  57,  78,  88,  99,  104, 

144,  212,  255,  266,  335,  349,  355, 

432,  450,  488,  501. 
VOGT    IL  .  ii7,  464. 
WITZIG  (A.),  5. 
XAMBEU,  223,  207. 


Bai  le  Duc,  —  Imprimerie  Comle-Jacquet.  —  Facdouel,  dir. 


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Revue  de  mathématiques 
spéciales 


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